ôn tập giải tích 1. TÀI CŨNG HAY

BÀI TẬP ÔN TẬP GIẢI TÍCH I
Chương I. Tính liên tục của hàm số một biến số.
ìï 3x - ( 4x + 1)
ïï
,x ¹ 2
f
x
=
1. Cho hàm số ( ) ïí
. Tìm a để f liên tục tại x = 2.
x
2
ïï
,x = 2
ïïî a
ìï x tan( 2x)
ïï
,x ¹ 0
ï
2. Cho hàm số f ( x) = í ln( 1+ 3x2)
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï
ïï a
,x = 0
î
ìï 1- cosx
ïï
é p pù
,0 < x £ p / 2
f
x

=
- , ú
3. Cho hàm số ( ) í
. Tìm a để f liên tục trên ê
x
ê 2 2ú.
ïï
ë
û
, - p/ 2 £ x £ 0
ïïî x + a
ìï 3x - 5x
ïï
,x ¹ 0
4. Cho hàm số f ( x) = í 3x + x4
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï
,x = 0
ïïî a
ìï e2x - 1
ïï
,x ¹ 0
f
x
=
5. Cho hàm số ( ) í x2 + sin x
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï
a
,

x
=
0
ïïî
ìï 3
ïï cos( 2x) - 5 cos( 2x)
, x ¹ 0 . Tìm a để f liên tục tại x = 0.
2
6. Cho hàm số f ( x) = ïí
x
ïï
,x = 0
ïïî a
ìï
x- p
p
ïï
, £ xép ù
ï 1- cos 2x 2
f
x
=
, pú
7. Cho hàm số ( ) í
. Tìm a để f liên tục trên ê
( )
ê2 ú.
ïï
ë û

ïï a
,x = p
î
sin( 2x)
1
e
- 1- 2x
3
x
8. Tính các gới hạn a)lim( 1+ sin x)
.
b)lim
x®0
x®0
x2
ìï 1- 1- x2/ 3
ïï
,x ¹ 0
9. Cho hàm số f ( x) = ïí 1- cos 3 x
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï
,x = 0
ïïî a
3

1


1
ìï

ïï ( cosx) sin x , x ¹ 0
10. Cho hàm số f ( x) = í
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï a
,x = 0
ïî
ìï x2 + 1- cosx
ïï
,x ¹ 0
f
x
=
11. Cho hàm số ( ) í
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
sin2 x
ïï a
,
x
=
0
îï
ìï x ln x , x ¹ 0
ï
12. Cho hàm số f ( x) = í
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
ïï a
,x = 0
î
sin( x2 - 1)
13. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f ( x) =

.
( x + 2) x + 1
2

14. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f ( x) =

( ).

sin x

x2 - x
- 1
x

15. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f x = e .
( ) x +2
16. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số

- 1
x

f ( x) =

e

( x + 1) .

x- 3

ìï 1- 9 1- x

ï
,x ¹ 0
f
x
=
17. Cho hàm số ( ) ïí
. Tìm a để f liên tục tại x = 0.
x
ïï
,x = 0
ïïî a
ln( x + cos2x) - x
18. Tính giới hạn lim
.
x® 0
sin2 x
x
ìï
ïï ( cosx) - 1
, x ¹ 0 . Tìm a để f liên tục tại x = 0.
3
19. Cho hàm số f ( x) = ïí
x
ïï
,x = 0
ïïî a
ìï 2x - ( x + 1)
ïï
,x ¹ 1
20. Cho hàm số f ( x) = ïí

. Tìm a để f liên tục tại x = 1.
x
1
ïï
,x = 1
ïïî a
é p pù
x2 - 3x + 2
- , ú
21. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f ( x) =
trên ê
ê 2 2ú.
x sin( x - 1)
ë
û
2


