12 GK2 17 18 thủ đức TPHCM 30TN kho tai lieu THCS THPT

Sở GD&ĐT TPHCM
THPT Thủ Đức
Mã đề 216

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ 2
Môn Toán – Lớp 12
Năm học 2017-2018
Thời gian làm bài: 90 phút

I.PHẦN TRẮC NGHIỆM
2

Câu 1.

Biết

x 1

a

�x 2  9 dx   b ln 5 với a, b �� và

2

B. 8 .

A. 4 .
Chọn

D. 7 .

C. 10 .
Lời giải

A.
2

Ta có:

a
là phân số tối giản. Khi đó a  b  ?
b

x 1

�x 2  9

2

dx 

2

1 �1
2 � 1

dx   ln x  3  2 ln x  3 
�
�
�
3 2 �x  3 x  3 � 3

2
2

1
  ln 5 .
3

a 1
�
� a b  3.
Khi đó �
b3
�
Câu 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  1  0 . Tọa
độ tâm I và bán kính R của  S  là
A. I  1;  2;3 , R  15 . B. I  1;  2;3  , R  13 .
C. I  1;  2;3 , R  13 . D. I  1;  2;3 , R  15 .
Lời giải
Chọn

A.

 S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6z  1  0
Câu 3.

có tâm I  1;  2;3 , R  1  4  9  1  15 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 y  6 z  2  0 và mặt
phẳng  P  : x  y  z  4  0 . Ta có
A.  P  cắt  S  .

C.  P  tiếp xúc  S  .

B.  P  không cắt  S  .

D.  P  đi qua tâm của  S  .
Lời giải

Chọn

B.

�
�I  0; 2;  3
Ta có  S  : �
.
�R  4  9  2  15
23 4
9

 27  15  R .
Khi đó d  I ,  P   
3
3
Do đó  P  không cắt  S  .
Câu 4.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ điểm G�đối xứng với điểm G  5;  3;7  qua trục
Oy là :
 5;  3;  7  .
A. G �

 5;3;7  .
B. G�

 5;3;  7  .
C. G�

 5;0;  7  .
D. G �

Lời giải
Chọn

A.
1


 5;  3;  7  .
G�đối xứng với điểm G  5;  3;7  qua trục Oy nên G �
Câu 5.

x x  2dx . Nếu đặt t  x  2 thì ta được
Xét tích phân I  �
A. I  �
 t 4  2t 2  dt .

B. I  �
 2t 4  4t 2  dt . C. I  �
 2t 4  t 2  dt .

D. I  �
 4t 4  2t 2  dt .

Lời giải
Chọn

B.

�
�x  t 2  2
2
t

x

2
�
t

x

2
�
Ta có:
.
�

2tdt  dx
�









x x  2dx  �
t 2  2 t 2t dt  �
2t 4  4t 2 dt .
Khi đó I  �
Câu 6.

Khẳng định nào sau đây sai?
cos x dx  sin x  C . B. �
sin x dx  cos x  C .
A. �
C.

1

�
cos

2

x

dx  tan x  5  C .

D.

1

�
sin

2

x

dx   cot x  3C .

Lời giải
Chọn
B.
sin x dx   cos x  C .
Ta có: �
Câu 7.

Cho tam giác ABC với A  2; 4;  3  , B  1; 3;  2  , C  4;  2; 3 . Tọa độ trọng tâm G của
ABC là:
� 5 5 2�
A. � ; ;  �.
� 3 3 3�

�5 5 2 �
B. � ; ; �
.
�3 3 3 �

� 5 5 2�
C. � ;  ; �
� 3 3 3�

�5 5 2 �
D. � ; ;  �.
�3 3 3 �

Lời giải
Chọn

D.
x A  xB  xC 5
�

�xG 
3
3
�
y

y

y
5

�
A
B
C

�yG 
3
3
�
z A  z B  zC
3
�

�zG 
3
2
�

Ta có:
�5 5 2 �
Suy ra: G � ; ;  �.
�3 3 3 �
Câu 8.

