SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Người thực hiện: Phạm Thị Tuyết Lan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hà Yên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
1. Mở đầu..............................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm....................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....................................................2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..............2
2.3. Các giải pháp thực hiện..............................................................................3
2.3.1. Kiến thức cơ bản.................................................................................3
2.3.2. Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol......4
Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.............4

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol..................5
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và parabol...............7
Dạng 4: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa của đường thẳng
và parabol thỏa mãn điều kiện cho trước..............................................................9
Dạng 5: Chứng minh về vị trí tương đối giữa của đường thẳng và parabol....13
Dạng 6: Vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng qua bài toán
thực tế, bài toán sử sụng bất đẳng thức..............................................................15
2.4. Hiệu quả sáng kiến...................................................................................17
3. Kết luận, kiến nghị........................................................................................18
3.1. Kết luận.....................................................................................................18
3.2. Kiến nghị...................................................................................................18

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán THCS có 11 tiết giảng dạy về hàm số bậc
nhất và có 5 tiết nói về hàm số y = kx2 (k ≠ 0) nhưng chưa có tiết nào nói về sự cụ
thể hóa của sự tương giao giữa đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và parabol y = kx 2
(k ≠ 0). Mặt khác bài toán về sự tương giao này là một trong những chủ đề cơ
bản thường gặp trong các kỳ thi học kỳ 2 lớp 9, kỳ thi vào lớp 10; thi học sinh
giỏi và hơn thế nữa nó là phần quan trọng giúp các em học sinh, học tốt những
năm ở cấp 3. Nắm vững được kiến thức này nó còn giúp cho học sinh thấy được
mối liên hệ của chúng với nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn. Xuất phát từ
thực tế đó là một giáo viên dạy lớp 9 nhiều năm và liên tục ôn thi cho học sinh
thi vào lớp 10, bản thân tôi nhận thấy cần phải dạy cho học sinh mà đặc biệt là
học sinh lớp 9 nắm chắc được các dạng toán, các bài toán về sự tương giao giữa
đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và parabol y = kx 2 (k ≠ 0) thông qua các buổi phụ
đạo, các tiết ôn tập, các tiết ôn thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi. Xuất phát từ ý

tưởng đó ngay từ đầu năm học 2016 - 2017 tôi đã có hướng nghiên cứu vấn đề
này bằng những phương pháp có thể thực hiện được và tôi lấy tên đề tài là:
“Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán về sự tương giao
giữa đường thẳng và parabol"
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu với một mục đích duy nhất là trang bị cho học sinh
lớp 9 một số kiến thức về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol. Để các
em có hứng thú học tập môn toán, đồng thời giúp các em có những kiến thức cơ
bản để tự tin hơn trong các kỳ thi và đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10 THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Việc hướng dẫn học sinh quan hệ giữa parabol và đường thẳng được
nghiên cứu trên đối tượng học sinh khối lớp 9 trường THCS Hà Yên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết:
+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán 9.
+ Nghiên cứu các tài liệu tham khảo.
- Nghiên cứu thực tiễn:
+ Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trường THCS Hà Yên.
+ Qua dự giờ đồng nghiệp trong nhà trường và qua trao đổi, học hỏi các
thầy, cô giáo đi trước nhiều kinh nghiệm.
+ Qua trao đổi trực tiếp với học sinh tìm hiểu những khó khăn, qua các bài
kiểm tra và vở bài tập của học sinh.


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong thực tế khi giảng dạy cho học sinh cuối cấp đòi hỏi người giáo viên
cần phải cô đọng, khắc sâu, ghi nhớ cho học sinh những kiến thức cơ bản, những
dạng toán điển hình và thường gặp để giúp các em dễ dàng nhớ được và vận
dụng tốt hơn trong kỳ thi quan trọng, nếu không làm tốt điều đó thì học sinh học

rất nhàm chán và thi cử kết quả sẽ thấp. Mặt khác, trong kỳ thi vào lớp 10 THPT
trong các năm gần đây thì năm nào dạng toán liên quan đến kiến thức về hàm số
cũng chiếm khoảng 1,0 điểm đến 2,0 điểm trong tổng số 10 điểm toàn bài, mà
trong thực tế giảng dạy ở chương trình lớp 9 thì lại chưa dành riêng 1 tiết lý thuyết,
luyện tập trọn vẹn nói về mối quan hệ giữa đường thẳng (d) và parabol (P). Vì thế
việc giải bài toán về sự tương giao giữa (d) và (P) trong chương trình, trong các
tiết luyện tập, ôn tập là việc làm rất cần thiết giúp các em củng cố được kiến
thức và có một dạng toán hay, cơ bản để ôn tập thi vào lớp 10 THPT để các em
đạt được kết quả cao hơn và tích lũy được nhiều kiến thức cho những năm học
tiếp theo.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong các năm gần đây thì kỳ thi vào lớp 10 THPT chuyên hay không
chuyên, các kỳ thi học sinh giỏi; các kỳ thi học kỳ, đều chiếm khoảng

