PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ĐẠI SỐ 10

CÁC DẠNG TOÁN
BÀI 3_CHƢƠNG 3_ĐẠI SỐ 10: PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU
ẨN
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

TÊN DẠNG TOÁN

GHI
CHÚ

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Xác định nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn
Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh
Giải hệ phương trình ba ẩn với hệ số tường minh
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có 1 nghiệm duy nhất
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn vô nghiệm, có nghiệm
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có vô số nghiệm.
Tìm điều kiện để hệ 3 ẩn có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 2 ẩn.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 3 ẩn.

BÀI 3: PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I–

TH

T

1. Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
Có dạng ax  by  c (a, b, c  , a2  b2  0) .
Cặp số ( x0 ; y0 ) gọi là nghiệm của phương trình ax  by  c nếu ( x0 ; y0 ) thỏa mãn phương trình

ax  by  c .
Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt phẳng Oxy là một
a
c
x .
b
b
2. Hệ hai phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
a1 x  b1 y  c1
Có dạng 
với x, y là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
a2 x  b2 y  c2
đường thẳng d : ax  by  c  y 

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b

c
Ký hiệu: D  1 1  a1b2  a2b1 , Dx  1
a2 b2
c2

b1
a
 c1b2  c2b1 , Dy  1
b2
a2

t
D0

D0

Dx  0 hoặc Dy  0
Dx  Dy  0

c1
 a1c2  a2c1.
c2

t qu
Hệ có nghiệm duy nhất x 
Hệ vô nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm.

Dy
Dx

, y

D
D


Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp
thế, phương pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x; y) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M ( x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:

(d1 ) : a1x  b1 y  c1 và (d2 ) : a2 x  b2 y  c2 .
 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau 

a1 b1

a2 b2

 Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d 2 ) song song với nhau 
 Hệ ( I ) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d 2 ) trùng nhau 

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

3. Hệ ba phƣơng trình bậc nhất ba ẩn

a1 x  b1 y  c1 z  d1

Có dạng: a2 x  b2 y  c2 z  d 2 với x, y , z là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
Cách giải: Giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bằng phương pháp thế.
II – DẠNG T
N
1. D ng 1: Biểu diễn tập nghiệm của phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
Phƣơng ph p gi i: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt
phẳng Oxy là một đường thẳng d : ax  by  c . Vẽ đường thẳng d : ax  by  c đi qua hai điểm

c
c
A(0; ), B( ;0) thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c .
b
a
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

01
-2

A. x  y – 2  0 .

B. x  y  2  0 .

C. 2x  y  2  0 .
i gi i

Chọn D.
Cách 1: Giải theo t luận

D. 2x  y – 2  0 .


Gải sử đường thẳng có phương trình y  ax  b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (1;0),(0; 2) nên tọa
a  b  0
a  2
độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ 

b  2
b  2

Vậy đường thẳng có phương trình: y  2x  2  2x  y  2  0
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm (1;0),(0; 2) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,
phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.
Thay điểm (1;0) vào đáp án A, ta được: 1  0 không thỏa mãn. Loại A, tương t ta loại B và C.
Chọn đáp án D.
V dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

A. 3x  2 y  6  0 .

3

B. 3x  2 y  6  0 .
C. 3x  2 y  6  0 .
-2

O

x

D. 3x  2 y  3  0 .
i gi i
Chọn .
Cách 1: Giải theo t luận
Gải sử đường thẳng có phương trình y  ax  b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (2;0),(0;3) nên tọa
3

2a  b  0
a 
độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ 

2
b  3

b  3

Vậy đường thẳng có phương trình: y 

3
x  3  3x  2 y  6  0

2

Ta chọn đáp án A.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm (2;0),(0;3) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,
phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.
Thay điểm (2;0),(0;3) vào đáp án A: thỏa mãn. Chọn đáp án A.


