10 DẠNG PT MẶT CẦU

ĐÀO THIỆN HỊA THPT V NH LONG– Ĩ
ÔN TẬP CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1.DẠNG 1: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R
CÁCH GIẢI
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a,b,c),bán kính R là :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1,-1,2),bán kính R=5
GIẢI
(S) :
2 2 2
(x 1) (y 1) (z 2) 25− + + + − =
2.DẠNG 2: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và đi qua
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
CÁCH GIẢI
 (S)
0
có tâm I(a,b,c) , bán kính R=IM
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 Thế I(a,b,c) và
0
R=IM
vào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Viết ptmc (S) có tâm I(-3,2,-1) và đi qua
0

M (1,4, 1)−
GIẢI
0
có tâm I(-3,2,-1) , bán kính R=IM
2 2 2
(S) (1 3) (4 2) ( 1 1) 20= + + − + − + =
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 (S) :
2 2 2
(x 3) (y 2) (z 1) 20+ + − + + =
3.DẠNG 3: Viết ptmc (S) có đường kính AB (với A,B là hai điểm cho trước)
CÁCH GIẢI
AB
có tâm I(a,b,c) là trung điểm đoạn AB,bán kính R=
2
(S)
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 Thế I(a,b,c) và
AB
R=
2
vào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Viết ptmc (S) có đường kính AB,biết A(2,-3,5),B(4,1,-3)
GIẢI Gọi I (a,b,c) là tâm mặt cầu (S) thì I là trung điểm đọan AB

A B
I
A B
I
A B
I
x x
x 3
2
y y
y 1 I(3, 1,1)
2
z z
z 1
2
+

= =


+

= = − ⇒ −


+

= =



Trang 1
ĐÀO THIỆN HỊA THPT V NH LONG– Ĩ

2 2 2
AB 2 4 8
R 21
2 2
+ +
= = =
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 (S) :
2 2 2
(x 3) (y 1) (z 1) 21− + + + − =
4. DẠNG 4: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với mp(
α
):Ax+By+Cz+D=0
CÁCH GIẢI

có tâm I(a,b,c) bán kính R=d(I,( ))(S) α
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 Thế I(a,b,c) và
R=d(I,( ))α
vào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) có tâm I(3,-5,-2) và tiếp xúc
( ) : 2x - y - 3z 11 0α + =

GIẢI
có tâm I(3,-5,-2) bán kính R=d(I,( ))
2.3 5 3.2 11
(S) 2 14
4 1 9
+ + +
α = =
+ +
 Dạng (S) :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R− + − + − =
 (S) :
2 2 2
(x 3) (y 5) (z 2) 56− + + + + =

5.DẠNG 5 : Viết ptmc (S) có tâm I
∈
(
α
):Ax+By+Cz+D=0 và đi qua ba điểm A,B,C
CÁCH GIẢI
2 2
2 2
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
I ( )
Ta có: AI I
AI I
Giải hệ ba pt ba ẩn số a,b,c,tìm được tâm I(a,b,c) ,
Dạng (S) :
Thế I(a,b,c) và R=AI v

2 2 2 2
B
C
R AI
(x a) (y b) (z c) R
∗
∈ α


∗ =


=

∗ =
∗ − + − + − =
∗ ào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua ba điểm A(-2,4,1),B(3,1,-3),C(-5,0,0) và có tâm nằm trên mp( ): 2x+y-z+3=0α
GIẢI
2 2
2 2
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
I ( )
2a+b-c=-3 a=1
Ta có: AI I 10a-6b-8c=-2 b=-2
6a+8b+2c=-4 c=3
AI I
Giải hệ pt ta có I(1,-2,3) ,
Dạng (S) :

2 2 2
2 2
B
C
R AI 3 6 2 7
(x a) (y b)
∗
∈ α

 
  
