(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§7 Vị trí tương đối của hai đường tròn
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ7 v ị trí tơng đối của hai đờng tròn
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. ba vị trí tơng đối của Hai đờng tròn

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 117 sgk): Ta gọi hai đờng tròn không trùng nhau là
hai đờng tròn phân biệt. Vì sao hai đờng tròn phân biệt không thể
có quá hai điểm chung ?



Giải
Hai đờng tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung, bởi vì qua ba điểm
thẳng hàng không thể có một đờng tròn, còn qua ba điểm không thẳng hàng chỉ có
một đờng tròn duy nhất.
Nh vậy, hai đờng tròn phân biệt chØ cã thĨ:
 Cã hai ®iĨm chung.
 Cã mét ®iĨm chung duy nhất.
Không có điểm chung.



Chú ý: Hai đờng tròn nếu có nhiều hơn hai điểm chung thì chúng trùng
nhau.

a. Hai đờng tròn có hai điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) với R > r và d = OO. Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn cắt nhau, mỗi điểm chung gọi là một giao ®iĨm.
ThÝ dơ 2: (H§ 1/tr 120 − sgk): Sư dơng bất đẳng thức tam
A
giác trong AOO' ta có:

OA O'A < OO' < OA + O'A,
r
R
tõ ®ã, suy ra ®iỊu kiÖn:
O'
d O
R – r < d < R + r.



NhËn xét: Hai đờng tròn cắt nhau:
1. Có hai tiếp tuyến chung và chúng đồng quy
A
với đờng thẳng OO'.
O
O'
2. Nếu bài toán cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ
thêm dây chung cđa chóng.
ThÝ dơ 3: (H§ 2.a/tr 118 − sgk): Quan sát hình 85, chứng minh rằng OO' là
đờng trung trực của AB.



4

Giải
Gọi I là giao điểm của OO' và AB, ta có ngay:
OA = OB OAB cân tại O
OI là đờng trung trực AB
OO là đờng trung trùc AB.

A
I
O'

O
B


Bài toán: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O', r) với r < R cắt nhau tại A và B.
HÃy dựng tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đó, biết OO' = d.



Giải
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn và M, M' theo thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến
chung với (O; R) và (O', r). Gọi A là điểm đồng quy cđa
hai tiÕp tun víi OO', ta cã:

M
M'
A

AO'
O' M'
r
r
=
=

⇒ AO' = (AO' + O'O).
R
R
AO
OM
rd
AO' =
xác định đợc vị trí của điểm A.
R r

O

O'
N'

N

Khi đó:
Tiếp điểm M' là giao điểm của (O') và đờng tròn đờng kính AO'.
Tiếp điểm M là giao điểm của đờng thẳng AM' và đờng tròn (O).
Cách dựng: Ta thực hiện:


Xác định điểm A trên tia OO' sao cho AO' =

rd
.
R r

Dựng đờng tròn đờng kính AO', đờng tròn này cắt (O') tại M'.

Dựng đờng thẳng AM', đó chính là tiếp tuyến chung cần dùng.
Chøng minh: Ta cã ngay:

AM' O' = 900 ⇒ AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Ngoài ra, ta cũng cã:
rd
AO'
AO'
r
O' M'
=
= R−r =
=
AO' +O' O
rd
R
AO
OM
+d
R−r
⇒ OM // O'M' ⇒ OM AM AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O').
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là tồn tại hai tiếp tuyến chung của (O)
và (O')).



b. Hai đờng tròn chỉ có một điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) với R > r và d = OO. Trờng hợp này gọi là hai
đờng tròn tiếp xúc nhau, và điểm chung duy nhất đợc gọi là tiếp điểm.
Ta có hai khả năng tiếp xúc:

Tiếp xóc ngoµi
TiÕp xóc trong
r
O'

A R
d

O

d=R+r

A r d
O' O

d=R−r
5


Thí dụ 4: (HĐ 2.b/tr 118 sgk): Quan sát hình 86, hÃy dự đoán vị trí của
điểm A đối với đờng nối tâm OO'.



Giải
Dễ thấy A thuộc đờng thẳng OO.

