PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TIẾN THIỆP

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ
TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU
XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2018



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TIẾN THIỆP

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ
TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU
XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số:

8440109.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ KHẢ HÒA


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn thạc sỹ khoa học này, em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến quý Thầy Cô ở khoa toán – Cơ – Tin
học, trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQGHN đã cùng với tri thức và
tâm huyết của mình để truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em
trong suốt thời gian học tập tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn TS. Lê Khả Hòa đã tận tâm hướng dẫn để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ- Tin học,
phòng sau Đại học- Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên- ĐHQGHN .
Qua đây cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn ủng hộ trong suốt quá trình học tập.
Bước đầu nghiên cứu, kiến thức của em còn nhiều hạn chế. Do vậy, em
không tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp quý giá
của quý thầy cô và các bạn đồng môn.
Sau cùng em xin kính chúc TS. Lê Khả Hòa cùng toàn thể quý thầy cô
trong khoa Toán – Cơ – Tin học thật nhiều sức khỏe, niềm vui để tiếp tục
cống hiến cho khoa học và mang hết tâm huyết của mình truyền đam mê khoa
học cho các thế hệ học trò mai sau.
Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2018
Học viên

Nguyễn Tiến Thiệp

Mục lục
Danh sách hình vẽ..............................................................................................i
Danh sách bảng vẽ............................................................................................ii
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1 – Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản.........................................................5
1.1. Vỏ trụ sandwich trên nền đàn hồi Pasternak..........................................5
1. 2. Các hệ thức cơ bản và phương trình cân bằng......................................8
Chương 2 – Phương pháp giải.........................................................................14
2.1. Điều kiện biên và dạng nghiệm............................................................14
Chương 3 – Tính toán số.................................................................................21
3.1. So sánh kết quả.....................................................................................21
3.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM..................................................21
KẾT LUẬN.....................................................................................................30
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................32


Danh sách hình vẽ
Hình 1: Vỏ trụ sandwich có gân gia cường...........................................................5
Hình 2. Ảnh hưởng của hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn trên τupper (k2=k3=N=k=1).....23
Hình 3. Ảnh hưởng của hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn dưới τlower (k2=k3=N=k=1)....23
Hình 4b. Ảnh hưởng của hcore/hFG lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1). 24
Hình 4a. Ảnh hưởng của hcore/hFG lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1)

.........................................................................................................................24
Hình 5a. Ảnh hưởng của e0 lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1)....24
Hình 5b. Ảnh hưởng của e0 lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1)..........24
Hình 6. Ảnh hưởng của e0 lên tải xoắn tới hạn trên τupper (k2=k3=N=k=1).............24
Hình 7. Ảnh hưởng của ΔT lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1)....24
Hình 8a. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1)

.........................................................................................................................26
Hình 8b. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ – ψ (Case 1). .26
Hình 9. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên tải xoắn tới hạn trên τupper.......26
Hình 10. Ảnh hưởng của R/h lên tải xoắn tới hạn trên τupper (Case 1, k=1..........26
Hình 11a. Ảnh hưởng của tỉ số R/h lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1:
k2=k3=N=k=1)...................................................................................................27
Hình 11b. Ảnh hưởng của tỉ số R/h lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1)27
Hình 12a. Ảnh hưởng của L/R lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 28
Hình 12b. Ảnh hưởng của tỉ số L/R lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1)

.........................................................................................................................28
Hình 13a. Ảnh hưởng của gân và nền lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1:
k2=k3=N=k=1)...................................................................................................29
Hình 13b. Ảnh hưởng của gân và nền lên đường cong τ – ψ
(Case 1:
k2=k3=N=k=1)...................................................................................................29

Danh sách bảng
i


Bảng 1: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [30] và [29] của vỏ trụ thuần nhất không
gân chịu xoắn....................................................................................................21
Bảng 2: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [29] và [31] của vỏ trụ thuần nhất không
gân chịu xoắn....................................................................................................21
Bảng 3 :Ảnh hưởng của hệ số độ xốp e0 và độ dầy lớp lõi hcore đến tải tới hạn τcr,
k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, ΔT=300K, hs=hr=0.006m,
bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m........................ 22
Bảng 4: Ảnh hưởng của nhiệt độ và chỉ số tỉ phần thể tích đến tải xoắn tới hạn trên

và tải tới hạn dưới. h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m,
bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m.......................25
Bảng 5: Ảnh hưởng của thông số hình học đến tải xoắn tới hạn trên và tải xoắn tới
hạn dưới k2=k3=N=k=1, h=0.006m, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m,
bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K......27
Bảng 6: Ảnh hưởng của gân và nền đến tải xoắn tới hạn trên k2=k3=N=k=1,
h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m,
ns=20, nr=20, K1=6×107N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K (Trường hợp 1: gân
được gia cưởng phía trong).................................................................................28