Cho

1

1

2

2

g  x  dx  4 . Thì I 
�f  x  dx  5 , �

A. 23 .

B. 2 .

1

�
3 f  x  2g  x �
�
�dx 
�

2

C. 7 .

D. 13 .

Lời giải
Chọn

C.
1

1

1

2

2

2

�
3 f  x  2g  x  �
f  x  dx  2 �
g  x  dx  15  8  7 .
Ta có: I  �
�
�dx  3 �
Câu 9.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  có phương trình y  z  2  0 . Vectơ
nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của  P  ?
2


r
A. n   1;  1; 0  .

r
B. n   1;  1; 2  .

r
C. n   0;1;  1 .

r
D. n   0; 1;1 .

Lời giải
Chọn
C.
r
 P  có phương trình y  z  2  0 nên vectơ pháp tuyến của  P  là n   0;1;  1 .
3

Câu 10. Tính I 

2x  3

�x  4 dx

ta được I  a  b ln 6 với a , b ��. Lúc đó a  b 

2

A. 15 .

B. 10 .

C. 7 .

D. 17 .

Lời giải
Chọn

A.
3

3

2x  3
5 �
�
dx  �
2
dx   2 x  5ln x  4 
�
�
�
x

4
x

4
�
�
2
2
� a  10, b  5 . Do đó: a  b  15 .

Ta có: I 

3
2

 10  5ln 6 .

Câu 11. Cho A  1; 2;1 và hai mặt phẳng  P  : 2 x  4 y  6 z  5  0;  Q  : x  2 y  3z  0 . Ta có:
A.  Q  đi qua A và  Q  //  P  .

B.  Q  đi qua A và  Q  cắt  P  .

C.  Q  không qua A và  Q  không song song  P  .
D.  Q  không qua A và  Q  //  P  .

Lời giải
Chọn
A.
Ta có: 1  2.2  3.1  0 � A � Q 
1 2 3 6
 
� �  P  P Q 
2 4 6 5
Vậy  Q  đi qua A và  Q  P  P 
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua M  1; 2; 4  và chứa trục Oy có
phương trình:
A.  P  : 4 x  z  0 .

B.  P  : 4 x  z  0 .

C.  P  : x  4 z  0 .

D.  P  : x  4 z  0 .

Lời giải
Chọn
B.
Ta có:
uuuu
r
r
r
uuuu
r r
�
OM   1; 2; 4  ; j   0;1;0  ; n  �
OM
� ; j �  4;0; 1
r
Mặt phẳng  P  đi qua M  1; 2; 4  nhận n   4; 0; 1 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình
tổng quát là: 4  x  1  0  y  2   1 z  4   0 � 4 x  z  0 � 4 x  z  0
ex
I

Câu 13. Cho
�e x  1 dx , khi đặt t  e x  1 ta có:
2t 2 dt .
A. I  �

2dt .
B. I  �

dt
C. I  � .
2

t 2 dt .
D. I  �

Lời giải
3


Chọn

B.

x
Đặt t  e  1 � dt 

ex
2 ex  1

dx � I  �
2dt .

2
2
2

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  4 x  2 y  4 z  0 và mặt

phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 . Gọi  Q  là mặt phẳng song song với  P  và tiếp xúc với mặt
cầu  S  . Phương trình của mặt phẳng  Q  là:
A.  Q  : x  2 y  2 z  35  0 .

B.  Q  : x  2 y  2 z  17  0 .

C.  Q  : x  2 y  2 z  1  0 .

D.  Q  : 2 x  2 y  2 z  19  0 .
Lời giải

Chọn
B.
Ta có : mặt cầu  S  có I  2;1; 2  , bán kính R  3

 Q  P  P  nên phương trình có dạng :
 Q  tiếp xúc với  S  nên :
d  I , Q   R �

224C
12  2 2   2 

2

x  2 y  2 z  C  0  C �1

C  1  Loai 
�

 3 � C 8  9 � �
C  17
�

Vậy phương trình mặt phẳng  Q  là : x  2 y  2 z  17  0 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1; 2;3  . Tọa độ hình chiếu vuông góc của

M lên mặt phẳng tọa độ Oxy là:
A.  1;0;3 .
B.  1; 2;0  .