Nhận xét:
Hai đờng tiếp xúc ngoài với nhau có ba tiÕp tun chung.
M
O'




A

A

O

O'

O

Hai ®êng tiÕp xóc trong víi nhau cã một tiếp tuyến chung.
Hai đờng tiếp xúc với nhau mà cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ thêm
tiếp tuyến chung của chúng.

c. Hai đờng tròn không có điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) với R > r và d = OO. Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn không giao nhau.
Ta có hai khả năng:
Ngoài nhau
Trong nhau
r
O'

R
d

A r d
O'

O

O

d
d>R+r



Chú ý:
a. Hai đờng tròn phân biệt cùng tâm (d = 0) gọi là hai đờng tròn đồng
tâm.
b. Hai đờng tròn ngoài nhau có bốn tiếp tuyến chung, trong đó:
Có hai tiếp tuyến chung cắt đoạn OO'.
Có hai tiếp tuyến chung không đoạn cắt OO'.

A

O'

B

O

c. Hai đờng tròn ở trong nhau không có tiếp tuyến chung

6


2. tính chất đờng nối tâm
Tính chất 1:

Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn.

Tính chất 2:

Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì dây cung
A
vuông góc với đờng nối tâm và bị đờng này
I
chia làm hai phần bằng nhau.
O'
O
Cụ thể, theo hình vẽ ta có:
B
OO' AB và IA = IB.
Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối
tâm.
Cụ thĨ, theo h×nh vÏ sau ta cã O, O', A thẳng hàng.

Tính chất 3:

A

O

O'

A

O'

O

Thí dụ 5: (HĐ 3/tr 119 sgk): Cho hình 88.
a. HÃy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O').
b. Chứng minh rằng BC // OO' và ba điểm C, B, D thẳng hàng.



Giải
a. Từ hình vẽ ta thấy ngay (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B.
b. Gọi I là giao điểm của OO' với AB, ta lần lợt:
A
Trong ABC, ta có:
I
O'
O
OI là đờng trung bình
OI // BC ⇔ OO' // BC.
(1)
C

D
B
 Trong ∆ABD, ta cã:
O'I là đờng trung bình O'I // BD OO' // BD.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng (vì cùng thuộc đờng thẳng qua
B song song víi OO').



NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i cđa vÝ dụ trên chúng ta đà tận dụng đầy đủ tính
chất của hai đờng tròn cắt nhau.

3. tổng kết
Ta có bảng sau:

Vị trí tơng đối của hai đờng
tròn (O; R) và (O; r) (R r)
Hai đờng tròn cắt nhau
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau:
Tiếp xúc trong
Tiếp xúc ngoài

Số điểm
chung

Hệ thức giữa OO'
với R và r.

2

1

R r < OO' < R + r

Sè
Ttc
2

OO' = R − r > 0
OO' = R + r

1
3
7


Hai đờng tròn không giao nhau:
(O) chứa (O')
(O) ngoài nhau (O')
Đặc biệt (O) và (O') đồng tâm

0
OO' < R − r
OO' > R + r
OO' = 0

0
4
...

ThÝ dô 6: (Bài 40/tr 123 sgk): Đố: Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe
tròn có răng ca đợc khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh
răng chuyển động đợc ? Trên hình nào hệ thống bánh răng không
chuyển động đợc ?

Hớng dẫn:
Giải Sử dụng h×nh vÏ 99a, 99b, 99c/tr 123 − Sgk
Ta thÊy ngay:
 Hệ thống bánh răng trong hình 99a chuyển động đợc.
Hệ thống bánh răng trong hình 99b không chuyển động đợc.
Hệ thống bánh răng trong hình 99c không chuyển động đợc.

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho đờng (O) đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn

Bài tập 2:
Bài tập 3:
Bài tập 4:

Bài tập 5:

Bài tập 6:

(O) ở C, D.
a. Xác định dạng tứ giác OCDB.
b. Xác định dạng tam giác ACD.
Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính
đoạn nối tâm OO, biết rằng AB = 24cm.
Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và
một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau

tại hai điểm.
Cho hình vuông ABCD. Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng
kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB
tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD.
Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng tròn đờng kính OA.
a. HÃy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn.
b. Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C. Chứng minh
rằng AC = CD.
Cho đờng tròn (O; OA), ®iĨm I thc b¸n kÝnh OA sao cho
1
AI = OA . Vẽ đờng tròn (I; IA).
3

a. Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I).
b. Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thø
tù ë B vµ C. TÝnh tØ sè
8

