TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.64 MB, 156 trang )

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dơng

MỤC LỤC
Trang

§ 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ....................................................... 1
 Dạng tốn 1. Tính ngun hàm bằng bảng ngun hàm ...................................................... 2
 Dạng tốn 2. Ngun hàm của hàm số hữu tỉ ........................................................................ 11
 Dạng tốn 3. Ngun hàm từng phần ...................................................................................... 14
 Dạng tốn 4. Phương pháp đổi biến số .................................................................................... 17
 Dạng tốn 5. Tính chất của ngun hàm và ngun hàm của hàm ẩn ............................... 27
 Đề rèn luyện lần 1 ................................................................................................................... 29
 Đề rèn luyện lần 2 ................................................................................................................... 33
 Đề rèn luyện lần 3 ................................................................................................................... 38

§ 2. TÍCH PHÂN ....................................................................................................................................... 45
 Dạng tốn 1. Tích phân cơ bản & tính chất tích phân ............................................................ 45
 Bài tập về nhà ........................................................................................................................... 57
 Dạng tốn 2. Tích phân từng phần ........................................................................................... 64
 Bài tập về nhà ........................................................................................................................... 71
 Dạng tốn 3. Tích phân đổi biến số .......................................................................................... 77
 Bài tập về nhà 1 ....................................................................................................................... 91
 Bài tập về nhà 2 ....................................................................................................................... 94
 Bài tập về nhà 3 ....................................................................................................................... 98
 Dạng tốn 4. Tích phân hàm chẵn, lẻ, trị tuyệt đối và hàm ẩn ............................................. 101

§ 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ...................................................................................................... 105
 Dạng tốn 1. Diện tích hình phẳng và bài tốn liên quan ..................................................... 105
 Dạng tốn 2. Thể tích tròn xoay ................................................................................................ 112

 Đề rèn luyện lần 1 ................................................................................................................... 119
 Đề rèn luyện lần 2 ................................................................................................................... 128
 Đề rèn luyện lần 3 ................................................................................................................... 135
 Đề rèn luyện lần 4 ................................................................................................................... 141
 Đề rèn luyện lần 5 ................................................................................................................... 149

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyên đề

Chuyªn ®Ị 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dơng

3

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§ 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM


Khái niệm ngun hàm và tính chất
1. Khái niệm ngun hàm
— Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F (x ) được gọi là ngun hàm của hàm số f (x )
trên K nếu: F (x )  f (x ), x  K .
— Nếu F (x ) là một ngun hàm của f (x ) trên K thì họ ngun hàm của hàm số f (x ) trên K
là:

 f (x )dx  F (x )  C ,

const  C  .

2. Tính chất: Nếu f (x ), g (x ) là hai hàm số liên tục trên K và k  0 thì ta ln có:


 f (x )dx  f (x )  C ,  f (x )dx  f (x )  C ,  f (x )dx  f (x )  C ,....



 k f (x)dx  k. f (x )dx, với k



  f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .

là số thực khác 0.

 F (x )  f (x ) (định nghĩa).
Bảng ngun hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


 0dx  C .

  k dx  kx  C .

x n 1
x dx 
C.
n 1

1 (ax  b)n 1
C.
  (ax  b) dx 
a n 1

1

C.



 ax  b dx  a ln ax  b  C .

1
1
dx    C .
2
x
x



 (ax  b)







 x dx  ln x

n

n

1

1

1

1
1
dx   
C.
a ax  b







 sin x dx   cos x  C .



 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .



 cosx dx  sin x  C .



 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .



 sin

dx   cot x  C .





dx
1
  cot(ax  b)  C .
a
sin (ax  b)



 cos

dx  tan x  C .





dx
1
 tan(ax  b)  C .
cos (ax  b) a



 e dx  e



x
 a dx 

1
2

x

1
2

x

x

x

C.

ax
C .
ln a

2

1

1

2

2

1 ax b
e
C.
a
1 a x 
C .
  a x  dx 
 ln a



e

ax b

dx 

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy ngun hàm nhân kết quả thêm

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

1

a
Trang - 1 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dơng

Dạng toán 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm


BT 1. Tìm ngun hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):





x n dx 

x n 1
Më réng
 C 

n 1

Một số cơng thức thường sử dụng: 



 k dx  kx  C .





 f (x )dx
4

c) Tìm họ ngun hàm của f (x ) 
Ta có: F (x ) 



1

  x 2  dx 

 x 5




1
 x 2.
5
x

(x 5  x 2 )dx

 ...............................................................................
e) Tìm I 

 (x

2

 3x )(x  1)dx

 (x

b) Tìm họ ngun hàm của f (x )  3x 2  2x .

