SKKN bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN HỌC LỚP 10

Quảng Bình, tháng 1 năm 2019


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Điểm mới của đề tài
II. NỘI DUNG
1. Thực trạng vấn đề cần giải quyết
2. Nội dung của đề tài
2.1 Hàm số bậc hai
2.1.1 Cơ sở lý thuyết
2.1.2 Bài tập đề nghị
2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
2.2.1 Cơ sở lý thuyết
2.2.2 Bài tập đề nghị
2.3 Hiệu quả của đề tài
2.4 Một số bài toán học sinh tự sáng tạo đề
III. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của đề tài, sáng kiến, giải pháp
2. Kiến nghị , đề xuất
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
1
1
3
4
4
4
4
4
8
9
9
20
21
24
26
26
26
27


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Cách đây ba năm, tôi được nhà trường phân công trực tiếp giảng dạy bộ
môn toán ở 2 lớp 10A1 và 10A2, nhưng một thực tế là từ trước đến nay, nhiều học
sinh đã sai lầm trong cách học, dẫn đến hiệu quả không cao vì chỉ khư khư ôm lấy
lí thuyết mà không chịu thực hành. Một phần do học sinh chưa nắm được tầm
quan trọng của phương châm học đi đôi với hành, một phần xuất phát từ tâm lí e
ngại, lười hoạt động. Các em khá thông minh nhưng lại hay bị động ở các bài toán
thực tế. Ngoài ra, theo cấu trúc của đề thi môn toán hiện nay thì tỉ trọng các câu

liên hệ thực tế khá nhiều so với trước kia là hầu như không có, nên các em thường
mất điểm phần bài tập liên hệ. Vậy nên, việc dạy cho các em tiếp cận với các bài
toán thực tế là hết sức cần thiết.
Năm học này, tôi lại được nhận nhiệm vụ dạy lớp 10I và cũng thấy nhiều
khó khăn của học sinh đã từng mắc phải như trước. Vì thế, tôi viết sáng kiến kinh
nghiệm với chủ đề “ Bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10”
nhằm mục đích cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan cho các bài toán
thực tế , để các em đủ tự tin và nắm được phương pháp làm đúng cho các dạng bài
toán thực tế cụ thể. Ở nội dung này tôi tập trung khai thác ở hai phần:
+ Hàm số bậc 2
+ Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn số ( Bài toán kinh tế).
Hàm số bậc hai và Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là mảng kiến thức quan trọng
ở trường phổ thông, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Vấn đề tìm miền nghiệm của
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan chặt chẽ đến bài toán tìm cực trị
của biểu thức trên một miền đa giác phẳng lồi. Việc nắm vững kiến thức về bất
phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán kinh tế
trong cuộc sống về toán học.
1


- Mục đích nghiên cứu
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT
cùng với ít kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi có tổng hợp, khai thác và
hệ thống hóa lại các kiến thức thành một đề tài “ Bài toán thực tế trong chương
trình toán học lớp 10”.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số
phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản, biết phân tích các bài toán thực
tế để đưa đề bài về dạng toán học. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn
đồng nghiệp cũng như các em có 1 cái nhìn toàn diện hơn về các bài toán thức tế ở
chương trình học lớp 10.

- Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10.
- Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán thực tế ở các bài.
+ Hàm số bậc hai
+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số (Bài toán kinh tế).
- Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận chung.
+ Khảo sát điều tra thực tế dạy học.
+Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
-Cách thực hiện
+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn.
+ Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm.
+ Thông qua việc giảng dạy trực tiếp.
- Thời gian nghiên cứu: Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 tại
trường THPT Đồng Hới từ học kì 1 năm học 2015-2016 đến nay.
2


2. Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp
Hiện nay nội dung cũng như cấu trúc ra đề thi của môn toán dần theo xu
hướng có nhiều câu hỏi áp dụng thực tiễn nhưng sách giáo khoa lại chưa thay đổi
để phù hợp. Các bài toán thực tế đang trở nên xa lạ đối với các em học sinh, đặc
biệt là các em học sinh lớp 10 nên tôi viết sáng kiến này mục đích giới thiệu và làm
rõ cho các em học sinh thấy được hệ thống những bài toán thực tế trong chương
trình toán học lớp 10 và cách giải cụ thể cho từng dạng, để các em không còn e
ngại khi gặp những bài toán tương tự. Trong khi đó, các tài liệu để hướng dẫn cho
các em còn hạn chế và hầu như rất ít giáo viên nghiên cứu về đề tài liên quan đến
vấn đề này thực sự hiệu quả.
Trong nội dung sáng kiến này, tôi cố gắng đưa ra các bài toán trong sách

giáo khoa, các bài toán trong các đề thi về hai dạng hàm số bậc hai và hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn mà trọng tâm chủ yếu là hệ bất phương trình để các
em có một hệ thống kiến thức nền tảng cho các dạng bài tập liên quan.Ngoài ra, tôi
còn cho học sinh tự đưa ra các bài tập tương tự nhằm phát huy tư duy tích cực,
sáng tạo nhằm mục đích cho các em thu được kết quả tốt nhất trong học tập và ứng
dụng trong thực tiễn, đó là mục đích lớn nhất mà giáo dục nước nhà đang hướng
đến.

3


II. NỘI DUNG.
1. Thực trạng của vấn đề mà đề tài cần giải quyết
Trong quá trình học tập học sinh thường rất lúng túng và không định hướng
được cách làm cho các bài toán thực tế. Sơ đồ sau thể hiện kiểu bài toán được phân
loại theo bối cảnh thực tế. Từ bài toán thực tế ban đầu, giáo viên đơn giản hóa nó
để tạo ra bài toán bài toán thuần túy toán học. Và nhận ra rằng mức độ nhận thức
càng tăng khi áp dụng các bài toán thực tế. Học sinh nắm được bối cảnh của từng
bài toán và sẽ có được cách làm cho từng dạng cụ thể:

2. Nội dung của đề tài
2.1. Hàm số bậc hai
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
Để xác định hàm số bậc hai ta làm như sau:
Gọi hàm số cần tìm là

y = ax2 + bx + c,a � 0

để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn

a,b,c

. Căn cứ theo giả thiết bài toán

, từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Ở các bài toán thực tế việc đầu tiên các em phải chọn cho mình được hệ trục tọa
độ và nên chọn hệ trục sao cho khi ta gán tọa độ các điểm vào thì có thể dễ dàng
giải quyết được bài toán.
Ví dụ 1. Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối
của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao 30m.
Chiều dài nhịp A ' B '  200m . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là
OC  5m

4


OC  5m . Xác định chiều dài các dây cáp

treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây
truyền)?
Định hướng cách giải:
Ở bài này thì có rất nhiều cách để gán hệ
trục tọa độ vào nhưng vẫn ưu tiên gán ở
đỉnh của parapol. Lúc đó có thể dễ dàng
tìm ra tọa độ của các điểm xung quanh,
sau đó tìm được dạng parabol rồi thì đi
đến tìm được chiều dài dây cáp treo
Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên
A 100; 30) , C ( 0; 5)

nền cầu như Hình vẽ. Khi đó ta có (
, ta tìm phương trình của
2
Parabol có dạng y = ax + bx + c . Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta có hệ

phương trình:
�
b
�
=0
�
�
2a
�
�
� a.0 + b.0 + c = 5
�
�
a.1002 + b.100 + c = 30
�
�
�
�

�
1
�
a=
�
�

400
�
�
b= 0
�
�
�
c =5
�
�
��
�

Suy ra Parabol có phương trình

y=

1 2
x +5
400
. Bài toán đưa việc xác định chiều

dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M1 , M 2 , M 3 của Parabol. Ta dễ
dàng tính được tung độ các điểm có các hoành độ x1  25, x2  50, x3  75 lần lượt là
y1  6,56  m  , y2  11, 25  m  , y3  19, 06  m 

tính.

