Dạy học phát triển tư duy cho học sinh lớp 6 qua chuyên đề phân số

Mục lục

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2 . Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cớ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiên kinh nghiệm
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
2
2
2
2
3
4
17
18
18
19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nhiệm vụ đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước là một
nhiệm vụ trong tâm và xuyên suốt của tất cả các cấp học trong hệ thống
giáo dục nói chung và của Việt Nam nói riêng.
Công tác dạy học không chỉ trang bị cho các em học sinh những kiến
thức khoa học của nhân loại mà còn phải giúp từng cá nhân học sinh phát
huy tối đa năng lực của các em từ đó mồi em đều được phát triển cả về kiến
thức, năng lực cũng như nhân cách con người.
Để thực hiện mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo trong giai đoạn
hiện nay. Nhiệm vụ của người giáo viên là phải nâng cao chất lượng dạy và
học. Việc nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu
quả cao là một việc làm hết sức quan trọng giúp học sinh tiếp thu các kiến
thức một cách chủ động, hỗ trợ các em tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức từ
sách giáo khoa, sách tham khảo và từ thực tiễn một cách chính xác, khoa
học, đồng thời không ngừng phát triển tư duy kỹ năng của học sinh một
cách linh hoạt.
Đặc biệt hơn với bộ môn toán, không chỉ giúp các em có được những
kiến thức cơ bản của bộ môn toán, có được kỹ năng giải toán, khả năng vận
dụng bài toán vào cuộc sống mà còn phải giúp các em phát triển được các
năng lực tư duy, từ đó các em có thể linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trong học
toán, linh hoạt sáng tạo hơn trong việc giải quyết các tình huống đặt ra
trong đời sống và sản xuất.
Chính vì vậy tôi nhận thấy rằng đối với bộ môn toán, ngoài việc học
sinh học lý thuyết, làm bài tập…thì việc khai thác kiến thức từ một bài toán
này sang thành những bài toán khác là rất quan trọng và cần thiết để phát
triển tư duy. Đặc biệt trong chương trình dạy- học toán lớp 6 (đầu cấp).

Việc mở rộng từ một bài toán này thành bài toán khác cũng là kỹ năng
chuyên sâu trong môn toán. Chính vì lẽ đó là giáo viên đã từng nhiều năm
giảng dạy tôi đúc kết kinh nghiệm để đưa ra một số phương pháp dạy học
với mục đích giúp cho học sinh có hứng thú học môn toán tốt hơn.
Hơn nữa trong những năm gần đây ở cấp tiểu học các em không còn
các kỳ thi học sinh giỏi, chính điều đó mà cơ hội để các em phát triển tư
duy sáng tạo cũng bị hạn chế. Khả năng tư duy trừu tượng, khái quát hóa,
cụ thể hóa cũng bị hạn chế nhiều.
Vì vậy tôi chọn đề tài “DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO
HỌC SINH LỚP 6 QUA CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua việc Thông qua dạy học chuyên đề phân số, nhằm kích
thích tư duy sáng tạo, giúp các em biết nghiên cứu sâu bằng cách cho các
em tập dượt dùng một số thao tác tư duy, khái quát hóa, tương tự hoá,… để
tự mình đặt, thay đổi bài toán từ bài toán ban đầu.
2


1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Toàn bộ học sinh khá, giỏi lớp 6
- Phạm vi: Học sinh lớp 6 trường THCS Cẩm Thành
Các năm 2016-2017 và 2017-2018
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- Thực nghiệm
- Thống kê, phân tích kết quả
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản
chất những mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng

khách quan mà trước đó ta chưa biết
Tư duy có các đặc điểm:
Tính có vấn đề
Tính khái quát
Tính gián tiếp
Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tư duy có quan hệ với nhận thức cảm tính
Tư duy là một hành động. Mỗi hành động tư duy là một quá trình
giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay
trong hoạt động thực tiễn: Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau liên tục: từ khi gặp tình huống có vấn đề và nhận thức được vấn đề
cho đến khi vấn đề được giải quyết. Sau khi giải quyết lại có thể làm nảy
sinh vấn đề mới, khởi đầu cho một quá trình tư duy mới có thể phức tạp
hơn.
Các thao tác của tư duy bao gồm: Phân tích, tổng hợp; So sánh; Khái
quát hóa, trừu tượng hóa.
Theo Carol Dweck, nhà tâm lí học tại đại học Stanford tư duy được
chi làm 2 loại là “Tư duy cố định” và “Tư duy phát triển” . Tư duy nếu
không được nuôi dưỡng, phát triển hợp lí thì nó sẽ là tư duy cố định, bất
biến, con người này khó có được những thành công. Còn tư duy được nuôi
dưỡng, hợp lí và phát triển thì tư duy phát triển tích cực sinh sôi mạnh mẽ
trong thách thức và nhìn nhận thất bại “không phải bằng chứng cho sự
không hiểu biết mà là bước đệm cổ vũ cho sự phát triển lâu dài các năng
lực.”
Nếu bạn chỉ có trí thông minh nhất định, năng lực nhất định và phẩm
chất đạo đức nhất định, vậy thì tốt hơn hết nên chứng minh rằng những yếu
tố đó đang rất ổn. Không nên nhìn nhận hay cảm thấy thiếu thốn những
nhân tố cơ bản này.” Dweck nói: “Tư duy cố định có thể tác động tiêu cực
đến mọi mặt của cuộc sống.” “Tôi từng thấy rất nhiều người bị tư duy cố
3

định (fixed mindset) chi phối khả năng đặt mục tiêu trong quá trình học tập,
trong sự nghiệp và các mối quan hệ. Những trường hợp đó đều đòi hỏi một
sự thừa nhận trí thông minh, phẩm chất hay cá tính của họ. Mọi trường hợp
đều bị đánh giá: Tôi sẽ thành công hay thất bại? Trông tôi sẽ thật thông
minh hay ngu ngốc? Liệu tôi có được chấp nhận hay bị từ chối? Tôi sẽ cảm
thấy mình như người thắng hay kẻ thua?” Tuy nhiên, khi bạn bắt đầu nhìn
mọi thứ một cách khả biến, tình huống sẽ sáng tỏ hơn. “Tư duy phát triển
tích cực dựa trên niềm tin rằng những phẩm chất cơ bản là thứ bạn có thể
trau dồi thông qua nỗ lực. Mặc dù mọi người có thể khác nhau trong cách
thể hiện tài năng ban đầu và năng khiếu, sở thích hoặc khí chất, họ có thể
thay đổi và trưởng thành thông qua ứng dụng và trải nghiệm.”
Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng nhân tài chính là việc người thầy
phải biết sử dụng phương pháp dạy học tích cực để giúp người học phát
triển tư duy một cách tốt nhất.
Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần
truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng
cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua
những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài
tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực
tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán không những giúp học
sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là
hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy
nhiên, để đạt được hiệu quản như trên, người giáo viên phải biết tổ chức
một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ
thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp
dạy học tích cực. Chính từ những cơ sở đó mà việc dạy học toán không chỉ
đơn thuần là dạy kiến thức khoa học cho học sinh mà còn phát triển được
các năng lực tư duy cho các em.

Hơn nữa học sinh lớp 6 là lớp đầu cấp THCS năm học mà các em
còn nhiều bỡ ngỡ với nhiều thầy cô, nhiều môn học, được học nhiều kiến
thức hơn so với cấp tiểu học. Năng lực tư duy của các em còn nhiều hạn
chế.
Các em đang còn nặng thói quen vừa chơi, vừa học, học ít hơn chơi.
Chưa thực sự ý thức được mục đích của việc học, ý ngĩa của việc học tập.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy trong nhiều năm tôi thấy khả năng tư duy của học
sinh lớp 6 còn nhiều hạn chế, đặc biệt là khả năng khái quát hóa, cụ thể
hóa… Hơn nữa cách học của học sinh còn quá thụ động, lười tìm tòi sáng
tạo, chưa biết vận dụng khai thác các bài toán đã học vào giải bài tập.
4


Gần như chỉ biết được những bài toán mà thầy cô cho làm, mà không
có tính sang tạo trong suy luận, tư duy.
Thời điểm
Số HS
Số HS Khái quát Số HS khai thác được
Khá giỏi
được bài toán
bài toán
được khảo SL
%
SL
%
sát
Năm 2015-2016
10
3