AB
.
AC


Bài tập 7: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) tiếp xúc với nhau tại A. Vẽ một

cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn tại B và C. Chứng minh rằng các
tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.
Bài tập 8: Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và tiếp xúc
ngoài với nhau đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba

tiếp điểm.
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau. Gọi H là hình
chiếu của O trên a. Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A. Vẽ đờng
thẳng b a tại điểm B trên đờng thẳng a. Đoạn thẳng AB cắt đờng
tròn tại C. Tia OC cắt b tại I. Chứng minh rằng đờng tròn (I; IB)
tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O).
Bài tập 10: Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B (O) , C ∈ (O'). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A
c¾t BC ë I.
·
a. Chøng minh r»ng BAC = 900.
b. Tính số đo góc OIO'.
c. Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.
Bài tập 11: Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở trên đờng tròn đó. Vẽ đờng tròn
(I) đi qua O và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại A. Qua A vẽ tiếp
tuyến chung xy với hai đờng tròn. Dây AC của đờng tròn (O) cắt đờng
tròn (I) tại M. Tia CO cắt đờng tròn tâm I tại N. Đờng thẳng OM cắt
xy và tia AN lần lợt tại B và D. Chứng minh rằng:
a. MA = MC.
b. Tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài tập 12: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng
tròn (O).
a. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b. Tính số đo góc OMO' .
c. Tính diện tích tứ giác BCOO theo R và r.
d. Gọi I là trung điểm của OO. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến
của đờng (I, IM).
Bài tập 13: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng với A, B. Vẽ các đờng tròn (A, AM) và (B, BM). HÃy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn này, từ đó suy ra số tiếp tuyến chung của chúng.

Bài tập 14: Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại
A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB tại B, hai đờng tròn này luôn
luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài
với nhau. Tìm quỹ tích tiếp điểm M của hai đờng tròn.
Bài tập 15: Cho hai đờng tròn đồng tâm O. Dây AB của đờng tròn lớn cắt đờng
tròn nhỏ ở C và D. Chøng minh r»ng AC = BD.

9


bài giảng nâng cao
B. phơng pháp giải toán
Ví dụ 1: Cho đờng (O) đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn

(O) ở C, D.
a. Xác định dạng tứ giác OCDB.
b. Xác định dạng tam giác ACD.

Hớng dẫn: Với giả thiết, ta khẳng định đợc hai đờng



C

A

O

H

B

tròn là bằng nhau, từ đó:
D
Với câu a), ta nhận đợc một tứ giác với bốn cạnh bằng nhau nên
nó là hình thoi.
Với câu b), cần đi chứng minh ABC vuông bằng việc sử dụng
tính chất đờng trung tuyến, tiếp đó tính đợc số đo góc BAC và
DAC để dẫn tới khẳng định ACD đều.

Giải
a. Ta có ngay:
OC = OD = OB vµ BC = BD = BO ⇒ OC = CB = BD = DO
OCDB là hình thoi.
b. Trong ∆ABC, ta cã:
1
Trung tuyÕn CO vµ CO = AB ABC vuông tại C.
2
1
BC =
AB BÂC = 300 CÂD = 600 ACD đều.
2
Ví dụ 2: (Bài 34/tr 119 sgk): Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O; 15cm) cắt
nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO, biết rằng AB = 24cm.

Hớng dẫn:

Xét hai trờng hợp: O và O' nằm khác phía ®èi víi AB; O vµ O' n»m
cïng phÝa ®èi víi AB. Và sử dụng định lí Pytago cho các tam giác
vuông tơng ứng, bởi:

OO = OI + IO, với I là trung điểm của AB.



Giải
Gọi I là giao điểm của AB và OO' thì IA = IB = 12cm, xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Khi O và O' nằm khác phía đối với AB, ta lần lợt:
Trong OAI, ta cã:
A
IO2 = OA2 − IA2 = 202 − 122 = 256
I
O'
⇔ IO = 16cm.
B
 Trong ∆O'AI, ta cã:
2
2
2
2
2
O'I = O'A − IA = 15 − 12 = 81 ⇔ IO = 9cm.
10

O


Khi ®ã:
OO' = IO + IO' = 16 + 9 = 25cm.
Trờng hợp 2: Khi O và O' nằm cùng phía đối với AB.
Độ dài IO và IO' đợc tính ®óng nh trong trêng hỵp 1.

Khi ®ã:
OO' = IO − IO' = 16 9 = 7cm.



A
I

O'

O

B

Chú ý: Bài toán ngợc là cho biết độ dài của OO và yêu cầu tính AB:

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O. 17cm) và (O; 10cm) cắt nhau tại A
và B. Biết OO = 21cm. Tính AB.



