Các bài giảng về phương trình lượng giác

r


N guyền V ũ L ư ơ n g (C hú biên)
P h ạ m V ăn H ù n g , N g u y ễn N g ọ c T h ắ n g

C Á C BÀI GIÁNG VÊ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG G IÁ C

NHÀ XUẤT BÁN CÍÀO DỤC


62-2005/C X B /l 9-1684/X B G D /G D

M ã số: PTK 6 4 B5


MỚĐẨU

Trong môn T oán, khá nảng liếp thu kiến ihức và vận dụng k iế n thức,
sự thông m inh, tính sá n s tạo của học sinh dược đánh giá thống q u a việc
giải các bài tăp. N h ờ việc giài các bài tập mà học sinh rút ra được các
phương pháp giài, các phép biến đổi hay hoặc nhận dạng nhanh các
dạng bài tập. T u y nhiên quá trình nhận thức đó đòi hỏi nhiều thời gian
và phụ thuộc n h iểu vào níinỉí lực của các em. Chính vì vậy việc hệ
ihống các phương pháp giải, phân loại các dạng bài tập theo nội dung
kiến thức, thống k ẽ các phép biến dổi hay là việc rất cần thiết và cũng
chính là m ục đích củ a cuốn sách này. Khi dọc cuốn sách này c á c bạn
nên đọc kĩ các ví d ụ m inh hoạ đ ể hiểu rõ phương pháp và tự giải các
bài tập trướe khi đ ọ c lời giải. Trong lời giải của một sổ bài tẠp các tác
giã chi dẫn tới c á c phương trình lượng giác cơ bản, phán cò n lại dành

cho bạn đọ c giải q u y ết tiếp. Nội dung cùa cuốn sách dược c h ia thành
các chương sau:
C h ư ơ n g I. M ộ t s ỏ kiên th ứ c cơ h á n về phư ơ ng t r i n h lư ợ n g giác
Trong chương này giới thiệu các phương trình lượng giác c ơ bản, các
bước giải m ột phư ư ng trình lượng giác và các phương pháp giải phương
trình lượng giác.
C h ư ơ n g II. M ột s ỏ d ạ n g p h ư ơ n g tr ìn h lượng giác th ư ờ n g g ậ p
Trong chương n à y giới thiệu m ột sô' dạng phương trình lượng giác
thường gặp và q u e n thuộc. Việc phân loại chi tiết các d ạn g phương
trình này giúp các bạn d ễ dàng nhận dạng phương trình cùng với cách
giãi đơn giản củ a nó.
C h ư ơ n g U I. S ử d u n g c ô n g th ứ c lư ợng giác đ ể giíii m ộ t s ò d ạ n g
p h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iác
Trong chương này, dựa trổn dạc điểm cúa các công thức lượng giác
chúng ta xủy d ự n g các phép biến đổi cụ thể, không thê’ thiếu được khi
giải một sỏ' dạng phương trình. Các dạng phương trình trong chương
này được sắp xếp v à phân loại theo các phép biến đổi đó.
C h ư ơ n g IV . S ử d ụ n g c á c p h é p b iế n đổi đ ại s ố đ ế giải m ộ t s ô d ạ n g
p h ư ư n g t r ì n h lư ợ n g giác
Khi giải m ộ t sô' d ạn g phương trình ta cán có sự kết hợp giữa c á c công
thức lượng giác và các h ằn g đảng Ihức đại sỏ' thì việc sử dụng các hàng
dẳng thức đại sô lại là bước quyết định. Trong chương này tác g iả phân


4
loại một sô’ dạng phương trình lượng giác theo các hàng đ ản g thức hay
các phép biến đổi đại s ố đ ể học sinh dẻ nhận ra cách giải phương trình.
C h ư ư n g V. S ử d ụ n g c á c b ắ t đ ẳ n g th ứ c đ e giải m ột s ỏ (lạn g p h ư ơ n g
tr ìn h lư ợng giác
Trong chương này tác g iả sử dụng các bất đảng thức đại số, lượng giác