30
1
10
2.3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Trong các tiết luyện tập, ôn tập và các tiết tăng cường tôi đã lồng các
kiến thức này vào tiết dạy nhằm phát triển tư duy của học sinh và tạo sự
hứng thú, không nhàm chán trong học tập đối với các em khá giỏi.
Trong chương trình toán lớp 6 THCS có rất nhiều dạng bài tập tôi chỉ
chọn một số dạng toán sau:
2.3.1. Dạng toán tính tổng theo quy luật
*. Phát triển khả năng khái quát hóa.
Ví dụ1: Cho dãy số:

1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ; ; ; ;....
2 4 6 8 10 12 14 16 18

Hãy viết thêm 3 số tiếp tiếp theo của dãy
Hãy viết số hạng tổng quát của dãy
Giải: Mẫu là các số chẵn liên tiếp.
1 1 1
; ;
20 22 24
1
Số hạng tổng quát là
Với n �N *
2n

Nên 3 số tiếp theo là

Như vậy qua bài toán học sinh vừa nắm được quy luật của dãy, từ đó biết
cách viết số hạng tổng quát. Bước đầu có khả năng tư duy khái quát hóa.
Ví dụ 2: Hai phân số

1 1
; có tính chất là tích bằng hiệu. Tức là
2 3

1 1 1
. 
2 3 6
1 1 3 2 1
 

2 3
6
6

a. Em hãy tìm them các cặp phân số có tính chất như vậy
b. Hãy viết cặp phân số tổng quát có tính chất đó.
Giải: a. Các cặp phân số có tính chất hiệu bằng tích là
1 1
1 1
1 1
; và ; và ; …….
3 4
5 6
7 8

b. Đó là các cặp số có tử là 1 và mẫu là hai số nguyên liên tiếp

Cặp phân số tổng quát có tính chất tích bằng hiệu là
1 1
;
n n 1

Từ đó giáo viên đặt them câu hỏi: Hãy chứng minh khẳng định đó
5


Giải Quy đồng mẫu, ta được: - = =
1 1
1
.

n n  1 n(n  1)

Vậy:

1 1
1
1
.
 
n n 1 n n 1

* Phát triển tư duy qua khai thác bài toán
Từ Bài toán ở ví dụ 2 giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển thành bài
toán
Bài toán 1: Tính tổng. A = . + . + . + . + . + . + .
* Định hướng tư duy:

Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số
tự nhiên liên tiếp có dạng: n và n+1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng :
.
Từ đó áp dụng bài toán ở ví dục 2 ta được
A= - + - + - + - + - + - + = - =
Các bài toán tương tự
Tính tổng: B = + + + + + +
C== + + + + +
Tiếp theo giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác tiếp: Nếu hai phân số có
mẫu cách nhau 2; 3; 4; 5 đơn vị thì tính chất đó có đúng nữa không?
Trả lời: Lúc đó hiệu bằng 2 lần; 3 lần; 4 lần; 5 lần tích của chúng.
Như vậy ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Tính tổng
D= + + +…+
a.
E= + + +…+
b.
* Định hướng tư duy:
Bài toán là tính tổng các phân số có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của mỗi
phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên khác nhau và hơn kém nhau hai
đơn vị. Ở tổng D, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên chẵn liền
nhau. Ở tổng E, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên lẻ liền nhau.
Muốn có cách giải như bài toán 1 thì trên các tử cần phải có số mấy?
HS: Phải có số 2.
GV: Vậy thì các em hãy tính 2.D rồi từ đó sẽ tính được D
* Tìm lời giải: Áp dụng cách giải bài toán 1 bằng cách xét các hiệu sau:
- ; - ;…; -; -;…
Ta có: - = ; - = ; …; - =
- = ; - = ;…; - =
* Cách giải:

Từ nhận xét trên , để giải ta có thể nhân D và E với 2 hoặc .
6


2D = + + + … +
2E = + + + …+
Vậy: 2D = - + - + - + ...+ = - =
D= :2=
2E = 1 - + - + - +…+ - = 1 E= :2=
Từ kết quả trên ta hãy xét tiếp bài tập dưới đây:
Bài toán 3: Tính nhanh các tổng sau:
a. S1 = + + + … +
b. S2 = + + + … +
c. S3 = + + + … +
* Định hướng tư duy:
Bài toán vẫn là tính nhanh các tổng: Mỗi tổng là dãy cộng các phân
số có tử là 1 và mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên cách nhau
một khoảng nhất định nào đó. Ở câu a: Mẫu của mỗi phân số trong tổng là
tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị. Ở câu b: Mẫu của mỗi phân
số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 5 đơn vị và ở câu c:
Mẫu của mỗi phân số trong tổng lại là tích của 2 số tự nhiên cách nhau 10
đơn vị.
Ở cách giải bài toán 2, ta nhận thấy: Mẫu của mỗi phân số trong tổng
hơn kém nhau 2 đơn vị, ta đã nhân tổng đã cho với 2 ( 2 là khoảng cách 2
thừa số ở mỗi mẫu) và như vậy đã viết được mỗi phân số thành hiệu của 2
phân số. Ta hãy xét tương tự đối với các phân số ở S1 , S2 , S3 .
Nhận xét thấy:
= - ;
= - ;…
=1 - ;

= - ;…
Ta có:

=1 - ;

10
1 1
 ;…
=
11.21
11 21

* Cách giải:
a. 3S1 = + + + … +
= - + - + - + …+ = -= =
 S1 = : 3 =
( có thể tính S1 )
b. 5S2 = + + + … +
= 1 - + - + - + …+ = 1 - =  S2 = : 5 = (có thể tính S2 )
c. 10S3 = + + + … +
= 1 - + - + - + …+ 7


= 1 - =  S3 = : 10 =
( có thể tính S3 )
Từ bài toán ban đầu, ta đã có bài toán 2, bài toán 3 và đã tính rất
nhanh chóng các tổng tương đối phức tạp nhưng không mấy khó khăn. Bây
giờ ta hãy xét tiếp bài toán sau:
Bài toán 4: Tính các tổng sau:
a. S4 = + + + … +

b. S5 = + + + … +
* Định hướng tư duy:
Bài toán đã cho có điểm giống với các bài toán đã giải là: Mẫu của
các phân số trong mỗi tổng vẫn là tích của các số tự nhiên liền nhau và đều
có tử là 1. Tuy nhiên, mẫu của mỗi phân số lúc này lại không phải là 2 thừa
số nữa mà lại là 3 hay 4 thừa số.
+ Ở tổng S4: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 3 số tự nhiên liền
nhau (theo thứ tự tăng dần).
+ Ở tổng S5: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 4 số tự nhiên liều
nhau (theo thứ tự tăng dần).
Ở bài toán 2 và 3, mẫu của mỗi phân số trong các tổng đều là tích
của 2 thừa số, ta đã đưa chúng về dạng hiệu 2 phân số. Hãy xét hiệu:
- ; - ;…
- ; - ;…
Ta có: - = ; - = ; …
- = ; - = ;…
* Cách giải:
a. 2S4 = + + + … +
= - + - + - + …+ = - =
 S4 =
b.3S5 = + + + …+
= - + - + - + …+ = - =
 S5 =
Tóm lại: Việc tính 2 tổng trên cũng có quy luật như các tổng đã xét.
Nếu thay đổi một chút như bài toán 2 chẳng hạn: + ; … Vậy cách tính có
gì khác không? Hãy xét tiếp bài tập tiếp theo.
Bài toán 5: Tính tổng:
S6 = + + + …+
S7 = + + + …+
8

* nh hng t duy:
Bi toỏn l tớnh tng gn ging nh tng S4 . Dóy cng cỏc phõn s cú t
l 1 v mu ca mi phõn s l tớch ca 3 s
t nhiờn l lin nhau, chaỹn lien nhau .Phaỷi chng quy lut cng
ging
nh bi toỏn ó gii trờn?
( S6 ) Ta xột cỏc hiu nhử treõn: - ; - ;
Ta cú: - = ; - = ; - = ;
* Cỏch gii:
4S6 = + + + +
= - + - + - + +
- = - =
(2n 1)(2n 3) 3

=> S6 = 12(2n 1)(2n 3) ( S7 gii tng t )
Bi toỏn 6: Tớnh tng:
4
4
4
4
4



...
1.7 7.13 13.19 19.25
43.49
8

8
8
8


...
S9 =
1.5 5.9 9.13
25.29
2
2
2
5
5
5
52
52
S10 =


...