Chương II. Phép tính vi phân hàm một biến
Bài 1
2
/
1.Cho hàm số f ( x) = x - 1 x . a) Tính f ( 3) ; b) Xét sự khả vi của f tại x = 1.
px
/
. a) Tính f ( 0) ; b) Xét sự khả vi của f tại x = 1.
2
3.a/ Xét sự khả vi của hàm f ( x) = x sin x trên ¡ .
2. Cho hàm số f ( x) = x - 1 cos

b/ Xét sự khả vi của hàm số f ( x) = p - x sin( px) tại x = p .
ìï x sin x,
x<0
ï
4. a/ Cho hàm số f ( x) = í
. Xét sự khả vi của f trên ( - 1, +¥ ) .
ïï x ln( 1+ x) , x ³ 0
î
ìï 1- x, x £ 1
ï
/
b/ Cho f ( x) = ïí - 1
. Tính f ( x) , x Î ¡ .
ïï ex- 1 , x > 1
ïî
ìï e- 1/ x , x ¹ 0
ï
5. Cho hàm số f ( x) = í
.
ïï 0 , x = 0
ïî
/
a) Chứng minh f liên tục trên ¡ ; b) Tính f ( 0) .
ìï 1- cos2x
ïï
,x ¹ 0
6. Cho hàm số f ( x) = ïí
.
x
ïï

,x = 0
ïïî 2
/
a) Tính f ( p / 4) ; b) Xét sự liên tục của f tại x = 0.
ìï x3
,x £ 1
ï
7. Cho hàm số f ( x) = í 2
. Tìm các tham số a, b để f khả vi trên ¡ .
ïï ax + b , x > 1
î
ìï x + 1 - 1
ï
,x ¹ 0
8. Cho hàm số f ( x) = ïí
.
x
ïï
,x = 0
ïïî a
/
a) Tìm a để f liên tục tại x = 0; b) Với a vừa tìm được, hãy tính f ( 0) nếu có.
ìï sin2 x
ïï
,x ¹ 0
/
f
x
=
9. Cho hàm số ( ) í x

. Tính f ( x) , x Î ¡ .
ïï a
,x = 0
ïî
2

3


ỡù e- 1/ x- 1, x ạ 1
ù
10. Cho hm s f ( x) = ớ
.
ùù a
,x = 1
ùợ
/
a) Tớnh f ( 2) ; b) Tỡm a f liờn tc ti x = 1.
ỡù 2
ùù x sin p , x ạ 0
11. Cho hm s f ( x) = ớ
.
x
ùù a
,x = 0
ùợ
/
a) Tỡm a f liờn tc ti x = 0; b) Vi a va tỡm c, hóy tớnh f ( 0) .
ổ
ử

x
2ữ
2x+1
ỗ
ữ
df
2
f
x
=
arctan
f / ( x) bit f ( x) = ( 2x + 1) .
ỗ
12. a) Tớnh ( ) bit ( )
;
b)
Tớnh
ữ
ỗ
3- x
ốx ữ
ứ
/
13. a) Tớnh f ( x) bit f ( x) =

ổử
1
x- 1
/ ỗp ữ
x

ữ
f
; b) Tớnh ỗ
bit f ( x) = ( tan x) .
ữ
ỗ
ữ
arcsin( 1- 2x)
ố4ứ

x
/
14. Tớnh f ( x) bit a) f ( x) = x

2

b) f ( x) = x2 .
x

ỡù - 1+ ln x, x 1
ù
f
x
=
15. Cho hm s ( ) ớ 2
. Hm f cú kh vi trờn Ă khụng? Ti sao?
ùù x - 2x , x < 1
ợ
16. Cho hm s f ( x) = x - 2 ( x + a) . Tỡm a f kh vi trờn Ă .
ỡù 3- x2

ùù
,x Ê 1
ù
2
17. Cho hm s f ( x) = ớ
.
ùù a
,x > 1
ùù
ợx
/
a) Tỡm a f liờn tc ti x = 1; b) Vi a va tỡm c, hóy tớnh f ( 1) .
/
/
18. Cho f ( x) = x ln( x + 1) . Tớnh f ( 0) ; ( 1)
Bi 2: Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
sin x
ự
a/ f ( x) = e - sin x - 1 trờn on ộ
ờ0;pỷ
ỳ
ở
2
ự.
b/ f ( x) = x + 4 - x trờn on ộ
ờ
ở- 2;1ỳ
ỷ
x- 2
ự.