5

. Đó chính là độ dài các dây cáp treo cần


Ví dụ 2. Bài toán mang tính khám phá: Cầu University ở Saskatoon ở Canada
là một cây cầu được đỡ bằng các vòm parabol. Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet. Bên
dưới một trong những vòm đó, người ta xây dựng một con đường có 2 làn với lề
đường rộng 10 feet như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ chân vòm parabol đến
mặt đất là 4 feet và vòm parabol cách mặt đất là 11m tại vị trí ngăn cách giữa lề và
lòng đường. Bạn hãy cho biết chiều cao tối đa của một phương tiện giao thông có
thể đi qua dưới vòm này
Định hướng cách giải
Bài toán yêu cầu HS sử dụng kiến thức liên
quan đến hàm số bậc hai một ẩn để xác định
chiều cao của chân vòm parabol nhằm đưa ra
khuyến cáo về chiều cao an toàn mà một phương
tiện giao thông có thể đi dưới chân vòm này. HS
cần lựa chọn thông tin toán học cần thiết để tìm
kiếm phương án GQVĐ đặt ra trong bài toán như
mỗi nhịp của cầu rộng 92 feet
và được đỡ bằng các vòm parabol. Lề đường rộng 10 feet, khoảng cách từ chân
vòm parabol đến mặt đất là 4 feet và chiều cao từ vòm parabol này đến vị trí ngăn
cách lề và lòng đường là 11 feet.
Học sinh cần xây dựng mô hình toán bằng cách chọn hệ trục tọa độ Ohx với
O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu và Ox nằm trên đường thẳng nối hai
chân vòm parabol.
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu
và Ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol. Lúc đó, vòm parabol này
sẽ đi qua hai điểm

A  36,7 

và

B  92 ,0  .

6

Hàm số biểu thị hình dạng của vòm


2
parabol có dạng h( t )  at  b. Thay tọa độ điểm A vào phương trình của hàm số

h( t )  at 2  b thu được 1296a  b  7. Tiếp tục thay tọa độ điểm B vào phương trình
2
của hàm số h( t )  at  bt thu được 2116a  b  0. Từ đó suy ra:

a  1 / 108

và b  19 nên được hàm số

h( t )   1 / 108  t 2  19.

Hàm số này đạt giá

h 0  19.
trị lớn nhất tại t  0 và  
Vậy

chiều cao tối đa của một phương tiện đi

qua dưới vòm parabol của chiếc cầu là 23
feet.
Ví dụ 3 : Người ta muốn rào quanh một mảnh vườn với một số vật liệu cho trước
là 100m thẳng hàng rào. Tại đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một
cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào mảnh vườn ấy theo hình chữ nhật sao
cho diện tích lớn nhất ?
Lời giải
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc
với bờ giậu
Theo bài ra ta có : x + 2y = 100
Diện tích miếng đất là
S cực đại khi và chỉ khi
Lúc này

S =y ( 100 - 2y )
S = y ( 100 - 2y )

S = y ( 100 - 2y )

có đỉnh là

cực đại

I ( 25;1250)

, vì bề lõm parabol hướng xuống

nên giá trị lớn nhất tại đỉnh, vậy S cực đại khi y = 25, x = 50

7

y

Vậy khu đất có diện tích lớn nhất khi rào mảnh vườn thành hình

x

chữ nhật với chiều dài x = 50m và chiều rộng y = 25m
Bài toán này cũng có thể đưa vào dạy bài bất đẳng thức Cô-si như
sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm 2y và 100 - 2y
ta có:
2

1 �2 y  100  2 y � 1002
� �
� 8
2
�
S 2�
100
100
 25
 50
Dấu bằng xảy ra � 2y = 100 - 2y � y = 4
Suy ra x = 2

Đánh giá : Không khó để lồng ghép các bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cô - si
như trên vào bài hàm số bậc hai thay vì những bài toán nghiêng về lý thuyết có

phần khô khan. Những bài toán như thế này cho học sinh thấy yêu thích môn toán
hơn vì hiểu được rằng toán học luôn theo sát ta trong cuộc sống. Cần sử dụng
toán học như một công cụ hiệu quả để làm chủ cuộc sống của mình.
2.1.2 Bài tập đề nghị
Bài 1. Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng
Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ ) .

8


Hình 1. Cổng Acxơ
Làm thế nào để tính chiều cao của cổng ?(khoảng cách từ điểm cao nhất của
cổng đến mặt đất)
2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. ( Ứng dụng giải quyết các bài toán
kinh tế).
2.2.1 Cơ sở lý thuyết
� Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: là bất phương trình có một trong các

dạng:
ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c �0, ax  by  c �0 trong đó a, b, c là những số

thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.
Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình
ax  by  c  0 ,

9


Nghiệm của các bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by �c, ax  by �c cũng được
định nghĩa tương tự.

�Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập
hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.
�Cách

xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

d : ax  by  c  0
Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  
chia mặt phẳng

thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm
các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 , nửa mặt phẳng còn
lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình
ax  by  c  0 .

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , ta có quy tắc
thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c  0
Bước 2. Xét một điểm

M  x0 ; y0 

không nằm trên (d).

- Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền
nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .
- Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là
miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .

10


Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c �0 hoặc ax  by  c �0 thì
miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
� Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất
phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các
miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như
sau:
- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ
(tô màu) miền còn lại.
- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên
cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Sau đây là một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
x  2 y 2x  y  1

3
b) 2

a) 2 x  y � 0

11

Lời giải
a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng

 d :

2x  y  0

d
. Ta có   chia mặt phẳng

thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất
kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn
điểm

M  1;0 

. Ta thấy (1; 0) là nghiệm của

bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ
(d) và chứa điểm

M  1;0 

(Miền không được tô màu trên hình vẽ).

b)Tacó:
x  2 y 2x  y  1

� 3  x  2 y   2  2 x  y  1  0

2
3
� x  4 y  2  0 � x  4 y  2  0

Trong mặt phẳng tọa độ,vẽ đường thẳng
 : x  4y  2  0

Xét điểm

O  0;0 

,thấy O 

0;0 

không phải là

nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng
O 0; 0
bờ  (không kể đường thẳng  ) và không chứa điểm   (Miền không được

tô màu trên hình vẽ).

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

12


�x  y  2 �0
�

a) �x  3 y  3 �0

b)

�x  y  0
�
�2 x  3 y  6  0
�x  2 y  1 �0
�

Lời giải
a)Vẽ

các

đường

thẳng

 d  : x  y  2  0 ,  d ' : x  3 y  3  0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Xét điểm

O  0;0 

0; 0
, thấy   không phải là nghiệm của bất phương trình

x  y  2 �0 và x  3 y  3 �0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không

d

d'
được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng   và   .
d : x  y  0,  d '  : 2 x  3 y  6  0
d " : x  2 y 1  0
b) Vẽ các đường thẳng  
và  
trên

mặt phẳng tọa độ Oxy
Xét điểm
bất

O  0; 0 

phương

0; 0
, thấy   là nghiệm của

trình

x  2 y  1 �0 . Do đó

2x  3y  6  0

O  0;0 

và

thuộc miền

nghiệm của bất phương trình 2 x  3 y  6  0
và x  2 y  1 �0 .

13


Xét điểm
M  1;0 

M  1;0 

1;0
ta thấy   là nghiệm của bất phương trình x  y  0 do đó điểm

thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y  0 .

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể
d"
cả đường thẳng  
�ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ

Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ
đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời
sống và kinh tế.
Trước khi vào bài toán, tôi xin nêu ra phương pháp tìm cực trị của biểu
thức F = ax + by trên một miền đa giác. Có lẽ các bạn sẽ thấy lạ với phương
pháp này. Phương pháp này được nêu ra trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản trang
98 phần đọc thêm.
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F  ax  by

(a, b là

hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các điểm
thuộc miền đa giác

A1 A2 ... Ai Ai 1... An

. Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất.
Lời giải. Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 tức là xét ngũ giác lồi và
xét trường hợp b > 0 trường hợp ngược lại tương tự. Giả sử

M 0 ( xO ; yO )

là điểm

thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của một đa giác, kẻ các đường thẳng
song song với đường thẳng

ax  by  0

.

14

Khi đó ta có đường thẳng qua M có phương trình

trục tung tại điểm

chỉ khi

ax0  by0
b

� axO  byO �
N�
0;
�
b
�
�

. Vì b > 0 nên

ax0  by0

ax  by  ax0  by0

và cắt

đạt giá trị lớn nhất khi và

lớn nhất. Từ đó ta được kết quả bài toán.

