SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH học để GIẢI NHANH một số bài TOÁN cực TRỊ về TOẠ độ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ TOẠ ĐỘ
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện
: Lê Minh Hoà
Chức vụ
: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019

0


1 – MỞ ĐẦU:
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm
thứ 3 với hình thức thi trắc nghiệm. Các bài toán cực trị về hình
học độ toạ trong không gian thường là các bài toán vận dụng. Vì
thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải
nhận dạng và làm bài toán cực trị về toạ độ trong hình học tọa độ
không gian như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểm quan trọng
để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài
toán này như phương pháp hàm số, phương pháp hình học... Tuy

nhiên, để giải nhanh bài toán cực trị về toạ độ trong hình học tọa
độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm
hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Khi biết
vị trí đặc biệt đó, việc tính toán chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết
quả. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương: Phương pháp toạ
độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, thông
qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp
giúp học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác. Và đã
viết thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Sử dụng phương
pháp hình học để giải nhanh một số bài toán cực trị về toạ độ
trong hình học không gian ”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu
trực quan của các dạng bài cực trị về toạ độ trong hình học không gian, kĩ năng
phán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh:
tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải
quyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu
nhận biết mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương: Phương pháp toạ độ trong không gian
của chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị về toạ độ trong hình học không gian, tôi thường hướng dẫn
học sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài cực trị về toạ
độ trong hình học gian rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? Có
giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn gì không? Từ đó khuyến
khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệu
nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán cực trị về toạ độ trong

hình học không gian đặc trưng và phương pháp hàm số để giải qua đó thấy rằng
việc giải theo phương pháp này mất thời gian. Vì vậy đưa ra dấu hiệu nhận biết
đặc trưng của từng bài toán để từ đó học sinh hình dung một cách trực quan và
1


biết cách sử dụng phương pháp hình học vào các bài toán đó để đưa ra được
phương án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:

r r
u1.u2
r r
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos = ur . ur trong đó u1 , u2 lần lượt
1
2

là hai VTCP của hai đường thẳng.

rr
n.u
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng sinΨ = ur . ur trong đó
r r
u , n lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng.
r r
n1.n2
r r
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos = nr . nr trong đó n1 , n2 trong

1
2

đó lần luợt là hai VTPT của hai mặt phẳng.
- Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x;y ;z ); B(xB;yB;zB)
AB= ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
- Khoảng cách từ điểm M(x0;yo;zo) đến mặt phẳng () có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 là: d(M,()) =

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

- Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ
r r r
�
M
� 0 M1, u �
�
r
phương là: d(M1,  ) =
u

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và  ’, trong đó  đi qua
điểm M0 , có vectơ chỉ phương và đường thẳng  ’ đi qua điểm M1 , có vectơ chỉ
r
r r uuuuu

phương ’ là: d(  , �
)=

 u , u ' .MM �
urur
.
�
�
�
u
,
u
� �

uuur uuur
�
- Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= �AB, AD �
�
uuur uuur
AB, AC �
- Công thức tính diện tích tam giác : SABC= �
�
�
uuu
r uuur uuur
�
AB
. AA�
- Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A’B’C’D = �
� , AD �

2

uuur uuur uuur

AB, AC �
. AD
- Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD = �
�
�

Chú ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện: 0 �; Ψ �
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Cực trị về toạ độ trong hình học không gian là một trong những nội dung quan
trọng chương trình toán lớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia.
Bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian là phần thể hiện rõ việc
nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ
năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học
sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị về toạ độ trong hình học không gian
thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu
đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng
nề, mất bình tĩnh, và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12C1 tôi trực tiếp
giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số