c/ f ( x) = x2 3 x - 1 trờn on ộ
ờ
ở- 1;1ỳ
ỷ

d/

f ( x) = x2 3 1- x trờn on

ộ- 1;1ự.
ờ
ỳ
ở
ỷ

4


Bài 3: Áp dụng tính đơn điệu của hàm số, chứng minh
1

a/ ln( 1+ x) < x, " x > 0. Từ đó suy ra ( 1+ x) x < e, " x > 0
3
b/ 3arctan( 2x) > 6x - 8x , " x > 0 .

d/

c/

ex +

arccosx + x < 1, " x Î ( 0,1)

1
> 2, " x > 0
x +1

Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của
t2
t2
et
tet
2
f
x
=
x
x
+
x
+
1
a/ x =
;y =
. b/ ( )
c/ x = 2
.
;y =
t- 1
t +2

t - 1
t- 1
2
Bài 5: a/ Cho hàm số f ( x) = 6ln( x + 2) - x . Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm
số f , hãy chứng minh phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.
b/

Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị nếu có của f ( x) = x -

x2 + x + 1.

2
x
+3- x
Và f ( x) =
x- 1

x4
thỏa phương trình
x4 + 1
( x4 + 1) y ''+ 8x3y ' = 12x2 ( 1- y)

Bài 6: .a/ Chứng minh hàm số y =

b/
c/
d/

y=

cos( 2x)

thỏa phương trình ( x + 2) y '''+ 3y ''- 8sin( 2x) = 0

x +2
sin x
2
f ( x) = 2
thỏa ( x + 1) y ''+ 4xy '+ 2y + sin x = 0.
x +1
x
1
xy
''
+
y
'
=0
3/ 2
thỏa
pt
y = arcsin
2
( x - 1)
x

(

e/ Chứng minh arcsin x + arccos x

)

/

= 0, " x Î ( 0;1) . Từ đó suy ra đẳng thức

p
arcsin x= - arccos x, " x Î ( 0;1) .
2
/
æ
ö
1
÷
arctan x + arctan ÷
= 0, " x ¹ 0 . Từ đó suy ra đẳng thức
f/ Chứng minh ç
ç
÷
ç
÷
xø
è
1 p
arctan = - arctan x, " x ¹ 0.
x 2
5


3

a/ f ( x) = ln( x - 4x) ; " x > 2.

Bài 7: Tính đạo hàm cấp n của
b/

Bài 8
1/ Tính f
3/ Tìm f

( 100)

( 6)

æö
1÷
ç
÷
ç
÷, biết f ( x) = 1- x
ç
è2÷
ø

( 1)

( 10)

6/ Tính f

( 100)

2

2/. Tìm f

( 30)

( 1) biết f ( x) =

x2 + 1
.
x3 - 4x

6
biết f ( x) = x + ln( 3 - 2x) .

( 3) , biết f ( x) =

4/ Tính f

x
( x - 4) ( x - 3)

c/ f ( x) =

f ( x) = ( x2 + x) sin x

x4
.
x2 - 4

5/ Tính f

( 0) , biết f ( x) = x ln( 1- x) .

( 5)

( - 1) , biết f ( x) = ln( x

7. Cho f ( x) =

3

3

- 4x) .