ii


MỞ ĐẦU
Các kết cấu chế tạo từ vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded
Material-FGM) được sử dụng ngày càng nhiều trong công nghiệp hàng không
vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân và các lĩnh vực làm việc trong môi trường nhiệt
độ cao hoặc chịu tải phức tạp. Do các tính chất cơ lý biến đổi trơn và liên tục
từ mặt này đến mặt kia nên các kết cấu FGM tránh được sự tập trung ứng suất
trên bề mặt tiếp xúc giữa các lớp, tránh được sự bong tách và rạn nứt trong kết
cấu. Do vậy nghiên cứu về ổn định, dao động và độ bền của các kết cấu FGM
đã thu hút được sự chú ý đặc biệt của cộng đồng các nhà khoa học trong và
ngoài nước.
Một trong những kết cấu được sử dụng nhiều trong thực tế là vỏ trụ. Đã
có nhiều kết quả nghiên cứu về bài toán ổn định cũng như dao động của vỏ
trụ làm bằng vật liệu FGM không gân chịu tải xoắn, tác giả Batra [1] đã
nghiên cứu bài toán xoắn của vỏ trụ với modul vật liệu chỉ thay đổi dọc theo
trục. Tác giả Wang và cộng sự [2] đã đưa ra nghiệm chính xác và đáp ứng dao
động của vỏ trụ FGM rỗng hữu hạn. Các tác giả Zhang và Fu [3] đã nghiên
cứu trạng thái tới hạn của vỏ trụ đàn hồi có lớp phủ cứng bề mặt trong đó biến

dạng của lớp lõi và bề mặt được phân tích thông qua phương trình Navier và
mô hình lớp vỏ mỏng, tương ứng. Các tác giả Sofiyev và Schnack [4] nghiên
cứu sự ổn định của vỏ trụ FGM chịu tải xoắn động tăng tuyến tính. Trong đó,
họ đã sử dụng phương trình ổn định động dạng Donnell cải tiến và phương
pháp Galerkin với liên hệ hình học là tuyến tính và nghiệm gần đúng được lựa
chọn là một số hạng. Tác giả Li và Wang [5] đã nghiên cứu ổn định đàn hồi
của vỏ trụ FGM sandwich với điều kiện biên tựa đơn chịu tải xoắn bằng
phương pháp bán giải tích. Các phương trình chủ đạo với các thành phần
chuyển vị của bài toán ổn định kết cấu được thiết lập bằng sử dụng lý thuyết
vỏ mỏng Flugge trong đó quan hệ biến dạng – chuyển vị là tuyến tính.
Về vỏ trên nền đàn hồi, Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao tác giả
Bagherizadeh và các cộng sự [6] đã nghiên cứu sự ổn định cơ của vỏ trụ FGM
không gân bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Sử dụng lý thuyết vỏ
1


Donnell cải tiến, các nghiên cứu về ổn định và phân tích dao động của vỏ trụ
FGM không gân trên nền đàn hồi cũng đã được tác giả Sofiyev cùng các cộng
sự nghiên cứu [7]. Bằng phương pháp Galerkin, các tác giả đã đưa ra biểu
thức xác định tải xoắn tới hạn và tần số dao động của vỏ.
Về bài toán ổn định của vỏ có gân gia cường: Năm 2009, tác giả
Najafizadeh cùng các cộng sự [8] với các phương trình ổn định tuyến tính
theo chuyển vị, đã nghiên cứu trạng thái tới hạn của vỏ trụ FGM được gia
cường bằng các gân dọc và gân vòng chịu nén dọc trục. Gân và vỏ đều là vật
liệu có cơ tính biến thiên. Năm 2011, tác giả Đào Huy Bích và cộng sự [9] đã
trình bày một cách tiếp cận giải tích để nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của
tấm FGM và vỏ thoải FGM có gân gia cường lệch tâm dựa trên lý thuyết vỏ
cổ điển trong đó gân được giả thiết là thuần nhất. Dựa vào lý thuyết vỏ cổ
điển có tính tới yếu tố phi tuyến hình học von Karman và sử dụng kỹ thuật
san đều tác dụng của gân, Dung và Hoa [10] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến

và đáp ứng sau tới hạn của vỏ trụ có gân FGM gia cường chịu tải xoắn trên
nền đàn hồi Pasternak trong môi trường nhiệt độ. Vỏ được gia cường bởi các
gân vòng và gân dọc trong đó vỏ và gân đều làm bằng vật liệu cơ tính biến
thiên. Với phương pháp tương tự, Thang và Trung [11] đã nghiên cứu ảnh
hưởng của gân đến ổn định phi tuyến của vỏ trụ với lớp phủ FGM chịu tải
xoắn. Vỏ trụ được gia cường bởi các gân dọc trục. Sử dụng lý thuyết vỏ cổ
điển, Thang và các cộng sự [12] cũng đã trình bày đáp ứng của vỏ trụ có lớp
phủ bằng vật liệu FGM trong đó hai lớp phủ thì làm bằng vật liệu FGM còn
lớp lõi được làm bằng vật liệu thuần nhất. Vỏ được gia cường bởi các gân dọc
nằm ở phía ngoài của vỏ. Với hàm độ võng ba số hạng, Ninh và Bich [13] đã
nghiên cứu ổn định của vỏ trụ với ba lớp gốm – FGM – kim loại (C-FGM-M)
chịu tải xoắn trên nền đàn hồi. Vỏ được gia cường bởi các gân dọc và gân
vòng và được đặt trong môi trường nhiệt độ.
Về vỏ làm việc trong môi trường nhiệt độ: Dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc cao, tác giả Shen [14] đã thu được kết quả của bài toán ổn định
của vỏ trụ FGM chịu xoắn trong môi trường nhiệt độ. Trong bài báo này ông
đã sử dụng phương pháp tham số bé để xác định tải tới hạn và đường cong sau
2