1
lượng
4

kiến thức giữa đường thẳng (d) và parabol (P). Song một số bộ phận học sinh
chưa ham học, chưa nắm vững kiến thức nên không làm được mà theo tôi thì
nguyên nhân của nó là:
- Thứ nhất: Do các em không chăm học, không chịu trau dồi kiến thức về
hàm số.
- Thứ hai: Do trong giờ học các em không tập chung chú ý nghe giảng,
nên không lĩnh hội được kiến thức, nên khi vận dụng kiến thức vào giải bài tập
các em không thể làm trọn vẹn được.
- Thứ ba: Do lực học của các em trong 1 lớp chưa đồng đều.
- Thứ tư: Do cấu trúc chương trình học chưa đề cập rõ nét về sự tương
giao này.
- Thứ năm: Một số giáo viên cô khi ôn tập cho học sinh, bồi dưỡng cho

học sinh chưa nhiệt tình, chưa có nhiều kinh nghiệm, nên việc ôn tập chưa có hệ
thống và chưa sát với thực tế.
Từ những nguyên nhân và thực trạng trên, khi nghiên cứu đề tài tôi đã
khảo sát 61 học sinh lớp 9 trường THCS Hà Yên năm học 2017 - 2018 sau khi
học xong chương 4 hàm số y = ax2 đại số 9, tôi thu được kết quả như sau:
Học sinh giải
Học sinh còn sai Học sinh giải sai nhiều
Lớp Sỹ số
thành thạo
lầm
và chưa biết giải
9A 31 em 8 em chiếm 25% 10em chiếm 33%
13em chiếm 42%
9B 30 em 8 em chiếm 27% 10 em chiếm 33%
12 em chiếm 40%
Từ thực tế khảo sát trên cho thấy nhiều học sinh vẫn chưa làm tốt dạng
toán này do đó mà hiệu quả dạy và học chưa cao.
2


2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Kiến thức cơ bản
Ghi nhớ lý thuyết kiến thức cơ bản về hàm số y = ax + b (a ≠ 0) và
parabol y = kx2 (k ≠ 0) và sự tương giao của nó.
a/ Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và (d’): y = a'x + b' (a'≠ 0)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d') là nghiệm của
phương trình: ax + b = a'x + b' � (a - a')x = b – b' (1)
a. Nếu (d) // (d') � phương trình (1) vô nghiệm � a = a' và b ≠ b'.
b. Nếu (d) cắt(d') � phương trình (1) có 1 nghiệm � a ≠ a'.

c. Nếu (d) vuông góc (d') � a.a' = -1.
d. Nếu (d) trùng (d') � a = a' và b = b' � phương trình (1) có vô số nghiệm.
b/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol
Cho parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) và đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) khi đó
Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng
(d) là nghiệm của phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = 0 (*)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung  Phương trình
(*) vô nghiệm tức là  <0.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc)  Phương
trình (*) có nghiệm kép và hoành độ tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương
trình tức là  = 0.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau)
 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt tức là  > 0.
c/ Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Các cách giải phương trình bậc hai :
- Công thức nghiệm:  = b2 - 4ac.
Nếu:  < 0: Phương trình vô nghiệm
 = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
 > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b +  ; x2 = -b - 
2a

2a

2

- Công thức nghiệm thu gọn: ’ = (b’) - ac.
’ < 0: Phương trình vô nghiệm
’ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = -b' +  ' ; x2 = -b' -  '
a

a

- Nhẩm theo hệ số a, b, c
Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =
Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 =
d/ Một vài lưu ý
Nếu A(xa ; ya); B(xb;yb) thì độ dài AB  ( xa  xb )2  ( ya  yb )2
* Nếu hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và điểm M(xm; ym) thuộc đồ thị (C)
ta có: ym = f(xm).
* Nếu N(xn; yn) không thuộc (C) thì yn ≠ f(xn).
3


* Cho y = ax + b (a ≠ 0) (d) và y = a'x + b' (a'≠ 0) (d')
- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm trên trục tung thì b = b'
ax+b=0
�

- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm trên trục hoành thì �� �
a x+b =0
�
- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm nằm phía trên trục hoành thì y =

ab�
 a�
b
>0
a  a�

(tung độ giao điểm nhận giá trị dương).
- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm nằm phía bên trái trục tung thì hoành độ giao
điểm của nó nhận giá trị âm x =

b�
b
< 0.
a  a�

Trên cơ sở lý thuyết đó, sau đây là một vài dạng bài tập về sự tương giao
của đường thẳng ( d): y = ax + b (a ≠ 0) và parabol ( p): y = kx2 (k ≠ 0)
2.3.2. Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0)
và Parabol (P): y= kx2 (k ≠ 0)
Dạng 1:
Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và
parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0).
* Cách giải chung:
- Ta có hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và
parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) là nghiệm của phương trình:
kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = 0 (*)
- Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = x2 và đường thẳng y = x – 6.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
x2 = x – 6  x2 - x + 6 = 0
Ta có :  = b - 4ac = (-1) - 4. 6 = 1 - 24 = -23 < 0
Phương trình vô nghiệm  Parabol và đường thẳng không có điểm
chung.
Ví dụ 2: Cho Parabol y = x và đường thẳng y = 2x - 3. Xác định hoành độ giao

