hàm số và PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12

Cơ sở 1 số 1/31 Nguyễn Chí Thanh, Ba Đình,HN- Cơ Sở 2 số 34 Hoàng Hoa Thám, Hà Đông,HN

Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323
Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Có đồ thị là một đường hình sin
Hàm số y = cot x

Có tập xác định là D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

•
•
•
•

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Nghịch biến trên mỗi khoảng
( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ

•

Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng
x = kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

Ô
̣I

•

x=

2

ẦY

π

TH

•

PH
Ư

Ơ

•
•
•
•

•

π

Có tập xác định là D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ
2
 2

Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng

Là hàm số chẵn
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
( −π + k 2π ; k 2π ) và nghịch biến trên
mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ

π

3π
mỗi khoảng  + k 2π ;
+ k 2π  , k ∈ ℤ

2
2

Có đồ thị là một đường hình sin
Hàm số y = tan x

À
N

•

•

H

•

•
•

Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + k 2π ; + k 2π  và nghịch biến trên
2
 2


G

•
•
•

•
•

Hàm số y = cos x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

N

•
•

Hàm số y = sin x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

+ kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Tập xác định của hàm số
- Hàm số xác định với một điều kiện
- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện
- Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định là ℝ

- Hàm số y = tan x xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ; Hàm số y = cot x xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0
Lưu ý:
1
π
π
sin u = 1 ⇔ u = + k 2π
sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π
sin u = 0 ⇔ u = kπ
2
2
2
π
cos u = 0 ⇔ u = + kπ
cos u = 1 ⇔ u = k 2π
cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π
2
3
π
π
tan u = 1 ⇔ u = + kπ
tan u = −1 ⇔ u = − + kπ
tan u = 0 ⇔ u = kπ
4
4
4
π
π
π
cot u = 1 ⇔ u = + kπ
cot u = −1 ⇔ u = − + kπ

cot u = 0 ⇔ u = + kπ
4
4
2
1
- Hàm số y =
xác định khi và chỉ khi A ≠ 0
A
- Hàm số y = A xác định khi và chỉ khi A ≥ 0

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

1


1
xác định khi và chỉ khi A > 0
A
Tìm tập xác định các hàm số sau:

- Hàm số y =
Bài 1.

a) y =

1 + cos x
sin x

b) y =

1 + sin x
cos x

c) y =

1 + cos x
1 − cos x

d) y = 3 − sin x

HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π

π

+ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2
2


1 + cos x
≥ 0 . Vì 1 + cos x ≥ 0 nên điều kiện là 1 − cos x > 0 hay
1 − cos x
1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

d) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên 3 − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy D = ℝ
Bài 2. Tìm tập xác định các hàm số sau:



π
π
π
a) y = tan  x − 
b) y = cot  x + 
c) y = tan  2 x + 
3
6
3




d) y = tan x + cot x

HD Giải

À
N

Ô
̣I


5π

π
π π
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ kπ , k ∈ ℤ .
3
3 2
6

 5π

Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
 6


TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H



π
π
π
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin  x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ .
6
6
6

 π

Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ 
 6


π
π π
π kπ
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  2 x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠
+
,k ∈ℤ .
3
3 2
12 2

 π kπ

Vậ y D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
12 2


cos x ≠ 0
kπ
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi 
⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
,k ∈ℤ .
2
sin x ≠ 0
 kπ

Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

Bài 3.

Tìm tập xác định các hàm số sau:
2x
x
a) y = cos
b) y = tan
x −1
3
1
d) y = sin 2
e) y = cos x + 1
x −1

f) y =

2

cos x − cos3x

1 − sin x
3sin x − 7
i) y =
1 + cos x
2 cos x − 5
HD Giải
2x
2x
a) Ta có y = cos
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
x −1
x −1
g) y =

3
sin x − cos2 x

c) y = cot2x

2

h) y =

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

2

2x
là D = ℝ \ {1}
x −1
x
x
x π
3π
b) Hàm số y = tan xác định khi và chỉ khi cos ≠ 0 ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ k 3π , k ∈ ℤ .
3
3
3 2
2
 3π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ 
2


Vậy tập xác định của hàm số y = cos

 kπ

c) Tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

d) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {−1;1}

e) Ta có cos x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ

f) Ta có cos x − cos3 x = −2 sin 2 x sin(− x ) = 4 sin 2 x cos x .
 kπ

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

 π kπ

g) Ta có sin 2 x − cos2 x = − cos 2 x . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
4 2

h) Ta có 1 − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ 0 . Do đó hàm số xác định ∀x ∈ ℝ khi cos x ≠ −1 . Vậy tập xác định của
hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ}
i) Ta có 3sin x − 7 < 0, 2 cos x − 5 < 0 nên

À
N

1+ x
1− x

b) y = sin

2 − cos x

π
1 + tan  x − 
3


PH
Ư

e) y =

ẦY

cot x
cos x − 1

TH

d) y =

Ơ

N

G

a) y = cos x

Ô
̣I

Tìm tập xác định các hàm số sau:
H

Bài 4.

3sin x − 7
> 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
2 cos x − 5

1 − cos 2 x
1 + cos2 2 x
tan x + cot x
f) y =
1 − sin 2 x

c) y =

HD Giải
a) Ta có y = cos x xác định trên ℝ khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số D = [0; +∞)

x ∈ℝ ⇔ x ≥ 0 .

1+ x
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
1− x
Vậy tập xác định của hàm số D = [−1;1)

b) Ta có y = sin

1+ x
1+ x
∈ℝ ⇔
≥ 0 ⇔ −1 ≤ x < 1 .
1− x

1− x

c) Ta có 1 − cos 2 x ≥ 0,1 + cos2 2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
sin x ≠ 0
 x ≠ kπ
cot x
d) Hàm số y =
xác định ⇔ 
⇔
⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ .
cos x − 1
cos x ≠ 1  x ≠ k 2π
Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

 
π

5π
cos  x −  ≠ 0
x≠
+ kπ

3
2 − cos x
 


6
e) Hàm số y =
xác định ⇔ 

⇔
;k ∈ℤ .

π
π


π
tan x −
x ≠
1 + tan  x − 
+ kπ

≠0


3

12
3



 
  5π

 π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 
 12


 6


“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

3



kπ
cos x ≠ 0
x≠

tan x + cot x


2
f) Hàm số y =
xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ 
;k ∈ℤ.
1 − sin 2 x
π
sin 2 x ≠ 1  x ≠ + kπ


4
  kπ   π



Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 

 2   4

Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x )
Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1)
Tính f (− x ) và so sánh f (− x ) với f ( x ) :
Nếu f (− x ) = f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn
(2)
Nếu f (− x ) = − f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ
(3)
Do vậy
Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D
Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D
Để kết luận f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao

c) y = 1 − cos x
f) y = sinx – cosx

G

H

À
N

Ô
̣I

cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) và f (− x0 ) ≠ − f ( x0 )
Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG
Bài 1. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
cos x
a) y =
b) y = x – sinx
x
 3π

d) y = 1 + cos x.sin 
− 2x 
e) y = sinx.cos2x + tanx
2


Ơ

N

tan x + cot x
sin x
HD Giải
PH
Ư

h) y =

TH

ẦY

g) y = sin 3 x − tan x

cos x
có tập xác định D = ℝ \ {0} . Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
x
cos(− x )
cos x
cos x
f (− x ) =
=−
= − f ( x ) . Vậy hàm số y = f ( x ) =
là hàm số lẻ.
(− x )
x
x
b) Hàm số lẻ
c) Là hàm số chẵn
d) Là hàm số chẵn
e) Là hàm số lẻ
f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ .

a) Hàm số y = f ( x ) =

π  1
π 
 π
3  π
1
3

ta có : f   = −
; f −  = − −
. Suy ra f   ≠ f  − 
6
2 2
6 2 2
 6
6
 6
Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x là hàm số không chẵn, không lẻ
g) Là hàm số lẻ
h) Là hàm số lẻ
Lấy x =

π

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m.
Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = M thì M gọi là GTLN của hàm số y = f ( x ) trên D và
kí hiệu Max y = M
D

Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = m thì m gọi là GTNN của hàm số y = f ( x ) trên D và kí
“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

4


hiệu Min y = m
D

Chú ý:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

Bài 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y = 2 cos x + 1

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1

b) y = 3 − 2 sin x

π

d) y = 3sin  x −  − 2
6


HD Giải
cos x ≥ 0
a) y = 2 cos x + 1 . Điều kiện: 
⇔ 0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ
−1 ≤ cos x ≤ 1
Ta có: 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 cos x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
b) y = 3 − 2 sin x . Tập xác định: D = ℝ
Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2 sin x ≥ −2 ⇔ 2 + 3 ≥ 3 − 2 sin x ≥ −2 + 3 ⇔ 5 ≥ 3 − 2 sin x ≥ 1 hay 5 ≥ y ≥ 1
Min y = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
ℝ

Vậy:

Max y = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −
ℝ

Min y = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =
ℝ

π
2

π

2

+ k 2π , k ∈ ℤ

+ k 2π , k ∈ ℤ
À
N

Ô
̣I

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ

PH
Ư

Ơ

N

G

H

Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 4
TH

ẦY

⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 (1 + cos x ) + 1 ≤ 3

Vậy:

Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Min y = 1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
π


π
a) y = 2 cos  + x  + 3
b) y = cos x + cos  x − 
3
3



Bài 2.

d) y = cos 2 x + 2 cos 2 x

e) y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x
HD Giải

c) y = 3 − 2 sin x
2
f) y = 2 sin x − cos 2 x

π

a) Hàm số y = 2 cos  + x  + 3 có tập xác định là D = ℝ .
3

π

π

π

Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos  + x  ≤ 2 ⇔ −1 + 3 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 2 + 3
3

3

3

π

⇔ 1 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5
3

π

π
Vậy: Max y = 5 khi cos  + x  = 1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3

3

π

2π
Min y = −1 khi cos  + x  = −1 ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3


“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

5



π
b) Hàm số y = cos x + cos  x −  có tập xác định là D = ℝ .
3




π
π
π
π
Ta có cos x + cos  x −  = 2 cos  x −  cos = 3 cos  x −  .

3
6
6
6




π
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: − 3 ≤ 3 cos  x −  ≤ 3 hay − 3 ≤ y ≤ 3
6


π
π
Vậy: GTLN của y là 3 , đạt đựơc khi cos  x −  = 1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ
6
6


7π
π
GTNN của y là − 3 , đạt được khi cos  x −  = −1 ⇔ x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ
6
6

c) Hàm số y = 3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin x = ±1 ⇔ x = ±

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
d) Hàm số y = cos2 x + 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
1 + cos 2 x
1 + 5 cos 2 x
+ 2 cos 2 x =
.
2
2
1 + 5 cos 2 x
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −2 ≤
≤ 3.
2
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
G

H

À
N

Ô
̣I

Ta có cos2 x + 2 cos 2 x =

π
2

+ kπ , k ∈ ℤ

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

GTNN của y là -2, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =
TH

e) Hàm số y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x có tập xác định là D = ℝ .
1
5 − 2 cos2 x.sin 2 x = 5 − sin 2 2 x .
2

Ta có

Vì 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên −
Vậy: GTLN của y là

1
1
9

1
3 2
≤ − sin 2 2 x ≤ 0 ⇔ ≤ 5 − sin2 2 x ≤ 5 hay
≤y≤ 5.
2
2
2
2
2

5 , đạt được khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

π kπ
3 2
, đạt được khi sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = ±1 ⇔ x = ± +
,k ∈ℤ
2
4 2
f) Hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x = 1 − 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có −1 ≤ 1 − 2 cos 2 x ≤ 3
GTNN của y là

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là -1, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =

Bài 3.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 3 + sin x cos x
d) y =

3
5 − sin 2 x

b) y = 4 − 2 cos2 x

( )

e) y = 1 − sin x 2 − 1

c) y =

2
3 + cos x

f) y = 4sin x

HD Giải
“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

6


7
π

, đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
2
4
5
π
GTNN của y là , đạt được khi x = − + kπ , k ∈ ℤ
2
4

a) GTLN của y là

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là 2, đạt được khi x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
2
c) Hàm số y =
có tập xác định là D = ℝ .
3 + cos x
1
1
1
1
2
Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 3 + cos x ≤ 4 ⇔ ≤
≤ ⇔ ≤
≤1
4 3 + cos x 2
2 3 + cos x

GTLN của y là 1, đạt được khi x = π + k 2π , k ∈ ℤ
1
GTNN của y là , đạt được khi x = k 2π , k ∈ ℤ
2
π
3
d) GTLN của y là , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
4
2
3
GTNN của y là , đạt đươc khi x = kπ , k ∈ ℤ
5
b) GTLN của y là 4, đạt được khi x =

( )

e) Hàm số y = 1 − sin x 2 − 1 có tập xác định là D = ℝ .

( )

Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −1 ≤ 1 − sin x 2 − 1 ≤ 2 − 1 . Vậy

H

À
N

Ô
̣I

+ k 2π , k ≥ 1
G

2

Ơ

π

+ k 2π , k > 0
PH
Ư

2

ẦY

GTNN của y là −1 , đạt được khi x 2 =

π

N

2 − 1 , đạt được khi x 2 = −

TH

GTLN của y là

f) Hàm số y = 4sin x có tập xác định là D =  0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4sin x ≤ 4 .

x=

Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi

π
2

+ k 2π , k ≥ 0

π

+ k 2π , k ≥ 1
2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = sin 4 x − cos4 x
b) y = sin 4 x + cos4 x
GTNN của y là −4 , đạt được khi

x =−

c) y = sin 2 x + 2 sin x + 6

d) y = cos4 x + 4 cos2 x + 5
HD Giải
4
4
2
2
2

a) y = sin x − cos x = sin x − cos x sin x + cos2 x = − cos 2 x .