Tổng quát hóa

Ta luôn có thể giả thiết rằng b > 0, bởi vì nếu b < 0 thì ta có thể nhân hai vế
với -1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của
toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của

F ( x; y)

 F ( x; y )   ax  b ' y

sẽ trở thành bài

, trong đó

b '  b  0

.
y

ax  by  0
A2

A1

A3
O

M  x0 ; y0 

A5
N

15

A4

x


Tập các điểm

( x; y )

để

F ( x; y)

nhận giá trị p là đường thẳng

ax  by  p

; hay

a
p
y  x
b
b


Đường thẳng này có hệ số góc bằng
m

với

a
b

và cắt trục tung tại điểm

M (0; m)

p
b

Ký hiệu đường thẳng này là
lớn nhất) của

P ( x; y )  p

m

(hay lớn nhất) của

với

p
b

( x; y)

. Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay

miền đa giác quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất

, tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất) trên

trục tung sao cho đường thẳng

Từ đó chú ý rằng

(d m )

(d m )

(d m )

có ít nhất một điểm chung với (S).


có hệ số góc bằng

a
b

không đổi. Ta đi đến cách làm

sau:
Khi tìm giá trị nhỏ nhất của

F ( x; y)

, ta cho đường thẳng

(d m )

chuyển động

song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền đa giác và đi lên cho
đến khi

(d m )

lần đầu tiên đi qua một điểm

 x0 ; y0 

nào đó của miền đa giác. Khi đó,

m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của
F ( x0 ; y0 )  ax0  by0

.
16

F ( x; y )

. Đó là


Khi tìm giá trị lớn nhất của


a
b

F ( x, y )

, ta cho đường thẳng

(d m )

với hệ số góc

chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền đa giác và

đi xuống cho đến khi

(d m )

lần đầu tiên đi qua một điểm

 x0 ; y0 

nào đó của miền

đa giác. Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của
F ( x, y )

. Đó là

F  x0 ; y0   ax0  by0

.

Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại
một trong các đỉnh của một miền đa giác.
Sau đây là một số bài toán ví dụ ứng dụng hệ bất phương trình:
Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại
nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty
trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng
phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát
thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu
quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình
dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên
truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối
đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên
sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Lời giải

17


Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là
x

(phút), trên truyền hình là

y

(phút). Chi phí cho việc này là:

800.000 x  4.000000 y (đồng)

Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:
 800.000 x  4.000.000 y  �16.000.000 hay  x  5y  20 �0

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x �5, y �4 .
Đồng thời do x, y là thời lượng nên x �0, y �0 . Hiệu quả chung của quảng cáo là:
x  6y .

Bài toán trở thành: Xác định x, y
sao cho:

M  x; y   x  6 y

đạt giá trị

lớn nhất.

Với các điều kiện

� x  5y  20 �0
�
�x �5
�
0 �y �4
�

(*)

Trước tiên ta xác định miền nghiệm

của hệ bất phương trình (*)
Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

vẽ

các

đường

thẳng

 d  : x  5 y  20  0,  d ' : x  5,  d '' : y  4
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác)
không tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất của M  x; y   x  6 y đạt tại một trong các điểm  5;3 ,  5;0  ,  20;0 
Ta có M  5;3  23, M  5;0   5, M  20;0   20 suy ra giá trị lớn nhất của M  x; y  bằng
23 tại  5;3 tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và

trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.
18

Ví dụ 2: [Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015]. Trong một cuộc thi pha chế,
mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 21g đường để pha
chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước
và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương
liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80
điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số
điểm thưởng là lớn nhất?
Lời giải: Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài yêu
cầu làm gì và chuyển bài toán đó về những mô hình toán học mà mình đã học? Ở
đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại”. Như
vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại. Mà mỗi lít
nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhân được 60x điểm
thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được
80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được x,
y lít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y.
Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế

( x, y �0)

. Khi

đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F = 60x + 80y.
Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x(g) hương liệu.
Để pha chế y lít nước cam cần 10y g đường, y lít nước và 4y (g) hương liệu.
Do đó, ta có:
Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y
Số lít nước cần dùng là: x + y
Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y