điểm của hai đồ thị?
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
x = 2x - 3

x - 2x + 3 = 0

x2 - 6x + 9 = 0
Ta có: ' = (b’)2 - ac = (-3)2 - 9 = 9 - 9 = 0
Phương trình có nghiệm kép: x = - = - (-3) = 3
Vậy Parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là 3.
Ví dụ 3: Tìm hoành độ giao điểm giữa parabol y = 2x2 và đường thẳng y = 7x - 5
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
4


2x2 = 7x -5
 2x2 - 7x + 5 = 0
Có 2 + (-7) + 5 = 0  Phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 =
Vậy đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm có hoành độ là 1 và
* Sai lầm học sinh thường mắc phải
Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quá
trình làm bài tập tôi thấy học sinh vẫn mắc sai lầm như sau:
- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tương đương các phương trình.
- Sai lầm trong tính toán.
* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này
- Ôn tập lại các phép biến đổi tương đương các phương trình
- Luyện kĩ năng tính toán cho học sinh
- Luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong

* Bài tập tương tự
Bài 1: (Đề thi kỳ II – Thanh Hóa, 2017 - 2018)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x+3
a. Vẽ parabol (P).
b. Tìm hoành độ giao điểm đó.
Bài 2: (Đề thi kỳ II – Ninh Bình, 2017 - 2018)
Vẽ Parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = x - 2 (d) trên cùng một mặt
phẳng toạ độ. Tìm hoành độ giao điểm?
Bài 3:
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = –x 2 với đường thẳng (d):
y = – 5x + 4?
Bài 4:
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 2x – 3 (m là tham số) có đồ
thị là đường thẳng (d).
a. Vẽ (P)
b. Tìm hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) với parabol (P).
Dạng 2:
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và
parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0).
* Cách giải chung:
Tọa độ giao điểm vừa phải thuộc (d) vừa phải thuộc (P) nên ta tìm tọa độ
giao điểm bằng phương trình hoành độ giao điểm (*), sau đó thay hoành độ vào
một trong hai phương trình (d) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm. Từ đó tìm
tọa độ giao điểm.
* Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x - 5
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
x2 = 2x – 5  x2 - 2x + 5 = 0
 x2 - 4x + 10 = 0

Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-2)2 - 10 = 4 - 10 = -6
5


’ < 0  Phương trình vô nghiệm  Đường thẳng và Parabol không có
điểm chung.
Ví dụ 2: Cho Parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x - 4. Xác định toạ độ giao
điểm giữa Parabol và đường thẳng trên?
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
x2 = 2x – 4  x2 - 2x + 4 = 0
 x2 - 8x + 16 = 0
Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-4)2 - 16 = 16 - 16 = 0
Phương trình có nghiệm kép: x = = - (-4) = 4
Với x = 4 � tung độ giao điểm y = 2. 4 - 4 = 4 thì toạ độ giao điểm của
(P) và (d) là (4; 4)
Vậy đường thẳng y = 2x - 4 tiếp xúc Parabol y = x2 tại điểm (4; 4)
Ví dụ 3: (Thi học kỳ II – Thanh Hóa năm 2015 – 2016)
Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 3x + 5.
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?
Hướng dẫn giải :
Hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2x2 = 3x + 5 � 2x2 - 3x - 5 = 0
Ta có: a – b + c = 2 – (-3) + (-5) = 0 => x1= -1 ; x2 =

5
2

+ Với x1 = -1 � y1 = 2.(-1)2 = 2 toạ độ giao điểm thứ nhất của (P) và (d)
là: A(-1; 2).

2

5
5 � 25
� y2 = 2 �
+ Với x2 =
toạ độ giao điểm thứ hai của (P) và (d)
�
�=
2
�2 � 2
5 25
là: B( ;
).
2 2

* Sai lầm học sinh thường mắc phải
Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quá
trình làm bài tập tôi thấy học sinh vẫn mắc sai lầm như sau:
- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tương đương các phương trình
- Sai lầm trong tính toán
- Đôi khi học sinh lại vẽ hai đồ thị lên mặt phẳng tọa độ rồi tìm giao điểm.
Tuy nhiên nếu gặp những bài mà x, y không phải là số nguyên thì tìm tọa độ
bằng đồ thị sẽ khó chính xác.
- HS tính ra hai hoành độ giao điểm nhưng kết luận là tọa độ giao điểm.
* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải như các ví dụ trên và lưu ý khắc sâu
cho học sinh kỹ năng giải phương trình bậc hai.
- Chỉ rõ cho HS sự khác nhau khi bài toán hỏi “Hoành độ giao điểm với
tọa độ giao điểm”.