(

Mặt khác: −1 ≤ cos 2 x ≤ 1

)(

)

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là −1 , đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTLN của y là 1, đạt được khi x =

(

b) y = sin 4 x + cos4 x = sin 2 x + cos2 x
Mặt khác

)

2

1
− 2 sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x .
2

1
1
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1
2
2

GTLN của y là 1, đạt được khi x =

kπ
,k ∈ℤ
2

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

7


GTNN của y là

1
π kπ
, đạt được khi x = +
,k ∈ℤ
2
4 2

c) Ta có y = sin 2 x + 2 sin x + 6 = ( sin x + 1) + 5 . Mặt khác: 5 ≤ ( sin x + 1) + 5 ≤ 9
2

GTLN của y là 9, đạt được khi x =

π
2

GTNN của y là 5, đạt được khi x = −

(

2

+ k 2π , k ∈ ℤ

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

)

(

2

)

2

d) Ta có y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 = cos2 x + 2 + 1 . Mặt khác: 5 ≤ cos2 x + 2 + 1 ≤ 10
GTLN của y là 10, đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 5, đạt được khi x =

π
2

+ kπ , k ∈ ℤ

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Tìm tập xác định của các hàm số sau
tan x
1
a) y =
b) y =
1 + tan x
3 cot 2 x + 1
Bài 1.

e) y =

1+ cos9x
+ cot9x
1+ cos9x

f) y =

c) y =

sin x
2 cos x + 2

g) y =

3sin x + 1
π

3 − 3cos  x + 
6

tan 2 x − 1
1 + sin x + 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhật của các hàm số sau

π
a) y = 1 + cos 2 x − 5
c) y = 2 − 4 + 2 sin 5 x
b) y = 4 + 5cos  3x + 
3


h) y =

À
N

H

G

N

Ơ

PH
Ư

ẦY

f) y = 1 − 8sin 2 2 x

TH

π

e) y = 1 − 3sin  2 x − 
3


sin x
π

1 − cos  x + 
4

2 − cot 3 x
1 − 1 + sin 3 x

Ô
̣I

Bài 2.

d) y =

g) y = 9 − 9 sin 9 x

d) y =

3
+1
cot x + 1
2

h) y = sin 2 x − 5

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

8


§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phương trình sin x = m (1)
Nếu m > 1 : phương trình (1) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin α = m

 x = α + k 2π
sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
 x = π − α + k 2π
 x = α + k 360 0

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = 180 − α + k 360
Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai
đơn vị độ và radian.
Chú ý:
 π
π
− ≤ α ≤
i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2
2 thì ta viết α = arcsin m .
sin α = m

 x = arcsin m + k 2π
Khi đó: sin x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
x
=
−
arcsin
m
+
k
2
π
π

ii) Các trường hợp đặc biệt

π

•

+ k 2π , k ∈ ℤ
2
m = 0 , phương trình sin x = 0 có nghiệm là x = kπ ; k ∈ ℤ

•

m = 1 , phương trình sin x = 1 có nghiệm là x =
ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

m = −1 , phương trình sin x = −1 có nghiệm là x = −

TH

•

π
2

+ k 2π ; k ∈ ℤ

u = v + k 2π
iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔ 
,k ∈ℤ
u = π − v + k 2π
2. Phương trình cos x = m (2)
Nếu m > 1 : phương trình (2) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos α = m

 x = α + k 2π
cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = −α + k 2π
 x = α + k 360 0
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
0
 x = −α + k 360
Chú ý:

i) Nếu α thoả điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = m thì ta viết α = arccosm.
Khi đó pt (2) có nghiệm là : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ
ii) Các trường hợp đặc biệt khi m ∈ {0; ±1}

•
•
•

cos x = 0 ⇔ x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

9


u = v + k 2π
iii) Tổng quát: cos u = cos v ⇔ 
,k ∈ℤ
u
=
−
v
+

k
2
π

3. Phương trình tan x = m (3)

π

•

+ kπ , k ∈ ℤ
2
Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan α = m thì tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ

•

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tan x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ

•

Nếu α thảo mãn điều kiện −

•

Các trường hợp đặc biệt biệt khi m ∈ {0; ±1}

Điều kiện: x ≠

π

π

và tan α = m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm
2
2
của phương trình (3) là: x = arctan m + kπ , k ∈ ℤ
<α <

tan x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
tan x = −1 ⇔ x = −
tan x = 1 ⇔ x =

•

π
4

+ kπ , k ∈ ℤ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
4
Tổng quát : tan u = tan v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ

4. Phương trình cot x = m (4)
Điều kiện: x ≠ kπ , k ∈ ℤ
• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot α = m thì cot x = m ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cot x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ
Nếu α thảo mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = m thì ta viết α = arc cot m . Lúc đó nghiệm của

phương trình (4) là: x = arc cot m + kπ , k ∈ ℤ
• Tổng quát : cot u = cot v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ
Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có
chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ
Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Với u = u( x ), v = v( x ) và u, v làm cho biểu thức có nghĩa, k ∈ ℤ
TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

•
•

u = v + k 2π
1/ sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π
3 / tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

u = v + k 2π
2 / cos u = cos v ⇔ 
u = − v + k 2π
4 / cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản
- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản
- Cung đối và cung bù
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) sin x =

1
2

b) sin x = −

3
2

x


1
1

π
e) sin  + 100  = −
f) sin  2 x +  = −
2
6
2
2



c) sin x =

2
3

 2x π 
g) sin 
− =0
 3 3
HD Giải


π

π
d) sin  2 x −  = sin  + x 
5

5


π 1

h) sin  9 x −  =
3 2


1
π
= sin . Phương trình đã cho tương đương với:
2
6
π
π


π
x
=
+
k
2
x
=
+ k 2π


π
6
6
sin x = sin ⇔ 

⇔
,k ∈ℤ
6
 x = π − π + k 2π
 x = 5π + k 2π


6
6

a) Ta có: sin 300 =

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

10


Vậy phương trình có các nghiệm là: x =
b) Ta có: −

π
6

+ k 2π ; x =

5π
+ k 2π , k ∈ ℤ
6

 π

3
π
= − sin = sin  −  (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α )
2
3
 3


π
 x = − 3 + k 2π
 π
Phương trình đã cho tương đương: ⇔ sin x = sin  −  ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = 4π + k 2π
 3

3
2
2
2
c) Vì < 1 nên có số α để sin α = ⇒ α = arcsin . Do đó:
3
3
3

2
x = arcsin + k 2π

 x = α + k 2π
2

3
sin x = ⇔ sin x = sin α ⇔ 
hay 
,k ∈ℤ
3
 x = π − arcsin 2 + k 2π
 x = π − α + k 2π

3

π π

2π
2 x − = + x + k 2π

 x = 5 + k 2π

π

5
5
π
d) sin  2 x −  = sin  + x  ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
π

π
5


π k 2π


5

2 x − 5 = π −  5 + x  + k 2π
 x = 3 + 3



e) x = −800 + k 7200 và x = 400 0 + k 720 0 ; k ∈ ℤ
f) x = −

π
6

+ kπ và x =

π
2

+ kπ ; k ∈ ℤ
À
N
ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

+

TH

π

Ô
̣I

k 3π
;k ∈ℤ
2
2
π k 2π
7π k 2π
h) x = +
;x =
+
,k ∈ℤ
18
9
54
9

Bài 2. Giải các phương trình sau:
2
1
a) cos x =
b) cos x = −
2
2
g) x =

c) cos x =

4
5


π

π
d) cos  3 x −  = cos  + x 
6

3


 3x π 
3
1
f) cos  −  = −
2
2

 2 4

 3x π 
π 3

g) cos  −  = −1 h) cos  2 x −  =
3 2

 2 6
HD Giải
π

x = + k 2π

π
π
2
4
a) Ta có:
= cos . Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos ⇔ 
,k ∈ℤ
2
4
4
 x = − π + k 2π

4

(

)

e) cos 3 x − 450 =

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±
b) Ta có: −

π

4

+ k 2π , k ∈ ℤ

1
2π
π
π

(Áp dụng cung bù_ cos(π − α ) = − cos α )
= − cos = cos  π −  = cos
2
3
3
3


2π
2π
⇔x=±
+ k 2π , k ∈ ℤ

3
3
4
4
4
c) Vì < 1 nên có số α để cos α = ⇒ α = arccos . Do đó:
5
5
5
Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

