MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ.doc

MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ
Với mọi số thực a, b, c, ta có :
(a + b)(a + c) = a
2
+ (ab + bc + ca)
= a(a + b + c) + bc (*).
Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay :
Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì
a
2
+ 1 = (a + b)(a + c).
Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì
a + bc = (a + b)(a + c).
Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên.
Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị
của biểu thức :
Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có
a
2
+ 1 = a
2
+ (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ;
b
2
+ 1 = b
2
+ (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ;
c
2
+ 1 = c
2

+ (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b).
Suy ra
Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)
= 2(ab + bc + ca) = 2.
Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức.
Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứng minh
rằng :
Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc :
1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥
b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a
2
;
(ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2
1 = (a + b)( a + c) = a
2
+ (ab + bc + ca) =
Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
:
Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a
2
+ ab ; a
2
+ ac :
Tương tự ta có
Từ các kết quả trên ta suy ra :
Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã được
viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c)).
Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Tương tự ta có
Từ các kết quả trên ta suy ra :
Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập :
Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trị của
biểu thức :
Bài tập 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
Bài tập 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
(a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)
2
.