cơ bàn đ ể giải m ột sô' d ạn g phương trình. V iộc nhận ra cách giải dựa
vào các bất đẳng thức q u en thuộc sẽ được (ác giả trình bày trong chương
này.
Trong quá trình biên so ạn q u y ến sách này c h ú n g tỏi dã nhận được nhiều
sự dộng viên khích lộ củ a các đồng nghiệp thuộc khối C huyên T oán Tin, Ban chủ nhiệm K hoa Toán - Cơ - T in học, lãnh đạo T rường Đ H K H
T ự nhiên - Đ H Q G H à N ội, Ô n g Trần Xuân Thuận, T ổng g iám đốc liên
hiệp khoa học sản xuất c ô n g nghộ phán m é m (CSE) và chị Đ ạn g Thị
Minh Thu, N hà xuất bàn G iáo dục, người biên tập quyổn sách này.
Nhủn dịp này ch o phép ch ú n g tôi được nói lời cảm ơn chân thành tới
các tập thể và các cá nhân nói trẽn.
Tuy đã hết sức cô' gáng song chác chắn cuốn sách vản cò n khiếm khuyết,
chúng tôi m ong được s ự góp ý của độc giả đẽ’ cuốn sách có nôi d u n g
hoàn hảo hơn. Xin chân thành cảm ơn.
T hư góp ý xin gửi về: K hối phổ thông chuyên Toán - T in - T rường Đại
học Khoa học T ự nhiên - Đại học Q uốc gia H à Nội, 334 Đ ường N guyẻn
Trãi, Q uận Thanh X uân, H à Nội.
Các tác giá


Mục Lục

C hương 1. Một s ố kiến thứ c c ơ bán vể phương trình lượng g iác

9

1.1. Phương trình lượns giác cơ b ả n ..............................................

9

1.1.1. P hư ơng trình sin X = a ..................................................

9

1.1.2. Phương trình c o s x = a .................................................. 12
1.1.3.

Phương trình t g x = a .................................................. 17

1.1.4. Phương trình c o tg X = a .................................................. 20
1.1.5. C ác bước giải c ơ bản m ội phương trình lượng giác

22

1.2. C ác phương pháp giải phương trình lượng g i á c ................. 33
1.2.1.

Phươnẹ pháp biến đổi đảng thức

1.2.2.

Phương pháp s o sánh

..........................33

............................................... 35

1.2.3. Phương pháp xét sự biến t h i ê n .................................... 36
C hương 2. Một s ố d ạ n g p h ư ờ n g trình lượng giác thường g ặ p

41

2.1.

Sử dụng c ô n g thức s in 2 a + cos 2 a = 1 giải m ột sô' dạng
phương trình lượng g i á c ..............................................................41

2.2.

M ột sô' phép đảt ẩn p hụ cơ bản

.............................................. 54

2.2.1. P h ép đ ặt ẩn phụ t = sin X cos X = - sin 2 x
2.2.2.

. . . .

54

Phép đặt ẩn phụ t = c o s 2 x , (|í| < 1 ) ...................... 56

2.2.3. Phép đặt ẩn phụ t = t g x hoạc t = c o t g i ............... 56

2.3.

2.2.4.

Phép đặt ẩn phụ t = s i n x + c o s x , (ịí| < \ / 2 )

2.2.5.

Phép đạt ẩn phụ t = t g x + c o t g i , (|í| >

M ột sô’ dạng phương trình dơn giản thườne gập

.

. 59

2) . . .

61

.............. 68

2.3.1. Phương trình dạng

A tg n x + B c o t g m x + c — -TỊ— + D — Ịj— + E = 0 68
co s^x

s itr X


6
2-3.2. P hư ơng trình dạng
A cos 3 x + B cos 2x + c cos 3 X + D cos 2 X + E c o s £ +
F = 0 . . . . . . . . . . . . . .

................................. 70

2.3.3. Phương trình dạng
/ l ( s i n 3 x + c o s 3 x ) + B ( sin x + c o s x ) + C s i n x c o s x +
D = 0 ............................................... ... ................................ 71
2.3.4. P hư ơng trình dạng A sin 2 1 + B cos 2 x + c s i n X cos x +

D = 0 ...............7 ................................................................ 73
2.3.5. P hư ơng trình giải được nh ờ các công thức biến
tổ n g thành t í c h ..................................................................75
2.3.6. Phương trình giải được n hờ các cỏng thức biến tích
th àn h t ổ n g .............................................................................76
2.3.7.

2.4.