B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BI T.
Câu 1:

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

0
-1

A. x  2 y – 2  0 .
Câu 2:

2

B. x  2 y  2  0 .

x

C. 2x  y  2  0 .

D. 2x  y – 2  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y
1
0
-1

A. x  2 y  0 .
Câu 3:

2

B. x  2 y  0 .

x

C. 2 x  y  0 .

D. 2 x  y  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y
-3

1
0
-1

A. 2 x  5 y  1  0 .

Câu 4:

2

B. 2 x  5 y  1  0 .

x

C. 2 x  5 y  1  0 .

D. 2 x  5 y  1  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?


y
2
1
01
-1

A. 3x  2 y  7  0 .
Câu 5:

3

x

C. 3x  2 y  7  0 .

B. 3x  2 y  7  0 .

D. 3x  2 y  7  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

2

-2

0
-1

x

-3

C.  x  2 y  4 .

B. x  2 y  4 .

A. x  2 y  4 .

D. x  2 y  4 .

TH NG HIỂ .
Câu 6:

Cho các hình sau:

y
O 1

y

3

x

y

3

3
-3

O 1

-3

Hình 1

y

3

O 1

x

-3

x
-3

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  y  3  0 ?
A. Hình 3.
Câu 7:

Cho các hình sau:

B. Hình 1.

O 1

C. Hình 2.

D. Hình 4.

x


y

y

y

1
x

O

x

1

1

1

1

1
O

y

-1

x

O

x

O
-1

Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
-4
Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4 x  2 y  3-4 0 ?
A. Hình 1.
Câu 8:

B. Hình 3.

C. Hình 2.

D. Hình 4.

Cho các hình sau:
y

y

3

-2
-5

1
0
-1

y
5

1
0
-1

5

01
-1

y
2
01

-3

Hình 1

Hình 2

Hình 3

5

Hình 4

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  2 y  5  0 ?
A. Hình 4.

Câu 1
A

B. Hình 1.

C. Hình 2.

Đ P N CÂ HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
A
C
B
B
C
C

D. Hình 3.

Câu 8
B

2. D ng 2: c định đƣợc nghiệm của phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
Phƣơng ph p gi i: C p ố ( x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình ax  by  c nếu ax0  by0  c
thỏa mãn.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 3x  2 y  6  0 ?
 3
A.  1;  .
 2

B.  2;  6  .

C.  3;  2  .

D.  2; 6  .


i gi i
Chọn B.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương
trình.
V dụ 2: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình 2 x  5 y  3  0 ?
 5
A.  0;  .
 3

 3 
C.  ;0  .
 2 

B. 1;1 .

D.  6;3  .

i gi i
Chọn .
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào không thỏa mãn thì đó không phải là
nghiệm của phương trình.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BI T.
Câu 1:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x  2 y  3  0 ?
 3 
A.  0;  .
 2 

Câu 2:

B. 1;1 .

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
A.  0;3  .

B.  2;3  .

C.  5;1 .

D.  3;  3 .

x y
 1  0 ?
2 3
C.  2; 0  .

D.  2;  3 .

Câu 3:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 4x  5 y  2 ?

Câu 4:

1 1
 1 1 
 1 1 
A.  ;  .
B.  ;  .
C.  ;  .
 4 5
 4 5
 4 5 
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 4 x  5 y  2 ?

Câu 5:

1 1
 1 1 
 1 1 
 1 1 

A.  ;  .
B.  ;  .
C.  ;  .
D.  ;  .
 4 5
 4 5 
 4 5
4 5 
Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x  y  2 ?

A.  1;  1 .
Câu 6:

D.  0; 2  .

x y
  1 ?
2 3
C.  4;3  .
D.  0;  3 .

B.  2; 0  .

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
A.  1;1 .

Câu 8:

C.  3;1 .

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
A.  4;9  .

Câu 7:

B.  2; 0  .

 1 1 
D.  ;  .
4 5 

B. 1;1 .

 1
C.  0;  .
 4

3x
1
 2y  ?
2
2
 1 
D.  ; 0  .
 3 

THÔNG HIỂ
Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x  y  2 ?

Câu 9:

C.  2  x0 ; x0  .

B.  x0  2;  x0  .

A.  x0 ;  2  x0  .

D.  1  x0 ;1  x0  .

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2 x  y  1  0 ?
C.  2  x0 ; 2 x0  3 .

B.  x0  1;  2 x0  .

A.  x0 ;1  2 x0  .

D.  1  x0 ;1  2 x0  .

Câu 10: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x  2 y  3  0 ?
B.  2a  2; a  1 .

A.  2a  3; a  .

Câu 11: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
B.  2b  1;3b  1 .