A

Giải
I
O'
O
Gọi I là giao điểm của AB vµ OO', suy ra:
AB = 2AI vµ AI ⊥ OO'.
B

Trong ∆OAO', ta cã:
1
S∆OAO' = p(p − a)(p − b)(p − c) = AI.OO'
2
2 p(p − a)(p − b)(p − c)
2 24.3.14.7
AI =
=
= 8cm.
21
OO'
Vậy, ta đợc AB = 16cm.
Bài 2: Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tai A và B, trong đó OA là
tiếp tuyến của đờng tròn (O’). TÝnh d©y cung AB biÕt OA = 20cm,
O’A = 15cm.



Giải
A
Gọi I là trung điểm của AB, suy ra:
I
O'
AB = 2AI và AI OO'.
Trong OAO' vuông tại A, ta cã:
B
1
1
1
S∆OAO' = OA.O'A = AI.OO' = AI. OA 2 + O'A 2

2
2
2
OA.O 'A
20.15
⇔ AI =
=
= 12cm.
2
2
OA + O 'A
202 + 152
Vậy, ta đợc AB = 24cm.

O

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và

một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau
tại hai điểm.

Hớng dẫn: Sử dụng các kiến thức:

Vị trí tơng đối của một điểm với đờng tròn.
Hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác.
Để từ đó nhận đợc bất đẳng thức |R  r| < OO' < R + r.




11




Giải
Giả sử đờng (O) đi qua A và B, trong đó A ở bên ngoài (O), B ở bên trong (O).
Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của các đờng tròn (O), (O).
Ta có:
OA = OB = R, O’A > r vµ O’B < r.
XÐt ∆OO’B ta cã:
A
OO’ ≤ OB + O’B < R + r .
(1)
R
 NÕu R ≥ r th× trong ∆OO’B, ta cã:
B
d
OO’ ≥ OB – O’B > R – r.
(2)
O'
O
 NÕu r ≥ R th× trong ∆OO’A, ta cã:
OO’ ≥ O’A – OA > r R
(3).
Từ đó ta đợc:
R r < OO' < R + r Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng

kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB

tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD.

Hớng dẫn: Trớc tiên, các em cần đọc kĩ đầu bài để thực hiện đúng việc vẽ hình.
Tiếp theo, ta sử dụng suy luận ngợc:
M là trung điểm AB

1
1
AB = BC = CI, I là trung ®iĨm BC
2
2
⇔ ∆CDI = ∆BCM, ®iỊu nµy ®óng theo g.c.g.
Nh vậy, chỉ cần trình bày theo chiều ngợc lại ta có đợc lời giải trong
việc chứng minh M là trung điểm của AB. Tơng tự ta có cách chứng
minh N là trung điểm của AD.
BM =



12

Giải
Gọi I là trung điểm của BC.
Xét hai tam giác vuông CDI và BCM, ta có:
CD = BC, vì hai cạnh hình vuông
Ã
Ã
CDI = BCM , góc có cạnh tơng ứng vuông góc
do đó:

CDI = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)
1
1
BM = CI = BC = AB M là trung điểm AB.
2
2
Chứng minh tơng tự, ta cũng có:
ABN = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)

I

B
M

A

C

N

D

E


AN = BM =



1

AD N là trung điểm AD.
2

Chó ý: VÝ dơ tiÕp theo sÏ minh ho¹ viƯc sử dụng tính chất của hai đờng
tròn tiếp xúc với nhau.

Ví dụ 5: (Bài 36/tr 123 sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng

tròn đờng kính OA.
a. HÃy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn.
b. Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng trßn nhá ë C. Chøng minh
r»ng AC = CD.

 Híng dẫn: Sử dụng tính chất của hai đờng tròn tiếp xúc


với nhau.

D
C

Giải
A
O'
a. Gọi O' là trung điểm của OA, nhận xÐt r»ng:
OO' = OA − O'A = R − r
⇔ Hai đờng tròn tiếp xúc trong với nhau.
b. Trong OAD, ta cã:
O 'C
r

O 'A
=
=
⇒ O'C // OD ⇒ O'C lµ đờng trung bình
OD
R
OA
C là trung điểm AD AC = CD.

O

Ví dụ 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuéc b¸n kÝnh OA sao cho
1
AI = OA . Vẽ đờng tròn (I; IA).
3

a. Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I).
b. Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thø tù ë B
vµ C. TÝnh tØ sè

AB
.
AC

 Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ 6.
 Gi¶i

D IO
A
H

B

a. Ta cã:
C
OI = OA – IA ⇔ (O) vµ (I, IA) tiÕp xóc trong với nhau.
b. Kẻ OH vuông góc với CD, ta đợc CH = AH
Mặt khác, ta có:
0

ABD = 90 BD ⊥ AB ⇒ BD // OH
AB AD 2
AB
2
AB 1
=
= ⇔
=
= .
⇒
⇔
AH AO 3
2AH 2.3
AC 3
13


VÝ dơ 7: (Më réng bµi 33/tr 119 − Sgk): Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r)

tiếp xúc với nhau tại A. Vẽ một cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn tại B

và C. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.

Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 6. Tuy nhiên, trong bài toán này chúng ta cần xét hai
trờng hợp tiếp xúc của (O) và (O').



Giải
C
B
Xét hai khả năng tiếp xúc của (O; R) và (O', r).
Trờng hợp 1: Nếu (O; R) vµ (O', r) tiÕp xóc trong víi nhau
A
O' O
Trong OAC, ta có:
O 'B
r
O 'A
=
=
O'B // OC.
OC
R
OA
Nên các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau vì chúng vuông góc với O'B và
vuông góc với OC.
Trờng hợp 2: Nếu (O; R) và (O', r) tiếp xúc ngoài với nhau
B
Ta có:
A

O
O'
O 'B
r
O 'A
=
=
O'B // OC.
OC
R
OA
Nên các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau vì chúng vuông góc với O'B và
vuông góc với OC.
Ví dụ 8: Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và tiếp xúc

ngoài với nhau đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba
tiếp điểm.

Hớng dẫn: Sử dụng tính chất tiếp xúc ngoài của hai đờng tròn để khẳng định đợc
rằng O1O2O3 đều với cạnh 2R, từ đó suy ra diện tÝch cđa nã.



Gi¶i

XÐt ∆O1O2O3, ta cã:
O1O2 = O2O3 = O3O1 = 2R
O1O2O3 đều và có cạnh bằng 2R
do đó:

R

O1

R
R

R

O3

R

R

O2

2
SO1O2O3 = (2R) 3 = R2 3 .
4

VÝ dô 9: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau. Gọi H là hình

chiếu của O trên a. Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A. Vẽ đờng
thẳng b a tại điểm B trên đờng thẳng a. Đoạn thẳng AB cắt đờng
tròn tại C. Tia OC cắt b tại I. Chứng minh rằng đờng tròn (I; IB)
tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O).
14

Hớng dẫn: Trớc tiên, các em cần đọc kĩ đầu bài để thực hiện đúng việc vẽ hình.
Tiếp theo, sử dụng sự đồng dạng của hai tam giác để chứng minh
IC = IB, từ đó nhận đợc các kết quả cần chứng minh.



Giải
Nhận xét rằng:
A
OA // IB, vì cùng vuông góc với a
OAC và IBC đồng dạng
OA OC
IB OA
O
=
=


= 1 IB = IC.
C
IB
IC
IC OC
Khi đó:
H
Vì IB a nên (I, IB) tiếp xúc với a.
Vì IO = IC + OC = OC + IB nªn (I, IB) tiÕp xóc víi (O).

b

I

B

a

VÝ dơ 10:

(Bµi 39/tr 123 − sgk): Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc
ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O) , C (O'). Tiếp
tuyến chung trong tại A cắt BC ë I.
·
a. Chøng minh r»ng BAC = 900.
b. TÝnh số đo góc OIO'.
c. Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:





B

Với câu a), ta đi chứng minh ABC vuông
I
C
tại A bằng viƯc sư dơng tÝnh chÊt hai tiÕp
O' A O
tun c¾t nhau kết hợp với đờng trung

tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác
vuông.
Với câu b), sử dụng tính chất là tia phân giác với hai tiếp tuyến
cắt nhau.
Với câu c), sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng
ứng.



Giải
a. Trong ABC, ta có:
IA = IB Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau với đờng tròn (O).
IA = IC − TÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau víi đờng tròn (O').
Từ đó, suy ra:
1
Ã
IA là trung tuyến và IA = BC ABC vuông tại A BAC = 900.
2
b. Ta cã:
1·
1·
1 ·
1·
0
·
·
·
·
OIO ' = OIA + AIO ' = CIA + AIB = CIA + AIB = CIB = 90 .
2

2
2
2
c. Trong các tam giác vuông IAO, IAO' vµ OIO', ta cã:

(

)

