Giải tích 12 chương 3: Đáp án

MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1

NGUYÊN HÀM

1

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1

1

Nguyên hàm và tính chất

1

2

1.1
Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Phương pháp tính nguyên hàm
1

3

2.1
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số
2.2
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần .
2.3
Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . .
2.4
Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . .
Các dạng toán và bài tập
3.1

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1
1
2
2
3

4

Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . .
3.1.1
Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
3.2.1
Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp đổi biến số

B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

39

1

Nhận biết

39

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Vận dụng thấp
69

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Vận dụng cao
81
4.1

2

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3
3
22
23
35

35
39

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
54

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TÍCH PHÂN

86
87

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

87

1

Khái niệm tích phân

87

2

1.1

Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2
Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
87
2.1

Phương Pháp Đổi Biến Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87


/>3

Chương 3 - Giải tích 12

2.2
Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Các dạng toán và bài tập
88
3.1
3.1.1
3.2
3.2.1
3.3
3.3.1

Tích phân cơ bản và tính chất tính phân
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .
Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . .

Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .
Tính chất của tích phân . . . . . . . . .
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

88
88
93
93
95
96

b

3.4

Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

| f (x) | dx . . . . . . . . . . 107
a

3.4.1
3.5
3.5.1
3.6
3.6.1

3

Ví dụ và bài tập .
Phương pháp đổi biến số
Ví dụ và bài tập .
Tích phân từng phần . . .
Ví dụ và bài tập .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

107
109
109
140
140

B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

150

1

Nhận biết

150

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Vận dụng thấp
192

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Vận dụng cao
228

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
161

4.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
247
A

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

247

1

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

247

2

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

247

B

TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

247

C

Dạng toán và bài tập

248

1

Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan

248

2

1.1
1.2
Thể tích
2.1
2.2

Th.s Nguyễn Chín Em

Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . 251
254
Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2

/>

D

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

259

1

Nhận biết

259

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Vận dụng thấp
287

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Vận dụng cao
297
4.1

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
277

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302


CHƯƠNG

3

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
BÀI

1.

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1.1

NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm

Định nghĩa 1. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x)
trên K nếu F ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K .
Định lí 1. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x) =
F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K .

Định lí 2. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f ( x) trên
K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.

Định lí 3. Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
1.2

Tính chất

Tính chất 1.
f ( x) d x = f ( x) + C

Tính chất 2.
k f ( x) d x = k

f ( x) d x

( k là một hằng số khác 0).

Tính chất 3.
f ( x) ± g ( x) d x =

2
2.1

f ( x) d x ±

g ( x) d x

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số

Định lí 4. Nếu

f ( u) d u = F ( u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f ( u( x)) u ( x) d x = F ( u( x)) + C.

2.2

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 5. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì
u ( x) · v ( x) d x = u ( x) v( x) −

u ( x)v( x) d x.

Nhận xét. Vì v ( x) d x = dv, u ( x) d x = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng
Để tính nguyên hàm

u dv = uv −

v d u.

f ( x) d x bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u, v sao cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x). Sau đó tính v =
1

dv và d u = u · d x.


/>Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính
được v và tích phân

v d u dễ tính hơn

Chương 3 - Giải tích 12

v d u. Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm

u dv. Ta thường gặp các dạng sau

1

Dạng 1: I =



 u = P ( x)
sin x
d x. Với dạng này, ta đặt
P ( x)
sin x
cos x

 dv = cos x d x

2

Dạng 2: I =

P ( x) eax+b d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt

3

Dạng 3: I =

P ( x) ln ( mx + n) d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt

4

2.3

u = P ( x)
dv = eax+b d x.

u = ln ( mx + n)
dv = P ( x) d x.



 u = sin x
sin x x
cos x
e d x. Với dạng này ta đặt
cos x

d x = e x d x

Dạng 4: I =

Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm sơ cấp

1

0 dx = C

1

0 du = C

2

1 dx = x + C

2

1 du = u + C

3

xα d x =

3

uα d u =

4

1
d x = ln | x| + C
x

4

1
d u = ln | u| + C
u

5

ex d x = e e x + C

5

eu d u = eu + C

6

ax dx =

6

au du =

7

cos x d x = sin x + C

7

cos u d u = sin u + C

8

sin x d x = − cos x + C

8

sin u d u = − cos u + C

9
10
11
2.4

Nguyên hàm của hàm hợp u = u( x)

xα+1
+C
α+1

ax
+C
ln a

1
d x = tan x + C
cos2 x
1
d x = − cot x + C
sin2 x
1

dx = x+C
2 x

9
10
11

uα+1
+C
α+1

au
+C
ln a

1
d u = tan u + C
cos2 u
1
d u = − cot u + C
sin2 u
1
du = u+C
2 u

Bảng nguyên hàm mở rộng

1

(ax + b)α d x =

2

eax+b d x =

3

1 (ax + b)α+1
+ C (α = −1)
a
α+1

10

1 ax+b
e
+C
a
1
sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C
a

Th.s Nguyễn Chín Em

11
12
2

1
1

d x = ln |ax + b| + C
ax + b
a
1
cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C
a
1
1
d x = tan(ax + b) + C
2
a
cos (ax + b)
/>

/>
4
5
6
7
8
9

3

Chương 3 - Giải tích 12

1
d x = − cot(ax + b) + C
a
sin (ax + b)

1
cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C
a
dx
1
a+x
=
ln
+C
a−x
a2 − x2 2 a
x
dx
= arcsin
=C
| a|
a2 − x2
b
ln(ax + b)d x = x +
ln(ax + b) − x + C
a
eax (a cos bx) + b sin bx
+C
eax cos bxd x =
a2 + b 2
1

13

2

14
15
16
17
18

1
tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C
a
1
x
dx
=
arctan
+C
a
a2 + x2 a
dx
= ln x + x2 + a2 + C
x2 + a2
1
dx
x
= arccos
+C
a
x. x2 − a2 a
x
x a2 − x2 a2

+
arcsin + C
a2 − x2 d x =
2
2
a
ax
e (a sin bx) − b cos bx
+C
eax sin bxd x =
a2 + b 2

CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

3.1

Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm

Phương pháp giải
PP

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−→ khai triển.
PP

2 Tích các hàm mũ −−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ.
PP

3 Chứa căn −−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa.
PP

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin −−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng.