tới hạn. Bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng lớn phi tuyến và phương pháp
Ritz, tác giả Huang và Han [15] cũng đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ
trụ không gân chịu tải xoắn trong môi trường nhiệt. Trong nghiên cứu của họ,
thành phần độ võng phi tuyến được đề xuất dựa vào quan sát từ thực nghiệm.
Vật liệu xốp (porous material) là một loại vật liệu mới của vật liệu FGM
trong đó tính chất xốp của vật liệu được đặc trưng bởi sự phân bố của các lỗ
rỗng bên trong. Các vật liệu xốp như bọt kim loại (metal foams) là một loại
vật liệu nhẹ quan trọng với khả năng hấp thụ năng lượng tuyệt vời. Do đó loại
vật liệu này đã nhận được ứng dụng rộng rãi trong thực tế cho các cấu trúc
chịu tải động. Trong bài báo [16], các tác giả Magnucki và Stasiewicz đã

nghiên cứu ổn định đàn hồi của dầm xốp. Magnucka-Blandzi [17, 18, 19]
cũng đã trình bày mô hình toán học của tấm sandwich hình chữ nhật và hình
tròn với phần lõi là kim loại bọt. Các nghiên cứu đã đưa ra biểu thức xác định
tải tới hạn của tấm. Phân tích ổn định đàn hồi của dầm xốp chịu uốn đã được
trình bày bởi tác giả Chen cùng nhóm nghiên cứu [20]. Tác giả Kitipornchai
cùng nhóm nghiên cứu cũng đã nghiên cứu về dao động tự do và ổn định đàn
hồi của dầm xốp trong bài báo [21]. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc
cao, tác giả Jabbari cùng các cộng sự [22, 23] cũng đã trình bày ổn định phi
tuyến của tấm tròn được làm bằng vật liệu xốp. Sử dụng phương pháp
Galerkin, tác giả Tú và các cộng sự [24] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của
tấm chịu nén. Bài báo đã đưa ra được biểu thức biểu thức xác định tải tới hạn
và mô tả đường cong sau tới hạn của tấm.
Các kết cấu được làm bằng vật liệu xốp gần đây đã là một chủ đề được
sự quan tâm đặc biệt của các nhà thiết kế và xây dựng. Để tăng cường khả
năng làm việc của kết cấu người ta thường giảm trọng lượng của kết cấu
bằng cách sử dụng vật liệu xốp. Cách làm này có ưu điểm là giảm trọng
lượng của công trình, tiết kiệm được vật liệu và đặc biệt là giảm đi ảnh
hưởng của các thành phần lực quán tính xuất hiện trong kết cấu khi có ảnh
hưởng của tải trọng động. Vì vậy, việc nghiên cứu kết cấu làm bằng vật liệu
xốp không những tối ưu về vật liệu mà còn tối ưu về giá thành.

3


Tuy vậy, nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng nghiên cứu ổn định của
vỏ xốp chưa có nhiều đặc biệt là vật liệu xốp có gân gia cường. Hơn nữa,
theo hiểu biết của tác giả, vẫn chưa có nghiên cứu về ổn định phi tuyến của
vỏ trụ sandwich có lớp giữa là vật liệu xốp, được gia cường bởi các gân trực
giao, trên nền đàn hồi chịu tải xoắn trong môi trường nhiệt độ. Phát triển
hướng nghiên cứu của hai bài báo [10], luận văn này tập trung vào giải

quyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donell, kỹ
thuật san đều tác dụng gân và phương pháp Galerkin. Các phân tích tiến
hành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật liệu và tham số hình học
cũng như tác dụng đến tải trọng tới hạn và đường cong tải độ võng của vỏ
trụ sandwich ba lớp với lớp lõi làm bằng vật xốp, hai lớp phủ làm bằng vật
liệu cơ tính biến thiên và vỏ có gân gia cường làm bằng vật liệu FGM.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục
và các chương chính như sau:
Chương 1. Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản: Trình bày về kết cấu vỏ trụ
sandwich, các hệ thức cơ bản và các phương trình cân bằng của vỏ trụ FGP có
gân gia cường.
Chương 2. Phương pháp giải: Trình bày các điều kiện biên, phương
pháp Galerkin dẫn tới biểu thức giải tích để tìm lực tới hạn của vỏ trụ FGP
chịu tải xoắn.
Chương 3. Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố
trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh
hưởng của các tham số đến tải tới hạn và đường cong đáp ứng sau tới hạn của
vỏ trụ.
Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây.

4


Chương 1 – Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản
1.1. Vỏ trụ sandwich trên nền đàn hồi Pasternak
Xét vỏ trụ mỏng có bán kính R, độ dầy h và chiều dài L chịu tải xoắn
trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt độ. Mặt giữa của vỏ và hệ tọa độ x,
y, z được biểu diễn trên hình 1. Vỏ được gia cường ở bằng các gân dọc và
gân vòng. Các gân này được giả thiết bố trí mau và kích thước của gân là
nhỏ. Vỏ được làm bằng vật liệu sandwich ba lớp với lớp lõi làm bằng vật

liệu xốp, hai lớp phủ làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên và gân được làm
bằng vật liệu có cơ tính biến thiên với môđun đàn hồi Young và hệ số dãn
nở nhiệt của vật liệu thay đổi theo quy luật [10, 24]

y
x
z
h
bs
τ

zs

ds

τ

hs
L

hr

br

dr

zr

h

Hình 1: Vỏ trụ sandwich có gân gia cường

5


Mô đun đàn hồi Young và hệ số dãn nở nhiệt của vỏ:
k
�
�2 z  hFG  hcore �
h  hcore
h
�Ec  Emc �
 FG
�z � core
�
hFG
2
2
�
�
�
�
�
� z �
h
h
� �
Esh  �Em �
1  e0 cos � �
 core �z � core