2017- 2018

12C1 42

Số học sinh
trả lời chính
xác

Số học sinh trả lời chính
xác trong 30s – 1p

18

8

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, cần tìm
được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài )
xảy ra. Từ đó phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không
chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị về toạ trong hình học không gian, học sinh có
thể dựa vào phương pháp hàm số. Sau đây ta xét một số bài toán cực trị về toạ
độ trong không gian bằng phương pháp hàm số. Đây là cách thức trước khi đổi
mới.
2.3.1. Các bài toán cực trị toạ độ trong hình học không gian giải bằng
phương pháp hàm số.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách
một điểm M  d một khoảng lớn nhất.
Ví dụ 1: Lập phương tình mặt phẳng () chứa đường thẳng d: = = sao cho

khoảng cách từ M(2;5;3) tới () là lớn nhất.
Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng () chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng:
3


A(x-1) + By + C(z-2)=0. (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
r r

Ta có d ()  ud .n = 0  B = -2A -2C


 d ( M , ( )) 

9 AC
5 A2  8 AB  5C 2

( A  C )2

 9.

5 A2  8 AB  5C 2

TH1: Nếu C= 0 thì d ( M , ( )) =
TH1: Nếu C ≠ 0 đặt t = thì d ( M , ( ))  9.
Xét hàm số: f (t )  9.

(t  1) 2
5t 2  8t  5

(t  1) 2

5t 2  8t  5

 9 f (t )

� f '(t )  0 � t  �1;f(1)  0;f(1) 

2
1
f (t ) 
, tlim
��
�
9
5

Lập bảng biến thiên  Max f(t) = tại t= 1.
Vậy Max d(M,()) = 3 khi =1. Từ TH1 và TH2 suy ra A = C và B = -4C 
phương trình mặt phẳng cần tìm là x - 4y + z - 3 = 0.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với
đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: = = và d’: = = ,
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao chogóc giữa mặt phẳng (P) và
đường thẳng d’ lớn nhất.
Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng () chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng:
A(x-1) + By + C(z-2)=0. (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Ta có d  ()  urd .nr   = 0  C = A+2B
Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là: Ψ, (0 �Ψ � )
sin 

4 A  3B

3 2 A2  4 AB  5B 2



1
3

(4 A  3B) 2
2 A2  4 AB  5B 2

- TH1: Nếu B = 0 thì Sin Ψ= (1)
- TH2: Nếu B ≠0, đặt t = thì sin 
Xét hàm số f(t) =

1
3

(4t  3) 2
2t 2  4t  5

(4t  3) 2
2t 2  4t  5

 Max f(t) = tại t = -7 hay = -7. Vậy Max Sin Ψ= So sánh TH1 và TH 
Ψmax  Sin Ψ=

với = -7

 Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - 9 = 0.
4

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước
và nằm trong mặt phẳng  P  cho trước và cách một điểm M cho trước một
khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc với (P)).
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z - 1 = 0, A(1;0;0) , M(0; - 2;3). Lập
phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách M một khoảng lớn
nhất,nhỏ nhất:
Hướng dẫn :
r
Gọi VTCP của đường thẳng d là: u (a; b;c), a 2  b 2  c 2 �0
uu
r uu
r
d  (P)  ud .nq  0  c = a +2 b ;
uuuu
r
AM (1; 2; 3) ;

uu
r uuuu
r
�
�= ( - 2a - 7b ; 2a - 2b ; 2a + b )
u
,
AM
d
�
�

12a 2  24ab  54b 2
=> d( M, d) =
2a 2  4ab  5b 2
- TH1: Nếu b = 0 thì d (M,d ) =
12a 2  24ab  54b 2
- TH2 : Nếu b≠0 thì d (M,d ) =
= f (t )
2a 2  4ab  5b 2
12t 2  24t  54
f
(
t
)
Xét hàm số
=
=> < d( M, d ) � 14
2t 2  4t  5
So sánh TH1 và TH2 => �d ( M, d ) � 14
+) Max (d (M,d)) = 14  a = -b chọn b = -1 => a =1 , c = -1
�x  1  t
�
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: �y  t
�z  t
�

+) Tương tự cho trường hợp còn lại.
Nhận xét: Có rất nhiều bài toán cực trị về toạ độ trong không gian có thể giải
bằng phương pháp hàm. Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất quá
nhiều thời gian . Vì vậy tôi đã hướng dẫn học sinh có thể dựa vào vị trí đặc biệt

của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra để tìm được
phương án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán quen thuộc trên và thêm các bài khác
nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh bài toán cực
trị về toạ độ trong hình học không gian.Trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn
học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cách
giải đúng và ngắn gọn nhất. Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới:
2.3.2. Các bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian giải bằng
phương pháp hình học.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách
một điểm M  d một khoảng lớn nhất.