2.3.4 3.4.5 4.5.6
37.38.39 38.39.40

S8 =

* nh hng t duy: Bi toỏn cú dóy cng cỏc phõn s cú t ln
hn 1 v mu ca mi phõn s cng tng t nh cỏc bi tp trờn.
+ tng S8: Mi phõn s trong tng cú t l 4 v mu tớch ca 2 s t

nhiờn hn kộm nhau 6 n v
+ tng S9: Mi phõn s trong tng cú t l 8 v mu l tớch ca 2 s
t nhiờn hn kộm nhau 4 n v.
+ tng S10: Mi phõn s trong tng cú t l 5 2 v mu l tớch ca 3 s
t nhiờn lin nhau (theo th t tng dn).
a bi toỏn trờn v dng bi toỏn cú t bng 1 bng
cỏch ỏp dng tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cng v
mu vn gi nguyờn khi ú bi toỏn ging nh cỏc bi toỏn ó gii trờn.
4
4
4
4
4



...
1.7 7.13 13.19 19.25
43.49
1
1
1
1
1


...
= 4(
)
1.7 7.13 13.19 19.25

43.49
1 1
1
1
1
1
1
=> 6S8 = 4(1- + + - ++ )
7 7 13
13 19
43 49
1
48
= 4(1 )=
49
49
48
32
=> S8 =
:6=
( S9, S10 gii tng t)
49
49

S8 =

9


Nhận xét: Như vậy cách giải bài toán 5, 6 cũng không có gì khác so

với cách giải các bài toán trước đó . Từ cách giải và nhận xét trên, các em
cũng có thể tự đặt ra các bài toán tương tự và giải không mấy khó khăn.
* Khai thác thêm: ( Người ta có thể hỏi ta bằng cách khác) chẳng
hạn:
Chứng minh: A = + + +…+ <
B = + + +…+ < 3
Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trên chính là một trường hợp cụ
thể của bài toán 5. Như vậy từ cách giải bài toán 5 ta có thể tính được
nhanh chóng giá trị của biểu thức A . Đối với tổng B, tử của mỗi phân số
đều bằng 36, mà 36 = 9.4, vậy là cách tính tổng B đã cho cũng không khác
gì cách tính tổng S6 . Từ nhận xét trên, ta có:
A = ( - + - + - + …+ - )
= (- ) = .=
Do < = suy ra A <
B = 9( + + + …+ )
= 9( - + - + - + …+ - )
= 9( - ) = 9 . =
Do < = 3. Từ đó suy ra B < 3
Qua nội dung bài toán trên, kết hợp với các bài toán đã giải, các em
lại có thể đặt ra các bài toán tương tự để giải.
Trở lại bài tập1: Bây giờ ta lại xét bài toán theo nội dung khác, chẳng hạn:
Bài toán 7: Tính nhanh tổng sau:
P= + + + +… +

1
215

* Định hướng tư duy:
Khác với các bài toán ở trên, bài toán 7 là tính nhanh tổng các phân
số có tử bằng 1, còn mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số

mũ khác nhau (Từ 1 đến n). Vậy làm thế nào để tính nhanh được và có thể
áp dụng được (1) không?
Liệu mỗi số hạng có thể tách thành hiệu của hai phân số nào?
Để ý, ta có: = 1 – = 1 –
= = - = = = - = = = - =

1

- ; …; 15
2
* Cách giải:

P =

+ + + +…+

1

1

= 214 - 215
1
215

10


1

1

= (1- ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( 214 - 215 )
1

= 1 - + - + - + - + …+ 214

-

1
215

1

Vậy P = 1 - 215
Như vậy, để giải bài toán trên ta cũng đã tách mỗi phân số thành hiệu
hai phân số và thu được một dãy cộng, trừ các phân số đối nhau giống như
quy luật của các bài toán ở trên và nhanh chóng tính được giá trị của P.
Nếu để ý thì ta lại có cách giải khác như sau:
Ta có: + = + = = 1 - = 1 + + = + =
= 1- = 1+ + + = + = = 1- = 1- …
+ + + +…+ + = 1 Đây chính là cách giải suy luận phổ biến được áp dụng cho nhiều
dạng bài tập
GV định hướng để có được bài toán tổng quát: Em hãy phát triểm
thành bài toán tổng quát? Và kết quả của bài toán tổng quát bằng bao nhiêu
Tính nhanh tổng sau:
P= + + + +… +