1
2
1
• sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
• cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2

• sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]

5 Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x =
6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I =

1 1
1 1
− cos 2a, cos2 x = + cos 2a.
2 2
2 2

P ( x)
d x, với P ( x), Q ( x) là các đa thức.
Q ( x)
PP

• Nếu bậc của tử số P ( x) ≥ bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức.
PP

• Nếu bậc của tử số P ( x) < bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số,
rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che).
Ȋ
Ȋ

1
A
Bx + C
=
+ 2
, với ∆ = b2 − 4ac.
2
( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c
1
B
D
A
C
=
+
+
+
.
( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2

Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.
3.1.1

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Tính nguyên hàm của hàm số
1
f ( x) = 3 x2 + x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Th.s Nguyễn Chín Em

3

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

ĐS: x3 +

x2
+C
6

1
x2
3 x2 + x d x = x3 + + C .
3
6

Lời giải: Ta có F ( x) =

Bài 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định), biết
1 f ( x) = 2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS:

1 4 5 3
x − x − 2 x2 + 7 x + C
2
3

✍ Lời giải.
1
5
2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 d x = x4 − x3 − 2 x2 + 7 x + C .
2
3

Ta có F ( x) =

2 f ( x) = 6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

ĐS: x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C
✍ Lời giải.
1
6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 d x = x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C .
3

Ta có F ( x) =

3 f ( x) = ( x2 − 3 x)( x + 1)

.......................................................................
1
4

2
3

3
2

ĐS: F ( x) = x4 − x3 − x2 + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

( x2 − 3 x)( x + 1)d x =

4 f ( x) = ( x − 1)( x2 + 2)

2
3
1
( x3 − 2 x2 − 3 x)d x = x4 − x3 − x2 + C .
4
3
2

........................................................................
1
4

1
3

ĐS: F ( x) = x4 − x3 + x2 − 2 x + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

( x − 1)( x2 + 2)d x =

5 f ( x) = x( x2 + 1)2

1
1
( x3 − x2 + 2 x − 2)d x = x4 − x3 + x2 − 2 x + C .
4
3

............................................................................
1
6

ĐS: F ( x) = ( x2 + 1)3 + C
✍ Lời giải.
x( x2 + 1)2 d x =

Ta có F ( x) =
6 f ( x) = (3 − x)3

( x2 + 1)2

d( x2 + 1) 1 2
= ( x + 1)3 + C .
2
6

..............................................................................
1
4

ĐS: F ( x) = − (3 − x)4 + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

(3 − x)3 d x = −

7 f ( x) = (2 x + 1)5

1
(3 − x)3 d(3 − x) = − (3 − x)4 + C .
4

.............................................................................
ĐS: F ( x) =

1
(2 x + 1)6 + C
12

✍ Lời giải.

Ta có F ( x) =
Th.s Nguyễn Chín Em

(2 x + 1)5 d x =

(2 x + 1)5

d(2 x + 1)
1
=
(2 x + 1)6 + C .
2
12
4

/>

/>8 f ( x) = (2 x − 10)2018

Chương 3 - Giải tích 12

.........................................................................
ĐS: F ( x) =

1
(2 x − 10)2019 + C
4038

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

(2 x − 10)2018 d x =

9 f ( x) = (3 − 4 x)2019

1
2

(2 x − 10)2018 d(2 x − 10) =

1
(2 x − 10)2019 + C .
4038

..........................................................................
ĐS: F ( x) = −

1
(3 − 4 x)2020 + C
8080

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

(3 − 4 x)2019 d x = −

10 f ( x) = (2 x2 − 1)2

1
4

(3 − 4 x)2019 d(3 − 4 x) = −

1
(3 − 4 x)2020 + C .
8080

............................................................................
4
5

4
3

ĐS: F ( x) = x5 − x3 + x + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
11 f ( x) = ( x2 + 1)3

(2 x2 − 1)2 d x =

4
4
4 x4 − 4 x2 + 1 d x = x5 − x3 + x + C .
5
3

.............................................................................
3
5

1
7

ĐS: F ( x) = x7 + x5 + x3 + x + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

( x2 + 1)3 d x =

1
3
x6 + 3 x4 + 3 x2 + 1 d x = x7 + x5 + x3 + x + C .
7
5

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 4 x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1
Lời giải: Ta có F ( x) =

f ( x)d x =

4 x3 − 4 x + 5 d x = x4 − 2 x2 + 5 x + C .

Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1.
Suy ra F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1.
Bài 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k.
1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x thỏa mãn F (1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: F ( x) = −

1
x4
+ x3 − x2 +
4
4

✍ Lời giải.
x4
+ x3 − x2 + C .
4
1
x4
1
Vì F (1) = 0 nên C = . Suy ra F ( x) = − + x3 − x2 + .
4
4
4

Ta có F ( x) =

2

f ( x) d x =

− x3 + 3 x2 − 2 x d x = −

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) =

3 x4 2 x3
37
−
+x−
4
3
3

✍ Lời giải.
3 x4 2 x3
−
+ x + C.
4
3
37
3 x4 2 x3
37
Vì F (−2) = 3 nên C = − . Suy ra F ( x) =
−
+x− .
3
4
3
3

Ta có F ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

f ( x) d x =

3 x3 − 2 x2 + 1 d x =

5

/>

/>3

Chương 3 - Giải tích 12

Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = −5 x4 + 4 x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) . . . . .
ĐS: F (−3) = 451
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

f ( x) d x =

−5 x4 + 4 x2 − 6 d x = − x5 +

Vì F (3) = 1 nên C = 226. Suy ra F ( x) = − x5 +
Do đó F (−3) = 451.
4

4 x3
− 6x + C.
3

4 x3

− 6 x + 226.
3

Hàm số f ( x) = x3 + 3 x2 + 2 có một nguyên hàm F ( x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F (−2) = −10
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

f ( x) d x =

x3 + 3 x2 + 2 d x =
x4

x4
+ x3 + 2 x + C .
4

Vì F (2) = 14 nên C = −2. Suy ra F ( x) = + x3 + 2 x − 2.
4
Do đó F (−2) = −10.
5

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) = −

(1 − x)10
+1
10

✍ Lời giải.

(1 − x)10
Ta có F ( x) = f ( x) d x = (1 − x) d x = −
+ C.
10
(1 − x)10
Vì 10F (2) = 9 nên C = 1. Suy ra F ( x) = −
+ 1.
10
9

6

Hàm số f ( x) = (2 x + 1)3 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F

1
3
= 4. Tính F
...................
2
2
3
ĐS: F
= 34
2

✍ Lời giải.
(2 x + 1)4
+ C.
8
1

(2 x + 1)4
Vì F
= 4 nên C = 2. Suy ra F ( x) =
+ 2.
2
8
3
Do đó F
= 34.
2

Ta có F ( x) =

7

f ( x) d x =

(2 x + 1)3 d x =

Hàm số f ( x) = (1 − 2 x)5 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F −

1
2
= . Tính F (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
71
ĐS: F
=

2
12

✍ Lời giải.
(1 − 2 x)6
+ C.
12
2
(1 − 2 x)6
= nên C = 6. Suy ra F ( x) = −
+ 6.
3
12
3
71
=
.
2
12

Ta có F ( x) =
Vì F −

1
2

Do đó F

Th.s Nguyễn Chín Em

f ( x) d x =

(1 − 2 x)5 d x = −

6

/>

/>
8

Chương 3 - Giải tích 12

1
3

Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x − 3)2 thỏa F (0) = . Tính giá trị của biểu thức
P = log2 [3F (1) − 2F (2)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2
✍ Lời giải.
(2 x − 3)3
+ C.
6
1
29
(2 x − 3)3 29
13
Vì F (0) = nên C = . Suy ra F ( x) =
+

⇒ F (1) =
; F (2) = 5.
3
6
6
6
3
Do đó P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2.