5


Hướng dẫn : Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng và d lần

M

lượt là H, K. Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn
MH  MK . Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi
H trùng K. Hay mặt phẳng chứa d và vuông
góc với mặt phẳng chứa M và d.

dK
H

r
uur uuuu
r uur

�
�
�
n

u
,
AM
, ud �trong đó A �d .
Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến
�d
�
�
�
Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng d :

x 1 y z  2
 
và cách
2
1
1

M(2;1;1) một khoảng lớn nhất.
uur
Hướng dẫn :Ta có ud  (2;1; 1) , A(2;1;-1) => AM  (1;1;3) . Vậy
r
uur uuuu
r uur
�

�
n�
u
,
AM
, ud � (6; 6; 18) . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
�d
�
�
�
(x - 1) + y + 3(z + 2) = 0 <=> x + y + 3z + 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng
�1
�
(Q): 2x - y + z - 1 = 0 và cách điểm M � ;0;2 �một khoảng lớn nhất.
�2
�
Hướng dẫn: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và
vuông góc với (P). Nếu véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là
r
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
�
�
�
n�
n
,

OM
,
n
�(Q )
� (Q ) �.
�
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với
đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.
Hướng dẫn:
Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM
song song với d’. Gọi H và I là hình chiếu
vuông góc của M trên (P) và
MH MI
�

�
d. Khi đó sin(d ',( P))  cos KMH
KM KM
(dK
Hd'
IM
P
)

6


Vậy góc giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I, hay (P) là mặt
uuur
phẳng nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) là mặt phẳng chứa d và

vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’.
r
uur uur
�
�
�
n

u
;�.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần tìm là
�d , ud �
�
�
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d :

x 1 y 1 z  2


và tạo
2
1
2

x  1 y z 1
 
một góc lớn nhất.
1
2
1

r
uur uuu
r uur
�
�
�
ud , u d �
, ud � (3; 12;3) . (P) đi qua điểm A(1; 1;2)
Hướng dẫn: Ta có: n  �
�
�
�
với đường thẳng d ':

nên có phương trình (x-1)-4(y+1)+(z-2)=0 <=> x-4y+z-7=0.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng
(P):2x+y-z-1=0 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
Hướng dẫn: Bản chất không thay đổi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến
r
uur r uur
�
�
n �
n , j�
, n � (2;5;1) . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x-5y-z=0.
� P � P�
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng
d:

x 1 y z  2

 
vào tạo với mặt phẳng (P): x+2y-z+1=0 một góc nhỏ nhất.
2
1
3

Hướng dẫn: Bản chất bài toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường
thẳng a (qua O và song song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp
(P) một góc lớn nhất. Vậy véc tơ pháp tuyến mp cần tìm là
r
uur uur uur
�
�
n�
u
, ud � (12; 27;17) nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: 12x
�d , nP �
�
�
+ 27y - 17z = 0.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) và tạo
với trục Ox một góc lớn nhất.

7


Hướng dẫn: Mặt phẳng cần tìm đi qua AB, cũng là mặt phẳng chứa đường thẳng
r
uuu
r r uuu

r
�
�
�
�
n

AB
,
i
,
AB
AB cố định cho trước. Vậy
� � � (17; 1;4) .
�
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước
và nằm trong mặt phẳng  P  cho trước và cách một điểm M cho trước một
khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc với (P)).
Hướng dẫn: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d.
Dễ thấy ngay d  M ; d   MK  MH .