1
2n

Kết quả: Tính nhanh tổng sau:
P = 1-

1
2n

Mặt khác, GV hướng dẫn để học sinh tìm cách giải khác khá độc đáo
khác cũng được áp dụng từ cách giải của một dạng bài tập khá phổ biến –
So sánh, chẳng hạn: Tổng A = 2 +2 2 + 23 + … + 210 có chia hết cho 3
không? Để giải bài toán này, ngoài cách áp dụng tính chất kết hợp của
phép cộng và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có
thể xét hiệu sau 2A – A (bằng A). Khi đó, dễ dàng tìm được giá trị của A.
Hãy thử áp dụng cách này với P.
Ta có: 2P = + + + + …+ +
= 1 + + + + +…+ +
=> 2P-P = 1+ + + + …+ + - (++ + +… + +)
P=1Nhận xét: Cách giải trên cũng giúp ta tính được tổng P không mấy
khó khăn, vì 2P – P = P. Với cách giải này ta lại có vô số bài tập tương tự,
chẳng hạn:
Các bài toán tương tự
Bài toán 8: Tính tổng Q = + + + + … +
R = + + + + …+
11


Áp dụng cách làm trên ta có:
3Q = + + + + … +
=1+ + + + + …+
3Q - Q = 1+ + + + +… + -( + + + +… + )
2Q = 1 Q = (1 - ): 2 (Caùch tính R töông töï )

2.3.2. Dạng toán tính tìm x biết.
Sauk hi dẫn dắt cho các em nghiên cứu các bài toán dạng tịnh toán
giáo viên định hướng cho các em chuyển sang bài toán tìm x.
Với cách sử lí như các bài toán trên ta dễ dàng giải quyết được các bài toán
tìm x như sau:
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên x, biết:
+ + + +… + = (*)
* Định hướng tư duy:
Bài toán là yêu cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của
đẳng thức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên
khác nhau, phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự
nhiên liên tiếp giống như ở tổng C của bài toán 1; vế phải của đẳng thức là
một phân số có tử nhỏ hơn mẫu một đơn vị.
Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;…như
vậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số
tự nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính là tổng C ở bài toán 1. Từ đó suy ra
cách giải.
* Cách giải:
+ + + +…+
Ta có:
= + + + …+
=1- + - + - +…+ - =1Vậy (*) <=>1 - =
<=> = 1 - <=> =
=> x +1= 2005 hay x = 2004
Hoặc biến tướng bài toán trên đi ta có bài toán 2
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên x, biết:
+ + + + … + = (**)
* Định hướng tư duy :
Bài này có giống như bài toán 1 không ?
TL Không .

Vậy ta có thể dùng TC cơ bản của phân số để đưa về bài toán 1 được
không.
TL : Nhân cả tử và mẫu với 2
* Cách giải:
Ta có: + + + + …+
12


= + + + +…+
= + + + +…+
= 2.( + + + + … + )
= 2.( - + - + - + - +… + - )
= 2.( - ). Vậy (**) <=> 2( - ) =
=> - = : 2 =
=> = - =
=> x+1 = 4010 hay x = 4010 – 1 = 4009
2.3.4. Dạng toán tính So sánh phân số
Từ các bài toán 7 và 8 GV cho học sinh nhận xét kết quả để có được các
bài toán sau :
Bài toán 3.1 : So sánh
a. P = + + + + … +

1
với 1
215

b. Q = + + + + … + với 1
c. R = + + + + … + với 1
Như vậy cách giải bài này chính là việc ta thực hiện giải như bài toán 7 và
8 rồi rút ra kết luận P < 1 ; Q < 1 ; R< 1

Giáo viên cần định hướng để học sinh có thể phát triển khả năng khái
quát hóa từ những bài cụ thể đến bài tổng quát. Như:
Ví dụ 1: So sánh
2
3
a. và
3
4
a +1
a +2
b.
và
với a là số tự nhiên khác 0
a +2
a +3
Lời giải:
a. C1: Quy đồng đưa về cùng mẫu số
2
1
C2: = 13
3
3
1
= 14
4
1 1
1
1
Mà > nên 1- <13 4
3