....................................................................................
....................................................................................
d) Tìm họ ngun hàm của f (x ) 

1
 x 2  1.
3

x

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
f) Tìm I 

 (x  1)(x

2

 2)dx .

 2x 2  3x )dx .........

....................................................................................

 ...............................................................................

....................................................................................

Phân phối được: I 

g) Tìm I 

3

 kf (x )dx  k. f (x )dx .

....................................................................................

x2
(4x  x  5)dx  x 
 5x  C .
2
3



1 (ax  b)n 1
C .
a n 1

  f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .

a) Tìm họ ngun hàm của f (x )  4x 3  x  5.
Giải. Ta có: F (x ) 

n
 (ax  b) dx 

 (2x  1) dx
5

(cơng thức mở rộng).

h) Tìm I 

 (2x  10)

2020

dx .

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

1.

Tìm một ngun hàm F (x ) của hàm số f (x )  4x 3  4x  5 thỏa mãn F (1)  3.

A. F (x )  x 4  2x 2  5x  1.

Ta có: F (x ) 

B. F (x )  x 4  4x 2  5x  1.
C. F (x )  x 4  2x 2  5x  3.
D. F (x )  x 4  2x 2  5x 

1

2

 f (x )dx   (4x

3

 4x  5)dx

 x 4  2x 2  5x  C .
Theo đề bài, ta có: F (1)  3
 14  2.12  5.1  C  3  C   1.
Do đó F (x )  x 4  2x 2  5x  1.

 Lưu ý. Nếu đề bài u cầu tìm F (a ) ta chỉ cần thế x  a vào F (x ) sẽ tìm được F (a ).
Chẳng hạn, tính F (2), ta thế x  2 vào F (x ), nghĩa là F (2)  24  2.22  5.2  1  17.

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 2 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia
2.

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

Tìm một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  3x 2  2x  5 thỏa mãn F (1)  4.

A. F (x )  x 3  x 2  5x  3.

....................................................................................

B. F (x )  x 3  x 2  5x  3.

....................................................................................

C. F (x )  x 3  x 2  5x  3.

....................................................................................

D. F (x )  x 3  x 2  5x  3.

....................................................................................

3.

Hàm số f (x )   5x 4  4x 2  6 có 1 nguyên hàm F (x ) thỏa F (3)  1. Tính F (3).

A. F (3)  226.

B. F (3)  225.

C. F (3)  451.

D. F (3)  225.

4.

B. F (2)  14.

C. F (2)  6.

D. F (2)  14.

B. P  34.

C. P  18.

D. P  30.

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

 1 2
Hàm số f (x )  (1  2x )5 có một nguyên hàm là F (x ) thỏa F     Tính F (1).
 2  3

A. F (1)  10.
C. F (1) 

7.

....................................................................................

1
3
Hàm số f (x )  (2x  1)3 có một nguyên hàm là F (x ) thỏa F    4. Tính P  F   
 2 
 2 

A. P  32.

6.

....................................................................................

Hàm số f (x )  x 3  3x  2 có một nguyên hàm F (x ) thỏa F (2)  14. Tính F (2).

A. F (2)  6.

5.

....................................................................................

59

12

B. F (1)  5.

....................................................................................

71

12

....................................................................................

D. F (1) 

....................................................................................

2
Gọi F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x )  (2x  3) thỏa F (0) 

biểu thức T  log2 3F (1)  2F (2) .



1
 Tính giá trị của
3

A. T  2.

B. T  4.

....................................................................................

C. T  10.

D. T  4.

....................................................................................

8.

Hàm số f (x )  x 3  3x  2 có một nguyên hàm F (x ). Biết đồ thị của hàm số y  F (x ) đi qua
điểm M (2;10). Giá trị của F (2) bằng

A. 18.

B. 7.

....................................................................................