M

Khoảng cách này nhỏ nhất khi và chỉ khi K  H .
Hay d là đường thẳng đi qua A và hình chiếu H
của M trên (P).Véc tơ chỉ phương của đường
thẳng d cần tìm là
uur
uuuu
r uuuu

r uuuu
r
�
�
�
ud  �
n
,
AM
,
n
�( P )
� ( P) �
�

d
A
KH

Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O, nằm trong mặt
phẳng (P): 2x - y + z = 0 và cách điểm M(1;2;1) một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
uur
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
�
�
�

ud  �
n
,
OM
,
n
�( P )
� ( P ) � (4; 13; 5)
�
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

x y z
  .
4 13 5

Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;2), vuông góc với
đường thẳng a:

x 1 y z  3
 
và cách gốc toạ độ O một khoảng nhỏ nhất.
2
2
4

Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cố
định (qua A và vuông góc với a). Nên vec tơ chỉ phương vẫn là
uur
uur uuu
r uur

�
�
ud  �
u
,
OA
, ua �.
�a
�
�
�

8


Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và song song với mặt phẳng
(P):2x-y-z+1=0 và cách điểm M(1;-1;2) một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cố
định (qua O và song song với (P)). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là
uur
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
�
�
�
ud  �
n , OM �
, n( P ) �.

� ( P)
�
Ví dụ 10: Tìm cặp số nguyên dương (a,b) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến
�x  1  a  at
�
(a �0) nhỏ nhất.
đường thẳng d : �y  2  b  bt
�z  1  2a  b  (2a  b)t
�
Hướng dẫn: Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định A(1;2;1) và do
uur
r
ud  (a; b;2a  b)  n(2; 1; 1) nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua A có véc tơ
r
pháp tuyến n . Vậy véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
uur
r uuu
r r
a 8
� ( 8; 11; 5) . Vậy ta phải có: a  b  2a  b  �
�
�
ud  �
n
,
OA
,
n
�
�

��
�
b  11
8 11
5
�
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước,
nằm trong mặt phẳng (P) và cách điểm M ( M khác A, MA không vuông
góc với (P)) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn:Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M
trên (P) và d. Khi đó ta dế thấy d M ; d   MK  MA ,

M

khoảng cách d  M ; d lớn nhất khi và chỉ khi K trùng A,
hay d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và
vuông góc với AM.
d
A
KH
uur

uuuu
r uuuu
r
�
�
u

n

;
AM
Đường thẳng d cần tìm có véc tơ chỉ phương là: d �( P )
�

9


Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước,
nằm trong mp (P): 2x - y - z = 0 và cách điểm M(0;2;1) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Ta có vec tơ chỉ phương đường thẳng cần tìm là
r uuuu
r r
�
u�
AM
� , n � (1;3; 1) . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
x 1 y 1 z 1


.
1
3
1
Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ O, vuông góc với
x 1 y
z


và cách điểm M (2;1;1) một khoảng lớn nhất.

2
1 2
r uuu
r uuuu
r
�
�.
u

u
,
AM
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
�d1
�
đường thẳng d1 :

Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;2), song song với
mặt phẳng (P): 2x-y+z-1=0 và cách gốc toạ độ O một khoảng lớn nhất.
r uuu
r uuuu
r
�
�
u

OA
;
n
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là:

� ( P) �
�z  1  2a  at
�
Ví dụ 14: Tìm a để đường thẳng d : �y  2  2a  (1  a )t
�z  1  t
�

(a là tham số) cách

�1
�
điểm M � ;1;4 �một khoảng lớn nhất.
�2
�
Hướng dẫn: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho, ta thấy d
đi qua điểm cố định A(1;0;3) ứng với t=2 và vuông góc với đường thẳng có véc
uu
r
tơ chỉ phương u1  (1;1; 1) . Do đó véc tơ chỉ phương của đường thẳng d khi
uur uu
r uuuu
r � 1 3 �
� �
u
,
AM
2; ; �.
khoảng cách từ điểm M đến nó lớn nhất là : ud  �
�1
��

2 2�
a 1 a 1
4

  a 
1
3
Vậy ta có: 2
3.
2
2
10


Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểmA   P  , và đường thẳng d ( d cắt
(P) và d không vuông góc với (P)). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua
A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Từ A vẽ đường thẳng AM//d.
Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M trên (P) và d’. Ta có
�  MH �MI .
cos(d ; d ')  cos MAH
AM MA
Vậy góc (d;d’) bé nhất khi và chỉ khi I trùng H.
d
M
(dA
IH
P'

)

Hay d’ đi qua A và H, hay d’ đi qua A và song
song với hình chiếu vuông góc của d trên (P).
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ cần tìm
là
uuu
r uuuu
r uuuu
r uur
�
ud '  �
n( P ) , �
n
,u �
� �( P ) d �
�
Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O, nằm trong mặt
phẳng (P):2x+y-z=0 và tạo với đường thẳng d :

x y 1 z 1


một góc nhỏ
2
1
2

nhất.
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là

uur uuuu
r uuuu
r uur
� (10;7; 13) .
ua  �
n( P ) , �
n
,u �
� �( P ) d �
�
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

x
y
z
 
.
10 7 13

Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng đi qua O, vuông góc với đường thẳng
d:

x 1 y 1 z 1


và tạo với mặt phẳng (P): x - y + 2z - 1 =0 một góc lớn
2
2
2

nhất.
11


Hướng dẫn: Bản chất vẫn là bài toán 5, với véc tơ chỉ phương của đường thẳng
r
uur uuuu
r uur
�
�
�
u

u
,
n
, ud �.
cần tìm là:
�d ( P ) �
�
�
Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O, cắt đường thẳng d
:

x y 1 z

 và tạo với trục Oy một góc nhỏ nhất.
1
2
3

Hướng dẫn: Bản chất đường thẳng cần tìm đi qua O và nằm trong mp(O;d). Do
r
urr r
�
�
n
, n�
đó véc tơ chỉ phương cần tìm là u  �
�, j �
�
�
Bài toán 6: Cho mặt phẳng P và điểm A   P  và đường thẳng d cắt (P)
tại điểm khác M khác A. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P),
đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Hướng dẫn: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. Khi đó d  d; d '
 d  Q  ; d '  d A,  Q  . Theo bài toán 1, khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ
uuuu
r uur uur uuu
r
�
�
ud , �
u
,
AB
, B �d . Khi đó do d’//(Q) và d’ nằm trong (P), nên
khi n(Q )  �
�
� �d

�
uuu
r uuuu
r uuuu
r
�
ud '  �
n
,
n
�(Q) ( P) �. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là:
uuu
r uuuu
r uur uur uuu
r
�, B d.
�
�
ud '  �
n( P ) , �
ud , �
u
,
AB
�
�
� � �d
�
Ví dụ 18: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z - 3 = 0, A(0;2;1) và đường thẳng
d ':

x 1 y z
  . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và
1
2 1

khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Hướng dẫn : Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng lớn nhất. Khi
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
� (10;4;2) ,
�
ud ' , �
u
,
AB
đó ta có: B (1;0;0) �d ' , n(Q )  �
�
� �d '
�

uur uuuu
r uuuu
r
�
n
,

n
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là: ud  �
�(Q) ( P ) � (2;14; 18)

12


Phương trình đường thẳng d là :

x y  2 z 1


.
1
7
9

Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d / /  P  . Viết phương trình
đường thẳng d  / /d và cách d một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn :Gọi A là điểm thuộc d, A’ là hình chiếu của A trên (P). Khi đó
đường thẳng d’ cần tìm đi qua A’ và song song với d.
Ví dụ 19: Cho mặt phẳng P: 2x  y  z 1  0 . Viết phương trình đường thẳng
d nằm trong mp(P), song với mặt phẳng Q: x  2 y  z  2  0 và cách gốc O
một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn :Đường thẳng d cần tìm đi qua hình chiếu O’ của O trên mp(P) và có
uur uuuu
r uuuu
r
�
u


n
,
n
véc tớ chỉ phương d �( P ) (Q ) �
�.
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M
( khác A) một khoảng lớn nhất.