�
2
2
�
�hcore �
� �
�
N
�2 z  hFG  hcore �
hcore
h  hcore
�
�z � FG
�
�Ec  Emc �
hFG
2
2
�
�
�
k
�
�2 z  hFG  hcore �
h  hcore
h
�
 c   mc �
 FG
�z � core

�
hFG
2
2
�
�
�
�
�
� z �
h
h
� �
 sh  �
m �
1  e0 cos � �
 core �z � core
�
2
2
�hcore �
� �
�
�
N
�2 z  hFG  hcore �
hcore
h  hcore
�
 c   mc �

�z � FG
�
�
hFG
2
2
�
�
�
h  hFG  hcore , 0  e0  1, k �0, N �0

(1)

Trong luận văn nghiên cứu hai trường hợp của gân:
Trường hợp 1: Gân FGM được gia cường phía trong
k

k

k

k

�2 z  h �2
�2 z  h �2
Es  Ec  Emc �
� ,  s   c   mc �
�,
� 2hs �
� 2hs �

h
h
�z �  hs , k2 �0 ,
2
2

h
�2 z  h �3
�2 z  h �3 h
Er  Ec  Emc �
,





�
� , 2 �z �2  hr , k3 �0 ,
r
c
mc �
� 2hr �
� 2hr �

(2)
Trường hợp 2: Gân FGM được gia cường phía ngoài
k

k

� 2 z  h �2
� 2 z  h �2
Es  Ec  Emc �


� ,  s   c   mc �
� , h / 2  hs �z � h / 2
2
h
2
h
s �
s �
�
�
k

k

� 2 z  h �3
� 2 z  h �3
Er  Ec  Emc �


� ,  r   c   mc �
� , h / 2  hr �z �h / 2
� 2hr �
� 2hr �

(3)
Trong đó
hFG/2 là độ dầy của mỗi lớp phủ bằng vật liệu cơ tính biến thiên
6


hcore –là độ dầy của lớp lõi làm bằng vật liệu xốp
hs , hr -là độ dầy của gân dọc và gân vòng
Emc  Em  Ec , Ecm  Ec  Em ,  mc   m   c ,  cm   c   m

k, N, k2 và k3 – là chỉ số tỉ phần thể tích của vỏ, gân dọc và gân vòng
c, m, sh, s và r – tương ứng là các ký hiệu của vật liệu gốm (ceramic),
kim loại (metal), vỏ (shell), các gân dọc (stringers) và gân vòng (ring)
Ec , Em - là mô đun đàn hồi Young của gốm và kim loại

 c ,  m - là các hệ số giãn nở nhiệt của gốm và kim loại.
Esh , Es, Er - là mô đun đàn hồi Young của vỏ, gân dọc và gân vòng

 sh , αs, αr - là các hệ số giãn nở nhiệt của vỏ, gân dọc và gân vòng

Hệ số Poison được coi là hằng số  sh   s   r    const [25].
Từ các phương trình (1) và (2) có thể thấy rằng tính liên tục vật liệu
giữa các lớp và giữa vỏ với gân được đảm bảo.
Từ phương trình (1), chúng ta cũng có thể thu được trường hợp riêng là
quy luật phân bố sigmoid khi hcore  0 , trong trường hợp e0  0 lớp lõi sẽ là
kim loại, nếu e0  k  0 vỏ là vỏ kim loại.

7

1.2. Các hệ thức cơ bản và phương trình cân bằng
Sử dụng lý thuyết vỏ mỏng với tính phi tuyến hình học von Karman, khi
đó các thành phần biến dạng tại điểm cách mặt giữa của vỏ trụ một khoảng z
được biểu diễn qua các thành phần biến dạng tại mặt giữa là [26, 27]:
0
 2 zk xy ,
 x   x0  zk x ,  y   y0  zk y ,  xy   xy

(4)

k x   w, xx , k y   w, yy , k xy   w, xy

Quan hệ các thành phần biến dạng tại mặt giữa của vỏ với các thành phần
chuyển vị là
1
w 1
0
 0x  u, x  w,2x ,  0y  v, y   w,2y ,  xy  u, y  v, x  w, x w, y ,
2
R 2

(5)

trong đó u  u ( x, y ), v  v( x, y ), w  w( x, y ) tương ứng là các thành phần
chuyển vị dọc theo các trục x, y và z.
Phương trình tương thích biến dạng được suy ra từ (5)
0
 x0, yy   y0, xx   xy
, xy  

1
w, xx  w,2xy  w, xx w, yy
R

(6)

Khi kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ, định luật Hooke mô tả quan hệ ứng
suất và biến dạng của vỏ là
Esh
E 
 x   y  sh sh T ,
2
1 
1 
E
E 
 sh 2  y   x  sh sh T ,
1 
1 

 xsh 





T  T  T0

 ysh





 xysh

Esh

 xy
2  1  

(7)

và đối với gân là
 xs  Es x  Es s T ,

 yr  Er  y  Er r T

(8)

trong đó nhiệt độ giả thiết là chỉ phụ thuộc vào độ dầy z.
Các thành phần lực dãn và mômen được tính qua các thành phần ứng suất