C.  8.

D. 20.

....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 3 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 3. Nguyên hàm tích phân & ứng dụng

BT 2. Tỡm nguyờn hm F (x ) ca hm s f (x ) (mc ớch cho hc sinh rốn luyn cụng thc).
Lm quen nhúm cụng thc cú mu s c bn:

1

x dx ln x

x

a) Tỡm I

3x

1

dx

2

2

Mở rộng

C

1
Mở rộng

C
x

1

1

(ax b)

1
2 dx .
x

1

ax b dx a ln ax b C .
2

1
1
dx
C .
a ax b

b) Tỡm I

3x

2

2
1
2 dx .
x x

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

c) Tỡm I

x 2 3x 1
dx .
x

d) Tỡm I

2x 2 6x 3

dx .
x

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

e) Tỡm I

1

2x 1 dx .

f) Tỡm I

2

3 4x dx .

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

g) Tỡm I

1

(2x 1)

2

dx .

h) Tỡm I

12
2

(x 1)2 2x 3 dx .

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

C. 
2

D. ln2  1.

A.

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

10. Biết F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) 

A.

1
ln 7  5.
2

B. 2 ln 7  5.

C. ln 7  5.

D.

1
ln 7  5.
2

1
và F (1)  5. Giá trị của F (4) bằng
2x  1

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

11. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm f (x ) 
A. 4 ln 2.
C.

B. 3 ln 2.

3
ln 3.
2

D. 1.

3
thỏa F (1)  0. Giá trị của F (2) bằng
2x  1

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

12. Nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) 

 e  1 3
1

biết F 
là
 2   2
2x  1

A. F (x )  2 ln 2x  1  0, 5.

................................................................................................

B. F (x )  2 ln 2x  1  1.

................................................................................................

1
ln 2x  1  1.
2

................................................................................................

C. F (x ) 

D. F (x )  0, 5 ln 2x  1  0, 5.

................................................................................................
................................................................................................

13. Tìm một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  ax 

b
(a, b  , x  0), biết F (1)  1,
x2

F (1)  4 và f (1)  0.
A. F (x ) 

3x 2
3
7

 
4
2x 4

................................................................................................

B. F (x ) 

3x 2
3
7

 
4
2x 4

................................................................................................

2

C. F (x ) 

3x
3
7

 
2
4x 4

................................................................................................

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

2

D. F (x ) 

3x
3
1

 
2
2x 2

................................................................................................
................................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 5 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

BT 3. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
Làm quen nhóm công thức nguyên hàm của hàm lượng giác



1

 sin x dx   cos x  C



 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .

 cosx dx  sin x  C



 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .



1

 Cần nhớ: sin 2x  2 sin x cos x , cos2x  cos2 x  sin2 x  2 cos2 x  1  1  2 sin2 x .
a) Tìm I 

 (sin x  cos x )dx .

b) Tìm I 

...................................................................................
c) Tìm I 

 (2 sin 2x  3 cos 6x )dx .

...................................................................................
e) Tìm I 



x

cos   .
 2 6 

g) Tìm I 

....................................................................................
d) Tìm I 

 (sin x  cos x ) dx .
2

 sin x cos x dx .

....................................................................................
f) Tìm I 

...................................................................................

 (3 cos x  2 sin x )dx .



 x 
sin   .
 3 3 

....................................................................................
h) Tìm I 

 (cos x  sin x ) dx .
2

...................................................................................

....................................................................................

1
dx 
sin2 x







 cos

1
2

k) Tìm I 

x

dx 


 (1  cot

2

 (1  tan

1

  cos

2

x



x )dx   cot x  C 

2

x )dx  tan x  C 

1 
 dx .
sin2 x 

...................................................................................
m) Tìm I 

 tan

2

x dx .

dx

1

 sin (ax  b)   a cot(ax  b)  C .
2

dx

1

 cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C .

l) Tìm I 

2

6

 cos

2

3x

dx .