A.  2b  1;3b  1 .

C.  5  2a; a  1 .

D.  1  2a;1  a  .

x y 5
   0?
2 3 6
C.  2b  1;  3b  1 .

D.  2b  1;3b  1 .

Câu 12: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình 3x  y  4  0 ?
C.  t ;  4  3t  .

B.  t  1;1  3t  .

A.  t ; 4  3t  .

Câu 1

Câu 2

Câu 3

B

C

D

D.  2t ; 4  6t  .

Đ P N CÂ HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 2
Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9
A

D

A

A

D

A

Câu
10
A

Câu
11
B

Câu
12
C

3. D ng 3: Gi i hệ phƣơng trình hai ẩn với hệ ố tƣ ng minh
Phƣơng ph p gi i:
Tự luận: Dùng phƣơng ph p cộng đ i ố ho c phƣơng ph p thế, ho c định thức Crame.

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b
c b
a c
Ký hiệu: D  1 1  a1b2  a2b1 , Dx  1 1  c1b2  c2b1 , Dy  1 1  a1c2  a2c1.
a2 b2
c2 b2
a2 c2
t
D0

D0

Dx  0 hoặc Dy  0
Dx  Dy  0

t qu
Hệ có nghiệm duy nhất x 

Dy
Dx
, y

D
D

Hệ vô nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt phẳng Oxy là một

c
c
đường thẳng d : ax  by  c . Vẽ đường thẳng d : ax  by  c đi qua hai điểm A(0; ), B( ;0)
b
a
thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c .
A. VÍ DỤ MINH HỌA


 2x  y  1
V dụ 1: Nghiệm của hệ: 
là:

3x  2 y  2
A.







2  2; 2 2  3 .









B.



D. 2  2; 2 2  3 .

2  2; 2 2  3 .

C. 2  2;3  2 2 .


L i gi i
Chọn C.
Cách 1: Giải theo t luận: hương pháp thế





Ta có : y  1  2 x  x  2 1  2 x  2  x  2  2  y  3  2 2 .
Ta chọn đáp án C
Cách 2: Bấm máy
Sử dụng MTCT: Bấm theo cú pháp: MODE – 5 -1, nhập các hệ số ở 2 phương trình của hệ, bấm
tiếp phím =, = để đọc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.

x  2 y  1

V dụ 2: Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3x  6 y  3
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. Vô số nghiệm.

Chọn D.
i gi i
Cách 1: Giải theo t luận
Ta lập các tỉ số :

1 2 1
 
3 6 3

 Hệ phương trình có vô số nghiệm
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Chọn đáp án D.
6 5
x  y  3

Ví dụ 3: Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 9  10  1
 x y

A. (3; 5)

1 1
B. ( ; )
3 5

C. (3;5)

Chọn C.
i gi i
Cách 1: Giải theo t luận

1
1
Đặt ẩn phụ : u  , v  .
x
y

D. (

1 1
; )
3 5


1

u

6u  5v  3

12u  10v  6

3
Hệ phương trình trở thành 


9
u

10
v

1
9
u

10
v

1
1


v 

5


x  3


y  5
Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản rồi bấm máy, sau đó lấy nghịch đảo là đc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.

 x  1  y  0
Ví dụ 4 : Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
2 x  y  5
A. x  3; y  2.
B. x  2; y  1.
C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

Chọn B.
L i gi i
Cách 1: Giải theo t luận
Từ phương trình 2, rút y theo x, rồi thay vào phương trình 1.

 x 1  5  2x
 x  2  y  1 . Chọn B.
Ta có : x  1  2 x  5  0  5  2 x  0  
 x  1  5  2 x
Cách 2: Giải theo trắc nghiệm: Lần lượt thay các đáp án vào hệ, đáp án nào thỏa mãn thì ta chọn
đáp án đó. Chọn B.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Nghiệm của hệ:

2x
3x

A.
C. 2

2

2; 2 2

3

2; 3 2 2

y
2y

1

là:

2
B.
D. 2

2

2; 2 2

3

2; 2 2

3


Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình

( 2

1)x

2x ( 2
1
2

A. 1;

B.

1;

y

2

1) y

2 2

1
2

1

là:

D. 1; 2

C. 1; 2

2x 3y 4
là tập hợp nào sau đây.
6x 9 y
12

Câu 3. Tập hợp các nghiệm (x, y) của hệ phương trình :
A.Một đường thẳng.