N x , N y , N xy , M x , M y , M xy



h/2



�  x , y ,  xy   1, z  dz.

h / 2

Sử dụng liên hệ lực dãn và mômen qua ứng suất của vỏ và kỹ thuật san
đều tác dụng gân của Lekhnitsky ta thu được biểu thức lực dãn và mômen của
vỏ trụ FGM có gân gia cường lệch tâm như sau
8


N x  C11 0x  C12 0y  C14k x  C15k y  1  1Tx ,
N y  C12 0x  C22 0y  C24k x  C25k y  1  1Ty ,

(9)

N xy  C33 0xy  C36k xy ,
M x  C14 0x  C24 0y  C44 k x  C45k y  2  2Tx ,
M y  C15 0x  C25 0y  C45k x  C55k y  2  2Ty ,

(10)

M xy  C63 0xy  C66 k xy ,

trong đó Cij được xác định theo công thức
E1s bs

E2 s bs
E1
 E1
E2
 E2

,
C

,
C


,
C

,
12
14
15
ds
ds
1  2
1  2
1  2
1  2
E
E b
 E2
E

E b
E1
C22  1 2  1r r , C24 
, C25  2 2  2 r r , C33 
,
2
dr
dr
2  1  
1 
1 
1 
C11 

C36 

E3
E b
 E3
E3
E b
E2
, C44 
 3s s , C45 
, C55 
 3r r ,
2
2
2
1 

ds
dr
1 
1 
1 

C63 

E
E2
, C66  3 ,
2  1  
1 

với
h/2

1

�1

1 �

�


hcore  e0
� Em �
�Eshdz  EchFG  2 Emc hFG �
�k  1 N  1 �

�

E1 

h/ 2
h/2

1

�h

FG

�zEsh dz  4 Emc hFG �
�k  2

E2 

h / 2
h/2

E3 

E

 h  hcore 
�z Esh dz  12c �
� FG
2

h/ 2

3

hFG  hcore
k 1



2hcore �
,
 �
�

�
hFG  hcore
h
 FG �,
N 1
N 2�

 hcore3 �
�

2
2
�h3
2hFG
hFG  hcore  hFG  hFG  hcore  �


FG
3
2
�
�


�
Emc �
hcore 3 e0 hcore   8
k

3
k

2
k

1
�

 Em �

2
2�
8 � h3
12
2 3
�
2

h
(
h

h
)
h
(
h

h
)
FG
FG FG
core
FG FG
core
�
�
�



N 2
N 1
�N 3
�
h/ 2
1
1

1 
Esh sh Tdz 
10 hT .
�
1  h / 2
1 



10h 

h/2

�Esh shdz  Em m

h/ 2



hFG
2

e0 2 �
a�


4
e

�

�
0
�
4 �

�
1 �
1 �
�
�1
� 1
2 Ec c    c Emc  Ec mc  �


� Emc mc �
�
�
�
�k  1 N  1 �
�2k  1 2 N  1 �
�
�

9

�
�
�
�

Trường hợp 1 (Case 1): Gân được gia cường phía trong của trụ
h / 2  hs

h

�Es ( z )dz  Ec hs  Emc k2 s 1 ,

E1s 

h/2

E2 s 
E3s 

h / 2  hs

�zEs ( z )dz  Ec

h/ 2
h / 2  hs

2
�z Es ( z)dz  Ec

h/2
h / 2  hs
bs

1Tx 

Es s Tdz
h/2
h / 2  hs

�

ds

bs
ds

0 x hs 
E1r 

�h 2
hs 2  hs h
hs h �
 Emc � s 
,
�
2
�k2  2 2k2  2 �
� h3
3hs h 2  6hs2h  4hs3
h2h
h h2 �
 Emc � s  s  s
,
�

12
�k2  3 k2  2 4k 2  4 �

 0 x hs T

�Es s dz 

h/ 2

bs hs
ds

h /2 hr

�
1
1 �
Ec c   Emc c  Ec mc 
 Emc mc
�
�
k2  1
2k 2  1 �
�

h

�Er ( z )dz  Ec hr  Emc k3 r 1 ,

h /2

E2 r 

h /2 hr

�zEr ( z )dz  Ec

h /2

h / 2  hr

�h 2
hr 2  hr h
hr h �
 Emc � r 
,
�
2
�k3  2 2k3  2 �

� hr3
3hr h2  6hr2 h  4hr3
hr2 h
hr h 2 �
E3r  �z Er ( z )dz  Ec
 Emc �


,
�

12
�k3  3 k3  2 4k3  4 �
h/2

1Ty 

br
dr

h / 2  hr

�Err Tdz  0 y hr T

h/ 2
h / 2  hr

br
dr

0 y hr 

2

�Er r dz 

h/ 2

br hr
dr

�
1
1 �
Ec c   Emc c  Ec mc 
 Emc mc
�
�
k3  1
2k3  1 �
�

Trường hợp 2 (Case 2): Gân được gia cường phía ngoài của trụ
E1s 

h / 2

h

�Es ( z)dz  Ec hs  Emc k2 s 1 ,

 h / 2  hs

E2 s 

h/ 2

� zEs ( z )dz   Ec

 h / 2  hs
 h /2

�h 2
hs h  hs 2
hs h �
 Emc � s 
�,
2
�k2  2 2k 2  2 �

� hs 3
3hs h 2  6hs 2h  4hs 3
hs 2h
hs h 2 �
E3 s  � z Es ( z )dz  Ec
 Emc �


�
12
�k2  3 k2  2 4k2  4 �
h / 2h
2

s

1Tx 

bs
ds

h / 2

�Es s Tdz  0 x hs T

 h / 2  hs

10


h/ 2

bs
ds

0 x hs 

�Es s dz 

 h / 2  hs

bs hs
ds

�
1
1 �
Ec c   Emc c  Ec mc 
 Emc mc
�
�

k2  1
2k 2  1 �
�

h / 2

h

�Er ( z )dz  Ec hr  Emc k3 r 1

E1r 

 h / 2  hr
h / 2

� zEr ( z )dz   Ec

E2 r 

 h / 2  hr
h / 2

2
� z Er ( z)dz  Ec

E3r 

 h / 2  hr

1Ty 

br
dr

0 y hr 

�h 2
hr h  hr 2
hr h �
 Emc � r 
�
2
�k3  2 2k3  2 �
�h 3
3hr h 2  6hr 2 h  4hr 3
h 2h
h h2 �
 Emc � r  r
 r
�
12
�k3  3 k3  2 4k3  4 �

h / 2

� Er r Tdz  0 y hr T

 h / 2  hr

br

dr

h / 2

�Er r dz 

 h / 2  hr

br hr
dr

�
1
1 �
Ec c   Emc c  Ec mc 
 Emc mc
�
�
k3  1
2 k3  1 �
�

ở đây bs và br tương ứng là độ rộng của gân dọc và gân vòng, ds và dr là
khoảng cách giữa hai gân dọc và gân vòng.
Từ phương trình (9) ta giải biến dạng qua các thành phần lực dãn Nij là
*
* T
 0x  C *22 N x  C12* N y  C14* k x  C15* k y  C16
1  C 22
1x  C12* 1Ty

*
 0y  C12* N x  C11* N y  C *24 k x  C *25 k y  C26
1  C12* 1Tx  C11* 1Ty
*
*
 0xy  C 33
N xy  C 36
k xy

trong đó
*
*
  C22C11  C122 , C 22
 C22 / , C12
 C12 / , C14*   C12C24  C22C14  / ,
*
C15
  C12C25  C22C15  /  ,

*
C16
  C22  C12  / , C11*  C11 /  ,

*
C *24   C12C14  C11C24  / , C *25   C12C15  C11C25  / , C26
  C11  C12  / ,
*
C 33
 1 / C33 ,

*
C 36
 C36 / C33.

11

(11)


Tiếp tục thế các biểu thức (11) vào biểu thức của Mij trong (10) suy ra
*
*
*
*
*
* T
* T
M x  D14
N x  D24
N y  D44
k x  D45
k y  D46
1  D14
1x  D24
1 y  2  2Tx ,
*
*
*
*
*

* T
* T
M y  D15
N x  D25
N y  D54
k x  D55
k y  D56
1  D15
1x  D25
1 y  2  2Ty ,
*

M xy  D63 N xy 

(12)

*
D66
k xy ,

trong đó
*
*
*
*
D14
 C14C *22  C24C12* , D44
 C44  C24C 24
 C14C14* , D24
 C24C11*  C14C12* ,





*
*
*
*
*
*
D45
 C14C15*  C24C *25  C45 , D46
 C14C16
 C24C26
, D15
 C15C 22
 C25C12* ,
*
*
*
D54
 C15C14*  C25C *24  C45 , D25
 C25C11*  C15C12* , D55
 C15C15*  C25C *25  C55 ,





*
*
*
D56
 C15C16
 C25C26
,

D*63  C63C *33 ,

*
D66
 C66  C63C *36 ,

Theo lý thuyết vỏ Donnell, ta có phương trình cân bằng của vỏ trụ là
N x , x  N xy , y  0,
N xy ,x  N y , y  0,
M x, xx  2M xy, xy  M y , yy 

Ny
R

 N x w, xx  2 N xy w, xy  N y w, yy





 K1w  K 2 w, xx  w, yy  0

(13)

Để biến đổi hệ phương trình này, ta đưa vào hàm hàm ứng suất f ( x, y )
sao cho
N x  f, yy ,

N y  f, xx ,

N xy   f, xy

(14)

Khi đó, ta thấy rằng hai phương trình đầu của (13) tự thỏa mãn.
Thế (12) và (14) vào phương trình thứ ba của (13), với lưu ý biểu thức (4),
ta thu được
11w, xxxx  12w, xxyy  13w, yyyy  14 f , xxxx  15 f , xxyy  16 f , yyyy


1
f , xx  f, yy w, xx  f , xx w, yy  2 f , xy w, xy  K1w  K 2 w, xx  w, yy  0
R



trong đó

12



(15)






*
*
*
*
*
11   D44
, 12   D45
 2 D66
 D54
, 13   D55
,
*
14  D24
,





*
*
15  D14
 2 D*63  D25

,

*
16  D15
.