....................................................................................
n) Tìm I 

 (tan x  cot x ) dx .
2

(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số
o) Tìm I 

 sin

2

1
; sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp đôi)
2
p) Tìm I 

x dx .

 cos

2

x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

q) Tìm I 

 sin

2

r) Tìm I 

2x d x .

 cos

2

2x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

s) Tìm I 

 (2  sin 3x ) dx .
2

t) Tìm I 

 (2  cos 2x ) dx .
2

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

PP
 Tích bậc nhất của sin và cos 
 Áp dụng công thức tích thành tổng.

 sin a.cos b 

1
sin(a  b)  sin(a  b ) .

2 

 cos a.cos b 

1
cos(a  b )  cos(a  b) .
2 

u) Tìm I 

 sin 3x cos x dx.

1
 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b ) .
2

v) Tìm I 

 sin 4x cos x dx.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

w) Tìm I 

 sin 3x sin x dx .

x) Tìm I 

 sin 2x sin 4x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

y) Tìm I 

 cos 7x cos x dx .

z) Tìm I 

 cos 9x cos x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 7 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông



14. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm f (x )  sin 2x và F    1. Tính P  F   
 4 
 6 

5

4
1
C. P  
2
A. P 

B. P  0.

........................................................................................................

3
D. P  
4

........................................................................................................
........................................................................................................

15. Tìm một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  2x  sin x  2 cos x thỏa mãn F (0)  1.
A. F (x )  x 2  cos x  2 sin x  2.
2

........................................................................................................

B. F (x )  x  cos x  2 sin x .

........................................................................................................

C. F (x )  2  cos x  2 sin x .

........................................................................................................

D. F (x )  x 2  cos x  2 sin x  2.

........................................................................................................

16. Tìm một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  sin x 


1

2

thỏa mãn F   
2
 4 
2
cos x

A. F (x )   cos x  tan x  C .

........................................................................................................

B. F (x )   cos x  tan x  2  1.

........................................................................................................

C. F (x )  cos x  tan x  2  1.

........................................................................................................

D. F (x )   cos x  tan x  2  1.

........................................................................................................

2
17. Cho F (x ) là một nguyên hàm của f (x )  4 cos x  5 thỏa F ()  0. Tìm F (x ).

A. F (x )  3x  sin 2x  3.

........................................................................................................

B. F (x ) 

4 3
sin x  5x  5.
3

........................................................................................................

C. F (x ) 

4
4
cos3 x  5x   5.
3
3

........................................................................................................

D. F (x )  3x  sin 2x  3.
18. Biết rằng F (x ) 
A.

1

2

C. 2.
19. Biết

 cos

2

5

16
5

D.
4

........................................................................................................

........................................................................................................
........................................................................................................

x dx  ax  b sin 2x  C . Giá trị của a 2  b 2 bằng
........................................................................................................

B.

........................................................................................................
........................................................................................................

a

 (sin 2x  cos 2x ) dx  x  b cos 4x  C , với a,
2

b là các số nguyên dương,

a
là phân
b

số tối giản và C  . Giá trị của a  b bằng
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 8 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

BT 4. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
Làm quen nhóm công thức mũ



e

2x

x

x
 a dx 


a) Tìm I 

 e dx  e

x

 C 

ax
 C 
ln a

e

ax b

dx 

x  
 a dx 

b) Tìm I 

dx .

1 ax b
e
C .
a
1 a x 
C .
 ln a

e

12 x

dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

c) Tìm I 

 (2x  e

x

)dx .

d) Tìm I 

 e (1  3e
x

2x

)dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

e) Tìm I 

 (3  e ) dx .
x 2

f) Tìm I 

 (2  e

3x 2

) dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

g) Tìm I 

2

2x 1

dx .

h) Tìm I 

4

12x

dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

i) Tìm I 

 3 .5 dx .
x

x

j) Tìm I 

 4 .3
x

x 1

dx .

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 9 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

20. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x )  e2x thỏa F (0) 

A.

1
e  2.
2

B.

1
e  1.
2

......................................................................................
......................................................................................

1
1

D. e  
2
2

C. 2e  1.

......................................................................................

x
2
21. Một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  2e  3x thỏa F (0) 

A. 2ex  x 3 
C. ex  x 3 

3

2

7

2

B. 2ex  x 3 
D. 2ex  x 3 

9

ln 2

8

C. F (2) 
ln 2

9
là
2

5

2

.......................................................................................

9

2

.......................................................................................