4
2 3
Vậy <
3 4
b. C1: Quy đồng đưa về cùng mẫu

13


a +1 a + 2 - 1
1
=
= 1còn
a +2
a +2
a +2
a + 2 a +3 - 1
1
=
= 1a +3
a +3
a +3
1
1
1
1
� 1>1Mà
>
a + 2 a +3
a +3

a +2
a +1 a + 2
Vậy:
<
a + 2 a +3
Ví dụ 2: So sánh A và B
1002009 +1
100 2010 +1
A=
B=
100 2008
100 2009
* Định hướng tư duy :
Để so sánh ta có thể dùng tính chất phân phối của phép cộng với phép chia
ta được
1002009 +1 1002009
1
1
A=
=
+
=100+
2008
2008
2008
100
100
100
100 2008
1002010 +1 1002010

1
1
B=
=
+
=100+
1002009
1002009 100 2009
100 2009
C2: Ta có:

Lời giải

Ta có
1002009 +1 1002009
1
1
A=
=
+
=100+
2008
2008
2008
100
100
100
100 2008
1002010 +1 1002010
1

1
B=
=
+
=100+
1002009
1002009 100 2009
100 2009
1
1
>
Mà
2008
100
1002009
Vậy A>B
Từ Ví dụ trên ta có bài toán ở mức độ cao hơn
Bài toán 1: So sánh A và B

1002009 +1
1002010 +1
A=
B=
1002008 +1
1002009 +1
m 2008 +1
m 2009 +1
b. A = 2009
và B = 2010
với m �N *

m
+1
m
+1
* Định hướng tư duy: Với bài này ta không thể sử dụng luôn tính chất phối
của phép cộng với phép chia. Mà ta cần biến đổiTử thành tổng của bội của
mẫu và một số: 1002009  1  1002009  100  99  100(1002008  1)  99
14


1002010  1  1002010  100  99  100(1002009  1)  99

Lời giải:
Ta có

1002009 +1 1002009 +100 - 99 100(1002008 +1) - 99
99
A = 2008
=
=
=100- 2008
2008
2008
100 +1
100 +1
100 +1
100 +1
1002010 +1 1002010 +100 - 99 100(1002009 +1) - 99
99
B = 2009

=
=
=100100 +1
1002009 +1
100 2009 +1
100 2009 +1
99
99
>
Mà
1002008 +1 1002009 +1
99
99
<
100Nên 1001002008 +1
1002009 +1
Vậy A
Từ bài toán 1 ta có thể nâng lên bài toán tổng quát hơn ta được bài toán 2
Bài toán 2: So sánh A và B
m 2008 +1
m 2009 +1
A = 2009
và B = 2010
với m �N *
m
+1
m
+1
Lời giải

Nhận xét: - Nếu m = 1 thì A = B
- Với m > 1 ta so sánh mA và mB từ đó dễ dàng so sánh A và B
m ( m 2008 +1)
m 2009 + m
m- 1
Ta có: mA =
= 2009
= 1 + 2009
2009
m
+1
m
+1
m
+1
m ( m 2009 +1)
m 2010 + m
m- 1
mB =
= 2010
= 1 + 2010
2010
m
+1
m
+1
m
+1
m- 1
m- 1

> 2010
� mA > mB vậy A > B
vì 2009
m
+1 m
+1
Mở rộng: Bài toán vẫn đúng khi được tổng quát hoá thành dạng

m n+1 +1
m n +1
A = n+1
và B = n+2
với m, n �N *
m +1
m +1
Các bài toán tương tự:
Bài 1: So sánh A và B
12
23
a / A = 11 + 12
14
14
20
19 + 5
b / A = 20
19 - 8

12
23
+

1412 1411
1921 + 6
B = 21
19 - 7

B=

15


50 + 51 + 52 +... + 59
c/ A= 0
5 + 51 + 52 +... + 58
n
d / A=
n +1
n2 - 1
e/ A= 2
n +1

30 + 31 + 32 +... + 39
B= 0
3 + 31 + 32 +... + 38
n +2
B=
với n �N
n +3
n2 +3
với n �N
B= 2

n +4

Bài 2: Chứng minh rằng:

1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + + + + <
3 31 35 37 47 53 61 2
1
1
1
1
1
1
<
b) < 2 + 2 + 2 + ...
2
6 5
6
7
100
4
1 1 1 1 1
1
1