(16)

Phương trình (15) có hai hàm cần tìm là hàm độ võng w và hàm ứng suất f,
để xác định hai hàm này ta cần tìm thêm một phương trình nữa mô tả quan hệ
của hai hàm này. Muốn vậy ta thế biểu thức (14) vào phương trình tương thích
(6), sau một số tính toán ta thu được
11 f, xxxx  12 f, xxyy  13 f , yyyy  14w, xxxx  15 w, xxyy  16 w, yyyy
 w,2xy  w, xx w, yy 

(17)

1
w, xx  0
R

trong đó
11  C11* ,

*
12  C 33
 2C12* ,





13  C *22 ,

*
14  C *24 , 15   C14*  C *25  C 36
, 16  C15* .

Hai phương trình (15) và (17) là các phương trình chủ đạo được dùng để
giải bài toán ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ trụ làm bằng vật liệu sandwich ba
lớp có gân gia cường lệch tâm chịu tải xoắn.

13


Chương 2 – Phương pháp giải
2.1. Điều kiện biên và dạng nghiệm
Xét vỏ trụ có bán kính R, độ dầy h và độ dài L chịu tải xoắn ở hai đầu
của vỏ trụ với cường độ  . Hệ tọa độ (x,  , z), y R được cho như hình 1.
Điều kiện biên ở hai đầu của vỏ được xét đến ở đây là tựa đơn ở hai đầu:
w  0, M x  0, N xy   h tại x=0 và x=L.

Độ võng được chọn thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa trung bình [15, 28]
w  w( x, y )   0  1 sin  x sin   y   x    2 sin 2  x ,

(19)

trong đó   m / L,   n / R , m số nửa sóng dọc trục và n là số sóng theo
phương vòng và λ là tan góc hợp bởi đường thẳng y   x với đường sinh của
vỏ trụ. Trong biểu thức (19), thành phần đầu của w là độ võng ở hai đầu x=0 và

x=L, thành phần thứ hai là độ võng tuyến tính, và thành phần cuối cùng là độ
võng phi tuyến.
Thế (19) vào (17) ta có
11 f, xxxx  12 f, xxyy  13 f , yyyy  G01 cos 2 x  G02 cos 2   y   x 
� �
� �
��
��
G03 cos  �
y  �   �x � G04 cos  �
y  �   �x �
��
��
� �
� �
�
�
� �
� �
��
��
�
�
G05 �
cos  �
y �
3   �x � cos  �
y�
3   �x �
�,

��
��
�
�
� �
� �

(20)

trong đó
� 2�
1�1
�
1
G01  �
2 2 �
4 14 2  � 12 2  2 �, G02  12 2  2 ,
R� 2
2
�
�
�
2
�1
1 �1
1
2
�
G03  1 � 14 � 2   2 2   2  � �  15 2 � 2   2 2  16 4
�

� 2 �R
�
�
2
�
�2







1
� 1
�
�
2 2
  �
2 14  2   2 2   15 2 �
� 1 2  ,
R
2
�
�
�
2
1 � � 2
2
�1

�
G04  1 �
 14    2 2   2  � �  15  2 � 2   2 2
�
� �R
�
2 � �
�















1
� 1
�
�
2 2
 16  4  2 �
214  2   2 2   15 2 �

� 1 2 
R
2
�
�
�





14


1
G05  1 2 2  2
2

(21)

Nghiệm tổng quát của phương trình (20) cho vỏ chịu xoắn trên nền đàn hồi
trong môi trường nhiệt độ có dạng
� �
� �
��
��
f  G1 cos 2 x  G2 cos 2  y   x   G3 cos  �
y  �   �x � G4 cos  �
y  �   �x �
��

��
� �
� �
� �
� �
��
��
G5 cos  �
y�
3   �x � G6 cos  �
y�
3   �x �  hxy ,
(22)
��
��
� �
� �

trong đó  là cường độ tải xoắn và các hệ số Gi được cho bởi
G1 
G2 
G3 

G4 

G5 

G6 

G01

 A11 2  A1212 ,
16 11 4
G02

 A2112 ,
16  �
11  12  13 �
�
�
4

4

2

G03

 A311  A321 2
4
2
�
�
�
�
�
�

,
4�
11 �   � 12 �   � 13 �


�
�
�
�
�
� �
�
G04

 A411  A421 2
4
2
�
�
�
�
�
�
,
4 �
11 �   � 12 �   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�

G05

 A51 2
4
2
�
�
�
�
�
�
,
4�
11 �
3   � 12 �
3   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�
G05

 A61 2
4
2
�

�
�
�
�
�


,
4 �
11 �
3   � 12 �
3   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�

với
A    ,
2

2

2

A11 

414 2  1 / R
811 2

, A12 

2
2
A

, 21 32 2 �
,
11 4  12 2  13 �
32 11 2
�
�

15


1�
�
1
2
�1
�
�
�
 �
 14 �

A2   2  � �  15  2 �A  16  4 �  �
214 A   15  2 �
�
� �R
2�
R
�
�
�
A31 
4
2
,
� �
�
�
�
�
4 �
11 �   � 12 �   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�
A32 

2
4
2
� �
�
�
�
�
2 �
11 �   � 12 �   � 13 �,

�
�
�
�
�
� �
�
2

1
2
�1
�
�
�
 14 �
A2  2  � �  15  2 �A  16  4  2 �
214 A   15  2 �
� 

� �R
R
�
�
�
A41 
4
2
,
� �
�
�
�
�
4
2 �
11 �   � 12 �   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�
A42 

