chuyen de tam thuc bac hai

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
--- TỔ TOÁN ---
    
CHUYÊN ĐỀ :
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CỦA
TAM THỨC BẬC HAI
LÝ THỊ LOAN THẢO
Tháng 5/2008
ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. Phương pháp:
Cơ sở của phương pháp là sử dụng sự đánh giá các giá trò của hàm số
bằng một trong hai công cụ sau đây của tam thức bậc hai :
( i ) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
( ) ; 0 : min
x R
f x u x a a u x f x a f x f x a
Ỵ
é ù
= + ³ $ = = Þ = =
ë û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
( ) ; 0 : min

x R
f x b u x b u x f x b f x f x b
Ỵ
é ù
= - £ $ = = Þ = =
ë û
(ii) : Để tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số
( );y f x x R= " Ỵ
(1) ta biến đổi :
(1)
[ ] [ ]
2
( ) ( ) ( ) ( ) 0g x a y x b y x c = + + =
(*)
TH
1
: Khi
( ) 0 : 0a y x R g¹ $ Ỵ Û D ³
(2)
TH
2
: Khi
0
( ) 0a y y= Þ
là một điểm của tập giá trò (3) ; tương ứng
0
x RỴ
Kết hợp (2) và (3), ta được tập giá trò f(R) viết dưới dạng :
m y M£ £
0

0
max ( ) ( )
min ( ) ( )
x R
x R
f x f x M
f x f x M
Ỵ
Ỵ
é
= =
ê
Þ
ê
= =
ê
ë

II. Bài tập ứng dụng
Bài 1
Cho hàm số : y = f(x) = 4x
2
-4ax + a
2
– 2a, trên tập D = [ -2 ; 0 ]. Tìm a
để
min ( ) 2
x R
f x
Ỵ

=
Giải
Để ý rằng đỉnh S của Parabol
(P) : y = f(x) = 4x
2
-4ax + a
2
– 2a là
0
2
a
x =
ta xét ba trường hợp của vò
trí x
s
so với đoạn D = [ -2 ; 0 ] với chú ý rằng : a
1
= 4 > 0
TH1 :
2
Khi :
0
2
a
x =
> 0
Û
a > 0
Nhìn vào đồ thò, ta có :
2

min ( ) (0) 2 2
x D
f x f a a
-
= = - =
0
1 3
1 3
a
a
a
é
>
ê
Û Û = +
ê
= +
ë
TH2 :
Khi :
2 4
2
s
a
x a= <- Û <-

Nhìn vào đồ thò, ta có :
2
min ( ) ( 2) 6 16 2
x D

f x f a a
-
= - = + + =
2
4
6 14 0
a
a
a a
é
<-
ê
Û Û Ỵ Ỉ
ê
+ + =
ë
TH3 :
Khi :
2 0 4 0
2
s
a
x a- £ = £ Û - £ £
Nhìn vào đồ thò, ta có :

min ( ) ( ) 2 2
s
x D
f x f x a
-

= =- =
4 0
1
1
a
a
a
é
- £ £
ê
Û Û =-
ê
=-
ë
Kết luận
1; 1 3a a=- = +
Bài 2
Tìm GTLN và GTNH của hàm số :
2
2
2 1
( ) ;
1
x x
y f x x R
x x
+ -
= = " Ỵ
- +
Giải

Ta đi tìm GTLN và GTNN của hàm số đặc trưng :
2
2
2 1
( )
1
x x
y g x
x x
+ -
= =
- +
; trên R
Gọi :
2
0 0
2
2 1
( ; ) ( ) : ;
1
x x
M x y C y x R
x x
+ -
Ỵ = " Ỵ
- +
, ta có :
2
2 2
0 0

0 0 0 0 0 0
2
0 0
2 1
( 1) 2 1
1
x x
y y x x x x
x x
+ -
Û = Û - + = + -
- +
2
0 0 0 0 0 0
( ) ( 2) ( 1) 1 0F x y x y x = - - + + + =
(1)
x R" Ỵ
Xét tam thức bậc hai F(x
0
) qua các trường hợp :
TH1 :
0 0
2 0 2y y- = Û =
lúc đó (1)
0 0
3 3 0 1x x RÛ - + = Û = Ỵ
Do vậy y
0
= 2 là một điểm của tập giá trò.
3

TH2 :
0
2y ¹
. Lúc đó tam thức bậc hai có nghiệm khi :
( ) ( ) ( )
0
2
0 0 0
2
1 4 2 1 0
F
y
y y y
ì
¹
ï
ï
ï
í
ï
D = + - - + ³
ï
ï
ỵ
0
0
2
0
0 0
2