.......................................................................................

x
22. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x )  4 thỏa F (1) 

A. F (2) 

1
3

 Giá trị của F   bằng
 2 
2

3
 Giá trị của F (2) bằng
ln 2

3

ln 2

.......................................................................................

7

D. F (2) 
ln 2

.......................................................................................

B. F (2) 

.......................................................................................

23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x )  22x .3x .7 x là

84x
A.
C.

ln 84
x

C. 84  C .

22x .3x .7x
B.
C.
ln 4.ln 3. ln 7
x

D. 84 .ln 84  C .

.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

24. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x )  e3x 1 thỏa mãn F (0) 
A. ln 3  3F (1)  64.



B. ln 3 3F (1)  8.



C. ln  3F (1)  81.



D. ln  3F (1)  27.



3

3

e
 Tính ln 3 3F (1) .


3

......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................

x 2x 3
25. Biết một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x )  4 .2
thỏa mãn F (0) 

2
 Tính giá trị của
ln 2

3

ln 2.F (1)




biểu thức A  
10
2
A. A  1.

B. A  8.

C. A  16.

D. A  32.

.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 10 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dơng

Dạng toán 2. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ (phân số không căn)


Ngun hàm của hàm số hữu tỷ I 

P (x )

 Q(x ) dx, với P (x ), Q (x ) là các đa thức.

PP
 Nếu bậc của tử số P (x )  bậc của mẫu số Q (x ) 

 Chia đa thức.

 Nếu bậc của tử số P (x )  bậc của mẫu số Q (x ) :

 Sử dụng định nghĩa, lưu ý:



u
dx 
u



 ln u  dx  ln u

C.

PP

 Đồng nhất thức (pp che)

 Mẫu phân tích được thành tích số 



k
m
n
mx  n


hoặc





(ax  b)(cx  d ) ax  b cx  d
(ax  b)(cx  d ) ax  b cx  d



1
A
B
C
D






2
2
x  a (x  a )
x  b (x  b)2
(x  a ) (x  b )



1
A
Bx  C

 2
, với   b 2  4ac  0.
2
x

m
(x  m )(ax  bx  c)
ax  bx  c

2

BT 5. Tìm ngun hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 
Có I 





3x  1
dx .
x 1

3(x  1)  4
dx 
x 1

b) Tìm I 





3  4  dx

x  1

 3x  4 ln x  1  C .
c) Tìm I 



3x  1
dx .
x 2



2x  1
dx .
x 1

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

d) Tìm I 



4x  3
dx .
2x  1

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

e) Tìm I 



x2
dx .
x 1

(x 2  12 )  1
 x  1 dx

(x  1)(x  1)  1
1 
 dx
dx   x  1 

x 1
x  1

Ta có: I 



2



x
 x  ln x  1  C .
2

f) Tìm I 



x2
dx .
x 1

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 11 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia
g) Tỡm I

Chuyên đề 3. Nguyên hàm tích phân & ứng dụng

x3
dx .
x 1

h) Tỡm I

x3
dx .
x 2

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

i) Tỡm I

x2 x 1
dx .
x 2

j) Tỡm I

2x 2 4x 3
dx .
x 1

...................................................................................

Chia a thc ngoi nhỏp:

x2 x 1

x 2

...................................................................................

..................
..................
..................

...................................................................................
...................................................................................

...................................................................................

..................

3
dx
Ta cú: I x 1

x 2

...................................................................................
...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

k) Tỡm I

4x 2 6x 1
dx .
2x 1

l) Tỡm I

3x 2 2x 1
dx .
x 1

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

m) Tỡm I

x

Ta cú: I 2

4x 2
dx
x 5

n) Tỡm I

2

(x 2 x 5)
dx
x2 x 5

Nh:

ln u dx ln u

4x 3
dx .
3x 1

2

...................................................................................
...................................................................................

2 ln x 2 x 5 C .

u
dx
u

2x

...................................................................................
...................................................................................

C .

...................................................................................
...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 12 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia
o) Tìm I 

x

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

4x  2
dx .
x 4

p) Tìm I 

2

 3x

6x  1
dx .
x 4

2

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

q) Tìm I 

 2x

5x  4
dx .
2
x 6

r) Tìm I 

1

 (x  1)(x  3) dx .