 2
4
2

� �
�,
�
�
�
2 �
11 �   � 12 �   � 13 �

�
�
�
�
�
� �
�
2

A5 

2
4
2
� �
�,
�
�
�
2 �
11 �
3   � 12 �

3   � 13 �
�
�
�
� �
�
�
�
2

A6 

 2
4
2
� �
�.
�
�
�
2 �
11 �
3   � 12 �
3   � 13 �

�
�
�
�
�

� �
�
2

Thay w và f vào vế trái của phương trình (15), sau đó áp dụng phương
pháp Galerkin trên miền 0 �y �2 R và 0 �x �L , dẫn đến





�
2 h 2  D1  D2 2  D312  D4 22  K1  K 2  2   2 2   2 �
 0
�
�1

(23)

D5 2  D612  D7 12 2  4 K10  3K1 2  4 K 2 2 2  0

(24)

trong đó

16




D1  11 � 2   2 2
�
�



2





2
  2  � 12  2  2   2 2  13 4
�
�

4
2
� �
�
� �
�
�
1 �
 A31 �
14 �   � �
15 





�
� 16 �
2 �


R

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4

4
2
� �
�
� �
�
�
1 �
 A41 4 �

14 �   � �
15 




�,
�
16
�
�
2


R

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
2
� �
�

� �
�
�
1 �
D2   A32  �
14 �   � �
15 




�
�
16
�
�
2


R

�
�
�
�
�
�
�
�
�

�
4

4
2
� �
�
� �
�
�
1 �
    A31  A41  2 A11   A42  �
14 �   � �
15 




�
� 16 �,
2 �


R

�
�
�
�
�

�
�
�
�
�
2

2

4

D3  2  A21  A12   2  2 , D4    A32  A42  A5  A6   2  2 ,
�
1� �
�
D5  8 2 �
211 2  �
414 2  �A11 �
,
R� �
�
�
1�
�
D6  8 2 A12 �
414 2  � 2  A31  A41   2  2 ,
R�
�
D7  2 2  2   A32  A42  A5  A6  .

Ngoài hai phương trình (23) và (24), vỏ trụ tròn cần thỏa mãn điều kiện
chu vi kín [15, 28]
2 R L

2 R L

�0

v, y dxdy  �

�
��
�
�
0 0

y



0 0

w 1 2�
 w, y �
dxdy  0 .
R 2
�

(25)

Sử dụng các phương trình (11), (14), (19) và (22), ta được





1
* T
2 0   2  R 12  2  2 R C *26 1  C12
1 x  C11* 1Ty  0 .
4

(26)

Hệ phương trình (23), (24) và (26) được sử dụng để phân tích ổn định phi
tuyến của vỏ trụ sandwich chịu tải xoắn trên nền đàn hồi trong môi trường
nhiệt độ.
Trong trường hợp 1 �0 , khử 0 và  2 từ các phương trình (23), (24) và
(26) sau đó giải  theo 1 dẫn tới biểu thức hiển để biểu diễn quan hệ   1
như sau:

17






2 D612  K1R12  2  8K1R C *26 1  C12* 1Tx  C11* 1Ty
1 �

�
 
D  D2
 D312
2 �1
2
2
2 h  �
2 D5  D7 1  K1  4K 2
�






�
� K  K
2

�2 D612  K1R 2  2  8K1R C * 1  C *  Tx  C *  Ty
1
26
12 1
11 1
 D4 �
2
2
�
�

2 D5  D7 1  K1  4 K 2
�
�





1

2



�
�
    �
�
�
2

2 2

2



(27)
Biểu thức (27) dùng để phân tích trạng thái tới hạn và vẽ đường cong sau
tới hạn phi tuyến của vỏ trụ sandwich có gân gia cường trên nền đàn hồi trong

môi trường nhiệt độ.
Nếu bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ, từ phương trình (27) ta có:
2 D612  K1R 12  2
1 �
�
 
D  D2
 D312
2 �1
2
2
2 h  �
2 D5  D7 1  K1  4 K 2
�





� 2 D  2  K R 2  2
6 1
1
1
 D4 �
2
�
2 D5  D7 1  K1  4 K 2 2
�



2



�
� K1  K 2  2   2 2   2
�
�





�
�
�
�
�

(28)
Phương trình (28) được sử dụng để phân tích trạng thái tới hạn và đáp ứng
sau tới hạn của vỏ trụ trên nền đàn hồi.
Nếu không có nền tức là K1  K 2  0 , phương trình (28) trở thành:





D4 D612

1 �
D2 D612
2
 
D1 
 D31 
�
2
2 h 2  �
D

D

5
7
D5  D712
�
1



2



�
�
2�
�

(29)

Cho 1 � 0 , phương trình (29) dẫn tới biểu thức:




1
11 � 2   2 2
2
�
�
2h 





2





2
  2  � 12  2  2   2 2  13 4
�
�

4

2
� �
�
� �
�
�
1 �
 A31 �
14 �   � �
15 




�
� 16 �
2 �


R

�
�
�
�
�
�
�
�
�

�
4

4
2
�
� �
�
� �
�
�
1 �
�
�
 A41 �
14 �   � �
15 




�
� 16 �,
2 �

R �
�
�
� �
�

�
�
� �
�
�
4

và phương trình (27) suy ra:
18

(30)