11



4
x = arccos + k 2π

 x = α + k 2π
4
5
cos x = ⇔ cos x = cos α ⇔ 
hay 
,k ∈ℤ
5
 x = − arc c os 4 + k 2π
 x = −α + k 2π


5

π π

π
3x − = + x + k 2π
x = + kπ



π

6
3
π
12
d) cos  3 x −  = cos  + x  ⇔ 
⇔
,k ∈ ℤ


π
π
6
3

π






3x − 6 = −  3 + x  + k 2π
 x = − 24 + kπ



3 x − 450 = 300 + k 3600
 x = 250 + k1200
3
⇔ cos 3 x − 450 = cos30 0 ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ

0
0
0
0
0
2
 x = 5 + k120
3 x − 45 = −30 + k 360
 3 x π 2π

11π k 4π
 2 − 4 = 3 + k 2π
 x = 18 + 3
 3x π 
 3x π 
1

2π
f) cos  −  = − ⇔ cos  −  = cos
⇔
⇔
,k ∈ℤ
2
3
 3 x − π = − 2π + k 2π
 x = − 5π + k 4π
 2 4
 2 4
 2 4

3
18
3
 3x π 
3x π
7π
g) cos  −  = −1 ⇔
− = π + k 2π ⇔ x =
+ k 4π , k ∈ ℤ
2 6
9
 2 6
3
h) Vì > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
2
Bài 3. Giải các phương trình sau:
3

3
1
π

a) tan x = 3
b) tan x = −
c) tan  − x  = tan 2 x
d) tan ( x − 150 ) =
e) tan 2 x =
3
3
2
4

HD Giải

(

)

(

)

3

3

G

+ kπ , k ∈ ℤ

N

π

Ơ

⇔x=

PH
Ư

π

ẦY

a) tan x = 3 ⇔ tan x = tan

H

À
N

Ô
̣I

e) cos 3 x − 450 =

TH

π
3
 π
⇔ tan x = tan  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
3
6
 6
π
π kπ
π

c) tan  − x  = tan 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

3
d) tan ( x − 150 ) =
⇔ tan ( x − 150 ) = tan 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
3
1
1
1
1 kπ
e) tan 2 x = ⇔ 2 x = arctan + kπ ⇔ x = arctan +
,k ∈ℤ
2
2

2
2 2
Bài 4. Giải các phương trình sau:
3
3
π

a) cot x =
b) cot x = − 3 c) cot  − x  = cot 2 x
d) cot ( x − 150 ) = 3
e) cot 3 x =
3
5
4

HD Giải
3
π
π
a) cot x =
⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ
3
3
3
π
 π
b) cot x = − 3 ⇔ cot x = cot  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
6
 6
π

π kπ
π

c) cot  − x  = cot 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

b) tan x = −

d) cot ( x − 150 ) = 3 ⇔ cot ( x − 150 ) = cot 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
e) cot 3 x =

3
3
1
3 kπ
⇔ 3 x = arc cot + kπ ⇔ x = arc cot +
,k ∈ℤ
5
5
3
5 3

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

12

Bài 5. Giải các phương trình sau:
sin 3 x
2π
a)
=0
b) cot 3 x = tan
cos3 x − 1
5
π


2π 
d) tan  + 12 x  = − 3
e) sin  x +
 = cos3x
3 
 12



(

)

c) ( sin x + 1) 2 cos 2 x − 2 = 0

x
f) tan 2 x + 450 tan  1800 −  = 1
2


(

)

HD Giải
a) Điều kiện : cos3 x ≠ 1 . Ta có sin 3 x = 0 ⇔ 3 x = kπ .

π

Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ ℤ bị loại, nên 3 x = (2m + 1)π ⇔ x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3

π

Vậy nghiệm của phương trình là x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3
b) Nghiệm của phương trình là: x =

π
30

π

+k

π
3

,k ∈ℤ

x=−

π
24

+

+ k 2π và x = ±

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
8
5π kπ
d) Nghiệm của phương trình là: x = −
+
,k ∈ℤ
144 12


π
2π 
e) sin  x +
 = cos3 x ⇔ cos3 x − cos  x +  = 0 . Vậy nghiệm của phương trình:
3 
6



c) Nghiệm của phương trình là: x = −

π
kπ
;x =
+ kπ , k ∈ ℤ
2
12


 x
x
f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có tan 2 x + 450 = cot 450 − x và tan  180 0 −  = tan  −  nên
2

 2

 x
x
tan 2 x + 450 tan  180 0 −  = 1 ⇔ cot 450 − 2 x .tan  −  = 1
2

 2

(

)

H

À
N

Ô
̣I

)

Ơ

)

PH
Ư

(

ẦY

)

TH

(

N

G

(

 x
⇔ tan  −  = tan 450 − 2 x ⇔ x = 30 0 + k120 0 , k ∈ ℤ
 2

(

)

Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.
- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.
Bài 1. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin 2 x = −

1
với 0 < x < π
2

c) tan ( 2 x − 150 ) = 1 với −1800 < x < 900

3
với −π < x < π
2

b) cos( x − 5) =
d) cot 3 x = −

1
3

với −

π
2


HD Giải


π
π
2 x = − + k 2π
x = − + kπ


1
6
12
a) sin 2 x = − ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
2
2 x = 7π + k 2π
 x = 7π + kπ


6
12

Xét điều kiện 0 < x < π , ta có
1
1
11π
π
• 0 < − + kπ < π ⇔
< k < + 1 ⇒ k = 1 ( Do k ∈ ℤ ). Vì vậy : x =
12
12
12
12
7π
7π
• 0<
+ kπ < π ⇒ k = 0 . Vì vậy: x =
12
12
“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

13


11π
7π
và x =
12
12


π

π
x − 5 = + k 2π
x = + 5 + k 2π


3
6
6
b) cos( x − 5) =
⇔
⇔
,k ∈ℤ
2
 x − 5 = − π + k 2π
 x = − π + 5 + k 2π


6
6
Xét điều kiện −π < x < π , ta có:
11π
π
• −π < + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6
13π
π
• −π < − + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6

11π
13π
Vậy: x = 5 −
và x = 5 −
6
6
0
c) tan 2 x − 15 = 1 ⇔ 2 x = 150 + 450 + k180 0 ⇔ x = 30 0 + k 90 0 , k ∈ ℤ

Vậy: x =

(

)

Xét điều kiện −1800 < x < 900 , ta có
1
−180 0 < 30 0 + k 90 0 < 900 ⇔ −2 < + k < 1 ⇔ k ∈ {−2, −1, 0}
3
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −150 0 , x = −60 0 và x = 300
1
π kπ
π
d) cot 3 x = −
⇔x=− +
, k ∈ ℤ . Xét điều kiện − < x < 0 , ta có:
9 3
2
3

•

2

<−

π
9

+

kπ
< 0 ⇔ k ∈ {−1; 0}
3

Ô
̣I

π

À
N

−

4π
π
và x = −
9
9

N

Ơ

PH
Ư

TH

ẦY

Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −

G

H

•

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải các phương trình sau:
π

2
2. sin  3 x +  = −1
1. sin ( 2 x − 300 ) = −
6

2
2

π

 2π

4. sin 3 x =
5. sin  2 x −  = sin 
− 3x 
3
4

 3

1
1
x

7. cos ( 600 − 3 x ) = −
8. cos  + 100  = −
2
2
2

3
3π 
π


10. cos ( 2 x − 5 ) =
11. cos  3 x −
= cos  x + 


4
4 
3



(

)




π

13. tan 2 x + 60 0 = − 3
16. cot  2 x −

 = −2
3


3
π
14. cot  5x −  = −
9
3

o

17. sin(9 − 9 x) = 0

Giải các phương trình sau:
3
3
1. sin x =
với 0 ≤ x ≤ 2π 2. cos x =
với 0 ≤ x ≤ 2π
2
2

 2x π  1
3. sin  −  =
 3 4 2
3
π

6. sin  2 x −  = −
6
2

2π 

9. cos  2 x −
 =1
3 

12. cos ( 4 x + 1250 ) = −1

(

)

15. cos 3 x − 1350 =

3
2

π
2

18. sin  3 x −  = −
3
2


Bài 2.

