Một số kinh nghiệm xác định nhanh góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM XÁC ĐỊNH NHANH GÓC
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Hằng
Chức vụ: Giáo Viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Trang

2


1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, thể tích khối đa diện là các bài toán
thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia . Rèn luyện cho học sinh có
kỹ năng xác định góc nhanh chóng là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng.
Trong quá trình dạy học hình học không gian nói chung và dạy bài tập về tính
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong chương trình toán 11 cơ bản nói riêng
học sinh thường lung túng, dễ nhầm lẫn và mất thời gian khi xác định góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng. Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn, tôi có rút ra “Một số
kinh nghiệm xác định nhanh góc giữa đường thẳng và mặt phẳng” trong một số

trường hợp từ những bài toán đơn giản nhằm giúp các em học sinh lớp 11 xác định
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dễ dàng và nhanh chóng hơn. Đồng thời là nền
tảng cho việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình toán 12 ở một số bài
toán thường gặp. Vì nếu các em không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng thì có thể dẫn tới không giải quyết được bài toán thể tích khối đa diện trong
một số trường hợp. Qua quá trình thực hiện tôi thấy từ phương pháp này giúp các
em giải quyết bài toán liên quan đến tính thể tích khối đa diện một cách dễ dàng
hơn và từ đó học sinh sẽ hứng thú hơn với bộ môn hình học không gian.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu đề tài nhằm rút ra một số kinh nghiệm xác định nhanh góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng nhằm giúp các em học sinh rút ngắn thời gian làm các
bài tập về góc và thể tích khối đa diện.
+ Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với
đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn
học sinh giải bài tập về góc. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình không
gian.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Các bài toán về tính góc và tính thể tích khối đa diện.
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
+ Xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Khảo sát thực tế.
+ Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh…

3


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a. Khái niệm

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 900.
+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa
d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).
00 ≤ a· , ( α ) ≤ 900

(

)

b. Chú ý:
2.1.2. Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)
a· , ( α ) = 900.
+ Nếu đường thẳng d và mp(α) vuông góc thì

(

)

( a· , ( α ) ) = 0 .
0

+ Nếu đường thẳng d và mp(α) song song hoặc d ⊂(α) thì
+ Nếu đường thẳng d và mp(α) không song song, d ⊄(α), d và mp(α) cũng
không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:
Bước 1. Xác định điểm O=d∩(α).
d
Bước 2. Trên đường thẳng d ta chọn điểm A (khác O)
sao

A
cho ta có thể xác định được hình chiếu H của A trên (α).
Bước 3. Kết luận góc giữa đường thẳng d và (α)
φ(
α)
ϕ = ·AOH
H
O
chính là góc
.
H.5
Trên thực tế ta thường gặp trường hợp đường thẳng d
và
mp(α) cắt nhau. Tuy nhiên việc xác định được hình chiếu
H
của A trên (α) gây khó khăn đối với các em học sinh hoặc sau khi xác định được
hình chiếu các em lại nhầm lẫn trong việc chỉ ra tên của góc đó.
Để khắc phục khó khăn trên trong nội dung sáng kiến này tôi đưa ra công
thức chung để học sinh có thể đọc nhanh tên của góc để tránh nhầm lẫn và cách
xác định chân đường vuông góc H trong 3 trường hợp thường gặp.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua giảng dạy bài toán về góc, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó
khăn. Kết quả khảo sát khi tôi dạy phần góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cho
học sinh hai lớp 11A4 và 11A9 (đối tượng học sinh chủ yếu là trung bình và yếu)
năm học 2018- 2019 khi chưa áp dụng sáng kiến này.
a
Đề bài: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh bằng . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy.M là trung điểm của BC .
a.Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
4

b.Tính góc giữa SM và mặt phẳng (SAD).
c.Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBD).

Lớp

Sĩ
số

HS làm được câu a

HS làm được câu
a,b

số lượng

số lượng

11A4 40 14
11A9 44 21

%
35,00
47,73

HS chỉ làm được 3câu

%

số lượng

%

5

12,50

2

5,00

9

20,45

3

6,80

Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh xác định được góc quá thấp. Điều
này khiến bản thân tôi phải trăn trở lựa chọn những phương pháp giảng dạy phù hợp
nhằm giúp các học sinh yếu kém nắm lại căn bản để có thể giải được một số bài toán
thường gặp, từ đó vận dụng vào các bài toán về thể tích khối đa diện ở lớp 12 để các
em có thể đạt kết quả tốt hơn ở kì thi TNTHPTQG.
2.3 Các trường hợp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Công thức đọc tên góc nhanh:
Đọc tên góc theo đúng thứ tự: Đỉnh - giao điểm - chân đường cao.
Trong đó:
+ Giao điểm: là điểm chung giữa đường thẳng và mặt phẳng.

