tom tat hinh giai tich

- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
 (a,b) ± (a
/
, b
/
) = (a ± a
/
, b ± b
/
)
 k(a, b) = (ka, kb)
 (a, b) = (a
/
, b
/
) ⇔



=
=
/
/
bb
aa
 (a, b).(a
/
,b
/
) = aa

/
+ bb
/

22
ba)b,a(
+=

/
/
/
v.v
cos( v ,v )
v . v
=
r r
r r
r r

ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
 M chia AB theo tỉ số k ⇔
MBkMA
=
⇔
, ,
1 1 1
A B A B A B
M M M

x kx y ky z kz
x y z
k k k
− − −
= = =
− − −

(k ≠ 1)
 M : trung điểm AB ⇔
, ,
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
 M : trọng tâm ∆ABC ⇔
, ,
3 3 3
A B C A B C A B C
M M M
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/

==

[ ]








=
//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v
rr


/ / /
[ v ,v ] v . v .sin( v,v )=
r r r r r r

//
v,v]v,v[
rrrr
⊥

/
vv
rr
⊥
⇔
/
v.v
rr
= 0 ;
/ /
v // v [ v ,v ]⇔
r r r r
= 0 ;
///
v,v,v
rrr
đồng phẳng⇔
0v].v,v[
///
=

rrr

[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
∆

[ ]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=

/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V
=
 A, B, C thẳng hàng ⇔
AB // AC
uuur uuur
 trong mp : H là trực tâm ⇔






=
=
0AC.BH
0BC.AH
 H là chân đường cao h
a
⇔





=
BC//BH
0BC.AH
 M là chân phân giác trong
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB
−=
 M là chân phân giác ngòai
∧
A
⇔

MC
AC
AB
MB
+=
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
2. Mặt phẳng trong không gian :
 Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
= (A, B, C) hay 2 vtcp
'v,v
.
 (P) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

n
= [
'v,v
]

 (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có
n
= (A, B, C).
 (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)
⇔
(P) : x/a + y/b + z/c = 1
Cho M(x
o
, y
o
, z
o
), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
 d(M,(P)) =
222
ooo
CBA
DCzByAx
++
+++
 (P) , (P
/
) tạo góc nhọn ϕ thì : cos
ϕ
=
)n,ncos(
)'P()P(
 (P) ⊥ (P
/
) ⇔

)'P()P(
nn
⊥
, (P) // (P
/
) ⇔
)'P()P(
n//n
3. Đường thẳng trong không gian :
1
 Xác đònh bởi 1 điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) và 1 vtcp
v
= (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
'n,n
:
(d) :
c
zz
b
yy
a
xx
:)d(,
ctzz

btyy
atxx
ooo
o
o
o
−
=
−
=





−
+=
+=
+=

]'n,n[v
=
 (AB) :
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −

 (d) = (P) ∩ (P
/
) :
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+ + + =


+ + + =

 (d) qua A, vtcp
v
thì :
 d(M,(d)) =
v
]v,AM[
ϕ là góc nhọn giữa (d), (d
/
) thì :
 cosϕ =
)v,vcos(
/
d
d
ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
 sinϕ =
)n,vcos(
pd

 (d) qua M, vtcp
v
, (P) có pvt
n
:
 (d) cắt (P) ⇔
n.v
≠ 0
 (d) // (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∉ (P)
 (d) ⊂ (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∈ (P)
 (d) qua A, vtcp
v
; (d
/
) qua B, vtcp
'v
:
 (d) cắt (d
/
) ⇔ [
'v,v
] ≠
0
,
AB]'v,v[
= 0

 (d) // (d
/
) ⇔ [
'v,v
] =
0
, A ∉ (d
/
)
 (d) chéo (d
/
) ⇔ [
'v,v
] ≠
0
,
AB]'v,v[
≠ 0
 (d) ≡ (d
/
) ⇔ [
'v,v
] =
0
, A ∈ (d
/
)
 (d) chéo (d
/
) : d(d, d

/
) =
]'v,v[
AB]'v,v[
 (d) chéo (d
/
), tìm đường⊥chung(∆) :tìm
]'v,v[n
=
; tìm(P) chứa (d), //
n
; tìm (P
/
) chứa
(d
/
), //
n
; (∆) = (P) ∩ (P
/
).
 (d) ⊥ (P), cắt (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d
/
).
 (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
 (d) qua A, cắt (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d

/
).
 (d) cắt (d
/
), // (d
//
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d
/
), // (d
//
).
 (d) qua A, ⊥ (d
/
) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d
/
).
 Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
 Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
 Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d
/
) = (P) ∩ (Q)
 Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)// (∆); (d
/
) = (P)
∩ (Q).
2