3
π
π
π

3. cos  x +  =
v ới − ≤ x ≤
3 2
2
2


“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

14


π

4. −2 cos  x +  + 3 = 0
3

vớ i −

π
2

≤x≤

π

2

37π 
7. 3+3cos −x =0, x∈ ;30
4 
4 

π

(

)

5. 2 cos 450 − x + 2 = 0
với x ∈ 1800 ;3400 

8.

π 1

6. sin  x +  = với −π ≤ x ≤ π
2 2


π

2 sin  3 x +  + 1 = 0 trên đoạn
6

[ −2π ; π ]

3 sin 5x + 3 = 0 với

9.

x ∈ ( −90°;180°]

Bài 3. Giải các phương trình sau:
1. sin 3 x − cos 5 x = 0
2. tan 3 x.tan x = 1

cos3 x
=0
sin 3 x − 1

π
6. sin 2 x.tan  x −  = 0
4

9. sin 5 x + cos x = 0
3.

5. cot 2 x.cot 3 x = 1

π

7. cot 9 x = − tan  + 9 x 
9


8. cos(50° + 4 x ) + sin 3 x = 0

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

4. sin 3x + sin 5 x = 0

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

15


§3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
THƯỜNG GẶP
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Phương trình

Cách giải
Đặt ẩn phụ t = f ( x ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ
(nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này
và từ đó suy ngược lại nghiệm x.
Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤ 1

1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác, trong đó f ( x ) là một biểu
thức lượng giác nào đó.

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác
định của tanx và cotx.
Thực hiện các bước sau:
B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình (2) vô
nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có
dạng: a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0) ( 2 )

B2. Chia hai vế phương trình (2) cho a2 + b2 .
Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình
(2) về phương trình lượng giác cơ bản dạng:
sin u = sin v hay cos u = cos v .

À
N

Ô
̣I

B. BÀI TẬP

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at + b = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:

π
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0
b) 2 sin  2 x −  + 3 = 0
6


(

)



π
3 cot  x −  + 3 = 0
3

HD Giải
1
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0 ⇔ cos 3 x − 60 0 = − ⇔ cos 3 x − 60 0 = cos120 0
2
0
0
3 x − 60 = 120 + k 3600
 x = 900 + k1200
⇔
⇔
,k ∈ℤ
0
0
0
0
0
3 x − 60 = −120 + k 360
 x = 20 + k120
c)

(

x

3 tan  + 20 0  + 1 = 0
4



)

(

d)

)

(

)




 π
π
π
π
3
b) 2sin  2 x −  + 3 = 0 ⇔ sin  2 x −  = −
⇔ sin  2 x −  = sin  − 
6
6
2
6




 3
π
π
π


 2 x − 6 = − 3 + k 2π
 x = − 12 + kπ
⇔
⇔
,k ∈ℤ
3
π
π
π
 2 x − = π + + k 2π
x =
+ kπ


6
3
4
x

x

x


1
c) 3 tan  + 20 0  + 1 = 0 ⇔ tan  + 20 0  = −
⇔ tan  + 20 0  = tan −30 0
3
4

4

4


(

)

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

16


x
+ 20 0 = −30 0 + k180 0 ⇔ x = −200 0 + k 720 0 , k ∈ ℤ
4



 π
π
π
π

3 cot  x −  + 3 = 0 ⇔ cot  x −  = − 3 ⇔ cot  x −  = cot  − 
3
3
3



 6

⇔

d)

⇔ x−

π

=−

3
Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)

π
6

+ kπ ⇔ x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ

6

(

3 tan 2 x + 3 = 0

)

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1

c) 2 cos x − 3 = 0

a)

d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2
HD Giải
 π
π kπ
3 tan 2 x + 3 = 0 ⇔ tan 2 x = − 3 ⇔ tan 2 x = tan  −  ⇔ x = − +
6 2
 3
kπ
,k ∈ℤ
6 2
= 1 − 2 cos2 150 ⇔ cos x + 30 0 = − cos30 0

(lưu ý ĐK: cos 2 x ≠ 0 ). Vậy, nghiệm của phương trình là: x = −

(

)

(

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1 ⇔ cos x + 30 0

)

π

+

(

)

 x = 120 0 + k 360 0
⇔ cos x + 30 0 = cos1500 ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = −180 + k 360
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 1200 + k 3600 và x = −1800 + k 3600 , k ∈ ℤ

(

)

3
π
⇔ x = ± + k 2π
2
6

π kπ
x=
+

2
32
4 ,k ∈ℤ
d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2 ⇔ sin 8 x =
⇔
2
 x = 3π + kπ

32 4
3π kπ
π kπ
Vậy, nghiệm của phương trình là x =
+
và x =
+
, k ∈ℤ
32 4
32 4
Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) cos2x – sinx – 1 = 0
b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1
d) tanx = 3cotx
HD Giải
2
a) cos 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 1 − 2sin x − sin x − 1 = 0

 x = kπ
sin x = 0

π

⇔ sin x (2 sin x + 1) = 0 ⇔
⇔  x = − + k 2π , k ∈ ℤ
1
sin x =

6

2

7π
x =
+ k 2π
6

π
7π
Vậy, phương trình có các nghiệm là x = kπ , x = − + k 2π và x =

+ k 2π với k ∈ ℤ
6
6
b) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x ⇔ cos x cos 2 x − sin x sin 2 x = 1
k 2π
k 2π
⇔ cos3 x = 1 ⇔ x =
, k ∈ ℤ . Vậy, phương trình có nghiệm là x =
,k ∈ℤ
3
3
π kπ
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 ⇔ sin 4 x = −1 ⇔ x = − +
,k ∈ℤ
8 2
TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

c) 2 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x =

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

17


d) tan x = 3 cot x . Điều kiện sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
Ta có tan x =

kπ
,k ∈ℤ
2

3
π
⇔ tan 2 x = 3 ⇔ tan x = ± 3 ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ℤ
tan x
3

So với điều kiện, phương trình có nghiệm là x = ±

π
3

+ kπ , k ∈ ℤ

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at 2 + bt + c = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2 x + 5sin x − 3 = 0
b) cot 2 3 x − cot 3 x − 2 = 0

(

)

c) 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0

d) 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0
HD Giải

kπ
,k ∈ℤ
4 3
1
kπ
Với t = 2 ⇒ cot 3 x = 2 ⇔ x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ , k ∈ℤ
3
3

Với t = −1 ⇒ cot 3 x = −1 ⇔ x =

π

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

1
a) Đặt sinx = t ( với t ≤ 1 (*)), ta được phương trình 2t 2 + 5t − 3 = 0 ⇔ t1 = , t2 = −3 (không thỏa (*))
2