Ta có F ( x) =

9

f ( x) d x =

(2 x − 3)2 d x =

Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = x( x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 ( x) là một nguyên hàm
của hàm số f 2 ( x) = x3 + 4 x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 ( x) = F2 ( x) . . . . . . .
ĐS: 1;

3
2

✍ Lời giải.
Ta có F1 ( x) =

f 1 ( x) d x =

x( x + 2)2 d x =

x3 + 4 x2 + 4 x d x =

x4 4 x3
+
+ 2 x2 + C .
4
3

x4 4 x3
+
+ 2 x2 + 1
(1).
4
3
x4 4 x3
+
+ 5x + C.
Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x =
x3 + 4 x2 + 5 d x =
4
3
x4 4 x3
Vì F2 (0) = −2 nên C = −2. Suy ra F2 ( x) = +
+ 5x − 2
(2).
4
3

Vì F1 (0) = 1 nên C = 1. Suy ra F1 ( x) =



Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ 2 x2 + 1 = 5 x − 2 ⇔ 2 x2 − 5 x + 3 = 0 ⇔ 


10

x=1
3
x= .
2

Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = ( x + 1)( x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 ( x) là một nguyên
hàm của hàm số f 2 ( x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 ( x) = F2 ( x) có hai nghiệm là
x1 , x2 . Tính 2 x1 + 2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
ĐS:
16

✍ Lời giải.
Ta có F1 ( x) =

f 1 ( x) d x =

x2 + 3 x + 2 d x =

( x + 1)( x + 2) d x =

x3 3 x3

+
− 2x + C.
3
2

x3 3 x3
+
− 2x
(1).
3
2
x3 x2
Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x =
x2 + x2 − 2 d x =
+
− 2x + C.
3
2
x3 x2
Vì F2 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F2 ( x) = + − 2 x
(2).
3
2

x=0
3 x2
x2
+ 2x =
− 2 x ⇔ x2 + 4 x = 0 ⇔ 
Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔

2
2
x = −4.

Vì F1 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F1 ( x) =

Khi đó 20 + 2−4 =

17
.
16
1
x

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). f ( x) = x2 −3 x+ ⇒
F ( x) =

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th.s Nguyễn Chín Em

7

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

x3 3 2
− x + ln | x| + C

3 2

ĐS:
Lời giải: Ta có F ( x) =

x2 − 3 x +

1
x3 3 2
dx =
− x + ln | x| + C .
x
3 2

Bài 3. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định).
1 f ( x) = 3 x2 +

1
− 2 ⇒ F ( x) =
x

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: x3 + ln | x| − 2 x + C
✍ Lời giải.
3 x2 +

Ta có F ( x) =
2 f ( x) = 3 x2 −

1
− 2 d x = x3 + ln | x| − 2 x + C .
x

2 1
−
⇒ F ( x) =
x x2

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
x

ĐS: x3 − 2 ln | x| + + C
✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
3 f ( x) =

3 x2 −

2 1
1
− 2 d x = x3 − 2 ln | x| + + C .
x x
x

x2 − 3 x + 1
⇒ F ( x) =
x

x2 − 3 x + 1
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x

=..........................................................................................
x2
ĐS:
− 3 x + ln | x| + C
2

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
4 f ( x) =

x2 − 3 x + 1
dx =
x

2 x4 − x2 − 3 x
⇒ F ( x) =
x2

x−3+

x2
1
dx =
− 3 x + ln | x| + C .
x
2

2 x4 − x2 − 3 x
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2

=..........................................................................................
2 x3
ĐS:
− x − 3 ln | x| + C
3

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
5 f ( x) =

2 x4 − x2 − 3 x
dx =
x2

2 x2 − 1 −

3
2 x3
dx =
− x − 3 ln | x| + C .
x
3

1
...............................................................................

2x − 1
1
ĐS: ln |2 x − 1| + C .
2

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
6 f ( x) =

1
1
dx =
2x − 1
2

d(2 x − 1) 1
= ln |2 x − 1| + C .
2x − 1
2

1
...............................................................................
3 − 4x
1
ĐS: − ln |3 − 4 x| + C .
4

✍ Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

8

/>

/>
1
1
dx = −
3 − 4x
4

Ta có F ( x) =
7 f ( x) =

Chương 3 - Giải tích 12

d(3 − 4 x)
1
= − ln |3 − 4 x| + C .
3 − 4x
4

5
...............................................................................
3x + 1
5
ĐS: ln |3 x + 1| + C.
3

✍ Lời giải.

5
5
dx =
3x + 1
3

Ta có F ( x) =
8 f ( x) =

d(3 x + 1) 5
= ln |3 x + 1| + C .
3x + 1
3

3
...............................................................................
2 − 4x
3
ĐS: − ln |2 − 4 x| + C.
4

✍ Lời giải.
3
3
dx = −
2 − 4x
4

Ta có F ( x) =
9 f ( x) =

d(2 − 4 x)
3
= − ln |2 − 4 x| + C .
2 − 4x
4

2 3
2
+ + 2 ......................................................................
5 − 2x x x
3
ĐS: − ln |5 − 2 x| + 2 ln | x| − + C.
x

✍ Lời giải.
2
2 3
+ + 2 dx = −
5 − 2x x x

Ta có F ( x) =
3
+ C.
x
10 f ( x) =

d(5 − 2 x)
+2
5 − 2x

1
dx + 3
x

1
d x = − ln |5 − 2 x| + 2 ln | x| −
x2

5 2
4
+ − 2 ......................................................................
2x + 1 x x
2
ĐS: 2 ln |2 x + 1| + 5 ln | x| + + C.
x

✍ Lời giải.
5 2
4
+ − 2 dx = 2
2x + 1 x x

Ta có F ( x) =
2
+ C.
x
11 f ( x) =

12

( x − 1)

+

2

d(2 x + 1)
+5
2x + 1

1
dx − 2
x

1
d x = 2 ln |2 x + 1| + 5 ln | x| +
x2

2
......................................................................
2x − 3
12
ĐS: −
+ ln |2 x − 3| + C.
x−1

✍ Lời giải.
12

Ta có F ( x) =

12 f ( x) =

+

2

( x − 1)

6
2

(3 x − 1)

−

2
d x = 12
2x − 3

( x − 1)−2 d( x − 1) +

d(2 x − 3)
12
=−
+ ln |2 x − 3|+ C .
2x − 3
x−1

9

....................................................................
3x − 1
2
ĐS: −
− 3 ln |3 x − 1| + C.
3x − 1

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
1| + C .