* Bài tập tương tự:
Bài 1: Xác định toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đường thẳng y = 7x - 12
Bài 2: (Đề thi vào THPT - Chuyên Lê Hồng Phong Thành phố Hồ Chí Minh)
6


Cho parabol (P): y =

1 2
1
x và đường thẳng (d): y = - x + 2.
4
2

a. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).
b. Tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của
(P) song song với (d).
Bài 3 : Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = -4x + 3.
a. Xác định toạ độ giao điểm của (d) và (P) ?
b. Tìm toạ độ của các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song
song với đường thẳng (d).
Dạng 3:
Biện luận số giao điểm của đường thẳng và parabol
* Cách giải chung:
Số giao điểm giữa Parabol y = kx2 (k≠ 0) và đường thẳng y = ax + b (a≠ 0) là
số nghiệm của phương trình:
kx2 = ax + b

kx2 - ax - b = 0
Ta có:  = (-a)2 – 4k. (-b) = a2 + 4kb. Nếu:

 < 0: Parabol và đường thẳng không cắt nhau
 = 0: Parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau
 > 0: Parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2(m - 1)x - m2 - 9.
Tìm m để:
a. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc (P) tại một điểm
c. (d) không cắt (P)
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m - 1)x - m2 - 9

x2 - 2(m - 1)x + m2 + 9 = 0 (1)
Ta có ’ = (b’)2 - ac = [-(m -1)]2 - (m2 + 9) = m2 - 2m + 1 - m2 - 9 = -2m - 8.
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 ’ > 0
 - 2m - 8 > 0
 - 2m > 8
 m < -4
Vậy với m < -4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (d) tiếp xúc (P) tại một điểm
 Phương trình (1) có nghiệm kép
 ’ = 0
 - 2m - 8 = 0
 - 2m = 8
7

 m = -4
Vậy với m = -4 thì (d) tiếp xúc (P) tại một điểm
c) (d) không cắt (P)
 Phương trình (1) vô nghiệm
 ’ < 0
 - 2m - 8 < 0
 - 2m < 8
 m > -4
Vậy với m > -4 thì (d) không cắt (P)
Ví dụ 2: Cho Parabol (P) y = x 2 và đường thẳng (d) y = 6mx - 8m 2. Với giá trị
nào của m để:
a. (d) không cắt (P)
b. (d) tiếp xúc (P). Tìm toạ độ giao điểm?
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? Tìm toạ độ giao điểm khi m = -1
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 6mx - 8m2

x2 - 6mx + 8m2 = 0 (2)
Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-3m)2 - 8m2 = 9m2 - 8m2 = m2
a. (d) không cắt (P)
 Phương trình (2) vô nghiệm  ’ < 0
 m2 < 0 (Vô lí)
 Không có giá trị nào của m để (d) không cắt (P)
b. (d) tiếp xúc (P)  ’ = 0 m2 = 0  m = 0
Thay m = 0 vào phương trình (2) ta được: (2)  x2 = 0  x = 0
Thay x = 0 vào hàm số y = x2 ta được : y = 02 = 0
Vậy với m = 0 thì (d) tiếp xúc với (P) tại gốc toạ độ O (0; 0)
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  ’ > 0
m0

�

 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  m2 > 0  �
m0
�
Thay m = -1 vào phương trình (2) ta được:
(2)  x2 + 6x + 8 = 0
’ = 32 - 8 = 9 - 8 = 1 > 0
= = 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = - 3 + 1 = -2 ; x2 = -3 - 1 = - 4
Lần lượt thay các giá trị x1 = - 2, x2 = - 4 vào hàm số y = x2 ta được:
y1 = (- 2)2 = 4 ; y2 = (- 4)2 = 16
Với m > 0 hoặc m < 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Tại m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm: (- 2; 4) và (- 4; 16)
* Sai lầm học sinh thường mắc phải
- Quên lý thuyết về công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩm
nghiệm của phương trình bậc hai.
- Sai lầm trong tính toán.
8


- HS không nêu hết các trường hợp xảy ra.
* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này
Ôn tập lại công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩm nghiệm
của phương trình bậc hai.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho Parabol (P): y  x2 cắt đường thẳng (d): y = 4mx – m2 – 9.
Tìm m để:
a. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b. (d) tiếp xúc với (P).

c. (d) không cắt (P).
Bài 2: Cho Parabol (P) y  x2 cắt đường thẳng (d): y = 4x + 2m.
a. Với giá trị nào của m thì (d) tiếp xúc với (P).
b. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m. Với giá trị nào của
m thì đường thẳng (d):
a. Cắt (P) tại hai điểm phân biệt?
b. Tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm?
Dạng 4:
Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa đường thẳng và parabol
thỏa mãn điều kiện cho trước:
* Cách giải chung:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0)
và parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0).
- Tính  hoặc  '
- Viết hệ thức Viét rồi làm theo yêu cầu của bài toán.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn điều kiện cho trước. (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2013 – 2014)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y  2ax  1 và Parabol
2
(P): y  2 x .
Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
2
2
độ lần lượt là x1, x2 thoả mãn điều kiện: x1  x2  4( x1  x2 )  4  0 .
Hướng dẫn giải :
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là nghiệm của phương
trình: 2 x 2  2ax  1 � 2 x 2  2ax  1  0 (1)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt �  '  a 2  2  0 (*)