2
+... + <
c) < - + 5 2 3 4 5
98 99 5
1
1 3 5 99
1
< . . ...
<
d)
15 2 4 6 100 10
1 1
1
1
<2
e) 1 < + + +....
1! 2! 3!
100!
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Với ý tưởng này tôi đã thực hiện những năm học vừa qua và mang lại
kết quả tiến bộ năm sau hơn năm trước, đã góp phần vào việc nâng cao chất
lượng học tập của học sinh và giúp học sinh yêu thích môn toán hơn.
a)

Thời điểm

Số HS Khá Số HS Khái quát Số HS khai thác được
giỏi được
được bài toán
bài toán

khảo sát
SL
%
SL
%
Năm 2015-2016
10
3
30
1
10
Năm 2016-2017
10
7
70
3
30
Năm 2017-2018
10
6
60
3
30
Như vậy kết quả hai năm 2016-2017 và 2017-2018 đã có chuyển
biến tốt hơn năm học 2015-2016
Năm 2016-2017 có 2 em đạt học sinh giỏi cấp huyện Xếp thứ 3 toàn
huyện tính riêng môn toán
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Qua suốt thời gian vận dụng phương pháp tích cực hóa trong học tập của

những tiết luyện tập, ôn tập tôi thấy việc dạy học theo hướng khai thác bài
tập đạt kết quả. học sinh khá giỏi tích cực trong học tập hơn và tự mình tìm
tòi cách giải bài tập độc đáo hơn.
16


Vậy trong một tiết luyện tập hay ôn tập tôi luôn xác định mục đích của
tiết học và đối tượng học sinh của lớp, từ đó hướng dẫn học sinh khá giỏi
lần lượt giải bài tập từ đơn giản đến các bài tập tổng hợp, từ bài toán tổng
hợp khai thác ra thành nhiều bài tập khác, nhằm giúp trình trạng chán nãn
trong học tập, điều đó giúp tôi dạy học đạt kết quả cao hơn và mang lại
hiệu quả học tập cho học sinh ngày càng tiến bộ.
Trên đây là một số bài tập có tính chất mở rộng và sử dụng kết quả của
một bài tập . Trong quá trình thực hiện tôi thấy phát huy được tính sáng tạo
của học sinh, tạo sự hứng thú trong quá trình giải toán. Học sinh biết tư
duy, sáng tạo trong giải toán, có nhiều cách giải độc đáo hơn. Từ bài tập
đơn giản nâng dần lên tổng quát, biết biến từ bài tập cơ bản thành nhiều bài
toán thú vị, biết khai thác nhiều bài tập. Mặt khác, nếu tiếp tục suy xét và
khai thác nữa chúng ta sẽ thu được nhiều bài tập cùng loại hoặc tương tự
phù hợp cho đối tượng học sinh lớp 7, 8 hoặc 9 …
Dạy học toán, ngoài việc cung cấp cho học sinh các kiến thức toán học,
hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng toán cơ bản. Việc dạy học
sinh có thói quen tư duy toán học là một trong những công việc đặc biệt
quan trọng của người dạy toán học. Điều tôi muốn đề cập là sự cần thiết
của quy trình giải một bài toán. Do đó những kinh nghiệm tôi đưa ra ở trên
mong đồng nghiệp tham khảo, hỗ trợ chắc chắn sẽ thu được kết quả cao
hơn. Nhằm mục đích cùng nhau rèn luyện để nâng cao chuyên môn và xây
dựng đội ngũ có kiến thức, giàu kinh nghiệm, ham học hỏi và yêu nghề.
Vấn đề mấu chốt của thầy dạy toán chính là dạy cho các em biết cách
học toán chứ không phải chỉ dạy cho các em những bài toán.

Tôi tin rằng với cách làm như vậy cùng với sự tận tụy, yêu nghề của
mỗi đồng chí giáo viên thì có thể áp dụng góp phần nâng cao chất lượng
dạy học môn toán ở trường THCS đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi.
3.2. Kiến nghị: Không
Trên đây là nội dung bản thân tôi đúc kết và đưa ra rất mong được sự
quan tâm và hỗ trợ của ban giám khảo và đồng nghiệp để đề tài của tôi
được hoàn thiện hơn.
Rất chân thành cảm ơn.
Cẩm Thành, ngày 20 tháng 3 năm 2018
XÁC NHẬN
Tôi xin cam đoan đây là sang kiến của
CỦA NHÀ TRƯỜNG
mình tự làm, không sao chép của người
khác
Người thực hiện
Nguyễn Đức Việt
17


18