2- x
( 20)
f
.
Tính
( 1) .
x3 - 16x

( 0) , biết f ( x) = ( x + 2) x + 4 .
( )
9/ Cho f ( x) = ( x + 2x) sin ( px) . Tính f ( 1) .
( )
( )

10. Cho f ( x) = x 3 - x . Tính f ( 2) .
11. Cho f ( x) = ( x cosx) . Tính f ( p) .
1÷
sin( px)
( ) æö
sin x
( )
÷
ç
12. Cho f ( x) =
. Tính f ç
.
13. Tính f ( 0) , biết f ( x) =
.
÷
ç
÷
è2ø
x +1
1- x
8/ Tìm f

( 20)

3

3

100

2

2

10

3

20

5

Bài 9: Khai triển Maclaurin hàm số, với phần dư Piano.
cosx
2
2x
a/ f ( x) =
đến số hạng chứa x5 b/ f ( x) = ( 2 - x ) e đến số hạng chứa x2010
x +1
x +1
2
c/ f ( x) = 2
đến số hạng x7
d/ f ( x) = ln( x - 5x + 6) đến x5
x +1
sin x
( k)
e/ f ( x) =
. Hãy tính f ( 0) , k = 1,2,3,4
x- 1

Bài 10: Tìm công thức Taylor của
3
sin( px)
a/ f ( x) =
tại x0 = 1 đến số hạng chứa ( x - 1) .
x +1
cos( px)
1
b/ f ( x) =
tại điểm x0 = đến cấp 3.
2
1- x
c/

f ( x) = x + 1 tại x0 = 3 đến số hạng ( x - 3) . Từ đó, tính gần đúng f ( 3,01) .
3

6


Chương III.

Phép tính tích phân hàm một biến

Bài 1: Tính các tích phân sau
1

1)

ò arcsin

xdx

ò( 2x - 1)

2)

0

2

4)

ò

( x + 2)

2

( ln x)

e

dx

ò

5)

1

òx

6

8)

x + 2dx

0

dx
10) ò 4
sin x cos2 x
2

ò ( 5-

ò e sin xdx
- x

18)

9)ò

)

+¥

+¥

ò
2

dx
x2 ( x - 1)

ò( x - 1) ln( x - 1) dx

22)

ò
0

1

2

ò

(x

2

0

19)

+ 2) x + 1

1

5

1- x

dx

23)

ò
0

ln x

( x + 1)
e

26)

1

1

Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng
1
1 x + sin 1/ x
( ) dx 29)
- ln x
27) ò 2

dx 28) ò
0 x +2
0
x

16)

2

- 2x
ò ( 1- x) e dx 20)

( x + 1) dx
25) ò
( x + 3) x - 1

ò( x - 1) ln( x - 1) dx

0

0

x

dx
2sin x + 3cosx

ò 3-

xdx

5

3

x3 x 4 + 1

+¥

1

5

15)

dx

2sin x - 3cosx
dx
3sin x - 2cosx

12)

x ln( cosx)

x3dx
14) ò 8
1 x +1

1

24)

1

3/ 2

dx

- 1 dt

0

x®0

+¥

+¥

t2

( 1+ x2)
ò

6)

dx

arcsin x
dx

2
x
1/ 2

ò (e

arctan x

2

ò

11) lim

2x) e dx
3x

- ¥

21)

2

x 3 1+ ln x

sin x

17)

0

1

1

13)

ò

3)

1+ 7xdx

8

0

3ln( x - 1) + x + 2

1

7)

1

1

2

ò

1

2

òe

x

cosxdx

- ¥

æ2- x
1 ö
÷dx
ç
+
ò ççè2 + x2 2 + x ø÷
÷
÷
2

+¥

dx

1+ ln x
x ( ln x)

a

dx

Bài 2:

1

31)

ò

5

x + 1- 1

dx
6
6
0
x + 1- 1
+¥
x sin x
35) ò
dx 36)
3
1 ( x + 1)

1

xdx

32) ò sinx
33)
- 1
0 e
+¥

ln xdx
ò x2 + 3 37)
2

+¥

1

ò
0

1

x2/ 3dx
ò ln 1+ x2 30)
(
)
0
4

x +1- 1
dx 34)
x3

ln x
ò x3/ 2 dx 38)
2
7

+¥

ò
10

1

ò
0

+¥

3

1+ x - 1
dx
x2
1

ò x sin x

3

dx

1

13 + sin x - 2cos3x
dx
x2


( x + 1) sin x dx
ò
( x + 1)

+¥

39)

1

3

2

+¥

40)