∗ = ⇔ ⇔
  
  
=
 

∗ = = + + =
∗ − + − +
2 2
(z c) R− =
(S) :
2 2 2
(x 1) (y 2) (z 3) 49∗ − + + + − =
Trang 2
ĐÀO THIỆN HỊA THPT V NH LONG– Ĩ
6.DẠNG 6 : Viết ptmc (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D cho trước
CÁCH GIẢI
2 2
2 2

2 2
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
AI I
Ta có: AI I
AI I
Giải hệ ba pt ba ẩn số a,b,c,tìm được tâm I(a,b,c) ,
Dạng (S) :
Thế I(a,b,c) và R=AI
2 2 2 2
B
C
D
R AI
(x a) (y b) (z c) R
∗

=

∗ =


=

∗ =
∗ − + − + − =
∗ vào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua bốn điểm A(1,-2,-1),B(-5,10,-1),C(4,1,11),D(-8,-2,2)
GIẢI
2 2

2 2
2 2
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
AI I
-a+2b=10 a=-2
Ta có: AI I 3a-3b+4c=2 b=4
4a+b+3c=11 c=5
AI I
I(-2,4,5) ,
Dạng (S) :
2 2 2 2
B
C
D
R AI 9 36 36 9
(x a) (y b) (z c) R
∗

=
 

 
∗ = ⇔ ⇔
  
  
=
 

⇒ = = + + =
∗ − + − + − =

(S) :
2 2 2
(x 2) (y 4) (z 5) 81∗ + + − + − =
7.DẠNG 7: Viết ptmc (S) có tâm thuộc trục ox và đi qua hai điểm A B cho trước
CÁCH GIẢI
2
Gọi I(a,0,0) ox là tâm mặc cầu (S)
Ta có :AI
Giải pt tìm a
Dạng (S) :
Thế I(a,0,0) và R=AI vào ptmc (S)
2
2 2 2 2
BI
(x a) (y b) (z c) R
∗ ∈
∗ =
∗
∗ − + − + − =
∗
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua hai điểm A(3,1,0),B(5,5,0) và có tâm I thuộc trục ox
GIẢI
2
Gọi I(a,0,0) ox là tâm mặc cầu (S)
Ta có :AI
suy ra I
Dạng (S):
(S):
2

2 2 2 2
2 2 2
BI 4a 40 a 10
(10,0,0),R AI 49 1 50
(x a) (y b) (z c) R
(x 10) y z 50
∗ ∈
∗ = ⇔ = ⇔ =
∗ = = + =
∗ − + − + − =
− + + =
Trang 3
ĐÀO THIỆN HỊA THPT V NH LONG– Ĩ
8.DẠNG 8:
Lập ptmc (S) có tâm thuộc đt(d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ),( ) α β

CÁCH GIẢI
0 1
0 2
0 3
0 1 0 2 0 3
x=x +a t
Đưa pt (d) về dạng tham số: y=y +a t
z=z +a t
Gọi I(x +a t,y +a t,z +a t) là tâm mặt cầu thuộc (d).
(S) tiếp xúc với ( ),( ) d(I,( ))=d(I,( ))
Giải pt tìm t tâm I(a,b,c),


∗




∗
∗ α β ⇒ α β
∗ ⇒ R=d(I,( ))
Dạng (S) :
Thế I(a,b,c) và R= d(I,( )) vào ptmc (S)
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R
α
∗ − + − + − =
∗ α
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho hai mặt phẳng ( ):6x+2y-3z+3=0, ( ): 2x+2y-z+3=0 và đường thẳng
(d):
Lập ptmc (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ),( )
x 12 y 7 z 26
8 3 14
α β
+ − −
= =
−
α β
GIẢI
I I
x=-12-8t
Ptts của (d) : y=7+3t
z=26+14t
Gọi là tâm mặt cầu thuộc (d).