P hư ơng trình giải được nh ờ các công thức cộng
c u n g ..........................................J ............................................ 77

Phương trình bậc nhất đối với sin X và cos X ........................ 88
2.4.1.

N ế u \A\ = \ c \ h oặc | ỡ | = \ c \ ................................. 88

2.4.2.

N ếu \A\ 4 IC ị; |i?| í

\c\

....................................... 89

2.4.3. M ộ t s ố phương trình đưa vể dạng .4 sin X+ / i cos X =

c

....................................... ....................................92

2.4.4. G iá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cù a hàm số
y = a sin X + 6 c o s X + c

..................................................... 9 6

2.4.5. Đ iểu kiên tổn tại nghiệm cùa phương trình
a sin X + b cos X = c

2.4.6.

..............................................................9 8

Sử d ụ n g bấl đẳng thức - V a 2 + b2 < a s i n i +

b c o s x < \Já2 + b2 để giải phương trình và hệ
phương trình lượng giác ............................................... 99
2.5.

Một sô' d ạ n g hệ phương trình lượng g i á c ...............................106
2.5.1. H ệ phương trình đưa được vẻ các hệ cơ bàn . . . .
2.5.2. H ộ phương trình đưa được vé hệ đại sô' đơn giàn

. 108

2.5.3.

H ệ c ó thể k hừ ẩn nh ờ công thức Py-ta-go

2.5.4.

H ệ phương trình giải được nhờ các bất đảng thức . 1 1 2

2.5.5.

. . . .

106

111

H ệ phương trình giải được nh ờ tính chất đơn điệu
c ù a hàm sổ’ lượng giác trên một k h o ả n g ....................114


7

*

C hương 3 . s ứ d ụ n g công th ứ c lượng giác đ ể giải một s ố d ạ n g phư ơ ng
trình lư ợng g iác
121
3.1. Biểu thức C ôsin và áp d ụ n g .......................................................... 121
3.2.

Biểu thức đối xứng và áp dụna giải một số phương trình
lượng giác .......................................................................................130

3.3. Biểu thức bậc 3 - 1 c ủ a sin

X,

cos X và ứng d ụ n g .................. 138

3.4.

Sừ d ụ n g tính chất đặc trưng của cõng thức lượng giác
giải m ột s ố dạng phương t r ì n h .................................................. 145

3.5.

G iải m ột s ố phương trình lượng giác bằng cách sử dụng
các c ô n g thức c ộ n e c u n g ............................................................. 153

3.6.

Sử d ụ n g c á c công thức cộng cune với điều kiện giải một
số phương t r ì n h ............................................................................... 172

3.7.

Sử d ụ n g các công thức lượng giác của các hàm s ố vòng
với c u n g n x , n € z giải m ột số dạng phưưiig trình lượng
g i á c ......................................................................................................... 182

3.8.

Giải m ột số dạng phương trình lượng giác nhờ các công
thức tính tổniỊ hữu hạn các hàm lượng g i á c ............................. 196

C hương 4. S ử d ụ n g các p h é p biến đổi đại s ố để giải m ộ t s ố dạng
phương trìn h lượng g iác
4 . 1.

Biến đổi phươnc trìn h thành phương trình tích nh ờ hằng
đẳng thức u 2 -

4.2.

V2

= {u - v ) ( u + v)

4.5.

. . . .............................................. 7 ...........................................

240

Biến đổi phương trình thành phươntí trình tích khi biết
các cặp nghiệm đ ặ c b i ệ t ................................................................ 245
Đạt ẩn phụ để d ư a các phương trình lượng giác về các
phương trình đại s ố cơ bàn

4.6.

(u — b)(v - a) = 0 . . . 228

Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viét

4.4.

....................................... 215

Biến đổi phương trình thành phương trình tích nh ờ hằng
đẳng thức a u + bv = ab + u v

4.3.

215

......................................................... 251

Giải m ôt s ố phương trình, hệ phươna trình đại sô' bằng
phương pháp lượniỉ g i á c ................................................................ 260

C hương 5 . s ử d ụ n g các b ấ t đ ăn g th ứ c đẽ’ giải một s ố d ạ n g phương
trình lư ợng giác

269


8
5.1. Sử dụng m ột số bất d ẳn g thức đơn giản giải m ộ t sô dạng
phương trình lượng g i á c .............................................................. 269

5.2.