π

x = + k 2π

1
1
6
Với: t = ⇒ sin x = ⇔ 
,k ∈ℤ .
2
2
 x = 5π + k 2π

6
5π
π
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là: x = + k 2π và x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
6
6
b) Điều kiện: sin 3 x ≠ 0(*) Đặt t = cot3x, ta được phương trình t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1, t = 2
+

So với (*),vậy phương trình đã cho cáo các nghiệm x =

π
4

+

(

kπ
1
kπ
và x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ
3
3
3

)

1
2
c) Đặt t = cosx, ( với t ≤ 1 ), ta được phương trình 4t 2 − 2 1 + 2 t + 2 = 0 ⇔ t1 = , t2 =
2
2

1

π
x = ± + k 2π
 cos x = 2

3
Do đó: 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0 ⇔ 
,k ∈ℤ
⇔
π

2

 x = ± + k 2π
 cos x =

4

2

(

)

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là x = ±

π
3

+ k 2π và x = ±

π
4

+ k 2π , k ∈ ℤ

d) Điều kiện sin 2 x ≠ 0 , khi đó ta có tan x ≠ 0
1
5 tan x − 2 cot x − 3 = 0 ⇔ 5tan x − 2
− 3 = 0 ⇔ 5 tan 2 x − 3 tan x − 2 = 0
tan x

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

18



π
 tan x = 1
 x = 4 + kπ
,k ∈ℤ
⇔
⇔
 tan x = − 2
 2

5

 x = arctan  − 5  + kπ




 2
+ kπ và x = arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ
4
 5

π

So với ĐK, phương trình đã cho có các nghiệm x =
Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 2 cos2 x − 3cos x + 1 = 0
c)

(

b) cos2 x + sin x + 1 = 0

)

(

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

)

(

)

d) cos 4 x + 60 0 − 5 cos 2 x + 300 + 4 = 0
HD Giải

a) Phương trình đã cho có các nghiệm là x = k 2π và x = ±
b) Phương trình đã cho có nghiệm là x = −

π
2

π

+ k 2π , k ∈ ℤ

3

+ k 2π , k ∈ ℤ

π

(

)

(

)

+ kπ và x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ
4
6
d) cos 4 x + 60 0 − 5 cos 2 x + 30 0 + 4 = 0 ⇔ 2 cos2 2 x + 30 0 − 5 cos 2 x + 30 0 + 3 = 0

c) Phương trình đã cho có các nghiệm là x =

(
(

)
)

(

)

(

)

H

À
N

Ô
̣I

 cos 2 x + 30 0 = 1

0
0
0
0
⇔
3 ⇔ 2 x + 30 = k 360 ⇔ x = −15 + k180 , k ∈ ℤ
0
 cos 2 x + 30 =


2

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

Dạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
- Phương trình có dạng a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0)
- B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2

- B2. Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 . Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương
trình lượng giác cơ bản dạng: sin u = sin v hay cos u = cos v .
Bài 1. Giải các phương trình sau:

3 sin x − cos x = 1

b) 2sin 3 x + 5 cos3 x = −3

d) 5sin 2 x − 6 cos2 x = 13

e) 2 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2

a)

c) 3 cos x + 4 sin x = −5
1
f) sin 2 x + sin 2 x =
2

HD Giải

π


x = + k 2π
π
π 1

a) 3 sin x − cos x = 1 ⇔ 2 sin  x −  = 1 ⇔ sin  x −  = ⇔
, k ∈ℤ
3

6
6 2


 x = π + k 2π
2


5
b) 2 sin 3 x + 5 cos3 x = −3 ⇔ 3  sin 3 x +
cos3 x  = −3 ⇔ 3 ( sin α sin 3 x + cos α cos3x ) = −3 . Trong
3

3



α + π kπ
2
5
đó sin α = ; cos α =
. Dó đó: cos ( 3 x − α ) = −1 ⇔ x =
+
, k ∈ℤ
3
3
3
3
3
4
c) x = π + α + k 2π , k ∈ ℤ trong đó α là số thoả mãn cos α = và sin α =
5
5
2
d) 5sin 2 x − 6 cos x = 13 ⇔ 5sin 2 x − 3cos 2 x = 16 , phương trình vô nghiệm.
“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

19

5π
13π
+ kπ và x =
+ kπ , k ∈ ℤ
24
24
1
1
1
1
f) sin 2 x + sin 2 x = ⇔ 2 sin 2 x − cos 2 x = 0 , với cos 2 x ≠ 0 , ta có tan 2 x = ⇔ x = arctan + kπ ,
2
2
2
2
k ∈ℤ
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1
1
2
a) sin x = 2 sin 5 x − cos x
b)
+
=
sin 2 x cos 2 x sin 4 x

e) x =

c) sin 5 x + 3 cos 5 x = 2sin 7 x

d)

3 cos 5 x − 2 cos3x + sin 5 x = 0
HD Giải

a)sin x = 2 sin 5x − cos x ⇔ sin x + cos x = 2 sin 5 x

π kπ
x= +


π
16 2 ; k ∈ ℤ
⇔ sin  x +  = sin 5 x ⇔ 
4
 x = π + kπ



8 3
b) ĐKXĐ: sin 4 x ≠ 0 ,

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

 x = kπ
1
1
2
ta có:
, k ∈ℤ
+
=
⇔ sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇔ 
 x = π + kπ
sin 2 x cos 2 x sin 4 x

4
Cả hai nghiệm đều không thoả điều kiện bài toán. Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.

π
x = + kπ



π
16
c) sin 5 x + 3 cos 5 x = 2 sin 7 x ⇔ sin  5x +  = sin 7 x ⇔ 
;k ∈ℤ
3
 x = π + kπ


18 6
TH

ẦY

d ) 3 cos 5 x − 2 cos3 x + sin 5 x = 0 ⇔ 3 cos 5 x + sin 5 x = 2 cos3x


π
x = + kπ


π
12
⇔ cos  5x −  = cos3 x ⇔ 
,k ∈ℤ
6
 x = π + kπ


48 4
Bài 3. Giải các phương trình sau:

9
a) 4 sin x − 3 cos x = 5
b) 3 cos x + 2 3 sin x =
2
d) 2sin 2 x + 3cos 2 x = 13 sin14 x
HD Giải
3
4
π
a) x = α + + k 2π , k ∈ ℤ với α thoả mãn sin α = ; cos α =
2
5
5
3
2 3
9
b) x = α ± β + k 2π , k ∈ ℤ trong đó cos α =
,sin α =
và cos β =
21
21
2 21
π
π
3
2
c) x = − α + kπ , x = + kπ , k ∈ ℤ trong đó cos α =
,sin α =
2
4

13
13
α kπ
π − α kπ
2
3
d) x = +
,x =
+
, k ∈ ℤ trong đó cos α =
,sin α =
12 6
16
8
13
13
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x sin 5 x = sin 3 x sin 4 x
b) cos x sin 5 x = cos 2 x cos 4 x
c) cos 5 x sin 4 x = cos3 x sin 2 x
d) sin 2 x + sin 4 x = sin 6 x
c) 3sin 2 x + 2 cos 2 x = 3

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

20


HD Giải
1

1
a) sin 2 x sin 5x = sin 3 x sin 4 x ⇔ ( cos3 x − cos 7 x ) = ( cos x − cos 7 x )
2
2
 x = kπ
kπ
⇔ cos3 x = cos x ⇔ 
⇔x=
,k ∈ℤ
π
k
x =
2

2
 x = kπ
kπ
b) cos x sin 5 x = cos 2 x cos 4 x ⇔ cos 4 x = cos 2 x ⇔ 
, k ∈ℤ
⇔x=
π
k
x =
3