(S) tiếp xúc với ( ),( ) d(I,( ))=d(I,( ))
6x +2y -3

I(-12 -8t,7 3t,26 14t)


∗



∗ + +
∗ α β ⇔ α β
⇔
I I I I
z +3 2x +2y -z +3
6(-12-8t)+2(7+3t)-3(26+14t)+3 2(-12-8t)+2(7+3t)-(26+14t)+3
t-133

36 4 9 4 4 1
3 7
3 84 7 24t 33
=
+ + + +
⇔ =
⇔ − = − −

I(4,1,-2), R=d(I,( ))=5
Dạng (S) :

2 2 2 2

t 2
3
t
2
t 2
(x a) (y b) (z c) R
= −


⇔

= −


∗ = − ⇒ α
− + − + − =
(S) :

Dạng (S) :

2 2 2
2 2 2 2
(x 4) (y 1) (z 2) 25
3 5
t I(0, ,5), R d(I,( )) 1
2 2
(x a) (y b) (z c) R
− + − + + =
∗ = − ⇒ = α =
− + − + − =

(S) :
2 2 2
5
x (y ) (z 5) 1
2
+ − + − =
Trang 4
ĐÀO THIỆN HỊA THPT V NH LONG– Ĩ
9.DẠNG 9: Viết ptmc(S) có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với đường thẳng
∆
cho trước
CÁCH GIẢI
có tâm I(a,b,c) và bán kính R=d(I, )
Dạng (S) :
Thế I(a,b,c) và R= d(I, ) vào ptmc (S)
2 2 2 2
(S)
(x a) (y b) (z c) R
∗ ∆
∗ − + − + − =
∗ ∆
BÀI TẬP ÁP DỤNG
x y z+3
Lập ptmc (S) có tâm I(3,2,4) và tiếp xúc :
2 4 1
∆ = =
GIẢI
có tâm
(2,4,1) là vtcp của
Bán kính

Dạng (S) :

2 2 2 2
(S) I(3,2,4),M(0,0,-3) ,MI(3,2,7)
u
u,MI
676 121 64
R d(I, ) 41
4 16 1
u
(x a) (y b) (z c) R
∗ ∈ ∆
∆
 
+ +
 
∗ = ∆ = = =
+ +
∗ − + − + − =
uuur
r
r uuur
r
(S) :
2 2 2
(x 3) (y 2) (z 4) 41− + − + − =
10.DẠNG 10:
2 2 2
0 0 0
x

Lập ptmc (S) đi qua một đường tròn :
( )
và một điểm M(x ,y ,z ) ( )
y z 2ax 2by 2cz d 0
Ax By Cz D 0

+ + − − − + =

+ + + = α

∉ α
CÁCH GIẢI
2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
(S) chứa đường tròn (c) có dạng:
(S): x (1)
qua M(x ,y ,z ) x

0 0 0 0 0 0 0 0
Ptmc
y z 2ax 2bx 2cz d m(Ax By Cz D) 0
(S) y z 2ax 2by 2cz d m(Ax By Cz D) 0
∗
∗ + + − − − + + + + + =
∗ ⇒ + + − − − + + + + + =
⇒
2 2 2
0
x

m vào phương trình (1) thu gọn được ptmc (S)
0 0 0 0 0
0 0 0
y z 2ax 2by 2cz d
m
Ax By Cz D
Thay
+ + − − − +
= −
+ + +
∗
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua A(2,-1,1) và đường tròn:
2 2 2
x y z 2x 3y 6z 5 0
5x 2y z 3 0

+ + − + − − =

+ − − =

GIẢI
Ptmc (S) có dạng: (1)


vào (1) ta được:
(S):
2 2 2
2 2 2
x y z 2x 3y 6z 5 m(5x 2y z 3) 0

A(2, 1,1) (S) 4 1 1 4 3 6 5 m(10 2 1 3) 0
12 4m 0 m 3
Thay m 3
x y z 13x 9y 9z 14
∗ + + − + − − + + − − =
∗ − ∈ ⇒ + + − − − − + − − − =
⇔ − + = ⇔ =
∗ =
∗ + + + + − − 0=
Trang 5