�x1  x2   a
�
Theo định lí Viét ta có: �
1
x
x

1
2
�
�
2
Từ giả thiết ta có:
x12  x22  4( x1  x2 )  4  0 � ( x1  x2 ) 2  2 x1x2  4( x1  x2 )  4  0
9


a 1
�
1
� ( a) 2  2 �  4.( a)  4  0 � a 2  4a  3  0 � �
a3
2
�
Kết hợp với điều kiện (*) ta được a = 3.
Ví dụ 2: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có độ dài
cho trước:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d):
y = x + m. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2
Hướng dẫn giải :

Hoành độ của giao điểm giữa (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x² - x - m = 0
Muốn cho (d) và (P) cắt nhau ở hai điểm phân biệt A, B, ta phải có:
1
Δ = 1 + 4m > 0 hay m >
4
Trong điều kiện đó, gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình.
Tọa đô của A và B lần lượt là: (x₁, x₁²) và (x₂, x₂²). Ta có:
AB² = (x₁ - x₂)² + (x₁² - x₂²)²
= (x₁ - x₂)² + (x₁ - x₂)²(x₁ + x₂)²
= (x₁ - x₂)²[1 + (x₁ + x₂)²]
= [(x₁ + x₂)² - 4(x₁ x₂)][1 + (x₁ + x₂)²]
Theo hệ thức Viét: (x₁ + x₂) = 1, (x₁x₂) = -m,
AB² = (1 + 4m)(1 + 1) = 2 + 8m
3

Để cho AB = 2 2 ta phải có 2 + 8m = (2 2) 2 = 8 => m 
4
Vậy với m 

3
thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2
4

Ví dụ 3: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có độ dài
nhỏ nhất:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d):
y = 2mx - m 2 + m - 3. Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ
x1 ; x 2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải :

Hoành độ của giao điểm giữa (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 – 2mx + m 2 – m + 3 = 0
Ta có: Δ’ = m – 3, do phương trình có hai nghiệm x1 ; x2.
Nên Δ’ ≥ 0 � m ≥ 3
Áp dụng hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2m; x1.x2 = m2 - m + 3
Theo bài ra, ta có:
x12 + x22 = (x1 + x2) 2 – 2x1x2
= (2m)2 - 2(m2 - m + 3)
= 2(m2 + m - 3 )
1
1 1 12
+ - - )
2
4 4
4
1 2 13
1
13
= 2[(m + ) - ]=2(m + )2 2
4
2
2

= 2(m2 + 2m

10


1
1 7

≥ 3+ =
2
2 2
1 2 49
1 2 49
1
13
49 13
� (m + ) ≥
� 2(m + ) ≥
� 2(m + )2 ≥
- = 18
2
4
2
2
2
2
2
2

Do điều kiện m ≥ 3 � m +

Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3
Ví dụ 4: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tính
chất hình học: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2012 - 2013)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d):
y = 2x + 3.
a. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
b. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác

OAB (O là gốc toạ độ).
Hướng dẫn giải :
a. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của
phương trình: x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1; x2 =

c 3
 3,
a 1

Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A(-1; 1)
Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B(3; 9)
Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B
b. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác
OAB (O là gốc toạ độ).
y
Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt
B
9
phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ:
AD  BC
1 9
.DC 
.4  20
2
2
BC.CO 9.3



 13,5
2
2
AD.DO 1.1


 0,5
2
2

S ABCD 
S BOC
S AOD

A

1
Theo công thức cộng diện tích ta có:
D
C
-1 0
3
S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
x
= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)
* Sai lầm học sinh thường mắc phải
Học sinh hay quên không giải điều kiện của Δ hoặc Δ’. Khi tìm ra tham số
rồi lại quên không đối chiếu với điều kiện. Hoặc không biết vận dụng hệ thức
viets để giải toán.
* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này

Giáo viên cần luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong.
Ngoài ra cần củng cố cho các em về kỹ năng lập phương trình hoành độ
giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát. Đặc biệt, giáo
viên cần nhấn mạnh cho học sinh biết rằng, đây là dạng toán trọng tâm trong kỳ
thi vào THPT ở tỉnh Thanh Hóa, người ra đề rất quan tâm.
* Bài tập tương tự

11


Bài 1: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2014 – 2015)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - 3 tham số m
và Parabol (P): y = x2
Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 - x 2 = 2
Bài 2: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2015 – 2016)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= x + n – 1 và parabol
(P) : y = x2
Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
�1
�x1

độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 4 � 

1�
� x1 x2  3  0
x2 �

Bài 3: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2016 – 2017)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx +1 và Parabol

(P): y = 2x 2 .
1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2).
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt có hoàng độ lần lượt M(x 1; y1), N(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức
S = x1 x2  y1 y2