Th.s Nguyễn Chín Em

6
2

(3 x − 1)

−

9
dx = 2
3x − 1

(3 x − 1)−2 d(3 x − 1) − 3

9

d(3 x − 1)
2

=−
− 3 ln |3 x −
3x − 1
3x − 1

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

1
1
−
x (2 − x)2

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). f ( x) = +

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 x ⇒ F ( x) =

ĐS: ln | x| −
Lời giải: Ta có F ( x) =

1
1
1
+
− x2 + C .
− 2 d x = ln | x| −

2
x (2 − x)
x−2

1
− x2 + C
x−2

Bài 4. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định).
1

2

4

1 f ( x) = 3 − 2 + 4 ⇒ F ( x) =
x
x
x

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: −

1
2
4
+ − 3 +C
2
x 3x

2x

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =
2 f ( x) =

1
2
4
1
2
4
− 2 + 4 dx = − 2 + − 3 + C.
3
x 3x
x
x
x
2x

2
⇒ F ( x) =
(2 x − 1)3

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: −

1
+C

2(2 x − 1)2

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

1
2
dx = −
+ C.
3
(2 x − 1)
2(2 x − 1)2

Bài 5. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k.
1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1
thỏa mãn F (1) = 2 ln 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x − 5
1
1
ĐS: F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3
2
2

✍ Lời giải.
1
1

d x = ln |2 x − 5| + C .
2x − 5
2
1
1
1
Vì F (1) = 2 ln 3 nên C = ln 3. Suy ra F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3.
2
2
2

Ta có F ( x) =

2

f ( x) d x =

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

5
thỏa mãn F (2) = 3 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 − 10 x
1
1
ĐS: F ( x) = − ln |10 x − 2| + ln 18 + 3 ln 2
2
2

✍ Lời giải.
5

1
d x = − ln |10 x − 2| + C .
2 − 10 x
2
1
1
1
Vì F (2) = 3 ln 2 nên C = ln 18 + 3 ln 2. Suy ra F ( x) = − ln |10 x − 2| + ln 18 + 3 ln 2.
2
2
2

Ta có F ( x) =

3

f ( x) d x =

Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
và F (2) = 1. Tính F (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x−1
ĐS: F (3) = ln 2 + 1

✍ Lời giải.
1
d x = ln | x − 1| + C .
x−1
Vì F (2) = 1 nên C = 1. Suy ra F ( x) = ln | x − 1| + 1. Do đó F (3) = ln 2 + 1.

Ta có F ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

f ( x) d x =

10

/>

/>
4

Chương 3 - Giải tích 12

Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
và F (0) = 2. Tính F ( e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x + 1
ĐS: F ( e) = ln (2 e + 1) + 2

✍ Lời giải.
1

d x = ln |2 x + 1| + C .
Ta có F ( x) = f ( x) d x =
2x + 1
Vì F (0) = 2 nên C = 2. Suy ra F ( x) = ln |2 x + 1| + 2. Do đó F ( e) = ln (2 e + 1) + 2.

5

cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( x) =

1
và f (1) = 1. Tính f (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x − 1
ĐS: f (5) = 2 ln 3 + 1

✍ Lời giải.
1
d x = ln |2 x − 1| + C .
2x − 1
Vì f (1) = 1 nên C = 1. Suy ra f ( x) = ln |2 x − 1| + 1. Do đó f (5) = 2 ln 3 + 1.

Ta có f ( x) =

6

f ( x) d x =

2

Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f ( x) =
, f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức
2x − 1
P = f (−1) + f (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f (−1) + f (3) = 3 + ln 15.
✍ Lời giải.
Ta có f ( x) =

f ( x) d x =

2
d x = ln |2 x − 1| + C , với mọi x.
2x − 1

1
. Ta có f (0) = 1, suy ra C = 1.
2
1
Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 1, với mọi x ∈ −∞; . Suy ra f (−1) = 1 + ln 3.
2
1
Xét trên ; +∞ . Ta có f (1) = 2, suy ra C = 2.
2

Xét trên −∞;

1
; +∞ . Suy ra f (3) = 2 + ln 5.
2
Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15.

Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 2, với mọi

Mấu chốt của bài toán là tính chất của hàm f ( x), hàm f ( x) là hàm phân nhánh (hàm cho bởi nhiều
biểu thức) thường ít xuất hiện trong các bài toán tích phân, nguyên hàm thông thường. Nắm được điểm
này, ta có thể viết ra biểu thức f ( x) một cách rõ ràng, và tìm được các giá trị cụ thể của C .
7

2

Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f ( x) =
, f (0) = 3 và f (2) = 4. Giá trị của biểu thức
x−1
P = f (−2) + f (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f (−2) + f (5) = 5 + 2 ln 2 + ln 3
✍ Lời giải.
Ta có f ( x) =

f ( x) d x =

2
d x = ln | x − 1| + C , với mọi x.
x−1

Xét trên (−∞; 1). Ta có f (0) = 3, suy ra C = 1.
Do đó, f ( x) = ln | x − 1| + 1, với mọi x ∈ (−∞; 1). Suy ra f (−2) = 1 + ln 3.
Xét trên (1; +∞). Ta có f (2) = 4, suy ra C = 4.
Do đó, f ( x) = ln | x − 1| + 4, với mọi
Th.s Nguyễn Chín Em

1
; +∞ . Suy ra f (5) = 4 + 2 ln 2.
2
11

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

Vậy f (−2) + f (5) = 5 + 2 ln 2 + ln 3.
8

6

Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f ( x) =
, f (−2) = 2 và f (1) = 1. Giá trị của biểu thức
3x − 1
P = f (−1) + f (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f (−1) + f (4) = 3 + 2 ln 2 − ln 7 + 2 ln 11
✍ Lời giải.
Ta có f ( x) =

f ( x) d x =

6
d x = 2 ln |3 x − 1| + C , với mọi x.
3x − 1

1
. Ta có f (−2) = 2, suy ra C = 2 − ln 7.
3
1
Do đó, f ( x) = 2 ln |3 x − 1| + 2 − ln 7, với mọi x ∈ −∞; . Suy ra f (−1) = 2 + 4 ln 2 − ln 7.
3
1
Xét trên ; +∞ . Ta có f (1) = 1, suy ra C = 1 − 2 ln 2.

3
1
Do đó, f ( x) = 2 ln |3 x − 1| + 1 − 2 ln 2, với mọi ; +∞ . Suy ra f (4) = 1 + 2 ln 11 − 2 ln 2.
3

Xét trên −∞;

Vậy f (−1) + f (4) = 3 + 2 ln 2 − ln 7 + 2 ln 11.
Bài 6.
1

Cho hàm số f ( x) xác định trên R thỏa mãn f ( x) =

1
, f (−1) = 1, f (1) = 0 và f (2) = 0. Giá trị của
x2

biểu thức f (−2) bằng
A. 1 + 2 ln 2.