19

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít
nước

và

210g

đường

nên

30 x  10 y �210
3 x  y �21
�
�
�x  y �9
�x  y �9
�
�
��
�
�x  4 y �24
�x  4 y �24
�
�
�x, y �0
�x, y �0

x,

y

thỏa

mãn

hệ

bất

phương

trình:

(*)

Khi đó bài toán trở thành:
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm
F  60 x  80 y

( x  x0 , y  y0 )

sao cho

lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần
mặt phẳng chứa điểm

M ( x, y )

thỏa mãn (*). Khi đó

miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ
giác OABCD kể cả miền trong của tam giác (như
hình vẽ). Biểu thức

F  60 x  80 y

đạt giá trị lớn

nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD.
Tại các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4;
5), D(0; 6). Ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại x = 4, y = 5.
Khi đó

F  60.4  80.5  640

.

Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số tiền thưởng lớn nhất
là 640.
Ví dụ 3. [SGK Đại số & Giải tích 10 nâng cao] Một gia đình cần ít nhất 900g
chất prôtein và 400g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa 80%
20


prôtein và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60% prôtein và 40% lipit. Biết rằng gia đình

này chỉ mua nhiều nhất là 1600g thịt bò và 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò là
45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu
kg thịt mỗi loại để chi phí ít nhất?
Lời giải: Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn ( x, y �0 ). Khi đó
chi phí mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T  45 x  35 y (nghìn đồng).
Theo giả thuyết, x và y thỏa mãn điều kiện

x �1, 6; y �1,1

.

Khi đó lượng prôtein có được là 80%x + 60%y và lượng lipit có được là
20%x + 40%y.
Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất prôtein và 0,4kg chất lipit trong thức
ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 80%x + 60%y ≥ 0,9 và 20%x + 40%y ≥
0,4 hay 4x + 3y ≥ 4,5 và x + 2y ≥ 2.
Vậy x, y thỏa mãn hệ bất

phương trình:

0 �x �1, 6
�
�
0 �y �1,1
�
�
�4 x  3 y �4,5
�
�x  2 y �2

(*)

Khi đó bài toán trở thành:
Trong các nghiệm của hệ
bất phương trình (*), tìm nghiệm (
x  x0 , y  y0

) sao cho

T  45 x  35 y

nhỏ nhất.

21


Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M ( x, y )

thỏa mãn (*). Miền nghiệm của hệ (*) là miền bên trong của tứ giác lồi ABCD và
cả biên (như hình vẽ).
T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Ta có:

A(1, 6;1,1), B(1, 6; 0, 2), C (0, 6; 0, 7), D(0,3;1)

Kiểm tra được x = 0,6; y = 0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất.
Vậy gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất. Cụ
thể là phải chi phí 51,5 nghìn đồng.

2.2.2 Bài tập đề nghị
Bài 1: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại
bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần:
Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, ... Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là
200kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần
0,06kg đường, 0,08kg đậu và cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần
0,07kg đường, 0,04kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn đồng.
Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động
về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng
bán hết)?
Bài 2. Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường,
khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng các
chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại
được cho trong bảng sau:
Chất dinh dưỡng
Đạm
Đường

A
0,1g
0,3g

B
0,2g
0,4g
22


Khoáng
0,02g

0,01g
Giá mua
3000
4000
Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải
mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh
dưỡng mỗi ngày.
Bài 3. Có hai loại sản phẩm A, B được gia công trên 3 máy I, II, III. Thời gian gia
công mỗi loại sản phẩm trên mỗi máy cho bởi bảng:
Loại SP

Máy
I
II
III
A
4
3
2
B
2
1
4
Thời gian cho phép của mỗi máy I, II, II lần lượt là 100, 300, 50 giờ. Một đơn vị
sản phẩm A lãi 6000 đ, B lãi 4000 đ.
Vậy cần phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lãi tối đa. Hãy lập mô hình
toán học của bài toán.
2.3. Hiệu quả của đề tài
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn
thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy

nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học lý
thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động, các
em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Đồng thời, thông qua nhiều ví dụ
thực tế làm cho các em cảm thấy môn học gần gũi hơn với thực tế. Từ đó nâng cao
được chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh
cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà trường.

23