r uuuu
r
Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là n  AM
Ví dụ 20: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;-3) và cách điểm
M(2;1;1) một khoảng lớn nhất.

r uuuu
r
Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là n  AM  1;1; 3 . Do đó
phương trình mặt phẳng cần tìm là  x 1  y  3  z  2  0  x  y  3z  7
0.
Bài toán 9: Các bài toán khác đòi hỏi chúng ta cần có trực giác hình học để
giải nhanh.
Ví dụ 21: Cho đường thẳng d :

x 1 y z 1
 
, viết phương trình đường thẳng
2
1
2

d’ song song với d, cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm K(-3;4;3) một
khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn : Giả sử mp(P) qua K và vuông góc với d cắt d tại I, d’ tại M. Khi
đó ta có IM  3 , trong mp(P): ta cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính
13


R=3 cách K một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Gọi I 1 2t;t;1 2t  , KI  4  2t;t  4; 2  2t  , ud  2;1; 2 , KI.ud  0 
t  0 . Vậy I 1; 0;1và IK  6  3 .
Dễ thấy KM nhỏ nhất khi M trùng E, KM lớn nhất khi M trùng F. Để tìm E x;
uur 1 uur
y; z  ta dùng véc tơ IE  IK  E  (1;2;2)
2
K

F

IM
E

Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng nhỏ nhất là
x 1 y  2 z  2


. Tương tự phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng
2
1
2

lớn nhất là

x 3 y 2 z

 .
2
1
2

Ví dụ 22: Cho đường thẳng d :

x 3 y 3 z 3


. Viết phương trình đường
2
1
1

thẳng d’ song song với d, cách d một khoảng bằng
:

3 và cách đường thẳng

x  2 y x 1


một khoảng nhỏ nhất (lớn nhất)
1
2

1

Hướng dẫn :đường thẳng d’ cần tìm là một đường sinh của mặt trụ tròn xoay có
trục là d, bán kính R  3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa  và song song với d. Dễ
dàng thấy ngay, d’ là giao mặt trụ trên với mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc
với (P) ( trong trường hợp (P) không cắt mặt trụ ).
uuuu
r uur uur
n
ud , u  �
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là ( P )  �
�
� (3;3;3) . Phương trình
mặt phẳng (P) là : x + y + z - 3 = 0. Lấy I(3;3;3)  d, hình chiếu của I trên (P) là
14


H(1;1;1), IH  2 3 . Gọi M(x;y;z) là giao điểm của IH với mặt trụ (Gần (P))
uuur 1 uuu
r
nhất. Ta có: IM  IH  M (2;2;2) . Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm
2
đi qua M là:

x2 y2 z2


.
2
1

1

*Bài tập tự luyện:
�x  1  t
�
Câu 1: Cho mặt phẳng (P) : 2x - y + z - 1 = 0 và đường thẳng d : �y  1  t . Gọi
�z  1  t
�
d’ là đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’
nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào sau đây?
2�
�1 2 1�
�4 4 2 �
�2 7 5 �
�2
 ; ;  � B. M � ; ; �
A. M �
C. M � ; ; � D. M � ; 1;  �
3�
� 3 3 3�
�3 3 3 �
�3 6 6 �
�3
Câu 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và cách gốc toạ độ
O một khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây?
A. M(0;2;-1)
B. M(1;1;1)
C. M(3;2;1)
D. M(-1;1;1)
Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oxy) và cách

điểm M(1;-2;1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung.
2
3
D. arccos
5
5
�x  2  t
�
Câu 4: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d : �y  1  t và tạo với trục Oz
�z  2t
�
A. arccos

2
3

B. arccos

1
5

C. arccos

một góc lớn nhất. Hỏi mp (P) đi qua điểm nào dưới dây?
A. M(1;3;2)

B. M(2;1;0)

C. M(4;1;1)

D. M(1;1;1)

15


�x  at
�
(t �R ) (a,b là các tham số đã biết).
Câu 5: Cho đường thẳng d : �y  bt
�z  1  (a  2b)t
�
Biết khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất. Tính

a 3
a
5
a

C. 
D.  4
b
2
b 2
b
�x  1  t
�
Câu 6: Cho đường thẳng d : �y  2 . Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm
�z  1  t
�
A.

a
0
b

a
b

B.