Sừ d ụ n g điều kiộn tổn tại nghiệm củ a phương trình bâc
hai đ ể giải phương trình lượng giác hai ẩn ..........................286

5.3.

Các bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bậc cao và áp dụng

292


Chương 1
Một sô kiến thức cơ bản về
phương trình lượng giác
1 .1 .

P h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iá c c ơ b ả n

1 .1 .1 . P h ư ơ n g tr ìn h sin X = a
a . Nếu | a | > 1 phư ơ ng trình vô nghiệm vì |s i n x | < 1.
b. Nếu ịaị < 1, ta lấy mội điểm A trên trục sin sao ch o O A = a .
T ừ A ta kè đư ờ n g th ả n g vuổng góc với trục sin cầt vòng tròn lượng giác
tại B ,
(h. 1. 1).
Các điểm B ,
là các điếm ngọn cùa các cung a và 7T - a , ta có

c

c

H. 1.1
sin a = sin(7T - a ) = a.

v ạ y nghiêm củ a phương trình dã cho là

X = n — a + k 2 tt.

(*€Z)

1
y/2
y/3
c. N ếu a là c á c giá trị đặc biệt như ± 1 , ± ~ , ± — , ± — các bạn có
thể giải n h ẩm trên đường tròn đơn vị như ví dụ sau.


10

N quyên V ũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N gọc Thắng

\/3

Ví dụ 1. sinrr = —2— . Lấy
A trên trục sin sao c h o O A — 2
J điểm
-

Kẻ đường (hẳng vuông góc với trục sin cắt vòng tròn lượng giác tại các

điểm là c á c điểm ngọn cù a các c u n g ^ + k 2 n ; — + k 2 n (H. 1.2), vậy
ta thu được nghiệm

X = — + 2kĩĩ
ổ

; X = —- + 2kiĩ
Ổ

(k € Z)

d. M ờ rộng ta giải phương trình
sin A ( x ) = sin B ( x ) .
Tương tự ta thu được các nghiêm :

/ \ { x ) = B { x ) + 2kir
A ( x ) = 7T - B { x ) + 2k'iĩ

(Ả- 6 Z)

Ví d ụ 2. G iải các phương (rình
.

7T

.

1. s i n £ = s i n — ;
3. s i n x + s i n 3 x = 0

7T

2 . s i n x = cos —,
;

4. sin X + cos 3 x = 0.

G iải:
X = — + 2 A:7r
1. Ta có

sin X — sin - « •

6 tt
X = y

o l _ (* e
+ 2A-7T


11

C ác bài giáníỊ v é phương trinh lượng giáí
.

n

2. Ta c ó

sin

X

= eos - o

.

X

7 r\

{ n

Õ7T

= sin ! - - - ! =

si n —

X = 7 7 + 2kir,
tí
( k e Z)
X = 7 7 + 2A-7T.
14

o

3. T a c ó

sin

s i n I + s i n 3 x = ()<=> s i n 3 x = - s i n I = s i n ( - i )
Ict:

<=>

3x =

-X

I =

+ 2kn

3 z = 7T + X + 2/C7T

<=>

4. Ta có
s i n I + e o s 3 x = 0 <=> s i n X = — c o s 3 z = — s i n

—3x^

X = 3x - — + 2kĩĩ
«

sin I = sin I 3 i — - 1

x = ~2—
X =

X =

-

+ k 71-,

ấ

tor

------- 1-------

+ 2kn

N ỉ) -

8
2'
e. Các bạn nên chú ý c á c dạng dặc biột sau
Ví du 3. Giải phương trình

Giải:
1. Ta có

y/x =
s in V I =

-

<=>

rv /ĩ =

* =

- + 2kir
07T

-7 - + 2 k ĩ ĩ

6

( j + 2 /nr

(k € Z )

o
I =

( ^ 7- + 2kĩĩ


N guyễn V ũ Lương, P hạm Ván H ùng, NíỊuỵén Ngọc Thảng

12

Vì v / ĩ > 0 ta suy ra k chì có thể nhận các giá trị k = 0 ,1 , • • • ( k € N)
2. T a c ó
7rsin X =
7rsin X =

— + 2kn
^r
—

+ 2Á.-7T

sin X =

ị + 2/c

(«)

sim =

- + 2k
6

( 6)

<=>

Giải (a):
Vì I s in x ị < 1 suy ra

- 1 < ị + 2k < 1
6
ke z

k = 0.