Áp dụng f (x )  ax 2  bx  c  a(x  x 1 )(x  x 2 )

....................................................................................

với x 1, x 2 là hai nghiệm của f (x )  0, ta được:

....................................................................................

5x  4

2x 2  x  6

....................................................................................

5x  4
5x  4



(x  2)(2x  3)
3
2(x  2)x  

2 


a  5x  4
2

2
x

3
a
b
x 2


với 
.

5
x


4

x  2 2x  3
b


1

x  2 x 3

2
Khi đó, ta có lời giải sau:

I 

 2x

5x  4
dx 
2
x 6

 2



1

  x  2  2x  3  dx

....................................................................................
s) Tìm I 

1

 (2x  4)(x  5) dx .

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
t) Tìm I 

x

2

1
dx .
 4x

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

u) Tìm I 

x

4x  5
dx .
x 2

v) Tìm I 

2

x

2

4x  11
dx .
 5x  6

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

w) Tìm I 

Ta có: I 

a
c

x



2

1
dx .
(x  1)

x) Tìm I 

a

  b  c  dx
 x x 2 x  1

 1 nên I 
x 1

 1

2

dx .

....................................................................................
....................................................................................

d  1 
1

 1, b 
 1 và


dx  x  1  x  0
x  1 x 0
1
x2

2

 (x  1)(x  2)

1

1 
 dx
2


  x  1  x  x

 ...............................................................................

...................................................................................

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 13 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dơng

Dạng toán 3. Nguyên hàm từng phần


Định lý: Nếu hai hàm số u  u(x ) và v  v(x ) có đạo hàm và liên tục trên K thì

I 

 u(x )v (x )dx  u(x )v(x )   u (x )v(x )dx

hay I 

 u dv  uv   v du 

Vận dụng giải tốn:
— Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, Ví dụ:

e

x

sin x dx,

 x ln x dx ,....

Vi phân
u       
 du       dx

— Đặt: 
 Suy ra: I   u dv  uv   v du.
Ngun ha m
dv     dx 
 v       

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần còn lại.

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy ngun hàm.
— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng ngun hàm từng phần ln hồi.
BT 6. Tìm ngun hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 

 (x  1)sin x dx.

b) Tìm I 

v /p
u  x  1 
 du  dx

Chọn: 
.
n /h
dv  sin x dx 
 v   cos x


Suy ra: I  (x  1) cos x   cos x dx

 (x  1)cos x  sin x  C .
c) Tìm I 

 x ln x dx .

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

 x .e dx .
x

d) Tìm I 

 x.e

x

dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

e) Tìm I 



x
dx .
sin 2 x

f) Tìm I 



x
dx .
cos2 x

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

 Cần nhớ:

 cot x dx  ln sin x

 C . .............

 Cần nhớ:

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

 tan x dx   ln cos x

 C . .........

Trang - 14 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia
g) Tìm I 

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

 ln x dx .

h) Tìm I 

 (2x  1) ln x dx .

.
n /h
x
dv  e dx 
 v  ex

 I  ex sin x   ex cos x dx  ex sin x  A.

e

x

cos x dx .

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

u  cos x  du   sin x dx
Tìm A. Chọn 
.

dv  ex dx  v  ex

x
 A  e cos x   ex sin x dx .

....................................................................................

Thế A vào I , ta được:

....................................................................................



I  ex sin x  ex cos x   ex sin x dx



 I  ex sin x  ex cos x   ex sin x dx

....................................................................................
....................................................................................

....................................................................................
....................................................................................

 I  ex (sin x  cos x )  I

....................................................................................

ex
 I  (sin x  cos x )  C .
2

....................................................................................

m) Tìm I 





1  1  ln(x  x  1)dx .


2 x 

....................................................................................
n) Tìm I 



ln(4x 2  8x  3)
dx .
(x  1)3

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 15 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

o) Cho F (x )  ln x là một nguyên hàm của p) Cho F (x )  ln x là một nguyên hàm của hàm

f (x )
 Tìm nguyên hàm của hàm f (x )ln x .
x3

f (x )
 Tìm nguyên hàm của f (x )ln x .
x2

Áp dụng định nghĩa: F (x )  f (x ), ta có:

...................................................................................

f (x )
1
f (x )
(ln x )  3   3  f (x )  x 2 .
x
x
x

...................................................................................