Bài 4: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2017 – 2018)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y  2 x  n  3 và
Parabol (P): y  x 2
1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).
2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1 , x2 thỏa mãn: x12  2 x2  x1 x2  16 .
Bài 5: (Đề thi vào THPT chuyên Hà Nội năm 2017 – 2018)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y  2ax  4a (với a là tham số)
1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi a  

1
2

2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân
biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  3
Dạng 5:
Chứng minh về vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng
* Cách giải chung:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P):y = kx 2 (k≠ 0) và đường thẳng (d):
y = ax + b (a≠ 0) là số nghiệm của phương trình:
kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = 0 (*)
Ta có:  = (-a)2 – 4k. (- c) = a2 + 4kb.
Nếu:
 < 0: Phương trình (*) vô nghiệm => Parabol và đường thẳng không cắt nhau.

 = 0: Phương trình (*) có nghiệm kép => Parabol và đường thẳng tiếp
xúc nhau (có một điểm chung).
12


 > 0: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt => Parabol và đường
thẳng cắt nhau tại hai điểm.
* Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y  4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d):
y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Hướng dẫn giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = –4x 2 với đường thẳng (d):
y = 4mx + m2 là nghiệm của phương trình:
–4x2 = 4mx + m2  4x2 + 4mx + m2 = 0
Ta có  = b2 – 4ac = (4m)2 – 4.4.m2 = 16m2 – 16m2 = 0  m
Phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với (d) khi
m thay đổi.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng Parabol (P) : y  x2 luôn có điểm chung với đường
thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Hướng dẫn giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đường thẳng (d)
y = 2(m – 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3  x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 4m +4 = (m – 2)2  0  m
Phương trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung
với đường thẳng (d) khi m thay đổi.
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng Parabol (P): y  3x2 cắt đường thẳng (d): y = 5x – 2 tại
hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = 3x2 với đường thẳng (d): y = 5x – 2

là nghiệm của phương trình:
3x2 = 5x – 2  3x2 – 5x + 2 = 0 Ta có a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0
c 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  1; x2  
a 3
Ta thấy hai nghiệm này cùng dương. Suy ra hoành độ giao điểm đều dương. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung
(góc phần tư thứ I trong hệ trục Oxy)
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y   x2 cắt đường thẳng (d): y = 2x – 2007
tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d): y = 2x – 2013
là nghiệm của phương trình:
–x2 = 2x – 2013  x2 + 2x – 2013 = 0
Vì có a.c = – 2013 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. Do đó
giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
* Phân tích sai lầm học sinh mắc phải
13


Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
tổng quát rồi mới tính  hoặc ’. Học sinh nhầm lẫn về phương trình bậc nhất
trong trường hợp có nghiệm duy nhất và vô số nghiệm.
* Kinh nghiệm khi dạy dạng toán này
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độ
giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát. Khi đó xác định
vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng trở thành bài toán biện luận số
nghiệm của phương trình bậc hai.
* Bài tập tương tự
Bài 1: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2009 – 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và điểm A(0; 1).

a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A (0; 1) và có hệ số góc k.
b. Chứng minh đường thẳng (d) luôn luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt M và N với mọi k.
c. Gọi hoành độ của hai điểm M và N lần lượt là x 1 và x2. Chứng minh
rằng: x1.x2 = –1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông.
Bài 2: (Đề thi vào THPT – Hà Nội năm 2016 – 2017)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 - 1 và
parabol (P): y = x2.
a. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
b. Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) =
1
Bài 3: (Đề thi vào THPT – Đà Nẵng năm 2017 – 2018)
Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số. Chứng minh rằng
với mọi giá trị của m, đồ thị hai số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A1  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  . Tìm tất cả các trị của m sao cho  y1    y2   7 2
2

2

Bài 4: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn năm 2011 - 2012, toán chung)
Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = mx – m + 2. (m là tham số)
2

a. Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt.
Dạng 6:

Vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng qua bài toán thực tế,
bài toán sử sụng bất đẳng thức.
* Cách giải chung:
- Đây là dạng tương đối khó, vì thế yêu cầu HS phải dựa vào nội dung bài
toán qui lạ về quen.
- Xác định được phương trình của (P) và (d), tìm tọa độ giao điểm.
- Sử dụng kiến thức hình học, đại số liên quan như: Đối xứng; Pytago; Bất
đẳng thức Côsi...
14


* Các ví dụ:
Ví dụ 1 : Một xe tải có chiều rộng là 2.4m và chiều cao là 2,5m muốn đi qua
một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chẩn cổng là 4m và
khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh Parabol) tới mỗi chân công là 25 m (bỏ qua độ
dày của cổng).
1. Trong mặt phẳng toa độ Oxy, gọi Parabol (P): y = ax 2 với a < 0 là hình
biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1.
2. Hỏi xe tải có thể đi qua công được không? Tại sao?
(Đề thi vào THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải :
1. Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn
vị mét.
Mà khoảng cách giữa hai chân cổng
bằng 4m.
Nên MA = NA = 2.
Từ giả thiết ta có: OM = ON = 2 5
Do đó theo định lí Pytago ta tính được:
OA = 4
� M(2 ; 4), N(-2 ; -4).