<=>

Vây ta có <=> sin 1 = 7 = sin ư <=>

6

X = a + 2kĩĩ,
X = lĩ — a + 2kn.

Giải (b): Vì Ị sin xỊ < 1 suy ra

- 1 < £ + 2k < 1
6
*€ z

o

Ta c ó

sin X = - = sin 0 o

1 .1 .2 .

P h ư ơ n g trìn h co s X = a

a.

<

12
Ar G z

12

k = 0.

X = 0 + 2k.1T,
X = 7T - ị3 + 2ẢT7T

Nếu Ịa| > 1 phưcmg trình vô nghiộm vì I c o s i | < 1.

b.
Nếu |a | < 1 ta lấy điểm A trên trục cosin sao ch o O A = a. Kẻ
đường thảng qua A vuông góc với trục cosin cắt đường tròn đơn vị tại
B , c (h. 1.3). Đ iểm c là điểm ngọn cùa các c u n g a + 2 k n , điểm lì là
điểm ngọn của các c u n g —a + 2 k n ta có
c o s ( q + 2 k n ) = c o s ( —a + 2 k n ) = a.
Vậy ta thu được c á c nghiệm cùa phương trình đ ã cho là


C ác bài giảniỊ vé phươniị trình lượng giác

13

H. 1.3
X = o + 2kn

X = — a + 2kn

( k G Z)

s/z
y/2
1
c. N ếu a là m ột trong các giá trị đẫc biệt ± 1 ; ± — ; ± —— ; ± - ;0.
Các bạn có thể giải nhẩm nh ờ đường tròn lượng giác như sau
Ví d ụ 4. Sử dụng đ ư ờ n g tròn lượng giác giải các phương trình

1
1. C06X = ~ 2 '

c o s x — —1;

Giải:

2 7T

y

v/3
3. c o s x = —ị .


14

N guyễn V ũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N g ọ c Thắng

X =

1.

(H .l.4 )ta c ó

cosx = - ị

<=>

2 lĩ

+ 2Ả-7T

Z7T

* = ~ i + 2k*

y

H. 1.5
2. ( H . l . S ) t a c ó

c o s X = —1

X

= 7T + 2kn.

3. (H. 1.6) ta có

X = ^ + 2ẢT7T,

X =

'

— - 7 + 2Ả‘7T.

6

(fc € Z)


C ác bài giảng vê phươnq trình lượng giác

15

d. M ờ rộng ta giải phương trình dạng

c o s .4 (i) = cos B ( x )

A(x)

= ± B ( x ) + 2kn. (k € Z)

Ví d u 5. Giải c á c phương trình
1. c o s x = c o s — ;

2. c o s x = sin — ;

3. c o s 3 x + c o s x = 0.

G iải:

1. Ta có c o sx = cos - <=> X =

+ 2kn.

„

/7T

~

,

.

2. Ta có c o s X = sin -

Tĩ

(k € Z)
rr\

5 tt

1'

14

« • c o s X = cos 1 - - - 1= cos —
' íí

I

<& X = ± 7 7 + 2kiỉ (k e Z ).
14
3. Ta có cos 3 x + c o s x = ()<=> c o s 3 x = —c o s x <=> c o s 3 i = cos(7T — X )

7T

<=>

Ả-7T

3 z = 7T - z + 2 Ar7r
Ỉ = ự

= I — 7T + 2fc7T

ỉ

’

( f c € Z)

2 + kn■

1 =

e. C ác bạn chú ý c á c dang phương trình sau
Ví d ụ 6 . Giải các phương trình
1. c o s ( x 2 ) = s i n x ;

1

2. c o s ( 7 r c o s i ) = - ;

\/3

3. c o s ( 7 T 8 Ì n x ) = —— .

G iải:
1. Ta c ó c o s (x 2) = sin

Giải (a):

X

<=> c o s(x 2) = cos ^

Phương trình trờ thành

X2 + z -

tỴ

-

^

-

2ẢT7T =

trình c ó nghiệm khi

A = 1 + 2n + 8 k n > 0

hay k > —

1 +2n
8n

0.