3
kπ
π kπ
và x = +
, k ∈ℤ

2
14 7
d ) sin 2 x + sin 4 x = sin 6 x ⇔ 2 sin 3 x cos x = 2 sin 3 x cos3x

c) Phương trình đã cho có các nghiệm là x =

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I


kπ


kπ
x = 3
x = 3

sin 3 x = 0
⇔ sin 3 x (cos x − cos3x ) = 0 ⇔ 
⇔  x = kπ ⇔ 
,k ∈ℤ
k
π

 cos x = cos3x

kπ
 x = 2
x =
2

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) sin x sin 7 x = sin 3 x sin 5 x
b) sin 5 x cos3 x = sin 9 x cos 7 x
c) cos x cos3 x − sin 2 x sin 6 x − sin 4 x sin 6 x = 0
d) sin 4 x sin 5 + sin 4 x sin 3 x − sin 2 x sin x = 0
HD Giải
1
1
a) sin x sin 7 x = sin 3 x sin 5 x ⇔ ( cos 6 x − cos8 x ) = ( cos 2 x − cos8 x ) ⇔ cos 6 x = cos 2 x
2
2
kπ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x =
, k ∈ℤ
4
1
1
b) sin 5 x cos3 x = sin 9 x cos 7 x ⇔ ( sin 8 x + sin 2 x ) = ( sin16 x + sin 2 x ) ⇔ sin 8 x = sin16 x
2
2
kπ
π kπ
Vậy, nghiệm phương trình đã cho là x =
và x =
+
, k ∈ℤ
4
24 12
c) cos x cos3 x − sin 2 x sin 6 x − sin 4 x sin 6 x = 0
1
⇔ ( cos 4 x + cos 2 x − cos 4 x + cos8 x − cos 2 x + cos10 x ) = 0
2
π
π kπ
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = + kπ và x = +
, k ∈ℤ
2
18 9
d) sin 4 x sin 5 + sin 4 x sin 3 x − sin 2 x sin x = 0
1
⇔ sin 4 x sin 5 + ( cos x − cos 7 x + cos3 x − cos x ) = 0
2

⇔ sin 4 x sin 5 x + sin 5 x sin 2 x = 0 ⇔ sin 5 x (sin 4 x + sin 2 x ) = 0

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm x =

kπ
kπ
π
,x =
và x = ± + k 2π , k ∈ ℤ
2
5
3

Bài 6.

Giải các phương trình sau:
3
a) sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x =
2

b) sin 2 3 x + sin 2 4 x = sin2 5 x + sin 2 6 x

c) cos2 x + cos2 2 x + cos2 3 x + cos2 4 x = 2

d) cos2 3 x + cos2 4 x + cos2 5 x =

3
2

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

21


e) 8cos4 x = 1 + cos 4 x

f) 3cos2 2 x − 3sin 2 x + cos2 x = 0
HD Giải

3 1
− ( cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x ) . Do đó phương trình đã cho tương
2 2
đương với cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 0 ⇔ cos 4 x + 2 cos 4 x cos 2 x = 0 ⇔ cos 4 x (1 + 2 cos 2) = 0

a) Ta có sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x =

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm x =

π
8

kπ
π
và x = ± + kπ , k ∈ ℤ
4
3

+

b) Dùng công thức hạ bậc, rút gọn ta được:

cos 6 x + cos8 x = cos10 x + cos12 x ⇔ 2 cos 7 x cos x = 2 cos11x cos x
kπ
kπ
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm x =
,x =
, k ∈ℤ
2
9
π
π kπ
π kπ
c) Phương trình đã cho có các nghiệm x = + kπ , x = +
và x = +
, k ∈ℤ
2
4 2
10 5
π kπ
π
d) Phương trình đã cho có các nghiệm x = +
và x = ± + kπ , k ∈ ℤ
16 8
3
2
e) Sử dụng công thức 2 cos x = 1 + cos 2 x và 1 + cos 4 x = 2 cos2 2 x để biến đổi đưa về phương trình bậc
hai đối cos2x. Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x = ±
f) Phương trình đã cho có các nghiệm x =

π
2

π
3

+ kπ , k ∈ ℤ

+ kπ và x = ±α + kπ , k ∈ ℤ , trong đó cos 2α =

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) 1 + sin x − cos x − sin 2 x + 2 cos 2 x = 0

1
3

b) cos x tan 3 x = sin 5 x

3
1
+
= 8sin x
cos x sin x
HD Giải
2
a) Ta có: 1 − sin 2 x = (sin x − cos x ) ;2 cos 2 x = 2 cos2 x − sin 2 x = −2(sin x − cos x )(sin x + cos x )
H

Ơ

N

G

d)

À
N

Ô
̣I

1
1
= sin 2 x − 2
sin x
sin x

PH
Ư

c) sin x −

TH

ẦY

(

)

1 + sin x − cos x − sin 2 x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ (sin x − cos x )(1 − sin x − 3 cos x ) = 0

sin x = cos x
⇔
3cos x + sin x = 1
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm x =
Trong đó cos α =

3

,sin α =

π
4

+ kπ và x = α ± arccos

1
10

+ k 2π , k ∈ ℤ

1

10
10
b) Điều kiện cos3 x ≠ 0
cos x tan 3x = sin 5x ⇔ cos x sin 3 x = cos3 x sin 5 x


kπ

x=

,k ∈ℤ
1
1
2
⇔ ( sin 4 x + sin 2 x ) = ( sin 8 x + sin 2 x ) ⇔ sin 8x = sin 4 x ⇔ 
2
2
 x = π + kπ

12 6
π kπ
kπ
So với điều kiện, nghịêm của phương trình đã cho: x =
và x = +
, k ∈ℤ
2
12 6
c) Điều kiện sin x ≠ 0
 1
1
1
1 
sin x −
= sin 2 x − 2 ⇔ sin x − sin 2 x +  2 −
=0
sin x
sin x
 sin x sin x 

(

)

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

22


⇔ sin x (1 − sin x ) +

sin x = 1
π
1 − sin x
3
=
0
⇔
(1
−
sin
x
)
sin
x
+
1
=
0

⇔
⇔
x
=
±
+ k 2π , k ∈ ℤ

2
sin
x
=
−
1
sin 2 x


(

)

So với điều kiện, nghiệm của phương trình đã cho: x = ±
d) Điều kiện sin 2 x ≠ 0

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

3
1

1 − cos 2 x
+
= 8sin x ⇔ 3 sin x + cos x = 8sin2 x cos x ⇔ 3 sin x + cos x = 8.
cos x
cos x sin x
2
⇔ 3 sin x + cos x = 4 cos x − 4 cos 2 x cos x ⇔ 3 sin x − 3 cos x = −2(cos x + cos3 x )

⇔ cos x − 3 sin x = 2 cos3 x ⇔ cos3 x =


1
3
π
cos x −
sin x ⇔ cos3 x = cos  x + 
2
2
3



π
 x = 6 + kπ
⇔
; k ∈ ℤ ( thoả điều kiện sin 2 x ≠ 0 )
 x = − π + kπ

12 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.
1.

Giải các phương trình sau
π

2. tan  + 12 x  + 3 = 0
 12

x π
5. 2 cos  +  − 1 = 0
2 5

3 cot 2 x + 3 = 0

6.