+ Đỉnh: là đầu mút còn lại của đoạn thẳng.
+ Chân vuông góc: chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đến mặt phẳng.
2.3.1. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Trong trường hợp này chân đường cao chính là chân đường cao của hình
chóp. Do đó trong đề bài hoặc đã có sẵn chân đường cao hoặc đường cao dễ dàng
suy ra từ giả thiết.
Bài toán 1: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh bằng

a

. Tam giác

(SAB) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính góc giữa SB và mặt
phẳng (ABCD). H,M, N lần lượt là trung điểm của AB,BC và SA.
a. Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
b. Xác định góc giữa SM và mặt phẳng (ABCD).
c. Xác định góc giữa NM và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Dễ thấy SH là đường cao của hình chóp. Ta xác định nhanh các góc như sau:
SC ∩ ( ABCD ) = { C}
a.+ Giao điểm:
+ Đỉnh:S(đầu mút còn lại của SC)
5


+ Chân vuông góc: H (hạ từ đỉnh đến mp(ABCD) suy ra từ giả thiết)
· , ( ABCD ) = SCH
·
SC
.

)

(

Suy ra
( Đọc tên góc đúng thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vuông góc)
S

N

K

A

D

H
B

C
M

SM ∩ ( ABCD) = { M } .

b. + Giao điểm:
+ Đỉnh: S (Đầu mút còn lại của SM).
+ Chân vuông góc: H (hạ từ đỉnh S đến mp(ABCD))
· , ( ABCD ) = SMH
·

SM
.
Suy ra

(

)

MN ∩ ( ABCD ) = { M }

c.+ Giao điểm:
+ Đỉnh:N (đầu mút còn lại của SM)
+ Chân vuông góc: H (hạ từ đỉnh N đến mp(ABCD)).
Cách dựng: Dựng NK⊥AB suy ra NK⊥(ABCD).
· , ( ABCD ) = NMK
·
MN
.
Suy ra

(

)

a
Ví dụ 1.1: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh bằng . SA vuông
góc với đáy và góc giữa SC và (ABCD) bằng 300. Thể tích chóp SABCD bằng bao
nhiêu?
6 3
6 3

6 3
3 3
a
a
a
a
9
3
6
3
A.Giải
B.
C.
D.
Xác định nhanh góc:
SC ∩ ( ABCD) = { C}
+ Giao điểm:
+ Đỉnh:C ( đầu mút còn lại của SC)
+ Chân vuông góc: A (hạ từ đỉnh đến mp(ABCD) đã có từ giả thiết)
6


S

A

D

B

Suy ra

C

· , ( ABCD ) = SCA
) · .
( SC
SA = AC.tan 300 = a 2.

Xét ∆ SAC vuông tại A, ta có

1
1
1 a 6 2 a3 6
V = Bh = SA.S ABCD = .
.a =
3
3
3 3
9

1
a 6
=
.
3
3

. Chọn A.

Ví dụ 1.2 (Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả
các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Tan của góc giữa BM và mặt
phẳng (ABCD) bằng

A.

2
2

B.

3
3

C.

2
3

D.

1
3

Giải:
S

M
G
G

A

B

D

O

C

H

Xác định nhanh góc:
BM ∩ ( ABCD) = { B} .
+ Giao điểm:
7


+ Đỉnh:M (đầu mút còn lại của BM).
+ Chân vuông góc: H hạ từ đỉnh M đến mp(ABCD).
Cách dựng: Dựng MH vuông góc với BD. Suy ra MH ⊥(ABCD) vì
SO⊥(ABCD).
·
·
BM , ( ABCD ) = MBH
.

(

)

(

)

Suy ra
+ Chân vuông góc: H hạ từ đỉnh M đến mp(ABCD).
Cách dựng: Dựng MH vuông góc với BD.Suy ra MH ⊥(ABCD) vì
SO⊥(ABCD).
·
·
BM , ( ABCD ) = MBH
.
Suy ra
Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là giao điểm của BM và SO. Ta có G là
trọng tâm tam giác SBD.

a 2
a2 a 2
1
a 2
2
2
2
⇒ OG =
.
=
BO = BD =
. SO = SB − OB = a −
6

2
2
2
2

·
tan MBH
=

OG 1
=
OB 3

. Chọn D.
2.3.2. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Trong trường hợp này chân đường cao ta xác định như sau: Từ đỉnh dựng
đường thẳng vuông góc với chân của mặt đứng.(Giao tuyến của mặt đứng và mặt
phẳng đáy).
Bài toán 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật. Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a. Xác định góc giữa SO và mp(SAB).
b. Xác định góc giữa SC và mp(SAC).
Giải:

8


S

A

D

H
B

C

O

Từ giả thiết suy ra SA là đường cao của hình chóp. Ta xác định nhanh các góc
như sau:
a.
SO ∩ ( SAB ) = { S }
+ Giao điểm:
+ Đỉnh:O (đầu mút còn lại của SO)
+ Chân vuông góc: H .
Cách dựng: Từ O dựng OH vuông góc với chân của mặt bên là AB.
· , ( SAB ) = OSH
·
SO

)

(

Suy ra
( Đọc tên góc đúng thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vuông góc)
SC ∩ ( SAD) = { S } .
b. + Giao điểm:

+ Đỉnh:C (Đầu mút còn lại của SC).
+ Chân vuông góc: H.
Cách dựng: Từ C dựng CH vuông góc với chân của mặt bên là AD. Trường
· , ( SAD ) = CSD
·
SC
hợp này điểm H trùng với điểm D. Suy ra

)

(

.

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp SABC, có đáy là tam giác đều cạnh bằng
góc với đáy và
17
51
Giải:

A.

SA = 2a.

a

. SA vuông

. tan của góc giữa SC và (SAB) bằng bao nhiêu?

51
Xác định góc:17

B.

−

C.

51
17

−

D.

7
51

9


S

A

B

H

C

SC ∩ ( SAB) = { S }

+ Giao điểm:
+ Đỉnh:C (Đầu mút còn lại của SC)
+ Chân vuông góc: hạ từ đỉnh C đến chân của mặt bên là cạnh AB.
· , ( SAB ) = CSH
·
SC
.
Trong mp(ABC) dựng CH⊥AB. Vậy

)

(

a 2 a 17
SH = SA + AH = 4a +
=
.
4
2
2

Vậy

2

2

a 3
CH
2 = 51
·
tan CSH =
=
SH a 17
17
2

. Chọn B.

Ví dụ 2.2 ( Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông
a
cạnh . SA vuông góc với mặt đáy. SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 300.
Thể tích chóp V của khối chóp SABCD bằng
6a 3
6a 3
3a 3
V=
V=
V=
V = 3a 3
18
3
3
A.
B.
C.

D.

10


Giải:
S

A

B

Xác định góc:

D

C

SD ∩ ( SAB) = { S } .

+ Giao điểm:
+ Đỉnh: D.
+ Chân vuông góc: hạ từ đỉnh D đến chân AB của mặt đứng là A.
· , ( SAB ) = DSA
· .
SD
Suy ra

(

)

1
a3 3
2
SA = AD.cot 30 = a 3 ⇒ V = .a 3.a =
3
3
0

. Chọn đáp án D.
2.3.3. Góc giữa đường cao của hình và mặt bên không chứa đường cao
Trong trường hợp này chân đường vuông góc ta xác định như sau: Từ chân
đường cao hình chóp dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên và
mặt phẳng đáy.
Bài toán 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông. O là giao điểm hai
đường chéo AC và BD. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
c. Xác định góc giữa SA và mp(SBC)
d. Xác định góc giữa SA và mp(SBD)
Giải:

11


S

D

A
B

O

C

Ta xác định nhanh các góc như sau:
SA ∩ ( SBC ) = { S } .
a.+ Giao điểm:
+ Đỉnh: A (đầu mút còn lại của SA)
+ Chân vuông góc: H .
Cách dựng: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến( của mặt bên (SBC) và
mặt phẳng đáy) là AB. Ở đây chân vuông góc H trùng với điểm B.
· , ( SBC ) = ·ASB.
SA

(

)

Suy ra
( Đọc tên góc đúng thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vuông góc).
SA ∩ ( SBD ) = { S } .
b. + Giao điểm:
+ Đỉnh:A(Đầu mút còn lại của SA).
+ Chân vuông góc: H.
Cách dựng: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến( của mặt bên (SBD) và
mặt phẳng đáy) là BD. Ở đây chân vuông góc H chính là điểm O.
· , ( SBD ) = ·ASO.
SA
Suy ra

(

)

Ví dụ 3.1: Cho hình chóp SABC, có đáy là tam giác đều cạnh bằng

a

. SA vuông

góc với đáy và góc giữa SAvà (SBC) bằng 300. Thể tích chóp SABC bằng bao
nhiêu?

A.

6 3
a
24

B.

6 3
a
12

C.

3 3
a

24

D.

3 3
a
12

Giải:

12


S

A

C

H

B

Xác định góc:

SA ∩ ( SBC ) = { S } .