Phương


16

N guyền Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N gọc Thắng

Suy ra Ẳ phải là s ố tự nhiên 0 , 1 , 2 , • • • , hay k € N
Ta thu dược nghiệm
—1 ± \J 1 + 2iĩ + S k n

Giải (b):

Phương trình trở thành

X2 -

( với k € N).

X +

- — 2ẢT7T = 0.

Phương

trình có nghiệm khi

2 tt - 1
hay k > — ----- .
Ồn
Suy ra k phải là s ố tự nhiên dương 1, 2 ,3 , • • • , hay k e N*.
Ta ihu được nghiệm
A = 1 - '2n + 8 k n > 0

1

± V 1 - 27T + 8Ả-7T

7T-----------2

*3.4 =

( với k e W ) .

2. Ta có c o s( 7r c o s x ) =
7TCOSX = -^ + 2 k n
n

<í^

Tỉ cos X = — -

+ 2kn

ổ

Giải (a):

c o s x = - + 2 A',
31
cosx = - -

Ỏ

(a)

+ 2fc.

(6)

VI l c o s x ị < 1 ta suy ra

1

- 1 < f + 2A- < 1

với

/i' £ z => A’ =• 0 .

Ả- e z 5
1
«=> co sX = ^ = c o s a
X = ± a + 2 Ả:7T, (Ả- £ Z).
ú
1
2
Ciiải (b): Tương tự ta có
< k < - với Ả' e z => k = 0.
u
o
v ạ y (a)

Vộy (b) <=> COS.T =

= cosớ
o

r = ± đ + 2kn.

( k £ Z ).

3. Ta có

cos(7T sin I ) =

<=>

7Tsin £ = 7 + '2Ả-7T
6_
7TSÌI1X = —7 : + 2 k ĩ ĩ

0

o

s i m = 7 + 2 A\
61
s im

= - 7 + 2 A\

6

(a)
(Ả- € Z )
(/))


17

C ác bời giảng vé phương trình lượng giác
Giải (a):

Vì I sin x | < 1 ta suy ra

1
- 1 < - 4- 2 A: < 1 với k €

6

z

=> k =

0.

Vậy phương trình (a) tương dương với
sin
Giải (b):

X

1
= - = sin

6

a

X = Q + 2kĩĩ.

<=>

X = 7T — a + 2ẢT7T.

(k e Z)

Vì | s i m | < 1 ta suy ra

1
- 1 < - - + 2k < 1 với k

6

e z =» Ả;= 0 .

Vậy phirưng trình (b) tương đ ư ơ n s với
sin X — — - = sin 0 <í^

6

1 .1 .3 .

Phương trìn h tg

X — p + 2kn,
X = n — 0 + 2kiĩ.

{k e Z)

X = a

H. 1.7

a. Trên trục tang ta lấy điếm B sao cho A B = a. Nối điểm B với
gốc loạ độ và kéo dài cắt vòng tròn lượnc giác tại các điểm M . N là
các điểm ngọn cùa các c u n g a + k n , có tg a = a. K hi đó ta thu được
n sh iêm cùa phươnc trình đã cho là
X = a + kn

( k e Z).


Nguyền Vũ Lương, Phạm Vảtì Hùng, N guyễn Ngọc Thắng

18

b. Khi a nhan các giá tri đãc biêt ± \ / 3 , ± 1 , ± - 7=. 0 các ban c ó thể
v3
giải nhám bẳng cách sử d ụ n g đường tròn đơn vị.
Ví d ụ 7. Sử d ụ n g đirờng tròn lượng giác giải các phương trình
1.

tg x = - v /3 ;

2. t g x = - ỹ = .

G iải:
1. tg I = —v/3 <=> X = —— + kir
«3

( k e Z ).

7T

2. t g X = - J = <í=> X = ^ + k-ĩĩ ( k € Z).
v3
o
c. Xét dạng
tg A ( x ) = t g B ( x ) <=> A( x) = B{ x ) + k~.
Ví d ụ 8 . Giải các phương trình
1. tg X = t g \ ;

5

3. tg 3 x + t g I = 0.