Mặt khác, do M(2 ; 4) thuộc Parabol nên
tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình:
(P): y = ax2 hay -4 = a.22 � a = -1
Vậy a = -1 và (P): y = -x2
2. Để đáp ứng được chiều cao, trước hết xe tải phải chọn phương án đi
vào chính giữa cổng.
Xét đường thẳng (d): y 

3
(Ứng với chiều cao của xe).
2

Đường thẳng này cắt Parabol tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:
�

3
3 2
3
�y   x 2 �
x2 
x
;y
�
�
�
�
�
2
2
2

� 3 � � 3 � �
y
�y 
�x  3 2 ; y  3
�
�
2
� 2
�
�
2
2
�3 2 3 � �3 2 3 �

;H �
Do đó tọa độ hai giao điểm là: T �
� 2 ; 2 �
�
� ; �
�
�
� �2 2 �
Trên Parabol (P) xét hai điểm H và T đối xứng với nhau qua Oy và
HT=2,4 (Ứng với chiều rộng của xe tải).

Gọi B là giao điểm của HT và Oy. Khi đó AB 

64
 2,5.
25

Do đó xe tải có thể đi qua cổng.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A và B chạy trên Parabol (P): y
= x2 sao cho A, B �O(0; 0) và OA  OB. Giả sử I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a. Tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
b. Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.
c. Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
15


Hướng dẫn giải:
a. Giả sử A(a ; a2) và B(b ; b2) là hai điểm thuộc (P).
Để A, B �O(0; 0) và OA  OB ta cần điều kiện: ab �0 và OA2 + OB2 = AB2
hay ab �0 và a2 + a4 +b2 +b4 = (a - b)2+(a2 – b2)2 � ab = -1.
Gọi I(x1; y1) là trung điểm đoạn AB. Khi đó:
ab
�
x

1
�
2
�
�
2
2
2
a

b

 2ab
a

b


�y 

 2 x12  1
1
�
�
2
2
� Tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y = 2x2.
Ta có thể tìm điều kiện để OA  OB theo cách sử dụng hệ số góc
a2
a
a
b2
Đường thẳng OB có hệ số góc là k2   b
b
� Điều kiện để OA  OB là ab = -1.

Đường thẳng OA có hệ số góc là k1 

x  a y  a2

b. Phương trình đường thẳng đi qua A và B là (AB):
b  a b2  a2

Hay (AB): y = (a + b)x – ab = (a + b)x + 1.
Vậy (AB): y = (a + b)x + 1 luôn đi qua điểm cố định (0;1).
c. Vì OA  OB nên ab = -1.
Độ dài đoạn AB:
AB  (a  b) 2  (a 2  b 2 )

Hay

AB  a 2  b 2  2ab  a 4  b 4  2a 2b 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a 2  b 2 �2 a 2b 2  2 ab , a 4  b 4 �2a 2b2

Ta có: AB � 2 ab  2  2a 2b2  2a 2b2  2
Vậy độ dài đoạn AB nhỏ nhất bằng 2 khi a 2  b 2 , ab = -1. Và điểm A(-1; 1),
B(1; -1).
* Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
- Sai lầm đầu tiên phải nói đến là khi các em gặp dạng toán này là không
đọc thật kĩ đề, dẫn đến các em thấy khó và bỏ qua; hoặc làm không đúng nội
dung yêu cầu.
- HS không tư duy đến việc sử dụng các kiến thức liên quan để giải quyết
bài toán: Đối xứng ; Pytago ; Bất đẳng thức Côsi...
* Kinh nghiệm khi dạy dạng toán này
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải dạng toán này theo cấu trúc như
các ví dụ trên. Củng cố cho học sinh kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi.
* Bài tập tương tự
Bài 1: (Đề thi vào THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2005 - 2006)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol
(P): y = x2 (a > 0)

16


1. Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng A, B
nằm bên phải trục tung.
2. Gọi xA, xB là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T

4
1

x A  xB x A  xB

Bài 2: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn, năm 2012 - 2013)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d):
y = 2x + 3.
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác
OAB (O là gốc toạ độ).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua bốn năm học 2014 - 2015 đến năm học 2017 - 2018, nghiên cứu và
thực hiện đề tài với đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS Hà Yên. Qua khảo
sát các đề thi vào lớp 10 trong các năm gần đây thì học sinh đều làm tốt về loại
bài toán này. Với kết quả như vậy thật là đáng mừng. Tôi nhận thấy rằng học sinh
đã tự tin hơn khi gặp bài toán về hàm số, toàn bộ các bài tập trong SGK, sách
tham khảo học sinh đều làm thành thạo mà không gặp trở ngại gì. Điều này cho
thấy được kết quả bước đầu của đề tài là thành công. Để khẳng định được tính
hiệu quả của các giải pháp đã áp dụng, tôi đã khảo sát 61 em học sinh lớp 9 năm
học 2017 - 2018 trường THCS Hà Yên, thu được kết quả như sau:

Lớp

Sĩ số

9A
9B

31
30

Học sinh giải thành thạo
Số Lượng
Tỉ lệ
29
93,3%
30
100%

Học sinh còn mắc sai lầm
Số lượng
Tỉ lệ
2
6,7 %
0
0

Tuy nhiên kết quả thu được chỉ là kết quả ban đầu chứng minh cho một
giải pháp được áp dụng trên quy mô nhỏ lẻ trong phạm vi một đơn vị trường
học. Để những giải pháp mà tôi đã áp dụng có thể đem lại hiệu quả cao hơn
trong quá trình dạy học với nhiều đối tượng, ở nhiều đơn vị khác nhau. Rất

mong bạn bè, đồng nghiệp tham khảo và góp ý để đề tài và bản thân ngày càng
hoàn thiện hơn.

3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. Kết luận
Trong quá trình giảng dạy, việc người giáo viên đưa ra các dạng toán, các
dạng bài tập toán nhằm củng cố, ghi nhớ, khắc sâu cho học sinh là việc làm nhất
thiết nó góp phần giúp cho các em có được kiến thức vững chắc để phục vụ cho
việc học tập cũng như việc thi cử. Ngoài ra, nó còn giúp các em tự tin hơn khi
theo học lên cấp cao hơn. Cũng từ đó, nó góp phần giúp cho các em yêu thích
môn học hơn. Giúp cho toán học có ảnh hưởng rất lớn đến mọi lĩnh vực trong xã
17


hội. Tôi hy vọng rằng, bài viết này sẽ góp phần trong việc nâng cao trình độ học
toán của học sinh và cũng góp một phần nhỏ cho các giáo viên và phụ huynh
học sinh có thể tham khảo.
3.2. Kiến nghị
Đường thẳng và parabol là một dạng toán cơ bản và thông dụng có ảnh
hưởng nhiều đến việc học tập sau này của các em. Nhưng phân phối chương
trình theo quy định hiện hành chưa dành riêng một tiết cụ thể nói về sự tương
giao giữa đường thẳng và parabol. Vậy tôi kính mong các nhà quản lí giáo dục
cần bổ sung thêm 1 hoặc 2 tiết nữa về sự tương giao giữa đường thẳng và
parabol. Để giúp học sinh có vững kiến thức hơn về hàm số.
Để tạo điều kiện cho giáo viên các trường được học hỏi những sáng kiến
hay nhằm áp dụng vào thực tiễn giảng dạy xin đề nghị với phòng giáo dục tổ
chức cho giáo viên hàng năm được học tập những sáng kiến kinh nghiệm có tính
ứng dụng cao trong thực tiến dạy học.
Trong quá trình nghiên cứu và trình bày, bản thân đã cố gắng làm việc
bằng tất cả những điều kiện có thể của Nhà trường sao cho phù hợp với trình độ

khác nhau của học sinh. Đồng thời bản thân đã không ngừng tham khảo ý kiến
của đồng nghiệp. Tuy nhiên, do còn nhiều hạn chế về phương tiện, điều kiện
nghiên cứu còn thiếu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong sự góp ý của
đồng nghiệp và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn và áp dụng rộng rãi trong
giảng dạy.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Trung, ngày 20 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan sáng kiến này là của
bản thân, tuyệt đối không sao chép của
người khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

NGƯỜI THỰC HIỆN

Phạm Thị Tuyết Lan

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9 - Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Sách giáo viên Toán 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
3. Sách bài tập toán 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
4. Toán chuyên đề và nâng cao Đại số 9 - Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm
- Nhà xuất bản Giáo dục.
5. 500 bài toán chọn lọc Toán 9 - Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu - Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
6. Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục.
7. Một số đề thi học sinh giỏi toán 9.
8. Các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hoá và các tỉnh khác từ

năm 2005 đến 2018.
9. Các đề thi vào lớp 10 THPT Tỉnh Thanh hoá từ năm 2009 đến 2018.
10. Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 - Nhà xuất bản Giáo dục.


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Tuyết Lan
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hà Yên

TT

1

2

3

4

5
6

Tên đề tài SKKN

Phương pháp chứng minh ba
đường thẳng đồng qui.
Hướng dẫn học sinh lớp 9

giải một số dạng toán về giải
bài toán bằng cách lập
phương trình
Phân tích đa thức thành nhân
tử và các ứng dụng của nó.
Hướng dẫn học sinh lớp 8
giải một số dạng toán về giải
bài toán bằng cách lập
phương trình.
Phân tích đa thức thành nhân
tử và các ứng dụng của nó.
Một số ứng dụng của hệ thức
Viét trong giải toán.

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Huyện

C

2006

Huyện

C

2007

Huyện

C

2008

Huyện

C

2013

Huyện

A

2015

Huyện

B

2017