2
1 3
3 6 9 0
y
y
y
y y
ì
ì
¹
¹
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
- £ £
- + + ³
ï ï
ỵ
ỵ
Kết hợp hai trường hợp trên ta có :
0
1 3y- £ £
max ( ) 3;
max ( ) 3;
min ( ) 1;
min ( ) 1;
g x x R

g x x R
g x x R
g x x R
ì
ï
= Ỵ
ì
= Ỵ
ï
ï
ï
Û Þ
í í
ï ï
=- Ỵ
= Ỵ
ï
ỵ
ï
ỵ
{ }
max ( ) max 3;1 3
x R
f x
Ỵ
Þ = =
Để ý rằng :
( ) 0
min ( ) 0
1

( 1) ( ) 0
2
x R
f x
f x
f f
Ỵ
ì
³
ï
ï
ï
Þ =
í
ï
- = =
ï
ï
ỵ
Vậy
( ) 3
x R
GTLN f x
Ỵ
=
và
( ) 0
x R
GTNN f x
Ỵ

=
Bài 3
Tìm GTNN của hàm số sau :
2
0
1
( )f x x x
x
= + +
; trên nửa khoảng
( ; )o +¥
Giải
Gọi
2
0 0
1
( ; ) ( ) : ( ) ; (0;M x y C y f x x x x
x
Ỵ = = + + " Ỵ +¥
2
0 0 0
1
y x x
x
Û = + +
( x
0
> 0 )
2
2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
1 1
( ) 2y x x y x y x x
x x
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
Û - = + Û - + = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
2 2
0 0 0 0
( ) 2 1 0F x y x y xÛ = - + =
Ta cần tìm điều kiện để tam thức bậc hai F(x
0
) có nghiệm dương .
muốn thế ta xét :
2 2 4 3
0 0 0 0 0 0
( ) 4(2 )(1) 8 ( 8)
F
y y y y y yD = - = - = -
Để ý rằng :

2
0 0 0 0
0
1
0; 0y x x x
x
= + + > " >
3
0 0
0 8 0 2
F
y D ³ Û - ³ Û ³
2
0
0 0
0
0
0
1
0; 2
2 2
1
0; 2
2
F
F
y
S y y
y
P y

y
ì
ï
-
ï
=- = > " ³
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
= > " >
ï
ï
ï
ï
ỵ
4
Vậy tam thức bậc hai F(x
0
) có nghiệm khi
0
2y ³
và lúc đó hai nghiệm
đều dương :
0.2 0.1
0 max ( ) 2x x f x³ > Þ =
Bài 4

Cho phương trình với tham số a
³
1 như sau :
x
2
+ 2(a-3)x + a - 13 = 0 (1)
Tìm a để nghiệm lớn của phương trình đã cho đạt giá trò lớn nhất
Giải :
Ta có
/
D
= a
2
– 7a + 22 =
2
7 39
0; 1
2 4
a a
ỉ ư
÷
ç
- + > " ³
÷
ç
÷
ç
è ø
Phương trình (1) có 2 nghiệm :
2

1
2
2
3 7 22
3 7 22
x a a a
x a a a
é
= - - - +
ê
ê
ê
= - + - +
ë
Xét nghiệm lớn :
( )
2 2
2
2
2
2
3 7 22 3 7 22
3 0
3 0
2 6 13(*)
3 7 22
x y a a a y a a a
y a
y a
ay a y y

y a a a
= = - + - + Û - + = - +
ì
- + >
ì
ï
- + >
ï
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
+ =- + +
- + = - +
ï ï
ỵ
ỵ
Ta thấy
1
2
y =-
không thoả (*) với mọi a
³
1
2 2
6 13 4 14
1 0
2 1 2 1
1

2 6
2
y y y y
a a
y y
y y
- + + - + +
Þ = ³ Û = ³
+ +
Û £ - Ú- £ £
Suy ra GTLN = 6 khi a = 1
Vậy a = 1 thì GTLN của x
2
= 6
Bài 5:
Cho f(x) = 2x
2
+2(m+1)x +m
2
+ 4m +3 có 2 nghiệm x
1
,x
2
. Tìm GTLN
của biểu thức :
1 2 1 2
2( )A x x x x= - +
Giải :
Điều kiện tồn tại nghiệm x
1

, x
2
là
/
D
³
2
6 5 0 5 1m m mÛ - - - ³ Û - £ £ -

Lúc đó:
[ ]
2
2
4 3
2( 1)
2
1
8 7 ; 5; 1
2
m m
A m
A m m m
+ +
= + +
Þ = + + " Ỵ - -
ù
Xét :
5