15


 IA 2 = OI2 − OA 2

 2
2
2
 IA = O 'I − O 'A

⇒ 2IA2 = (OI2 + O'I2) − (OA2 + O'A2) = O'O'2 − (OA2 + O'A2)
= (O'A + OA)2 − (OA2 + O'A2) = 2O'A.OA = 2.9.4 = 72
⇔ IA2 = 36 ⇔ IA = 6cm ⇒ BC = 2IA = 2.6 = 12cm.
VÝ dô 11:

Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở trên đờng tròn đó. Vẽ đờng
tròn (I) đi qua O và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại A. Qua A
vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đờng tròn. Dây AC của đờng tròn
(O) cắt đờng tròn (I) tại M. Tia CO cắt đờng tròn tâm I tại N. Đờng
thẳng OM cắt xy và tia AN lần lợt tại B và D. Chứng minh rằng:
a. MA = MC.

b. Tứ giác ABCD là hình thoi.

Hớng dẫn: Trớc tiên, các em cần đọc kĩ đầu bài để thực hiện đúng việc vẽ hình.
Tiếp theo, ta cần đi chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành có
hai đờng chéo vông góc víi nhau.



Gi¶i
a. NhËn xÐt r»ng:
ˆ
OMA = 900 ⇒ OM ⊥ AC ⇒ MA = MC, ®pcm.
xy
A
b. NhËn xÐt r»ng:
N
ˆA = 900 ⇒ DM ⊥ AC.
OM
I
ˆ
ONA = 900 ⇒ CN ⊥ AD.
M
O
Suy ra, O là trực tâm ACD, do đó:
C
D
CD AO CD // AB.
Xét hai tam giác vuông MAB và MCD, ta có:

MA = MC; MÂB = MCD , so le trong

do đó:
CDI = BCM (cạnh góc vuông và gãc nhän) ⇒ AB = CD.
Nh vËy, tø gi¸c ABCD có:

B

//

AB =CD và AC BD ABCD nên nó là hình thoi.
Ví dụ 12:

Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại
A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O).
a. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b. Tính số đo góc OMO' .
c. Tính diện tích tứ giác BCOO theo R và r.
d. Gọi I là trung điểm của OO. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến
của đờng (I, IM).

16




Giải
a. Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong, cắt BC t¹i M, ta cã:

 MA = MB tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña (O, R)


 MA = MC tÝnh chÊt tiÕp tun cđa (O' , r)

M

C

B
H

O'

A I

O

1
BC.
2
Tøc lµ, ∆ABC cã trung tuyến AM ứng với cạnh BC bằng nửa cạnh đó nên là tam
giác vuông.
b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
)
MO là tia phân giác của góc AMB .
)
MO là tia phân giác của góc AMC .
Suy ra:
0
·
OMO ' = 90 (bëi nã hỵp bëi hai tia phân giác của hai góc kề bù)

MA = MB = MC =

c. Tø gi¸c BCO’O cã OB// OC (vì cùng vuông góc với BC) nên tứ giác này là
hình thang, do đó:
1
SBCO 'O = (OB + O 'C)BC.
2
Hạ OD vuông góc với OB, suy ra tứ giác BCOH là hình chữ nhật nên:
BC = OH.
Trong OOH ta cã:

O’H2 = OO’2 – OH2 = (R + r)2 – (R – r)2 = 4Rr ⇒ O'H = 2 Rr .
Vậy, ta đợc:
1
SBCO 'O = (R + r).2 Rr = Rr (R + r).
2
d. Ta có ngay IM là đờng trung bình của hình thang BCOO, do đó:
IM // OB IM BC.
Vậy, BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I, IM).



Nhận xét:
1. Ta cũng có OO' là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính BC.
2. Chúng ta ®· biÕt r»ng " NÕu ®êng th¼ng d ®i qua một điểm ở bên

trong đờng tròn (O) thì nó cắt đờng tròn này " và câu hỏi đợc đặt ra ở
đây là nếu thay đờng thẳng d bằng một đờng tròn thì có thể kết luận
đợc gì về vị trí tơng đối của hai đờng tròn này. Ví dụ tiếp theo sẽ minh
hoạ nhận định này.

17


Ví dụ 13: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng với A, B. Vẽ các đ-



ờng tròn (A, AM) và (B, BM). HÃy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn này, từ đó suy ra số tiếp tuyến chung của chúng.
Giải

Để xét vị trí tơng đối của hai đờng tròn (A, AM) và đờng tròn (B; BM), ta phải xét
các trờng hợp vị trí của điểm M đối với đoạn thẳng AB.
Trờng hợp 1: Điểm M nằm giữa A và B, ta có:
AB = AM + MB ⇔ d = R + r.
VËy, hai đờng tròn tiếp xúc ngoài với nhau và do
đó chúng có ba tiếp tuyến chung.