Tìm I 

 f (x )ln x dx  ?


u  ln x  du  1 dx
Chọn 
.
x


2

dv   f (x )dx  v  f (x )  x

 I  x ln x  
2

x2
x dx  x ln x   C .
2
2

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

1
1
là một nguyên hàm của r) Cho F (x )  2 là một nguyên hàm của
3
x
x
f (x )
f (x )
 Tìm nguyên hàm của (x 4  x 3 )f (x ).
 Tìm nguyên hàm của hàm f (x )ln x .
2
x

x

q) Cho F (x ) 

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
s) Cho F (x )  x 2 là một nguyên hàm của t) Cho F (x )  x .ex là một nguyên hàm của
f (x )e2x . Tìm nguyên hàm của hàm e2 x f (x ).
f (x )e2x . Tìm nguyên hàm của e2 x f (x ).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Mt s dng i bin thng gp
PP
I f (ax b)n .x dx
t ax b dt a dx

m
xn

PP

dx
t x n 1 1 dt (n 1)x n dx , vi m, n .
I n 1

ax 1

PP
I f (ax 2 b)n .x dx
t ax 2 b dt 2ax dx

I

I

I

n

1
f (ln x ) dx
x

PP

t t
f (x ).f (x ) dx

n

f (x ) t n f (x ) nt n 1 dt f (x ) dx .

t ln x dt 1 dx

PP
x

t

1
b

f (a b ln x ) dx
t a b ln x dt dx
x
x

t ex dt ex dx
t

f (e ).e dx
x
x
t a be dt be dx

t cos x dt sin x dx
PP

t

f (cos x ). sin x dx
t a b cos x dt b sin x dx

I

t sin x dt cos x dx
PP

t
f (sin x ). cos x dx
t a b sin x dt b cos x dx

I

f (tan x ) cos

I

f (cot x ) sin

I

I

x

PP

x

dx
2

x

dx
2

x

PP

t t tan x dt

1
dx (1 tan2 x ) dx .
2

cos x

PP

t t cot x dt

dx
(1 cot2 x )dx .
sin2 x

t sin2 x dt sin 2x dx
t

f (sin x ; cos x ).sin 2x dx
2
t cos x dt sin 2x dx

I

I

f (sin x cos x ).(sin x cos x )dx

2

2

PP

PP

t t sin x cos x .

Lu ý: Sau khi i bin v tớnh nguyờn hm xong, ta cn tr li bin c ban u l x .

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 17 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

PP
I  f (ax  b)n .x dx 
 t  ax  b  dt  a dx



m
 xn

 dx 
PP


 t  x n 1  1  dt  (n  1)x n dx , với m, n  .
Nhóm 1. I    n 1


ax  1

PP
I  f (ax 2  b)n .x dx 
 t  ax 2  b  dt  2ax dx




BT 7. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 

 x (1  x )

2018

b) Tìm I 

dx .

 x(x  1)

2019

dx .

v /p
Đặt t  1  x  x  1  t 
 dx  dt.

...................................................................................

Khi đó: I   (1  t )t 2018 dt 

...................................................................................



 (t

2019

t

2018

 (t  1)t

2018

dt

t 2020
t 2019
)dt 


C
2020 2019

(1  x )2020 (1  x )2019


C.
2020
2019
c) Tìm I 

 x (x

2

 1)5 dx .

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
d) Tìm I 

x

2

(x  1)9 dx .

...................................................................................

vp
Đặt t  x 2  2  x 2  t  2 
 2x dx  dt

1
 x dx  dt. Khi đó:
2
I 

1 1
1
1
 dt  ln t  C  ln x 2  2  C .
2 t
2
2

g) Tìm I 



x 5 dx

x2  1

f) Tìm I 

x dx

 (x  1)

5



...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
h) Tìm I 



x 4 dx

x 10  4

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

 2x  3 
Đặt t 

x 1
1
 dt 
dx .
2x  3
(2x  3)2

Khi đó: I 



t 2017 dt 

t 2018
C
2018

2018

1  x  1 



2018  2x  3 
k) Tìm I 



Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông
j) Tìm I 



x 5 dx

(x  1)7

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

C.