C.  1;0;0  .

D.  0; 2;3 .

Lời giải
Chọn

B.
1

e

1 2
1
x 2 f  x  dx bằng
ln x. f  ln x  dx  , thì tích phân I  �
�
x
2

0
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
2
8
4

Câu 16. Nếu

D. 1 .

Lời giải
Chọn
e

1

ln
�
x

A.
2

x. f  ln x  dx 

1

1
2

1
dx
x
Đổi cận: x  1 � t  0; x  e � t  1 .

Đặt t  ln x � dt 
e

1

1
1
1
� �ln 2 x. f  ln x  dx  � �
t 2 f  t  dt 
x
2
2
1
0
�I 

1
.

2

2
 x   3x 2  2 x  2 . Số
Câu 17. Cho hàm số f  x  xác định trên  1; 2 thỏa mãn f  0   1 và f  x  . f �

nghiệm của phương trình f  x   1 trên  1; 2 là
4


C. 0 .

B. 1 .

A. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn

D.

2
Ta có: f  x  . f �
 x   3x 2  2 x  2 �

1 3
� 3 x 2  2 x  2
�

f  x �
�
�
3

� f 3  x   3�
 3x 2  2x  2  dx  3  x3  x 2  2 x   C

� f  x   3 3x3  3x 2  6 x  C

f  0  1 � C  1
� f  x   3 3x3  3x 2  6 x  1
Lập bảng biến thiên cho hàm số f  x   3 3 x3  3 x 2  6 x  1

� f  x   1 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 18. Biết
A.

3

x 2 x 3  2dx  k .  x 3  2  2  C . Khi đó, k bằng
�

2
.
3

B.

2

C.  .
9

2
.
9

2
D.  .
3

Lời giải
Chọn

D.

Đặt t  x3  2 � t 2  x3  2 � 2tdt  3x 2 dx
��
x
2

�k 

3
2 2
2 3
2 3
x  2dx  �
t dt  t  C   x  2  2  C
3

9
9
3

2
.
9
3

n

1

m

 4 x  6  .e2 x dx  m.e6  n.e 2 với m, n ��. Lúc đó J  �
 x 2  1 dx bằng
Câu 19. Cho I  �
A. J  4 .

B. J  1 .

C. J  2 .

4

D. J  0 .

Lời giải
Chọn

D.

�du  4dx
u  4x  6
�
�
� � 1 2x
Đặt �
2x
v e
dv  e dx �
�
� 2
� I   2 x  3 e

2x 3
1

3

 2�
e 2 x dx  3e6  e 2  e 2 x  3e6  e 2   e 6  e 2   2e 6  2e 2 .
1

3

1

n

2
4
4
m2
�
2
�
J

x

1
d
x

x 2  1 dx  0 .
��



�
�
n2
�
m
2

2
Câu 20. Hình phẳng giới hạn bởi Parabol  P  : y  x  x  6 và trục Ox có diện tích bằng
95

95
125
125
A.
.
B.  .
C.
.
D. 
.
6
6
6
6

5


Lời giải
Chọn

C.

x  2
�
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x  x  6  0 � �
x3
�
3

�S 

�x  x  6 dx 
2

2

125
.
6

2
2
Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị y  x  x ; y  x  1 được cho bởi công thức nào

sau đây?
0

1

1

0

 x  1 dx  �
 x  1 dx.
A. �
0

C.

0

1

1

0

  x  1 dx  �
 x  1 dx.
B. �

1

1

  x  1 dx  �
 x  1 dx .
�

1

 x  1 dx.
�

D.

1

0

Lời giải
Chọn

C.

( hình minh họa).
1

Ta có: S 

 x 2  x    x2  1 dx 
�

1

1





�x  1 dx 

1

0

  x  1 dx 
�

1

1

 x  1 dx .
�
0

� �
Câu 22. Một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  2 cos x biết F � � 0 là
�2 �
A. F  x   2sin x  cos x  2.