N

A

B

M

Trờng hợp 2: Điểm M nằm trên tia đối của tia AB
(hoặc tia đối của tia BA), ta cã:
d
AB = BM − AM ⇔ = R − r

AB = AM − BM ⇔ = r − R
d


M

Vậy, hai đờng tròn tiếp xúc trong với nhau và do đó
chúng có một tiếp tuyến chung.

A

Trờng hợp 3: Điểm M nằm ngoài đờng thẳng AB, ta có:
MB MA< AB < MB + MA
⇔ | R – r | < d < R + r.
Vậy, hai đờng tròn cắt nhau và do đó chúng có
hai tiếp tuyến chung.



B

A

B

M

M

C

A

B

Nhận xét: Để tránh bỏ sót trờng hợp, các em học sinh hÃy nhớ lại vị trí tơng đối của điểm và đờng thẳng, cụ thể với điểm M và đờng
thẳng AB (M kh«ng trïng víi A, B) cho tríc, ta cã:
1. Nếu M thuộc đờng thẳng AB, khi đó:
M nằm giữa A và B.
A nằm giữa M và B.
B nằm giữa M và A.
2. M không thuộc đờng thẳng AB.

Ví dụ 14:

Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB
tại A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB tại B, hai đờng tròn này luôn
luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài
với nhau. Tìm quỹ tích tiếp điểm M của hai đờng tròn.

Hớng dẫn: Sử dụng đúng lợc đồ giải bài toán quĩ tích.
Giải
Phần thn: Dùng tiÕp tun chung d t¹i M cđa hai đờng tròn, giả sử d cắt AB tại
I.
18


Trong MAB, ta có:
d
IA = IM, vì IA, IM đều là tiếp tuyến của (O)
IB = IM, vì IB, IM đều là tiếp tuyến của (O')

M
O
O'
suy ra:
1
A
IM =
AB
I
B
2
MAB vuông tại M (vìcó trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
M thuộc đờng tròn (AB).
Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đờng tròn (AB). Ta thực hiện dựng:
Dựng đờng thẳng m qua M và vuông góc với IM.
Dựng tia phân giác Ix của góc A , tia Ix cắt m tại O. Dựng đờng tròn
IM
(O, OM), ta thấy ngay:
ˆ
∆OMI = ∆OAI (c.g.c) ⇒ O¢I = OMI = 900 ⇔ OA ⊥ AB
⇔ (O, OM) tiÕp xóc víi AB tại A.
Dựng tia phân giác Iy của góc B , tia Iy cắt m tại O'. Dựng đờng tròn
IM
(O', O'M) , ta thÊy ngay:
ˆ
ˆ
∆O'MI = ∆O'BI (c.g.c) ⇒ O' BI =O' MI = 900 ⇔ OB ⊥ AB
⇔ (O', O'M) tiếp xúc với AB tại B.
Trong cách dựng trên, ta thÊy ngay (O) vµ (O') tiÕp xóc víi nhau.
KÕt luận: Quỹ tích của điểm M là đờng tròn (AB).

Ví dụ 15:

(Bài 37/tr 123 sgk): Cho hai đờng tròn đồng tâm O. Dây AB
của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng
AC = BD.

Hớng dẫn: Sử dụng quan hệ vông góc giữa đờng kính và dây.
Giải
Gọi H là trung điểm của AB (HA = HB), suy ra:
OH ⊥ AB ⇔ OH CD
H là trung điểm CD (HC = HD).
Khi ®ã:
AC = HA − HC = HB − HD = BD.



O

A

H C
D

B
Chú ý: Ta xét bài toán mở rộng sau:
Bài: Cho đờng tròn (O) và một điểm A trên đờng tròn đó. Trên bán kính OA
1
lấy điểm B sao cho OB = OA. Vẽ đờng tròn đờng kính AB.
3
a. Chứng minh rằng đờng tròn đờng kính AB tiếp xúc với đờng tròn (O)

cho trớc.
b. Vẽ đờng tròn đồng tâm O với đờng tròn (O) cho trớc, cắt đờng tròn đờng
kính AB tại C. Tia AC cắt hai đờng tròn đồng tâm tại D và E (D nằm
giữa C và E). Chøng minh r»ng AC = CD = DE.
19




