SKKN phân tích những sai lầm khi học chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ ĐTHS

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU...............................................................................................................................1
I. Lý do chọn đề tài ...............................................................................................................1
II. Mục đích nghiên cứu......................................................................................................2
III. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................................2
IV. Phương pháp nghiên cứu...........................................................................................2
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......................................................2
I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..............................................................2
II. Thực trạng về công tác kiểm tra đánh giá ở trường THPT
Quảng Xương 4.......................................................................................................................5
III. Các giải pháp……………………………………………………………………..…....5
1.Bổ sung hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt……….......5
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp……………...5
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( Lấy học sinh làm trung tâm)……………....5
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá…………………………………………………..….6
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học………………………..6
6.Phân dạng bài tập và phương pháp giải……………………………………………..6
IV. Hiệu quả của các giải pháp …………………………………...…….......................................18
V. Kết quả nghiên cứu………………………………........................................................19
C. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.........................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………...22

0


A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12- cơ bản, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng . Là một công cụ rất "hữu
hiệu" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi trung
học phổ thông quốc gia, ưu điểm của phương pháp này là dễ sử dụng và rất hiệu quả

khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số.
Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 4 tôi nhận
thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai
lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của
giáo viên.
Nhằm góp phần giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng
ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài
"phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
của hàm số ".
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương trình
Giải tích 12 – cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 – cơ bản.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
1


B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận

1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây ( liên quan đến nội dung và phạm
vi nghiên cứu của đề tài)
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số :
) Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K ,
x1  x2  � f  x1   f  x2  .  1

) Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K ,
x1  x2  � f  x1   f  x2  .  1

1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến :
) Nếu y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên D thì tổng f  x   g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D .
Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f  x   g  x  .  1
) Nếu y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên D thì tích f  x  .g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên D . Tính chất này nói chung không đúng với tích f  x  .g  x  khi f  x  và g  x  là
hai hàm số không cùng dương trên D .  1
1.3. Công thức tính đạo hàm :
  . u 1. u� *  1
Hàm số hợp y  u có đạo hàm y�

) công thức  * chỉ đúng với số mũ
) Nếu

 là hằng số.

 không nguyên thì công thức  * chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.

1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:

) Định lí: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trong khoảng K .
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

 x   0 với x �K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .  1
a. Nếu f �
2


 x   0 với x �K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K .  1
b. Nếu f �
 x   0 với x �K thì hàm số f  x  không đổi trên K .  1
c. Nếu f �
Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần.
1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
) Định lí 1: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K  ( x0  h ; x0  h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0 .
a. Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h ; x0 ) và f '  x   0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì

x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .  1
b. Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h ; x0 ) và f '  x   0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì

x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .  1
) Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng
( x0  h ; x0  h) , với h  0 . Khi đó:
�
�f '  x0   0
thì
�f ''  x0   0

x0 là điểm cực tiểu  1

�
�f '  x0   0
thì
�f ''  x0   0

x0 là điểm cực đại.  1

a. Nếu �

b. Nếu �

Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
�
�f  x  �m,Σx�D
m  min f  x  � �
D
x0 �D : f  x0   m
�

�
�f  x  M , x D
M  max f  x  � �
 1
D
x0 �D : f  x0   M
�

,

Nếu f  x  �m , x �D (hay f  x  �m , x �D ) nhưng không x0 �D : f  x0   m
(hay x0 �D : f  x0   M ) thì dấu "  " không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ
nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền D .
Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền D mà
chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt
3


t  u  x  thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.