ò
1

x cosx

(x

2

+ 2)

+¥
3

dx 41)

ò
1

3

x4 + 4

dx

( x2 + 2) ( x3 + 3)

Bài 3: Tùy theo tham số a , hãy xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

(

)

1 ln 1 +
1

x
x2 + x + 1
1- cosx
42) ò
dx
43) ò
dx
44) ò
dx
a
a
a
x
+
1
x
x
3
0
0
Bài 4: Tính độ dài cung phẳng (L) có phương trình
ìï x = 3( t - sint)
ï
x
,0 £ t £ 2p .
a/ y = e + 1,0 £ x £ ln2. b/ í
ïï y = 3( 1- cost)
ïî
1
c/ y = 2x ;0 £ x £ ln3.

d/ y = 3x2 ln x;1 £ x £ e.
24
+¥

Chương IV

Hàm nhiều biến

Bài 1: Tìm vi phân toàn phần của hàm hai biến sau
x
x2 - y
1) C2 z ( x, y) = ln
;
2) C2 f ( x, y) = ( x - y) ey
x + 2y

(

)

2
2
2
3/ C1 f ( x, y, z) = ln x + x + y + z .

4/

C1 f ( x, y, z) =

(

z + ln y + x + y2

).

3x - 7z
5/ C1 z ( x, y) xác định bởi pt 2x + 3y - 4z = ez .
Bài 2: Chứng minh hàm
x +y
z - zx/
y2 + y
= 2
a/ z ( x, y) = e x- y thỏa mãn
.
zy/
x +x
2

2

x
¶z
¶2z
1 - 4y
=
, " ( x, y) Î ¡ ´ ( 0, +¥
b/ z ( x, y) = 1/ 2 e thỏa phương trình
¶y ¶x2
2y

c/ z ( x, y) = xy +
d/

z ( x, y) = ln

x
/
/
thỏa phương trình z ( xzx + yzy ) = xy .
y
1

¶2z ¶2z
+
= 0.
thỏa pt
¶x2 ¶y2
x2 + y2
8

)


2
y
¶2z
2 ¶ z
- a
= 0.
e/ z ( x, y) = 2

, a ≠ 0 , thỏa phương trình
y - a2x2
¶x2
¶y2

f/

Cho hàm ẩn z ( x, y) xác định bởi phương trình

/
/
2x2 - y2 + 3z2 + 4xz - 5yz + x + 14 = 0. Tính zx ( - 1,2) ;zy ( - 1,2) biết z ( - 1,2) = 1.
2
g/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định bởi pt ( x + y) z + xy =

xz
/
/
. Tính các đhr zx , zy .
y

k/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định bởi pt x2 + 3y2 + 2z2 - xz + 3yz + 5xy + 11 = 0.
/
/
Tính zx ( 2, - 3) ; zy ( 2, - 3) biết z ( 2, - 3) = 4 .
/
/
h/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định bởi pt xyzexyz = 1. Tính các đhr zx , zy .
z- 1

Bài 3:

uuuur
¶f
y
Cho f ( x, y, z) = xyz + ( x + y) e . Tính gradf ( M 0) và r ( M 0) . Biết M 0 ( 1,0,2) và
¶l
r
r
l là vec tơ dơn vị của vec tơ a = ( 4,7,4) .

a/

2
2
b/ Cho f ( x, y, z) = xy + 3x z - 2yz và điểm M 0 ( - 1,2,1) . Tính đạo hàm theo hướng
uuuur
r
¶f
r ( M 0) , biết l là vec tơ đơn vị của gradf ( M 0) .
¶l

Bài 4: Tìm cực trị của hàm hai biến sau
1) z ( x, y) = 2( x3 + y3) - 6( x + y) - 3;

3) z ( x, y) = ex- y +1 - x + 2y4;
2

5) z ( x, y) =

8 x
+ +y;
x y

2) z ( x, y) = 2x - y + ln

y
;
x +y

4) z ( x, y) = x2 ( y - 1) - x ( y2 - 1) ;