B. F  x   2sin x  cos x  2.

C. F  x   2sin x  cos x  2.

D. F  x   sin x  2 cos x  2.
Lời giải

Chọn

C.

 sin x  2 cos x  dx   cos x  2sin x  C.
�



� �
F � � 0 �  cos  2sin  C  0 � 2  C  0 � C  2.
2
2
�2 �

 sin x  2 cos x  dx   cos x  2sin x  2  2sin x  cos x  2.
Vậy �
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f  x   cos  2 x  1 là
6


A. sin  2 x  1  C. .

B. 2sin  2 x  1  C. .

1
1
C.  sin  2 x  1  C. D. sin  2 x  1  C.
2
2

Lời giải
Chọn

D.
1

cos  2 x  1 dx  sin  2 x  1  C.

�
2
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  6  0 cắt ba trục
Ox, Oy , Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là
A. 18.
B. 3.
C. 12.
D. 6.
Lời giải
Chọn
D.
uuu
r
�
OA   3;0;0  .
�A  3;0;0  .
�
r
�
�uuu
P
Oxyz
Ox
,
Oy
,
Oz
A
,
B

,
C
�
B
0;

2;0
.
�
OB   0;  2;0  .
 �
  cắt
tại ba trục
tại ba điểm
�
�
�uuur
C  0;0;6  .
OC   0;0;6  .
�
�
r uuu
r uuur
1 uuu
�
OA
,
OB
OC  6.
Vậy thể tích OABC ( tính theo công thức ) là: V  �

�
6�
Câu 25. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm N  0;3; 0  và mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 , bán
kính R  3 , biết M  xo , yo , zo  � S  sao cho A  2 xo  yo  2 zo đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, độ
dài đoạn MN là:
A. 3.

B. 3 2.

C. 3.
Lời giải

D. 2 3 .

Chọn
B.
2
2
2
Ta có M � S  �  xo  1   yo  2    zo  1  9.
Viết được A  2  xo  1   yo  2   2  zo  1  6 .
Theo bất đẳng thức Bunhiascopki, có:
2  xo  1   yo  2   2  zo  1 � 22  12  22 .

 xo  1

2

  yo  2    zo  1  9
2

2

� 9 �2  xo  1   yo  2   2  zo  1 �9

� 3 �2  xo  1   yo  2   2  zo  1  6 �15
� 3 �A �15.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 .
�xo  zo
�xo  1 yo  2 zo  1


�
�
� xo  yo  zo  1 .
1
2 � �xo  2 yo  3
Dấu bằng xảy ra � � 2
�
�
2 xo  yo  2 zo  3
2 xo  yo  2 zo  3
�
�
Do đó M  1; 1; 1 � MN  3 2.

7


Câu 26. Cho hình thang cong

 H  giới

hạn bởi các đường y 

1
, y  0, x  1, x  5. Đường thẳng
x

x  k ,  1  k  5  chia  H  thành hai phần có diện tích là  S1  và  S2  (hình vẽ bên). Giá trị
của k để S1  2 S 2 là:
A. k  3 5.

B. k  ln 5.

C. k  5.

D. k  3 25.
Lời giải

Chọn

D.

� k1
�S1  �dx  ln k
� 1x
.
Ta có �
5

1
5
�S 
dx  ln
�2 �
x
k
� k
Theo giả thiết, có
2

S1  2S 2 � ln k  2 ln
Câu 27. Tính tích phân
A.


3
0

5
25
�5 �
� ln k  ln � �� k  2 � k 3  25 � k  3 25.
k
k
�k �

� 1  tan x  dx

 3

.
3

2

B.

bằng?

3
.
3

C.

3.

D.  3 .

Lời giải
Chọn
Ta có:

C.

3
0



2
� 1  tan x  dx  tan x 03  tan


 tan 0  3 .
3

Câu 28. Thể tích V của vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x  1 , x  2 và có
thiết diện tại x  1  x  2  là hình chữ nhật có độ dài cạnh là 2 và

2 x  1 được cho bởi công

thức nào sau đây?
2

A. V  �
 8 x  4  dx .
1

2

2

B. V   �
 8 x  4  dx .
1

2

2 2 x  1 dx . D. V   �

2 2 x  1 dx .
C. V  �
1

1

Lời giải
Chọn

C.