Giải
a. Gọi I là trung điểm AB, ta có:
OI = OA – IA
⇔ (O) vµ (AB) tiÕp xóc trong víi nhau.
b. Kẻ OH vuông góc với CD, ta đợc:
CH = DH và AH = EH
do đó:
AC = AH CH = EH DH = ED.
Mặt khác, ta có:

OB

E

A

H C
D

AC AB 1
0

·
=
=
ACB = 90 ⇔ BC ⊥ AC ⇒ BC // OH ⇒
CH BO 2
⇔ AC = 2CH = CD.
VËy, ta đà chứng minh đợc AC = CD = DE.

bài tập lần 2
Bài tập 1. Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và tiếp xúc ngoài với
nhau đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
Bài tập 2. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Gọi M là trung điểm của AB.
a. Vẽ các đờng tròn (A; a) và (B; a). Chứng minh rằng hai đờng tròn này tiếp xúc
ngoài với nhau.
b. Vẽ một đờng tròn tâm M cắt hai đờng tròn (A) và (B) lần lợt tại C, D, E, F (C
và F cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng tứ giác CDEF là
hình chữ nhật.
c. Xác định bán kính của đờng tròn (M) để cho tứ giác CDEF là hình vuông.
Bài tập 3. Cho ®êng (O) ®êng kÝnh AB. VÏ ®êng trßn (B; BO), cắt đờng tròn (O) ở
C, D.
a. Xác định dạng tứ giác OCDB.
b. Xác định dạng tam giác ACD.
Bài tập 4. Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tai A và B, trong đó OA là tiếp tuyến của
đờng tròn (O’). TÝnh d©y cung AB biÕt OA = 20cm, O’A = 15cm.
Bài tập 5. Cho hai đờng tròn (O. 17cm) và (O; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết
OO = 21cm. Tính AB.
Bài tập 6. Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của
OO. Qua A, kẻ đờng thẳng vuông góc với AM, cắt các đờng tròn (O) và (O) ë C vµ
D. Chøng minh r»ng AC = AD.

20


1
3

Bài tập 7. Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuéc b¸n kÝnh OA sao cho AI = OA .
VÏ đờng tròn (I, IA).
a. Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I).
b. Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thứ tù ë B vµ C.
AB
TÝnh tØ sè
.
AC
Bµi tËp 8. Cho đờng tròn (O) và một điểm A trên đờng tròn đó. Trên bán kính OA
1
lấy điểm B sao cho OB = OA. Vẽ đờng tròn đờng kính AB.
3
c. Chứng minh rằng đờng tròn đờng kính AB tiếp xúc với đờng tròn (O) cho trớc.
d. Vẽ đờng tròn đồng tâm O với đờng tròn (O) cho trớc, cắt đờng tròn đờng kính AB
tại C. Tia AC cắt hai đờng tròn đồng tâm tại D và E (D nằm giữa C và E). Chøng
minh r»ng AC = CD = DE.
Bµi tËp 9. Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau. Gọi H là hình chiếu
của O trên a. Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A. Vẽ đờng thẳng b a tại điểm B
trên đờng thẳng a. Đoạn thẳng AB cắt đờng tròn tại C. Tia OC cắt b tại I. Chứng minh
rằng đờng tròn (I; IB) tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O).
Bài tập 10. Cho hình vuông ABCD. Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng kính
BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại
N. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD.
Bài tập 11. Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở trên đờng tròn đó. Vẽ đờng tròn (I)

đi qua O và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại A. Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với
hai đờng tròn. Dây AC của đờng tròn (O) cắt đờng tròn (I) tại M. Tia CO cắt đờng
tròn tâm I tại N. Đờng thẳng OM cắt xy và tia AN lần lợt tại B và D. Chứng minh
rằng:
a. MA = MC.
b. Tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài tập 12. Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, vẽ
đờng tròn O tiếp xúc với AB tại B, hai đờng tròn này luôn luôn thuộc cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Tìm quỹ tích tiếp điểm M của hai
đờng tròn.
Bài tập 13. Cho đoạn thẳng OO = 4cm. Vẽ đờng tròn (O; 2cm) và (O; 1cm).
a. HÃy xác định vị trí tơng đối giữa hai ®êng trßn ®ã.
b. Dùng ®êng trßn (I; 1,5cm) tiÕp xóc ngoài với hai đờng tròn (O) và (O).
Bài tập 14. Cho trớc đờng tròn (O, 2cm) và đờng thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Dựng
đờng tròn (I; 1cm) tiếp xúc với đờng tròn (O) và tiếp xúc với xy.

21


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1050.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

22