6) z ( x, y) = ( 5x - 30y - 4) e2y - x
3

7) z ( x, y) = x3 + 3xy2 - 15x - 12y + 2010;
9) z ( x, y) = x3 - 3x2y + 4( y3 - y2 - y + 1) ;
11) z ( x, y) = x3 + y3 - 3x - 3y + 1;

8) z ( x, y) = xy +

2 4
+ ;
x y

10) z ( x, y) = y x - y2 - x + 9y - 1;

12) z ( x, y) = ( x2 + 4) ( y2 + 3) - 2y ( 2x2 + 3) ;

13) z ( x, y) = x2y - ( x - 1) y2 - xy + 3;

14) z ( x, y) = ( x3 - 12x) y2 + y;
9


Bài 5: Tìm cực trị của

b/

2
2
z ( x, y) = 1- 2x - y với điều kiên x + y = 1.
2
3
z ( x, y) = 2 + 3x - 2y với điều kiên 3x2 + 2y2 = 1.

c/

z ( x, y) = x2 + y2 + xy - 2( x + y) với điều kiên x + y - 4 = 0.

d/

f ( x, y, z) = 4x + 7y - 4z + 1 với điều kiên x2 + y2 + z2 - 16 = 0.

a/

e/ f ( x, y, z) = x + 2y + 3z với điều kiên x2 + y2 + 3z2 = 1.
f/

z ( x, y) = 2x2 - 3y với điều kiên 8x + 12y2 + 1 = 0.

g/ z ( x, y) = 2x - 3y + 5 với điều kiên 2x2 + 3y2 - 5 = 0.
k/ Tìm tất cả các điểm dừng của hàm hai biến
a) z ( x, y) = e

(

- x2 +y2

Chương V.
Bài 1:

)

( 3x

2

- 8y3)

b) z ( x, y) = xy 4 - x2- 4y .
2

Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học

1. Trong mặt phẳng cho đường cong (C) có phương trình ( x - a) + ( y - b) = R 2 . Cmr
2

2

độ cong của (C) tại mọi điểm M Î (C) là một hằng số tỷ lệ nghịch với bán kính R.
2. Trong không gian ¡ 3 , cho đường xoắn ốc (L) có pt x = R coswt; y = R sin wt ;
z = t, t Î ¡ . Chứng minh rằng độ cong tại mọi điểm thuộc (L) là một hằng số.
3. Cho đường tròn (T) có pt ( x - a) + ( y - b) = R 2 . Chứng minh rằng tiếp tuyến của
2

2

2
(T) tại điểm M 0 ( x0, y0) có phương trình ( x0 - a) ( x - a) + ( y0 - b) ( y - b) = R .

x2 y2
+ = 1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) tại điểm
a2 b2
xx yy
có phương trình 02 + 02 = 1.
a
b

4. Cho elip (E) có pt
M 0 ( x0, y0)

5. Trong không gian cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 = R 2 . Chứng minh
2
rằng tiếp diện của (S) tại M 0 ( x0,y0, z0) có pt x0x + y0y + z0z = R .

10


x2 y2 z2

+ + = 1. Chứng minh rằng tiếp diện của
a2 b2 c2
xx yy zz
có phương trình 02 + 02 + 02 = 1.
a
b
c

6. Cho mặt cầu (S) có phương trình
(S) tại M ( x0, y0, z0)
Bài 2:

a/ Cho (L) có pt ( x - 2y) + 2x - y - 4 = 0. Tính độ cong của (L) tại M ( 2,1) .
2

2
2
b/ Cho (L) có pt x + 2y = x ( y + 4) . Tính độ cong của (L) tại M (2;- 1)

x2 y2
c/ Tính độ cong của elip (E):
+ = 1 tại các đỉnh thuộc trục nhỏ của (E).
4
9
2
d/ Tính độ cong của (L) có pt x + 2y2 - 5xy + e( x- 1) y = 0 tại điểm M ( 1,2) Î (L ) .
x2 y2
+ = 1( b > a > 0) . Tính độ cong của (E) tại điểm
a2 b2
M 0 ( x0, y0) Î (E ) tùy ý . Từ đó tìm điểm N Î ( E ) sao cho độ cong C ( N ) nhỏ nhất.