I(1;2;1) và tạo với d một góc 300 và cách điểm J(0;0;-2) một khoảng nhỏ nhất.
Một véc tơ chỉ phương của d’ là:
r
r
r
r
A. u  (1;1;0)
B. u  (1;1;0)
C. u  (1;0;1)
D. u  (1;1;2)
Câu 7: Cho hai điểm A(0;0;3), B(1;4;0) và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 -8y +2z +9 =0.
Gọi M thuộc mặt cầu (S). Tính giá trị nhỏ nhất của |MA - 2MB|.

A. 2 2
B. 3 2
C. 6
D. 3 6
Câu 8: Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P):2x+3yz+1=0 và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A. M(5;-3;1)
B. M(2;-3;-1)

C. M(4;6;2)
D. (5;-6;1)
Câu 9: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;0) và nằm trong mặt phẳng
(xOy) và cách điểm B(2;1;1) một khoảng lớn nhất. Tìm véc tơ chỉ phương của d.
r
r
r
r
A. u  (1;2;0)
B. u  (1; 1;0)
C. u  (1;1;0)
D. u  (2;1;0)
Câu 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng
d:

x y 1 z 1


và cách điểm A(-1;2;3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với
2
2
1

đường thẳng nào sau đây?

x 1 y
z


2

1 2
x  2 y 1 z 1
C.


1
1
2
A.

x  3 y z 1
 
3
12 4
x 1 y
z
D.


2 2 1
B.

16


�x  2  t
�
Câu 11: Cho đường thẳng d : �y  2  t và điểm M(2;-4;-1). Gọi d’ là đường
�z  2  t
�

thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng R  2 và cách điểm M một
khoảng nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào dưới đây?
A. K(3;2;3)
B. K(0;-2;5)
C. K(3;1;2)
D. ???
Câu 12: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;4), nằm trong mp (P): 2x+y3=0 và tạo với trục Oy một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A. M(-1;6;4)
B. M(-1;-6;4)
C. M(-1;6;-4)
D. M(1;2;6)
Câu 13: Cho mp (P): 2x+y+z-4=0, A(1;1;1). Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm
trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào dưới đây?
A. M(-1;6;0)
B. M(-1;3;3)
C. M(0;3;1)
D. M(0;0;4)
Câu 14: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;-2;1) vuông góc với trục Oy và tạo với
�x  2  t
�
đường thẳng d : �y  2t một góc nhỏ nhất. d nhận véc tơ nào làm véc tơ chỉ
�z  1  t
�
phương?
r
r
r
r
A. u  (1;0;2)
B. u  (1;2; 1)

C. u  (1;0;1)
D. u  (1;0;1)
Câu 15: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;4), song song với mặt phẳng
x+y-z+1=0 và tạo với Oy một góc lớn nhất. Góc giữa d và Ox là:
A. 600

B. 300

C. 450

D. arccos

1
3

�x  1  t
�
Câu 16: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng d : �y  t
và cách A(1;1;1)
�z  2  2t
�
một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) nhận véc tơ nào dưới đây làm véc tơ pháp tuyến?
r
r
r
r
A. n  (3;1; 2)
B. n  (1; 1;0)
C. n(0; 2;1)
D. n  (1;1; 1)