B. 2 + ln 2.

C. 3 + ln 2.

D. ln 2.
ĐS: f (−2) = 1 + 2 ln 2.

✍ Lời giải.
1
1

d x = − + C1 .
2
x
x

 − ln( x) + C 1 x + C 21 khi x > 0
1
Suy ra, f ( x) = f ( x) d x =
− + C 1 d x = − ln | x|+ C 1 x + C 2 =
 − ln(− x) + C x + C khi x < 0.
x
1
22
Với f (−1) = 1, f (1) = 0 và f (2) = 0, ta có hệ






f
(
−
1)
=
ln(1)
+
C
·
(

−
1)
+
C
=
1
−
C
+
C
=
1
C 1 = − ln 2



1
22
1
22






⇔ C 1 + C 21 = 0
⇔ C 21 = ln 2
f (1) = ln(1) + C 1 · (1) + C 21 = 0









 f (2) = ln(2) + C · (2) + C = 0
2C + C = − ln(2) 
C = 1 + ln 2.
1
21
1
21
22

 − ln x − x ln 2 + ln 2
khi x > 0
Khi đó, f ( x) =
 − ln(− x) − x ln 2 + 1 + ln 2 khi x < 0.
Vậy f (−2) = 1 + 2 ln 2.

Ta có f ( x) =

f ( x) d x =

Chọn đáp án A
2

Cho hàm số f ( x) xác định trên R\{2} thỏa f ( x) = |2 x − 4|, f (1) = 1 và f (3) = −2. Giá trị của biểu thức

f (−1) + f (4) bằng bao nhiêu?

A. −6.

B. 2.

C. −14.

D. 0.
ĐS: −6.

✍ Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

12

/>

/>
Ta có |2 x − 4| =

Chương 3 - Giải tích 12


2 x − 4 khi x > 2

4 − 2 x khi x < 2.

 x2 − 4 x + C 1 khi x > 2
Khi đó, f ( x) = f ( x) d x =

4 x − x2 + C khi x < 2.
2




2
 f (3) = −2 3 − 4 · 3 + C 1 = −2 C 1 = 1
 x2 − 4 x + 1 khi x > 2
mà
⇔
⇔
⇔ f ( x) =
 f (1) = 1
4 · 1 − 1 2 + C = 1
C = −2
4 x − x2 − 2 khi x < 2.
2
2

Vậy f (−1) + f (4) = 4 · (−1) − (−1)2 − 2 + [42 − 4 · 4 + 1] = −6.
Chọn đáp án A
3

Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ {−1; 1} thỏa f ( x) =

2

x2 − 1

; f (−3) + f (3) = 0 và f −

1
1
+f
= 2.
2
2

Tính giá trị của biểu thức P = f (−2) + f (0) + f (4).
A. 2 ln 2 − 2 ln 3 − ln 5.
C. 2 ln 3 − ln 5.

B. 2 ln 3 − ln 5 + 1.
D. 2 ln 3 − ln 5 + 6.
ĐS: 2 ln 3 − ln 5 + 1.

✍ Lời giải.

1
1
1
dx =
−
d x = ln | x − 1| − ln | x + 1| + C.
x−1 x+1
2

x−1



ln
+ C 1 khi x > 1



x+1



x−1
1− x
Hay f ( x) = ln
+ C = ln
+ C 2 khi − 1 < x < 1

x+1
x
+
1




x−1


 ln
+ C 3 khi x < −1.
x+1

f ( x) =

f ( x) d x =

2

x2 − 1

Theo đề ta có



1



 ln 2 + C 1 + ln + C 3 = 0 C 1 + C 3 = 0
 f (−3) + f (3) = 0
2
⇔
⇔
1
1
1

 C = 1.

f − + f
=2 

2
 ln 3 + C 2 + ln + C 2 = 2
2
2
3

3
5

Do đó f (−2) + f (0) + f (4) = ln 3 + C3 + C2 + ln + C1 = ln 3 + ln 3 − ln 5 + 1 = 2 ln 3 − ln 5 + 1.
Chọn đáp án B
4

4x + 1
3
; f (1) + f (−2) = 0; f
= ln 20
2
2
2x + x − 1
1
và f (0) + f (1) = 0. Tính giá trị của biểu thức f (−3) + f (3) + f − .
2
7
.
B. − ln 7.
A. ln
2
C. ln 2.
D. ln 14.

7
ĐS: ln
.
2

Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ −1;

1
2

thỏa f ( x) =

✍ Lời giải.

4x + 1
1
f ( x) d x =
dx =
d(2 x2 + x − 1) = ln |2 x2 + x − 1| + C .
2
2
2
x
+
x
−
1
2
x
+

x
−
1


ln(2 x2 + x − 1) + C 1 khi x < −1





1
2
Khi đó, f ( x) = ln(1 − x − 2 x ) + C2 khi − 1 < x < 2




1

 ln(2 x2 + x − 1) + C 3 khi x > .
2

Ta có f ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

13

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12








 f (1) + f (−2) = 0 
C 1 = − ln 40
C
+
C
=
−
ln
10
ln
2
+
C
+
ln
5
+
C
=

0




1
3
3
1






 3

⇔ C 2 = − ln 8
⇔ C 3 = ln 4
Mà f
= ln 20
⇔ ln 5 + C 3 = ln 20




2








C = ln 4.
C + C = − ln 2

 ln 1 + C + ln 2 + C = 0 

3
2
3
2
3
f (0) + f (1) = 0
1
7
Khi đó, f (−3) + f (3) + f − = ln 14 + C1 + ln 20 + C3 + C2 = ln 14 − ln 40 + ln 20 + ln 4 − ln 8 = ln
.
2
2

Chọn đáp án A

5

Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ {1; 2} thỏa f ( x) = | x − 1| + | x − 2|; f (0) + f
giá trị của biểu thức P = f (−1) + f

4

= 0 và f (4) = 2. Tính
3

3
+ f (3) bằng
2

3
.
26
3
C. − .
2

35
.
6
5
D. − .
36

A. −

B. −

ĐS: −
✍ Lời giải.

35
.

6



3 − 2 x khi x < 1



Ta có f ( x) = | x − 1| + | x − 2| = 1
khi 1 < x < 2



2 x − 3 khi x > 2.

2

3 x − x + C 1 khi x < 1


Khi đó f ( x) = f ( x) d x = x + C2
khi 1 < x < 2



 x2 − 3 x + C khi x > 2.
3




4

C 1 + 4 + C 2 = 0 
C 1 + C 2 = − 4
 f (0) + f
=0 
3
3
3
⇔
⇔
Mà



4 + C = 2 .