e/ Cho elip (E) có pt

f/ Tìm độ cong của (L) có pt y = ( 5x + 1) arcsin

x
tại điểm M ( 1; p) .
x +1

g/ Tìm độ cong của (L) có pt ( 2x + y) + 2x - y + 4 = 0 tại M ( - 1;2) .
2

h/ Tính độ cong của đường cong (L) có pt x = tet- 1;y = t 2;z = te2t- 1 .
ìï x2 + y2 = 9
ï
k/ Cho (L) có pt í
. Tính độ cong của (L) tại M - 1,2 2,3 Î ( L ) .
ïï z = x + 2y
ïî
ìï x2 + y2 = 4
ï
l/ Cho (L) có pt í
. Tìm độ cong của (L) tại M 1, 3,4 Î ( L ) .
ïï z = x + 3y
ïî

(

(

)

)

Bài 3:
1/ Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong trong không
gian cho bởi pt tham số sau tại điểm M ứng với tM = 3
æ1 ö
æ
et- 3
pt ö
÷
÷
ç
÷
÷
x=
;y = arccosç
;
z
=
t
cos
ç
ç
.
÷
÷
÷
÷

ç
ç
t- 2
èt - 1ø
è2 ø

11


ỡù x2 + y2 = 4
ù
b/ Cho ng cong (L) cú phng trỡnh ớ
. Vit phng trỡnh tip tuyn
ùù z = x + 3y
ùợ

(

)

ca (L) ti M 1, 3,4 ẻ ( L ) .
c/ Vit phng trỡnh tip din v phng trỡnh phỏp tuyn ca mt cong (S) trong khụng
x- 2y+4z
- 3 = 0 ti M ( 2,3,1) ẻ ( S ) .
gian cú phng trỡnh ( 2x - y + z + 1) e
d/ Vit phng trỡnh tip din v pt phỏp tuyn ca mt cong (S) trong khụng gian cú
ex- 3y- 2z
+ z = 0 ti M ( 4,2, - 1) ẻ ( S ) .
phng trỡnh
2x - 5y - 2z + 1

e/ Vit phng trỡnh tip tuyn v phng trỡnh phỏp din ca ng cong trong khụng
gian cú phng trỡnh sau ti im M ng vi tM = 2
3 ổ
pt ử
ữ
x = ( 3 - t) et- 2;y = ( t + 2) cos( t - 2) ;z = sinỗ
ỗ ữ
.
ữ
ữ
ỗ
t
ố6 ứ
f/ . Vit phng trỡnh tip tuyn v phng trỡnh phỏp din ti im M ( 2;3;1) ca ng
cong (L) cú phng trỡnh x = et- 1 + 1;y = t 2 + 2t;z = tet- 1 .
g/ Vit phng trỡnh tip tuyn v phng trỡnh phỏp din ca ng cong cú pt:
p
e2- t
2
ti im ng vi t = 3.
x = t sin ( pt) ;y = t cos ;z =
t
t- 2
k/ Vit phng trỡnh phỏp tuyn v phng trỡnh tiep din ti im M ( 0;1;1) ca mt
yộ
e2x - ln( y + x) ự
+ 3z2 = 4 .
cong (S) cú phng trỡnh:
ờ
ỳ

ở
ỷ
m/ Vit phng trỡnh tip din v phng trỡnh phỏp ca mt cong (S) cú phng trỡnh:
ổ
x
x - yử
p
ữ
ữ
arctanỗ
=
ỗ
ti im M ( 2, - 1,3) ẻ ( S ) .
ữ
ỗ
ữ 4
y +z
ố 3 ứ
n/ Vit pt tip din v pt phỏp tuyn ti im M ( 1;1;1) ca mt cong (S) cú pt :
x2y + 4z2x - ln( x + y - z) = 5

12