2. t g 3 x = c o tg X ;

G iải:
1.

t g i = tg ỲX = ỵ + kiĩ

2.

tg 3 z = c o tg x

0

(keZ ).

0

t.g 3 x = tg
7T
<=> 3 x =

- x)
.

^ - X + Ả-7T

^

7T k n
<=> X = ^

o

T

(í' E Z ).


20_______

Nguyền Vũ Lương, P hạm Văn Hừnq, Nguyền N gọc Tháng

2. Ta có

tg(7TCOSl) = 1 <=>

COs(7T c o s x ) Ỷ 0

tg(7TCOSl) = 1

o

c o sx ^ ị+ k
<
f
cos X = - + k
4

Vì I c o s i | < 1 ta su y ra

7Tcos X Ỷ ^ + k n
<=> <
ì
,
7T c o s X = — h k n

I
^ COSI =

2 + k.

1

- 1 < - + k < 1 với k 6 TL o

Jfc = 0 ,
A; = - 1

Vậy phương trình đ ã ch o tirưnií đươnc với

1
COSI = -

= CO Síi

X = ± Q + 2A.-7T,

3
C.OS X = - - = cos /?
4
1 .1 .4 .

P hư ơng trìn h c o tg

X = ± / ỉ + 2kiĩ.

(k G Z)

X = a

a. Trẽn trục cô tan g ta lí y đ iểm t ì sao ch o A B = «. Nỏ'i diểm l ĩ với gốc
toạ dộ và kéo dài cát vòng tròn lượng giác tại các điểm A/, jV (h. 1.10).
M . jV là các điểm ngọn cùa c á c c u n e í» + kir với c o t g a = a.

H. 1.10


C ác hài giáng vé phương trinh lượng qiác

21

X = a + kĨT

V ậy nghiêm cùa phương Irình đã cho là

(k e Z ) .

b. N ếu a là các giá tri dâc biêt ± 1 , ±%/3, ± - 7 =, 0 các ban có thể giải
v3
n h ẩm bằng cách s ử dụng đường tròn đơn vị.
V í d u 10. Giải các phương trình

1.

c o t g r = ---- -= ;

2.

c o t g i = 1.

v3

G iai:

1

I Ta có

c o t g X = — -= <=> X = — + k n .
\/3
3

2. Ta có

c o tg I =

1 <=> X =

-ị + k ĩỉ

( k e

Z ).

c. M ở rộng, ta xét dạng
c o tg .4(.r) = cot.g t ì ( x ) A ( x ) = B ( x ) + k n

( k € Z ).

Ví d ụ 11. G iải các phương trình
1

c o tg 3 x + c o tg T = 0 ;

2.

c o t g 3 X + t g X = 0.

G iải:
I . Ta có cotg 3x + co tg X = 0
(
{ sin 3 x ^ 0
ẵ
1 s i n 3 x Ỷ o . s i m -ệ 0
sin -c ^ O

à
.
c o tg 3 i= c o tg (-x ).

r
1 3x = —X + k n
v


19

C ác bài giáng vê phương trình lượng giác

3.

t g 3 i + t g x = 0 <=> t g 3 i = - t g X = t g ( - x )
&

k' 7T
X = -Ỵ

3 x = —X + k n

( k € Z).

d. Xét m ột sô phương trình sau
Ví d u 9. Giải các phương (rình
1.

t g ( 7 r s i m ) = v /3 ;

2.

tg (7 rc o s x ) = 1.

G iả i:
I . Ta có t g ( 7Tsin x ) = v / 3 <=>

cos(7rsin.r) Ỷ 0
tg( T TSÌnx ) =

7T

7T s i n X Ỷ

«

<

77 +

sin

^'7r

lĩ s i n X = — h k i ĩ

ổ

Suy ra

õ
ị

X Ỷ

<=> <

ì

- 1 < - + Ả' < 1 với
ổ

+

^

sin

s in .T = ^ + Ả-

€

z <=>

=

X

»

(Ắ: ẽ Z ) ,

k = 0,
A: = - 1

sin X =

- = sin r t

sin X =

2
—- = sin 3
ổ

X =

+ k

3

V ây phưctng trình đ ã ch o tương đương với

1

\

a

+ 2A-7T.

X = 7T — a + 2kn,
^ ịi
I =
+ 2kir,
X = 7T - 0 + 2A:7r.