17


Câu 17: Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox, và tạo với đường thẳng d:
x 1 y 1 z

 một góc lớn nhất. Hỏi mp (P) đi qua điểm nào dưới đây?
2
2 1
A. A(3;-1;1)
B. A(1;3;4)
C. A(1;2;1)
D. A(-1;1;2)
Câu 18: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;2;-1) vuông góc với trục Ox và cách
điểm M(2;1;-2) một khoảng nhỏ nhất. Một vec tơ chỉ phương của d là:
r
r
r
r
A. u  (3; 2;1)
B. u  (1;2;1)
C. u  (0;2; 1)
D. u  (0;1;1)
Câu 19: Gọi (P) là mặt phẳng qua gốc toạ độ O, vuông góc với mp (Q): 2x-yz+1=0 và tạo với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi (P) đi qua điểm nào dưới đây?
A. M(-2;1;1)
B. M(1;2;-1)
C. M(1;1;1)
D. M(1;-1;1)
Câu 20: Gọi d là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với đường

thẳng d :

x  2 y 1 z

 và cách điểm A(2;-1;1) một khoảng lớn nhất. Hỏi d đi
2
1 3

qua điểm nào sau đây?
A. M(3;-4;1)
B. M(1;-2;0)
C. M(2;1;2)
D. M(-2;-4;0)
Câu 21: Cho mặt phẳng (P): x-y+z=0 và điểm A(2;1;-1). Gọi d là đường thẳng đi
qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa Oy và d lớn nhất. Góc giữa d và Oz
là:
1
1
C. arccos
D. 600
6
3
Câu 22: Cho mặt phẳng (P): x - y - 2z + 1 = 0 và điểm A(2;1;-1). Gọi d là đường
A. 450

B. arccos

thẳng đi qua A, nằm trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.
1
3

6
4
B. d (d ; Oy ) 
C. d (d ; Oy ) 
D. d (d ; Oy ) 
5
5
5
5
2
2
2
Câu 23: Cho hai điểm A(0;0;3), B(4;1;-2) và mặt cầu (S): x +y +z -8y+2z+9=0.
A. d (d ; Oy ) 

Gọi M thuộc mặt cầu (S) sao cho MA + 2MB nhỏ nhất. Hoành độ điểm M là:
1
D. . xM = 5
2
Câu 24: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;4, song song với mặt phẳng
A. xM = 2

B. xM = -3

C. xM = 

x+y-2z+1=0 và tạo với Oy một góc lớn nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
18

r
r
r
r
A. u  (1;5;2)
B. u  (1;1;1)
C. u  (5;1;3)
D. u  (2;0;1)
Câu 25: Cho mặt phẳng (P): x- y + z -1 = 0 và điểm A(2;1;0). Gọi d là đường
thẳng đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa Ox và d lớn nhất. Một véc tơ
chỉ phương của d là:
r
r
r
r
A. u  (1;1; 1)
B. u  (0;1;1)
C. u  (1;1;1)
D. u  (0;1; 1)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
ví dụ cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:

Năm

Lớp

Sĩ
số

Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời
xác trong
chính xác
30s – 1p

201712C1 42 18
2018

8

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác
30s – 1p
38

35

3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán lớp

12C1, trường THPT Hàm Rồng , tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng
thú với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm một
cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi
nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học
sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của
nhà trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và tự đặt ra
câu hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính xác và
hiệu quả nhất.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần cực trị về toạ độ
trong hình học không gian và nhất là khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc
nghiệm phần này, nên để ý hơn đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các
đặc điểm và dấu hiệu nhận biết vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo
góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra.

19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Lê Minh Hoà
MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Mục đích nghiên cứu

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu

1

1.4

Phương pháp nghiên cứu

1

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

2
3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

3

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

19

20


3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

19

3.2

Kiến nghị

19

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Hình học cơ bản và Hình học nâng cao 12 nhà xuất bản
giáo dục.
[2]. Tạp chí toán học tuổi trẻ.
[3]. Phương pháp giải toán Hình học giải tích trong không gian của tác giả Lê
Hồng Đức năm 2012 .
[4]. Đề minh hoạ của Bộ giáo dục đào tạo năm 2018.
[5]. Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian của tác giả Phan Huy
Khải năm 2012.

22


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐẠT GIẢI
1. Phương pháp toạ độ giải các bài toán hình học phẳng năm học 2014-2015

23