+ Giao điểm:
+ Đỉnh: A (Đầu mút còn lại của SA).
+ Chân vuông góc: hạ từ đỉnh A đến giao tuyến của mặt bên (SBC) và mặt

phẳng đáy là cạnh BC.
· , ( SBC ) = CSH
·
SA
.
Trong mp(ABC) dựng AH⊥BC. Vậy
Xét ∆ SAH vuông tại A, ta có

)

(

a
SA = AH .cot 600 = .
2

1
1
1 a2 3 a a3 3
V = Bh = SA.S ABC = .
. =
3
3
3 4 2
24

. Chọn C.

Ví dụ 3.2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh

AD = a, AB = a 3.

.

Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD).Gọi M là trung điểm cạnh CD, tính cosin
của góc tạo bởi SA và mp(SBM) biết

21
Giải: 5
A.

−
B.

21
5

SA = 3a

C.

75
3

D.

71
3

13


S

D

A
I

B

C

M

Xác định góc:

SA ∩ ( SDM ) = { S }

+ Giao điểm:
.
+ Đỉnh: A (Đầu mút còn lại của SA).
+ Chân vuông góc: hạ từ đỉnh A đến giao tuyến của mặt bên (SDM) và mặt
phẳng đáy là cạnh DM.
· , ( SDM ) = ASI
·
SA
Trong mp(ABC) dựng AI⊥DM. Vậy

AI = 2d (C ; BM ) = 2

(

)

.

CB.CM 2a 21
=
.
BM
7

⇒ SI = SA2 + AI 2 = a

75
7

⇒ cos ASI =

SA
21
=
.
SI
5

Chọn đáp án A.
Bài tập áp dụng

1. ( Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông

SA = a 2

tại C.
thoi ABCD.

A.

a2

.Góc giữa SD với mặt phẳng (SAC) bằng

B.

a2 2
4

C.

a2 3
2

D.

300

. Tính diện tích hình

2a 2 3

5

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi.

·ABC = 600 AC = a,

BC = a 2 SA = a
.
. SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB với mặt phẳng
đáy bằng
14


600

900

300

450

A.
B.
C.
D.
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A. SA vuông góc

1
SA = BC
2

với mặt phẳng đáy và
300
450
A.
B.

.Tính góc giữa SA với mặt phẳng (SBC) .
600
900
C.
D.

4. ( Đề thi THPTQG 2018): Cho lăng trụ ABCA’B’C’. có đáy là tam giác

AC = 2 2

600 AC ' = 4
vuông cân tại A .
. AC’ tạo với mp(ABC) một góc
.
. Tính
thể tích V của khối đa diện ABC.B’C’.
8
16
8 3
16 3
3
3
3

3
A.
B.
C.
D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi tìm tòi và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, bản
thân tôi nhận thấy chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ rệt. Các em học sinh thực
sự hứng thú với môn học, đa số học sinh xác định tốt góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng trong các trường hợp đơn giản thường gặp. Qua kết quả khảo sát thực hiện
trên các lớp học năm 2018-2019 sau khi áp dụng sáng kiến với đề bài tương tự
trước khi áp dụng chất lượng bài làm của các em đã đạt kết quả cao hơn so. Kết
quả cụ thể :
HS làm được câu a
Lớp

Sĩ số
Số lượng

11A4

40

35

11A9

44

40

%
87,50
90,09

HS làm được câu HS làm được cả
a,b
3câu
Số
Số
%
%
lượng
lượng
22

55,00

13

32,50

34

77,27

21

47,72

15


Bản thân khi trao đổi cùng đồng nghiệp thì được đồng nghiệp ủng hộ và công
nhận tính hiệu quả của sáng kiến khi đồng nghiệp dạy trực tiếp trên các lớp 11.
3. Kết luận, kiến nghị:
Có thể nói việc hướng dẫn học sinh xác định được góc giữa đường thằng và
mặt phẳng là một trong những nhiệm vụ quan trọng của chương trình hình học 11.
Trong phạm vi của đề tài tôi chỉ đưa ra các kinh nghiệm xác định góc trong các
trường hợp thường gặp, áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy. Rất mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để để sáng kiến của
tôi được hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tốt hơn về các bài toán về góc, thể tích
trong hình không gian nhằm nâng cao chất lượng giáo dục.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Thúy Hằng

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo - Sách Giáo Khoa cơ ban lớp 11 - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO

DỤC.
2. Nguyễn Mộng Hy - Sách Bài Tập cơ bản lớp 11 - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO
DỤC.
3. Một số phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - bài
đăng trên trang web: tailieu.vn.

17