C = −2
f (4) = 2
3
3
3
3
5 4
35
Suy ra f (−1) + f
+ f (3) = (−4 + C 1 ) + + C 2 + C 3 = − − − 2 = − .
2
2
2 3

6

Chọn đáp án B

6

Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ {0} thỏa f ( x) = x ln | x|; f (−1) =
biểu thức P = f (−2) + f (1).
✍ Lời giải.

 x ln x khi x > 0
f ( x) =

3
và f (2) = −1. Tính giá trị của
4
1
ĐS: P = − .
4

.

 x ln(− x) khi x < 0


1


 u = ln x
 du = d x

x
Đặt
⇒
2
 dv = x d x 
x

v = .
2
x2
x
Khi đó, x ln x d x = ln x − + C .
2
2
Th.s Nguyễn Chín Em

14

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

Tương tự ta có
 2
x
x


 ln x − + C 1 khi x > 0

2
f ( x) = 22

x
x


ln(− x) + + C 2 khi x < 0
2
2

1
3
5
3
⇔ − + C2 = ⇒ C2 =
4
2
4
4
và f (2) = −1 ⇔ 2 ln 2 − 1 + C1 = −1 ⇔ C1 = −2 ln 2.
1
3 5
1
Do đó, P = f (−2) + f (1) = − ln 2 − 1 + C2 − + C1 = 2 ln 2 − + − 2 ln 2 = − .
2
2 4
4

Mà f (−1) =

7

Cho f ( x) = 2 x + 1; f (1) = 5 và phương trình f ( x) = 5 có hai nghiệm x1 ; x2 . Tính tổng log2 | x1 | +
ĐS: 1

log2 | x2 |.

✍ Lời giải.
f ( x) =

f ( x) d x =

(2 x + 1) d x = x2 + x + C .

Mà f (1) = 5 ⇔ 2 + C = 5 ⇔ C = 3.
Mặt khác f ( x) = 5 có hai nghiệm x1 ; x2 , nên x2 + x + 3 = 5 có hai nghiệm 1; −2.
Suy ra log2 | x1 | + log2 | x2 | = log2 | x1 · x2 | = log2 |−2| = 1.
8

2
1
1
−
thỏa f (2) = − . Biết phương trình f ( x) = −1 có nghiệm duy nhất
2
2
3
(2 x − 1)
( x − 1)

x = x0 . Tính 2017 x0 .
ĐS: 1

Cho f ( x) =
✍ Lời giải.

1
2
1
1
+
+ C.
−
dx = −
2
2
2x − 1 x − 1
(2 x − 1)
( x − 1)
1
1
1
Mà f (2) = − ⇔ − + 1 + C1 = − ⇔ C1 = −1.
3
3
3
1
1
Phương trình f ( x) = −1 ⇔ −
+

− 1 = −1 có nghiệm duy nhất x = 0, suy ra 2017 x0 =
2x − 1 x − 1
20070 = 1.

Ta có f ( x) =

9

f ( x) d x =

Cho hàm số có đạo hàm cấp hai là f ( x) = 12 x2 + 6 x − 4 và thỏa f (0) = 1, f (1) = 3. Tính giá trị của
ĐS: −3

hàm số f ( x) tại x = −1.
✍ Lời giải.
Ta có f ( x) =

f ( x) d x =

(12 x2 + 6 x − 4) d x = 4 x3 + 3 x2 − 4 x + C 1 .

f ( x) = f ( x) d x = (4 x3 + 3 x2 + C 1 ) d x = x4 + x3 − 2 x2 + C 1 x + C 2 .



 f (0) = 1 C 2 = 1
C 1 = 2
Mà
⇔
⇔

.
 f (1) = 3 C + C = 3 C = 1
1
2
2

Suy ra f ( x) = x4 + x3 − 2 x2 + 2 x + 1 ⇒ f (−1) = −3.
10

b

Tìm hàm số f ( x), biết f ( x) = ax + 2 , f (1) = 0, f (1) = 4 và f (−1) = 2. Tính f (2).
x
✍ Lời giải.

ĐS: 5

b
b
a
f ( x) = f ( x) d x =
ax + 2 d x = x2 − + C .
2
x
x




f (1) = 0 ⇔ a + b = 0

a=1








a
Ta có f (1) = 4 ⇔ 2 − b + C = 4 ⇔ b = −1 .






5
a

 f (−1) = 2 ⇔ + b + C = 2 
c =
2
2
1 2 1 5
Suy ra, f ( x) = x + + ⇒ f (2) = 5.
2
x 2

Th.s Nguyễn Chín Em

15

/>

/>11

Chương 3 - Giải tích 12

Cho hàm số f ( x) xác định trên [−1; 2] thỏa f (0) = 1 và f 2 ( x) · f ( x) = 1 + 2 x + 3 x2 . Hãy tìm giá trị nhỏ
ĐS: m = f (−1) = 3 −2 và

nhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên [−1; 2].
3

M = f (2) =

43

✍ Lời giải.
f 2 ( x) · f ( x) d x =

(1 + 2 x + 3 x2 ) d x ⇔

mà f (0) = 1 ⇔ f 3 (0) = 1 ⇔ C =

1 3
f ( x) = x3 + x2 + x + C ⇔ f 3 ( x) = 3( x3 + x2 + x + C )
3

1
Suy ra, f 3 ( x) = 3 x3 + 3 x2 + 3 x + 1 ⇒ f ( x) =
3

3

3 x3 + 3 x2 + 3 x + 1.

1 + 2 x + 3 x2
> 0 ∀ x, nên f ( x) là hàm đồng biến.
f 2 ( x)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = f (−1) = 3 −2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M = f (2) =

Mà f ( x) =

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa f ( x) =

3

43.

n

n

ax + b ⇒ F ( x) =
ax + b d x = . . ..
n
n
· (ax + b) ax + b + C

ĐS: F ( x) =
( n + 1)a
n
Lời giải: Đặt t = ax + b ⇒ t n = ax + b ⇒ n · t n−1 dt = a · dx.
n · t n−1 · t
n
n
n
Suy ra F ( x) =
dt =
· t n+1 + C =
· (ax + b) ax + b + C.
a
( n + 1)a
( n + 1)a
n
n
n
ax + b d x =
· (ax + b) ax + b + C.
Nhận xét.
( n + 1)a
2
• Với n = 2, suy ra F ( x) =
ax + b d x =
(ax + b) ax + b + C .
3a
3
3
3

• Với n = 3, suy ra F ( x) =
ax + b d x =
(ax + b) ax + b + C .
4a

Bài 7. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k.
1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x thỏa mãn F (4) =

19
.
3

2
3

ĐS: F ( x) = x x + 1.
✍ Lời giải.
2
x d x = x x + C.
3
19
2
19
mà F (4) =
⇒ 4 4+C =
⇒ C = 1.
3
3

3
2
Vậy F ( x) = x x + 1.
3

F ( x) =

2

4
3

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 x − 1 thỏa mãn F (1) = .
1
3

ĐS: F ( x) = (2 x − 1) 2 x − 1 + 1.
✍ Lời giải.
2
(2 x − 1) 2 x − 1 + C.
3·2
4
1
4
mà F (1) = ⇒ (2 · 1 − 1) 2 · 1 − 1 + C = ⇒ C = 1.
3
3
3
1
Vậy F ( x) = (2 x − 1) 2 x − 1 + 1.