....................................................................................

(7x  1)99 dx

(2x  1)101

l) Tìm I 



x 2001dx

(1  x 2 )1002

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

a) Tìm I 



2x
3

x2  4

dx .

Đặt t  3 x 2  4  t 3  x 2  4

b) Tìm I 



8x
3

4  2x 2

dx .

....................................................................................
....................................................................................

v/p

 3t 2dt  2x dx .

....................................................................................
Khi đó: I 



3t 2dt

t

3
 ( 3 x 2  4)2  C .
2



3t 2
3tdt 
C
2

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 19 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia
c) Tìm I 

 4x

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông
d) Tìm I 

x 2  3 dx .

x

2020  x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................



x

t .dt

2
(t  4)t

dx
x2  4





x

x .dx
2

x2  4

1
dt
(t  2)(t  2)

dx

x

2

x 9



...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

 ...............................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

g) Tìm I 



ln x 1  3 ln x
dx .
x

h) Tìm I 

x

dx
3

1  ln x



...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

 (x 

2

x 1





 x dx  
2

l) Tìm I 



x (x  x 2  1)
x 2  1)(x  x 2  1)

x2  x x2 1
dx 
x 2  (x 2  1)



Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông



dx

(x 2  x x 2  1)dx

x3
x x  1dx 
 A.
3
2



x 3 dx
x 4  1  x2



....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

Tìm A  ?

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

m) Tìm I 

 (x  1)

dx
x x x 1



n) Tìm I 

x

dx
x  3  (x  3) x



...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

2
(ax  b)3  C .
3a

Trang - 21 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

I 

Nhóm 3. 
I 



Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông


t  ln x  dt  1 dx

PP
x


 Đặt 

1
b


f (a  b ln x ) dx
t  a  b ln x  dt  dx
x
x

1

 f (ln x ) x dx


BT 9. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 



2  ln x
dx .
x

v/p
 dt 
Đặt t  ln x 

Khi đó: I 

b) Tìm I 

1
dx .
x

t

...................................................................................
...................................................................................
2

 (2  t )dt  2t  2  C

ln2 x
 2 ln x 
C.
2
c) Tìm I 





ln2 x
dx .
x

1  ln x
dx .
x

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
d) Tìm I 



1  ln 4 x
dx .
x

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

e) Tìm I 



3 ln x  1
dx .
x ln x

f) Tìm I 

ln x

 x (2  ln x )

2

dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 22 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông

t  ex  dt  ex dx
Nhóm 4. Tìm I   f (e ).e dx  
 Đặt 

x

x
t  a  b e  dt  b e dx
BT 10. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
x

a) Tìm I 

e

x

dx

x
3

b) Tìm I 

v /p
Đặt t  ex  3  ex  t  3 
 dt  ex dx.

Khi đó: I 



PP

dx


x
e 3



ex dx
ex (ex  3)

dt

e

dx

x
4

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

 t(t  3)  ........................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................



c) Tìm I 



ex dx

ex  1

....................................................................................

d) Tìm I 



ex dx

ex  8

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

g) Tìm I 



e 2 x dx
x

e 1



h) Tìm I 



e2 x d x
3  ex



...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

...................................................................................

....................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 23 -

Tµi liÖu luyÖn thi thpt Quèc Gia

Chuyªn ®Ò 3. Nguyªn hµm – tÝch ph©n & øng dông
Nhóm đổi biến hàm số lượng giác

BT 11. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 

I 

 sin

2

 sin

3

b) Tìm I 

x dx.

x . sin x dx 

 (1  cos

2

x )sin x dx .

 cos

3

x dx .

...................................................................................

Đặt t  cos x  ......................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

c) Tìm I 

 cos

2017

x sin x d x .

...................................................................................
d) Tìm I 

 sin

2019

x cos x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

e) Tìm I 

 (1  2 sin x )cos x dx .

f) Tìm I 

 sin 2x cos

2

x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

g) Tìm I 

sin x

 2  cos x dx .

h) Tìm I 

cos x

 9  2 sin x dx .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

i) Tìm I 

 cos x e

sin x

dx .

j) Tìm I 

 sin x e

cos x

dx.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về