1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f  x  :
   C  có phương trình: y  f '  x0  .  x  x0   y0 .
) Tiếp tuyến tại điểm M 0  x0 ; y0  �

) Tiếp tuyến với  C  có hệ số góc k , đi qua điểm M 1  x1 ; y1  có phương trình:
�
�f  x   k .  x  x1   y1.
 **  1
�
f
x

k


�

y  k .  x  x1   y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: �

Nếu điểm M 1  x1 ; y1  nói trên thuộc  C  thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ  ** .
Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
2.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững
định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm
số.
2.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác
tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng
biến, nghịch biến.
2.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai
công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
2.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận
dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng  a ; b  .
2.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số trên một miền D , khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
2.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M 1  x1 ; y1  thuộc đồ thị  C  của hàm số.
II. Thực trạng về công tác kiểm tra đánh giá ở trường THPT Quảng Xương 4
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau đây:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
4


- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
một miền D .
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ
thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
III . Giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề
tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của
các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng
bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc
trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận
biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
5

- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học
sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai
lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả
mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
IV. Nghiên cứu thực tế
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu
của hàm số.
Ví dụ 1 :

Xét tính đơn điệu của hàm số: f  x  

2x  2
2x 1

Một số học sinh trình bày như sau:
�
- 1�
�
� �

Tập xác định: D = �\ �
� �
�2 �

�
2x  2 �
 x  �
Ta có : f �
�
�
�2 x  1 �

6

 2 x  1

2

 0 ; x �D

Bảng biến thiên:

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- �;

- 1
- 1
) �( ; +� )
2
2

6


Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán
Chú ý rằng: nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên tập D thì với mọi x1 , x2 thuộc D,

x1  x2  � f  x1   f  x2  . Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1  1 �D và

x2  0 �D thì x1  x2 nhưng f  x1   4  2  f  x2 
Lời giải đúng là:
�
- 1�
�
� �
Tập xác định: D = �\ �
� �
�2 �

�
6
�2 x  2 �
�
f
x

 0 ; x �D
Ta có :   �
�
2

�2 x  1 �  2 x  1

Bảng biến thiên:

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- �;

- 1
- 1
) �( ; +� )
2
2

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- �;

- 1
- 1
) và ( ; +�) .
2
2

 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét
dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 2 :

f  x   x  1  4  x2

Xét tính đơn điệu của hàm số :

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ]

�



 x   x 1  4  x2  1 
Ta có: f �
f�
 x  0 � 1

x
4  x2

�
x 2
 0 � 4  x2  x � 4  x2  x2 � �
4  x2
x 2
�
x

7


Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '  x  luôn giữ nguyên một
dấu, vì f '  0   0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y

-2

-

2

-

2

2

0

+

-3

0

-

2 2- 1

-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; -

2) và ( 2; 2) .

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
�
- 2; �

2�
�giá trị của hàm số giảm từ 3 xuống  1 Thực ra ở đây  2 không phải là

điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ] .

�



 x   x 1  4  x2  1 
Ta có: f �
f�
 x  0 � 1

x
4  x2

�x �0
 0 � 4  x2  x � � 2
�x 2
4  x  x2

4  x2
�
x

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '  x  luôn giữ nguyên một
dấu, vì f '  0   0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'

-2

y

2

2

+

0

-

2 2- 1

-3
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2) .
1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh

thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm
số để vận dụng.
Ví dụ 3 : (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
8


� �
0; �
Chứng minh rằng: tan x  x, x ��
� 2�

Một số học sinh trình bày như sau:
� �
.
�
� 2�

0;
Xét hàm số : f  x   tanx  x, x ��

�
Ta có: f '  x    tanx  x  

1
�
 1 , x ��
0; �
, suy ra hàm số f  x  đồng biến trên
�
2

cos x
� 2�

� �
0; �
khoảng �
.
� 2�

� �
0; �
Từ x  0 � f  x   f  0  � tan x  x  tan 0  0  hay tan x  x, x ��
� 2�

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi . Sau khi kết
� �
0 ; �thì vì sao từ x  0 � f  x   f  0 
luận f  x  đồng biến trên khoảng �
2
�

�

� �
0; �
Sai lầm ở đây là 0 ��
.
� 2�

Nhớ rằng: nếu f  x  đồng biến trên đoạn  a ; b (tức là f  x  liên tục trên  a ; b và

f '  x   0 với x � a ; b  thì với x1 ; x2 � a ; b  , x1  x2 � f  x1   f  x2 

Lời giải đúng là:
� �
�.
� 2�

0;
Xét hàm số : f  x   tanx  x, x ��

Ta có: f '  x    tanx  x  �

1
� �
 1  tan 2 x �0 , x ��
0 ; �. dấu "=" xảy ra chỉ
2
cos x
� 2�

� �
0; �
tại x  0 , suy ra hàm số f  x  đồng biến trên nửa khoảng �
.
2
�

�

� �

0; �
Từ x  0 � f  x   f  0  � tan x  x  tan 0  0  hay tan x  x, x ��
� 2�

 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng
biến, nghịch biến.
9


Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu với x �R , x  1 thì x.e x 

1
.
e

Một số học sinh trình bày như sau:
x
Xét các hàm số f  x   x , g  x   e là các hàm đồng biến trên �. Suy ra hàm số

h  x   x.e x là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên �. Suy ra, từ
x  1 � f  x   f  1 hay x.e x 

1
.
e

Phân tích:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ : tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến
chỉ đúng khi hai hàm đó dương .
Lời giải đúng là:

x
x
Xét hàm số f  x   x.e , ta có f '  x   e  x  1 �0, x �1 dấu "=" xảy ra chỉ tại x  1 .

Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [- 1; +� ) . Từ x  1 � f  x   f  1 hay
x.e x 

1
.
e

1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ 5 : Tính đạo hàm của hàm số f  x    2 x  1 .
x

Một số học sinh trình bày như sau:
x 1
x 1
Ta có f �
 x   x  2 x  1  2 x  1 � 2 x  2 x  1 . .

Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng công thức  u  �  .u  1.u �
. Vận dụng như vậy là sai, vì
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ  là một hằng số.
Lời giải đúng là:
� 1
�x 
Điều kiện: � 2 (khi đó f  x   0 )

�
�x �0
y�

2x

�
Từ y   2 x  1 � ln y  x.ln  2 x  1 �  ln y  �  x.ln  2 x  1  � y  ln  2 x  1  2 x  1
x

10


2x �
x �
� y�
  2 x  1 �
ln  2 x  1 
2 x  1�
�
�

 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức  u  �  .u 1.u �
,
 �R , nhưng quên rằng nếu như  không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi

u

nhận giá trị dương.

Ví dụ 6 : Cho hàm số f  x   3 x 2 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị  C  tại điểm có hoành độ x  1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x  1 , ta có y = 3 (- 1) 2 = 1
Ta có : y    x

2
3

2 31
suy ra y '  x
3

1
2
1
2
2
2
2 -1 2
2�
6 = .1 6 =
y '(- 1) = (- 1) 3 = (- 1) 6 = �
(
1)
.
� 3
3
3
3�

3

2
3

2
3

5
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  1  1 hay y  x  .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ
1

không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết (- 1)- 3 là không đúng .
Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1)2 = 1
2x

3
2
3 �
2 �
2
 2 x  � y �
   2  
Ta có y  x �  y    x  � 3 y y�
3y

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 

2
3

3 x

� y�
 1 

2
3

2
2
1
 x  1  1 hay y   x  .
3
3
3

1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là
điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:  y� 0 ,  � a, b  � hàm số đồng biến trên khoảng  a; b 
 0 ,  � a, b  � hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b 
 y�

11

Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  mx 2  x  1 đồng biến
trên �.
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = �.
a0
 0
�

�
y�
 3x 2  2mx  1. Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi y� 0 , x �R � � �
30
�
��2
�  3m 3
m 3 0
�

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y  x 3 đồng biến trên �, nhưng y� 3 x 2 �0 , x �R dấu
"  " xảy ra chỉ tại x  0 . Nhớ rằng: nếu hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  ,
f�
 x  �0, x � a, b  và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng

 a; b  . thì

hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  a; b  . 
Lời giải đúng là:
a0

�
 �0
�

y�
 3x 2  2mx  1. Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi y��0 , x �R � � �
30
�
��2
�  3 �m � 3 .
m  3 �0
�

 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó
chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

�
 x0   0
�f �
� x0 là điểm cực tiểu
�
 x0   0
�f �

�

�
 x0   0
�f �

� x0 là điểm cực đại
�
 x0   0
�f �

 �

Điều ngược lại nói chung là không đúng .
4
Ví dụ 8 : Cho hàm số y  f  x   mx . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đạt cực đại tại x  0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
12


�
 x   4mx3
�f �
�
�
 x   12mx 2
�f �
�
 0  0
4m.0  0
�
�f �
��
12m.0  0

�
 0  0
�
�f �

Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x  0 là: �

 VN  .

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x  0 .
Phân tích:

 4 x 3 � y �
0� x0
Ta thấy, với m  1 , hàm số y   x 4  có y�
Bảng biến thiên:
x
y'
y

- �

+�

0
0
0

+

- �

- �

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x  0 . Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
�
 x0   0
�f �
� x0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều
�
 x0   0
�f �

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn �

�
 x0   0. Lí
ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f �

�
 x0   0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g  x   f � x  nghịch biến
do là điều kiện f �
trong lân cận  x0  h; x0  h  (với h  0 ), khi đó:
�
 x  f �
 x0   0, x � x0  h ; x0 
�f �
� x0 là điểm cực đại của hàm số.
�
 x  f �

 x0   0, x � x0 ; x0  h 
�f �

Lời giải đúng là:
Cách 1:

 x   0 , x � h ; 0  với h  0 .
Ta có y '  4mx3 . Để hàm số đạt cực đại tại x  0 thì y�
�
4mx 3  0
�m0
Tức là: �
h  x  0
�

Thử lại, ta thấy với m  0 là điều kiện cần tìm.
Cách 2: xét 3 trường hợp  m  0, m  0, m  0 
 m  0 : Ta có y  f  x   0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
13


 m  0 : Ta có y� 4mx3 � y� 0 � x  0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
 m  0 : Ta có y� 4mx 3 � y � 0 � x  0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm
cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x  0 khi và chỉ khi m  0.
Ví dụ 9
4
3
Cho hàm số y  f  x   x  mx  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt

cực tiểu tại x  0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
�f �
 x   4 x3  3mx 2
�
 
�
�
 x   12 x 2  6mx
�f �
�
 0   0 �4m.0  0
�f �
 � �
 VN 
12
m
.0

0
�
�
f
0

0


�

�

Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 là: �

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  0
Phân tích:
Ta thấy, với m  0 , hàm số y  x 4  1
y�
 4 x 3 � y�
 0 � x  0. Bảng biến thiên:
- �

x
y'

-

0
0

+�

+

+�

+�

y

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  0
Lời giải đúng là:
Cách 1:
�
 x   0, x � h ; 0   1
�f �
(với h  0 )
 x   0, x � 0 ; h   2 
�f �

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 thì �
�
x �  h;0 
�
 1 ۳���۳
� 3 
4 x  3mx 2  0
�

�
x � h;0 
�
4 x  3m  0
�

x � h;0 
�
�

� 3m
�x 
�
4

14

3m
4

0

m 0  1�



�
x � 0; h 
�

 2  ���۳
� 3�
2
4
x
�  3mx  0

x � 0; h 
�
�

� 3m
�x 
�
4

�
x � 0; h 
�
4 x  3m  0
�

3m
4

m 0  2�


0

Từ (1') và (2') suy ra m  0
Vậy với m  0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  0 .
Cách 2: xét 3 trường hợp  m  0, m  0, m  0 
 m  0 : Ta có y  x 4  1 có y� 4 x3 , y� 0 � x  0.
Bảng biến thiên:
x
y'

- �

-

+�

0
0

+

+�

+�

y

1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  0
 0 � x  0 hoặc x 
 m  0 : Ta có y� x 2  4 x  3m  , y�

3m
. Lập bảng biến thiên
4

ta thấy y�không đổi dấu qua x  0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có
cực trị tại x  0 .
3m
 0 � x  0 hoặc x 
. Lập bảng biến thiên
 m  0 : Ta có y� x 2  4 x  3m  , y�
4

ta thấy y�không đổi dấu qua x  0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có
cực trị tại x  0
Kết luận: với m  0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  0 .
1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
 Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
2
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của f  x   cos x 

1
1 �
�
 2 �cos x 
� 1.
2
cos x �
cos x �

Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t  cos x 

1
1
� cos 2 x  2  t 2  2
cos x
cos x

Ta được hàm số: g  t   t 2  2t  3   t  1  4 �4, t �R
2

15


Vậy min f  x   4 , khi t  1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của
hàm f  x  không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g  t  , t �R.
Có thể thấy ngay khi t  1. thì không tồn tại giá trị của x để cos x 

1
 1
cos x

�f  x  �m , x �D

�
f  x � �
Nhớ rằng , số m  min
D

x0 �D : f  x0   m
�

Lời giải đúng là:
Đặt t  cos x 
t  cos x 

1
cos x

�
�
, x �D  R \ �  k , k �Z �
�2

1
1
 cos x 
�2 . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi cos x  1
cos x
cos x

Khi đó: cos 2 x 

1
 t 2  2 . Ta được hàm số: g  t   t 2  2t  3.
2
cos x

Lập bảng biến thiên hàm số g  t  (với t �2 ):

f  x   min g  t   3 Đạt được khi
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m  min
D
t�
2
t  2 � cos x 

1
 2 � cos x  1 � x    2k , k �Z

cos x

1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
Ví dụ 11
3
2
Cho hàm số f  x    x  3 x , có đồ thị  C  . Viết phương
A

trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp

4

h x = 4

x

tuyến đó đi qua điểm A  1; 4 
O

Một số học sinh trình bày như sau:

3

q x = -9x-5
fx = -x3 +3x2

f�
 x   3x 2  6 x.

16


Ta có điểm A  1; 4  � C  . suy ra phương trình tiếp tuyến là:
y f�
 1 .  x  1  4 � y =- 9(x +1) + 4 � y  9 x  5 .

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến y  9 x  5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A . Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị  C  đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm A  1; 4  và có hệ số góc k là:
y  k  x  1  4

Điều kiện để đường thẳng  d  là tiếp tuyến của đồ thị  C  là hệ sau có nghiệm:
�
�x  2
�
�
�
�x  3 x  2  0
� x  3x  k  x  1  4 �
�k  0
�
��
�
�
.

2
�
k  3 x 2  6 x
�x  1
�
�k  3 x  6 x
�
�
�
�k  9
3

2

3

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y  4 và y  9 x  5.
2. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y 

4  5x
x3

b. y 

5x2  x  1
x4

c. y  cosx  sinx

d . y  cosx  sinx

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
x 2  2mx  4
a. y 
3x  m

2 x 2  mx  4
b. y 
xm

Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y  cosx  sinx

b. y  sin 2 2 x

c. y 

5x2  x  1
2x  4

d. y   8  x 3 x  5

Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x  1 :
� 2�
a. y  x 3  2 mx 2  2 �
m  �x  5
� 3�

b. y  mx 3  2mx 2  5

Bài tập 5: Xác định m để hàm số sau luôn đồng biến trên �:
17


a. y 

 m  1 x3  mx 2 
3

 3m  2  x 

b. y   m  1 x 3  mx 2  x  6

3

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y   x 3  3x 2  2 x  5 trên đoạn [- 5;5]

b. y   x 3  3 x 2  2 x  5 trên đoạn [- 5;5]

� 3 �
c. y  2sinx  sin 2 x trên đoạn �
0;
� 2 �
�

d . y  cos 3 x  6cos 2 x  9cosx  5

e. y  sin 3 x  6cos 2 x  5sin x  4

3x 2  2 x  1
f . y  
trên đoạn [ 4;5]
2x  4

Bài tập 7: Cho hàm số y   x  1  2  x  , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến
2

của đồ thị  C  biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M  2;0 
Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. tan x  x 

x3
,
3

�
�
0 x �
�
2�
�





c. e x  e  x �2ln x  1  x 2 , x �0

x2
b. e  cosx �2  x  , x �R
2
x

d . 8sin 2

x
 sin2x  2 x, x � 0;  
2

x3
  2m  1 x 2   2m  3 x  2 ( m là tham số)
3
Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3x  2  tại ba điểm phân biệt.