3

F ( x) =

3

2x − 1 dx =

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x − 5 thỏa mãn F

9
= 2.
4
1
6

2
3

ĐS: F ( x) = (4 x − 5) 4 x − 5 + .
Th.s Nguyễn Chín Em

16

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

✍ Lời giải.

2
(4 x − 5) 4 x − 5 + C.
3·4 …
9
1
9
9
2
mà F
=2⇒
4· −5
4· −5+C = 2 ⇒ C = .
4
6
4
4
3
2
1
Vậy F ( x) = (4 x − 5) 4 x − 5 + .
6
3

F ( x) =

4

2x − 1 dx =

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 5 − 2 x thỏa mãn F

1
7
=− .
2
3
1
3

1
3

ĐS: F ( x) = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + .
✍ Lời giải.
2
1
(5 − 2 x) 5 − 2 x + C = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + C.
3 · (−2) …
3
1
1
7
1
1
7
1
mà F
5−2· +C = − ⇒ C = .
= − ⇒ − 5−2·
2

3
3
2
2
3
3
1
1
Vậy F ( x) = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + .
3
3

F ( x) =

5

5 − 2x dx =

5
3

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 − x thỏa mãn F (−3) = .
2
3

ĐS: F ( x) = − (1 − x) 1 − x + 7.
✍ Lời giải.
2
2
(1 − x) 1 − x + C = − (1 − x) 1 − x + C.

3 · (−1)
3
5
2
5
mà F (−3) = ⇒ − (1 − (−3)) 1 − (−3) + C = ⇒ C = 7.
3
3
3
2
Vậy F ( x) = − (1 − x) 1 − x + 7.
3

F ( x) =

6

1 − x dx =

1
4

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 2 x − 4 thỏa mãn F (−2) = .
3
8

ĐS: F ( x) = (2 x − 4) 3 2 x − 4 −

23
.

4

✍ Lời giải.
3
3
3
3
(2 x − 4) 2 x − 4 + C = (2 x − 4) 2 x − 4 + C
4·2
8
1
3
1
23
mà F (−2) = ⇒ (2 · (−2) − 4) 3 2 · (−2) − 4 + C = ⇒ C = − .
4
8
4
4
3
23
3
Vậy F ( x) = (2 x − 4) 2 x − 4 − .
8
4

F ( x) =

7

3

2x − 4 dx =

Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

3

7
x − 2 thỏa mãn F (3) = . Tính giá trị biểu thức
4

T = 2log13 [F(10)] + 3log13 [F(−6)] .

ĐS: T = 2log13 12 + 3log13 12
✍ Lời giải.
3
3
x − 2 d x = ( x − 2) x − 2 + C.
4
7
3
7
mà F (3) = ⇒ (3 − 2) 3 3 − 2 + C = ⇒ C = 1.
4
4
4

F ( x) =

3

Th.s Nguyễn Chín Em

17

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

3
4

Vậy F ( x) = ( x − 2) 3 x − 2 + 1, nên F (10) = 13; F (−6) = 13.
Vậy T = 2log13 [F(10)] + 3log13 [F(−6)] = 2log13 12 + 3log13 12 .
8

8
5

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 3 − 5 x thỏa mãn F (−1) = − .
ĐS: F ( x) = −

3
4
3
(3 − 5 x) 3 − 5 x + .
20
5

✍ Lời giải.
3
3
3
3
(3 − 5 x) 3 − 5 x + C = − (3 − 5 x) 3 − 5 x + C
4 · (−5)
20
8
3
4
8
3
mà F (−1) = − ⇒ − (3 − 5 · (−1)) 3 − 5 · (−1) + C = − ⇒ C = .
5
20
5
5
3
4
3
Vậy F ( x) = − (3 − 5 x) 3 − 5 x + .
20
5
3

F ( x) =

9

Cho f ( x) =

3 − 5x dx =

1
n

ax + b

1

⇒ F ( x) =

n

ax + b

d x = . . ..

ĐS: F ( x) =

ax + b
n
· n
+ C.
( n − 1)a
ax + b

✍ Lời giải.

n

ax + b ⇔ t n = ax + b ⇔ n · t n−1 d t = a d x.
n · t n−1
n
n
ax + b
1
n · t n−2
dx =
+
Suy ra, F ( x) = n
dt =
dt =
· t n−1 +C =
·n
at
a
( n − 1)a
( n − 1)a ax + b
ax + b
C.

Đặt t =

Nhận xét.

1
n

ax + b

dx =

• Với n = 2, suy ra F ( x) =
• Với n = 3, suy ra F ( x) =

10

ax + b
n
· n
+C .
( n − 1)a
ax + b
2
1
d x = · ax + b + C .
a
ax + b
3 3
1
· (ax + b)2 + C .
dx =
3
2
a
ax + b

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

2
4x − 1

thỏa mãn F (3) = 3 11.
ĐS: F ( x) = 4 x − 1 + 2 11.

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

2·2
4x − 1 + C =
4
4x − 1
4 · 3 − 1 + C = 3 11 ⇔ C = 2 11.

f ( x) d x =

Mà F (3) = 3 11 ⇔

2

dx =

4 x − 1 + C.

Vậy F ( x) = 4 x − 1 + 2 11.
11

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1
3x − 1

thỏa mãn F (2) = 5.
ĐS: F ( x) =

2
1
3x − 1 +
5.
3
3

✍ Lời giải.
2
3 x − 1 + C.
3
3x − 1
2
1
Mà F (2) = 5 ⇔
3·2−1+C = 5 ⇔ C =
5.
3
3
2
1
Vậy F ( x) =
3x − 1 +

5.
3
3

Ta có F ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

f ( x) d x =

2

dx =

18

/>

/>
12

Chương 3 - Giải tích 12

1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1 − 2x

thỏa mãn F −

3
= 2018.
2
ĐS: F ( x) = − 1 − 2 x + 2020.

✍ Lời giải.
Ta có F ( x) =

1

f ( x) d x =

dx =

2
1 − 2 x + C = − 1 − 2 x + C.
−2

… 1 − 2x
−3
3
+ C = 2018 ⇔ C = 2020.
Mà F − = 2018 ⇔ − 1 − 2 ·
2
2
Vậy F ( x) = − 1 − 2 x + 2020.

13

Biết

dx

x+2+ x+1
bất kỳ. Tính S = 3a + b.

= a( x + 2) x + 2 + b( x + 1) x + 1 + C với a, b là các số hữu tỷ và C là hằng số

4
3

ĐS: S = .
✍ Lời giải.
F ( x) =

dx

( x + 2) − ( x + 1)

dx =

( x + 2 − x + 1) · ( x + 2 + x + 1)

x+2+ x+1
x+2+ x+1
2
2
F ( x) = ( x + 2 − x + 1) d x = ( x + 2) x + 2 − ( x + 1) x + 1 + C.
3

3
2
4
2
Ta có a = ; b = − nên S = 3a + b = .
3
3
3

14

x+2+ x+1

=

Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1

x+ x+1

dx

2
3

thỏa F (0) = . Tính giá trị của biểu thức

T = 3 [F (3) + F (2)] + 4 2.