3 tan ( 3 x − 450 ) + 1 = 0

H

À
N

Ô
̣I

4. 2 sin ( 3 x − 1200 ) + 3 = 0

3. 2 sin 3 x + 2 sin 6 x = 0

G

Bài 2 . Giải các phương trình sau
2. 4 sin 2 4 x + 3sin 4 x − 1 = 0
1. 2 cos2 x − 3cos x = −1

(

)

10. 4cos2 x − 2 1+ 2 cos x + 2 = 0

)

 π
 π
5. 2sin2  x −  −3sin  x −  + 2 = 0
 4
 4
 π
 π
8. tan2  x +  − 4tan  x +  + 3 = 0
 3
 3
2
11. 2 sin x + 7 sin x − 4 = 0

6. 2 cos 2 4 x − 7 cos 4 x − 4 = 0

2. cos x = 2 sin 7 x − sin x

3.

TH

 π
 π
4. 2cos2 2x− −cos2x −  −3= 0
3
3


2
7. 2 sin 4 x + 9 sin 4 x − 5 = 0

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

(

3. 6sin2 2x − 8+3 3 sin2x + 4 3 = 0

(

)

9. 3 tan2 x − 1+ 3 tan x +1 = 0
12. 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x + 4 = 0

Giải các phương trình sau

Bài 3.

1. cos 2 x + 2 sin x − 1 = 0

(

)

(

)

4. 2sin x +100 − 12cos x +100 = 3

5. 3cos8x−2sin4xcos4x =−sin2 x−cos2 x

7. 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x

 x
 x
8. 3 3 sin   − 3cos   = 3 2
2

2
π

π

11. 3sin −2x − 3cos −2x = 6
3

3

14. sin 2 x − 3 cos 2 x = 3

10.

3 cos 5 x − sin 5 x = 2

13.

3 sin 2 x − cos 2 x = 3

Bài 4 . Giải các phương trình sau
1.
1+sin2 x) cos x +(1+cos2 x) sin x
(
=1
2.
sin x+cos3 x−3sin2 xcos x−4sin3 x
1+2sin xcos x
=0
2sin x−1

3 cos 5 x + sin 5 x = 2 cos3x

6. 3sin
9.

x
x
− 3 cos = − 3
2
2

3 sin 7 x − cos 7 x = − 2

π 
π 
12. 6cos −3x+ 2sin −3x =−2
6 
6 
15. 3 sin 4 x − cos 4 x = − 3
3. cos 3 x + 2 cos 2 x = cos x + 2

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

23


4.

( 2 cos x − 1) sin 4 x = 2sin 2 x

5.

cos x − sin x
7. 2 sin 2 x + 2 cos x = 0

10.

3x
cos3x+2sin2x.cosx−8sin2x−cosx+sin
2 =1
3x
sin
2

13. cos2 3x +cos2 5x = sin2 4x +sin2 6x

1
1
sin4x + cos 2 x =
2
2

sin2x + 4sin2 x +2sin x(1−cos x)
8.
=0
2cos x − 3
9
cos2 2x + 6sin2 x − cos2 x −
2 =0

11.
cos3x +1
14.

(cosx−sinx)(1+sin2x)−cosx−sinx
=0
tanx+1

6.

cos x(cos x + sin x) − 1
=0
cos x − cos 2 x

9. 5sin8x − 2sin x.sin3x − 2sin2 x +1 = 0
12.
4sin6x − 8sin5x.cos x − 2cos2 x +1 = 0

15.

(sinx−cosx)(1+sin2x)+cosx+sinx
=0
cot x+1

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1. Giả i các phương trình sau
a)

x π
b) 2 cos +  − 3 = 0

 3 4

3 − 2sin 2 x = 0

 2x
0 
c) 2 tan  − 20  + 3 = 0
 3


d) 4 sin x.cos x.cos 2 x = 1

e) 2 sin x − 2 sin 2x = 0

f) tan 2 x.sin x + 3 sin x − 3 tan 2 x − 3 3 = 0

2

3
g) ( 2 sin x + 1) − ( 2 sin x + 1)  sin x −  = 0
2


h) 8cos 3 x − 1 = 0

)

À
N

Ô
̣I

(

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

HD Giả i

π
x = + kπ

π
3
6
⇔ sin 2 x = sin ⇔ 
a) 3 − 2 sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x =

;k ∈ ℤ
π
3
2
x = + k
π

3

π
x = − + k 6π

x π 
x π 
π
3
4
; k ∈ℤ
= cos ⇔ 
b) 2 cos  +  − 3 = 0 ⇔ cos  +  =
π
3
4
3
4
2
6
5
 x=−





+ k6π

4
c) Điều kiện : x ≠ 1350 + k 2700

3
 2x

 2x

− 20 0  + 3 = 0 ⇔ tan 
− 20 0  = −
= tan( −30 0 ) ⇔ x = −15 0 + k270 0 , k ∈ ℤ
2 tan 
3
3
2





“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

24

d) 4 sin x.cos x.cos 2 x = 1 ⇔ sin 4 x = 1 ⇔ x =

π
8

+

kπ
,k ∈ℤ
4


π
sin x = 0
x = + k 2π

2
e) 2 sin x − 2 sin 2 x = 0 ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
 cos x = 2
π


2
 x = ± 4 + k 2π
π kπ
f) Điều kiện x ≠ +
.
4 2

(

)

tan 2 x.sin x + 3 sin x − 3 tan 2 x − 3 3 = 0 ⇔ (sin x − 3)(tan 2 x + 3) = 0

⇔ tan 2 x = − 3 ⇔ x = −

π
6

+

kπ
2


π
 2sin x + 1 = 0
x = − + k 2π

2

3
1
6
g) ( 2 sin x + 1) − ( 2 sin x + 1)  sin x −  = 0 ⇔ 
⇔ sin x = − ⇔ 
;k ∈ℤ

5
sin x + = 0
2
2
7π



2
 x = 6 + k 2π
 2 cos x − 1 = 0
π
1
h) 8 cos3 x − 1 = 0 ⇔  2
⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ
2
3
 cos x + cos x + 1 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) cos x.cos3 x = cos 5 x.cos 7 x
c) cos 2 x.cos 5 x = cos 7 x

TH

ẦY

PH
Ư

Ơ

N

G

H

À
N

Ô
̣I

b) sin 3 x.cos 7 x = sin13 x.cos17 x
d) sin 4 x.sin 3 x = cos x
1
e) sin 3 x sin 5 x = sin11x.sin13 x
f) sin x.sin 2 x.sin 3 x = sin 4 x
4
HD Giải
Dùng công thức biến đối tích thành tổng và tìm ra nghiệm của phương trình.

kπ
x = 4
a) cos x.cos3 x = cos 5 x.cos 7 x ⇔ cos 4 x = cos12 x ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = kπ

8


kπ
 x = 10
b) sin 3 x.cos 7 x = sin13 x.cos17 x ⇔ sin10 x = sin 30 x ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = π + kπ

40 20

kπ
x = 2
c) cos 2 x.cos 5 x = cos 7 x ⇔ cos3 x = cos 7 x ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = kπ

5

π kπ
x = 8 + 4
d) sin 4 x.sin 3 x = cos x ⇔ cos(π − 7 x ) = cos x ⇔ 
;k ∈ℤ
 x = π + kπ

6 3

kπ
x = 8
e) sin 3 x sin 5 x = sin11x.sin13 x ⇔ cos8 x = cos 24 x ⇔ 
,k ∈ ℤ
 x = kπ


16

“Sứ mệnh của Thầy Phương là làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI và GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”

25