Diện tích mặt cắ hình chữ nhậtt: S  x   2 2 x  1  1  x  2  .
2

2

S  x  dx  �
2 2 x  1 dx .
Khi đó áp dụng công thức ta được V  �
1

1

r
r
r
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a   1; 2; 2  và b   1; 2; 2  . Gọi  là góc giữa a
r
và b thì cos   ?
1

1
1
1
A.  .
B.
.
C. .
D.  .
18
18
9
9
Lời giải
Chọn
D.
8


rr
r r
a.b 1  4  4
1
 .
Ta có: cos a, b  r r 
3.3
9
a b

 

1
Câu 30. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong  C  : y  ln x , hai đường thẳng x  , x  1 và trục Ox
e
có diện tích bằng.
2
e 1
2e
e2
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
7
14
e
2
Lời giải
Chọn
C.
1

1

Ta có: S  �
1 ln x dx 

�ln x dx

1
e

e

1
�
u  ln x
du  dx
�
�
��
x
Đặt �
dv  dx �
�
vx
�
1

1

e

e

Khi đó: S  x ln x 1  �
1 dx 

Câu 1.

1
1 � 1� 2e
1
 x 1  �
1  �
.
e
e � e� e
e

II.PHẦN TỰ LUẬN
e
� 1�
ln xdx .
Tính I  �
�x  �
x�
1�
Lời giải
e

e

e

1
� 1�
I �
ln xdx  �

x ln xdx  �ln xdx  I1  I 2 .
�x  �
x
x�
1�
1
1
1
�
e
e
du  dx
�
u  ln x
�
�x 2
� ex
�x 2
�
x
x 2 � e2 1
��
� I1  � �
ln x �  �dx  � �
ln x  �   .
Đặt �
dv  xdx
x2
2
2

2
4�
4 4
�
�
�
�
�
1
1
1
v
� 2
1
 ln x 
I 2  �ln xdx  �
ln xd  ln x  
x
2
1
1
e

2

2 e


1

1.
2

2

e 1 1 e
3
    .
4 4 2 4 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1; 2;0  ; B  3; 4; 2  và mặt phẳng

Vậy, I 
Câu 2.

e

 P  : x  y  z  4  0 . Viết phương trình mặt phẳng  Q 
với mặt phẳng  P  .

đi qua hai điểm A ; B và vuông góc

Lời giải

9


Mặt phẳng  Q  chứa hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  P  nên có véc tơ pháp
uur uuu
r uur
uur

�
AB
.
n

0;

4;

4
n


tuyến là: nQ  �
.
Vậy
ta
chọn
Q   0;1;1 .
� P�
Phương trình mặt phẳng  Q  đi qua điểm A  1; 2;0  là:  Q  : y  z  2  0 .
1

Câu 3.

Tính tích phân I 

� 3x  4 
3

2

dx . Một học sinh giải Sai bài toán như sau:

2
1

Bước 1: I 

� 3x  4 
3

2
1

Bước 2: I 

2

1

dx 

2

2
3

 3x  4  dx 
�

2





2

 3 x  4  3 dx
�

5 1
1
1
5 1
3
x

4

 3  3  3x  4 
2 5
2
5

1
1  3 105 .
5
Học sinh đó giải sai từ bước nào? Hãy sửa lại bài giải cho đúng.

Bước 3: I 

Lời giải
Học sinh đó giải sai từ bước thứ 1.
Lời giải đúng:
1

Tính tích phân I 

� 3x  4 
3

2

dx . Giải bài toán như sau:

2

Bước 1: t 

3

 3x  4  � t 3   3x  4  � 3t 2dt  3dx � dx  t 2dt

đổi cận x  2 � t   3 10; x  1 � t  1 .
Bước 2: I 

1 51
2 2
t

.
t
.d
t

t
�
5  3 10
 3 10

Bước 3: I 

1
1  3 105 .
5

1





---HẾT---

10