ĐS: T = 16.
✍ Lời giải.
F ( x) =

dx

( x + 1) − x

dx =

( x + 1 − x) · ( x + 1 + x)

dx
x+ x+1
x+2+ x+1
2
2
F ( x) = ( x + 1 − x) d x = ( x + 1) x + 1 − x x + C.
3
3
2
2
2
2
Ta có F (0) = ⇔ (0 + 1) 0 + 1 − 0 0 + C = ⇔ C = 0,
3
3
3
3
2

2
2
2
T = 3 [F (3) + F (2)] + 4 2 = 3 (3 + 1) 3 + 1 − 3 3 + (2 + 1) 2 + 1 − 2 2 + 4 2 = 16.
3
3
3
3

x+ x+1

=

Ví dụ 6. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

3

thỏa F (1) = 2.
2x + 1 − 2x − 2
1
1
ĐS: F ( x) = (2 x + 1) 2 x − 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + 2 − 3
3
3

Th.s Nguyễn Chín Em

19

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

Lời giải: Ta có:
F ( x) =

3
2x + 1 − 2x − 2

2x + 1 + 2x − 2

3

dx =

2x + 1 − 2x − 2
3

=

2x + 1 + 2x − 2
3

2x + 1 + 2x − 2

dx

dx

2x + 1 + 2x − 2 dx

=

2x + 1 dx +

=

2x − 2 dx

1
1
2 x + 1 d(2 x + 1) +
2 x − 2 d(2 x − 2)
2
2
1
1
= (2 x + 1) 2 x − 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + C.
3
3
=

Vì F (1) = 2 nên suy ra

3 + C = 2 ⇒ C = 2 − 3.
1
1
Vậy F ( x) = (2 x + 1) 2 x + 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + 2 − 3.
3

3

Bài 8.

1

9x

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

thỏa F (0) = 10.
x + 10 + 10 − 8 x
2
1
13
ĐS: F ( x) = ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x −
10
3
12
2

✍ Lời giải.

F ( x) =

9x

x + 10 + 10 − 8 x

9x

dx =
=

x + 10 + 10 − 8 x
9x

x + 10 − 10 − 8 x
9x

x + 10 − 10 − 8 x

dx

dx

x + 10 − 10 − 8 x d x

=
=

x + 10 − 10 − 8 x

x + 10 d( x + 10) +

1
8

10 − 8 x d(10 − 8 x)

2
1
= ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x + C.
3
12

15
13
10 + C = 10 ⇒ C = −
10.
2
2
2
1
13
Vậy F ( x) = ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x −
10.
3
12
2

Vì F (0) = 10 nên suy ra

2

6x

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

thỏa F (2) = 1.
3x + 7 − 7 − 3x
2
2
11 26
ĐS: F ( x) = (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + −
13
9
9
9
9
20

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

✍ Lời giải.

F ( x) =

6x
3x + 7 − 7 − 3x

6x

dx =

3x + 7 + 7 − 3x

3x + 7 − 7 − 3x
6x

=

3x + 7 + 7 − 3x

3x + 7 + 7 − 3x
6x

dx

dx

3x + 7 + 7 − 3x dx

=

1
1
3 x + 7 d(3 x + 7) −
7 − 3 x d(7 − 3 x)
3
3
2
2
= (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + C.
9

9

=

2
9

2
9

11 26
−
13.
9
9
2
2
11 26
Vậy F ( x) = (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + −
13.
9
9
9
9

Vì F (2) = 1 nên suy ra 13 13 − + C = 1 ⇒ C =

3

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1
( x + 1) x − x x + 1

thỏa F (2) = 2 2.
ĐS: F ( x) = 2 x + 2 x + 1 − 2 3

✍ Lời giải.

F ( x) =

1
( x + 1) x − x x + 1

1

dx =

x x+1

dx

x+1− x

x+1+ x

=

x x+1

x+1− x

x+1+ x

dx

x+1+ x

dx
x x+1
1
1
+
dx
x
x+1
1
1
dx +
d( x + 1)
x
x+1

=
=
=

= 2 x + 2 x + 1 + C.

Vì F (2) = 2 2 nên suy ra 2 2 + 2 3 + C = 2 2 ⇒ C = −2 3.

Vậy F ( x) = 2 x + 2 x + 1 − 2 3.

4

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1
( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2

thỏa F (3) = 4.

ĐS: F ( x) = x + x + 2 − 1
Th.s Nguyễn Chín Em

21

/>

/>
Chương 3 - Giải tích 12

✍ Lời giải.
F ( x) =

1
( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2

1

dx =

x+1 x+2

x+2− x+1

dx

x+2− x+1

=

x+2 x+1

x+2− x+1

x+2+ x+1

dx

x+2− x+1

dx
x+2 x+1
1
1
−
dx
x+1
x+2
1

1
d( x + 1) −
d( x + 2)
x+1
x+2

=
=
=

= 2 x + 1 − 2 x + 2 + C.

Vì F (3) = 4 nên suy ra 4 − 2 5 + C = 4 ⇒ C = 2 5.
Vậy F ( x) = 2 x + 1 − 2 x + 2 + 2 5.
5

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

1
( x + 2) x − x x + 2

thỏa F (1) = 3.

ĐS: F ( x) = 2 x + 1 − 2 x + 2 + 2 5
✍ Lời giải.
F ( x) =

1
( x + 2) x − x x + 2

1

dx =

x x+2

=
=
=

dx

x+2+ x

=
=

x+2− x

x+2 x
x+2+ x
2 x+2 x
1 1
1
+
2 x 2
1
dx +
2 x
2

x+2− x

x+2+ x

dx

dx
1

x+2
1
x+2

dx
d( x + 2)

x + x + 2 + C.

Vì F (1) = 3 nên suy ra 1 + 3 + C = 3 ⇒ C = −1.
Vậy F ( x) = x + x + 2 − 1.
Ví dụ 7. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x + sin x thỏa mãn điều kiện F (0) = 19.
1
2

ĐS: F ( x) = x2 − cos x + 20
1
( x + sin x) d x = x2 − cos x + C .
2
Vì F (0) = 19 nên suy ra 0 − 1 + C = 19 ⇒ C = 20.

1
Vậy F ( x) = x2 − cos x + 20.
2

Lời giải: Ta có: F ( x) =

Bài 9. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k
1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x − cos x thỏa mãn điều kiện F

Th.s Nguyễn Chín Em

π

= 0.
4
ĐS: F ( x) = − cos x − sin x + 2

22

/>