22

Nguyền V ũ Lương, P hạm Vân H ù n ẹ. N guyền N gọc Thắng

« • X = — ( k j i Am ; 3A' Ỷ

2. Ta c ó

c o tg 3 x + tg

X

” 1 € Z).

= 0

s i n 3 x 7^ 0

<=> ^ c o s x Ỷ 0
c o t g 3 z = t g ( - x ) = c o t g ( ^ + x)

^ z = Ị

+ y

(Ả: € Z ).

d. Đ ãc biột các bạn chú ý đến dạng phương trình sau
Ví dụ 12. Giải phương trình
COtg(7TCOSX) =

y /3 .

G iải:

_

.

.

Ị sin(Trcosx)

Ta có c o tg ( 7r c o s :r ) = \ / 3 o

<

Ỷ0

r

1c o t g ( 7 r c o s i ) = V 3

ị lĩ cos X Ỷ kiĩ
<=> <

7T

,

I 7Tcos I = — + K7T

1 cos X ^ k
<=>
s
1
<=> < .........

1
Vì I c o s i ị < ln ẻ n — 1 < ^ + Ả: < 1,
6
V ây hộ trẻn tương đương
cos

X= -1 = cos Q
5

cos X =

G

«
= cos 0

,

1—
c o s x- —
= - +1k.t-

(k e Z)

k € z => k = Q hoăc k = —1.

I = ± a + 2kir
X = ± p + 2kn

(k e Z ).

1 . 1 . 5 . Các bước giải cơ bán m ột phương trình lượng giác

Trước hết, chúng ta biểu diẽn tạp hợp các cung trẻn đường tròn đơn vị
như sau:

T ập hợp các điểm ngọn củ a các cung

*

X= Q + k—n (k 6 z ,

n €

N*).

y

ù-

được biểu diẻn bời n đỉnh của m ột đa giác đểu, trong đ ó c ó một đỉnh
là điểm ngọn củ a các cung o + k 2 n (k 6 Z).


N guyên V ũ Lương, P hạm Văn Hùng, N guyền N gọc Thắng

24

Giải phương trình lượng giác g ổ m ba bước c ơ bản sau đây
Bước I : Đ ă t đ iẻ u kiện đ ể phương trình xác định.
Bước 2: G iải phương trình.
Bước 3: Biểu d iễ n điểu kiện, kết qu ả thu được ờ bước 2 trên đường
tròn lượng giác và loại những nghiệm vi phạm điểu kiện đặt ra ờ bước

1.
V í d ụ 13. G iải phương trình

(sin 3 i — sin j ) ( c o t g 2 X
cos

3 z + cos X

—

1)

= 0.

(*)

G iả i
* Đ iểu kiện:
c o s 3 z Ỷ ~ cos 1

c o s 3 x Ỷ cos(7T — x )

sim Ỷ 0

sin X Ỷ 0

(Ả:, m , l 6. Z )

«•

Phương trình d ã c h o tương đương hai trường hợp
a. sin 3 x — sin X = 0 <=> sin 3 x = sin X
3 x = X + 2kir

<=>
<=>
3 x = 7T — X + 2kiĩ

X = kir,
lĩ
kĩĩ
x = 4 + 2

b. c o tg 2 X - 1 = 0 o

c o tg 1 = 1
c o tg X = - 1

X = - + kiĩ,

ầ

X — —— + kít
4

* K ết luân
T ừ hình 1.16 ta thấy phương trình đ ã c h o vô nghiệm.
V í d ụ 14. G iải phương trình
>/ 2 cos2 x + c o s x - 1 = s i n X.
G iả i

(1)

25

C ác bài giảng vé phương trình lượng giác

Ta có
2 cos2 X + cos X
( 1) « *

Ta thấy nếu sin

X

y / 2 C.OS2 X

1

-

>

0

+ cos X - 1 = sin X

< 0 thì phương trình vô nghiệm nên ta có

s in X > 0
( 1)

o

^ 2 cos 2 X

+

cos X

—

1

>

0

2 cos2 X + cos X — 1 = sin2 X
những

X

là nghiệm của phương trình 2cos2 X

th o ả m ã n 2

cos2 X

+ cos X

—1

> 0 nên

+ COSI

- 1 = sin 2 X thì