Bài tập 9: Cho hàm số y 

2
Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: 4 x   2  m  x  m  0

có 4 nghiệm thực phân biệt ?
Bài tập 11 : Cho hàm số y   x3  3mx 2  9mx  2 , có đồ thị  Cm  .
1.Khi m=1,hãy :
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 , biết rằng
�
f�
 x0   6

2. Tìm giá trị của m để:
a. Đồng biến trên khoảng  1 ;  �
b. Hàm số sau đạt cực trị tại x  3

18


V. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả
đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát
tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 12A và 12D như sau:
Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y

x3
 2mx 2   4m 2  1 x  3 đạt cực tiểu tại x  1 .
3

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A (sĩ số 42)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Số lượng
3
4
35

Phần trăm
7%
9%
84 %

Số lượng
3
3
30

Phần trăm
8%
8%
84 %

Lớp 12 D (sĩ số 36)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Bài số 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f  x  

x3
.
3  4x

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A (sĩ số 42)
Không giải được
Giải sai phương pháp

Giải đúng phương pháp

Số lượng
1
2
39

Phần trăm
2%
4%
94 %

Số lượng
2
3
31

Phần trăm
6%
8%
86 %

Lớp 12 D (sĩ số 36)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

2x
2
Bài số 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: e  cos2x �2  1  x  x  , x �R

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A (sĩ số 42)
19


Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Số lượng
10
5
27

Phần trăm
24 %
12 %
64 %

Số lượng
12
6
18

Phần trăm
33.2 %
16.6 %
50.2 %

Lớp 12 D (sĩ số 36)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh
thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao chất
lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời gian tới, đề tài này
sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ
đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.
C. KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót của
mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn
và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp
ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng
dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc
hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy
mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ;
người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm
toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo
hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất

20


nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải
cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn.

Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó,
nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen với
việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như
những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã
giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ;
những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ
yếu ở bậc Đại học).
Ở cấp độ trường trung học phổ thông Quảng Xương 4, đề tài có thể áp dụng để
cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm,
định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em
tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm
thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được
hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2018
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

ĐƠN VỊ

viết không sao chép của người khác.

Phạm Trọng Thuận
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12 –cơ bản (SGK)
2.Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán . tác giả Trần Phương

(Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội)
3.Phương pháp giải toán hàm số ,tác giả Lê Hồng Đức.
21


(Nhà xuất bản đại học sư phạm Hà Nội)
4. Phương pháp giải toán Đạo hàm và ứng dụng ,tác giả Lê Hồng Đức.
(Nhà xuất bản đại học sư phạm Hà Nội)
5. Phương pháp giải toán Tiếp tuyến ,tác giả Lê Hồng Đức.
(Nhà xuất bản đại học sư phạm Hà Nội)
6. Chuyên đề khảo sát hàm số Tự luận và Trắc nghiệm ,tác giả Bùi Ngọc Anh
(Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội)
7.Trắc nghiệm hàm số- mũ và lôgarit, tác giả Mẫn Ngọc Quang
(Nhà xuất bản Thanh Hóa)
8. Phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm hàm số ,tác giả Võ Quang Mẫn
(Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội)
9.Phân loại, phân tích phương pháp giải toán khảo sát hàm số, tác giả Nguyễn Cam
(Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội)
10.Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán khảo sát hàm số và ứng dụng đạo
hàm, tác giả Nguyễn Phú Khánh
(Nhà xuất bản đại học sư phạm Hà Nội)
11.Kỷ thuật giải nhanh chuyên đề khảo sát hàm số ,tác giả Trần Đình Cư
(Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội).

22