B.Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

C.Nửa mặt phẳng.

D.

2x
4x

Câu 4. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x, y) :

A.0

B.1

17
;
23

7
23

Câu 6. Tìm (x, y) sao cho :
4
11
;
19 19

A.

B.

3x 4 y
2x 5y

D.Vô số

1
3

17 7

;
23 23

C.

17
;
23

C.

4 11
;
19 19

7
23

D.

17 7
;
23 23

D.

4
11
;
19 19

5x 7 y 3 0
2x y 1 0
B.

4 11
;
19 19

Câu 7. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
A. 0.

5
10

C.2

Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình:
A.

3y
6y

2 x  3 y  5
4 x  6 y  10

 x; y  : 

B. 1.

C. 2.

D.Vô số.

7 
 17
C.   ;   .
 23 23 

 17 7 
D.  ;  .
 23 23 

3x  4 y  1
Câu 8. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 
2 x  5 y  3
7 
 17
;  .
 23 23 

A. 

 17 7 
B.   ;  .
 23 23 

0,3x  0, 2 y  0,33  0
Câu 9. Tìm nghiệm  x; y  của hệ : 
1, 2 x  0, 4 y  0, 6  0

A.  –0, 7; 0, 6  .

B.  0, 6; –0, 7  .

C.  0, 7; –0, 6  .

x  2 y  2
Câu 10. Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3x  6 y  3
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. Vô nghiệm.

D. Vô số nghiệm.


Câu 11. Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất?
x  2 y  2  0
x  2 y  2  0
A. 
.
B.  2
.
C.
2 x  y  3  0
y 3  0

x  y 1  0
.

2 x  2 y  3  0

 x2  y  2  0
D. 
2 x  2 y  0

x  3y  5  0
Câu 12. Giải hệ phương trình 
có nghiệm là
2 y  4  0
A. 1; 2  .

B.  1; 2  .

C. 10;5  .

D.  10; 5  .

2 x  y  3
Câu 13. Giải hệ phương trình 
ta được kết quả là?
4 x  2 y  6  0
A. có nghiệm  x; 2 x  3 x 

.

B. vô nghiệm.

D. có nghiệm   x; y  .

C. có nghiệm (2;1).





 2  1 x  y  2  1
Câu 14. Nghiệm của hệ phương trình 
là:
2
x

2

1
y

2
2

1
1


A.  1;   .
B.  1;  .
C. 1; 2  .
2

2







D. 1; 2  .


2  x  y   3  x  y   4
Câu 15. Hệ phương trình : 
. Có nghiệm là

 x  y   2  x  y   5
 1 13 
A.  ;  .
2 2 

 1 13 
B.   ;   .
 2 2

 13 1 
C.  ;  .
 2 2

 13 1 
D.   ;   .

2
 2

3x  y  1
Câu 16. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính x0  y0
6 x  3 y  5
A.

11
3

B.

2
3

C.

7
3

D. 3

2 x  y  11
Câu 17. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính x02  y02
5 x  4 y  8
A. 16

B. 25

C. 9

D. 5

2
3
x

y  16
 4
3
Câu 18. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính 2x02  y03
 5 x  3 y  11
 2
5
A. 8
B. 15
C. 3503
D. 3439

x  8
. Do đó đáp án đúng là C.
y

15


Đ p n ai : Giải hệ T ta được 


3 2
 x  y  7

Câu 19. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
5  3 1
 x y

A.  1; 2 
4
x 

Câu 20. Hệ phương trình 
2 
 x

B. 1; 2 

1
C. (1;  )
2

D. (1;2)

C. (1;2)

D. (1;2)

1
3
y 1
có nghiệm là:
2
4
y 1

A. (1;0)

B.  1; 0 

2
 6
 x  2y  x  2y  3

Câu 21. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 3  4  1
 x  2 y x  2 y

7 5
A. ( ; )
9 6
 3
 x 1 

Câu 22. Hệ phương trình 
 2 

 x  1

2 7
A. ( ; )
5 5

B. (

3 87
;
)
70 140

C. (

3 87
;
)
70 140

D. (

7 5
; )
9 6

D. (

7 2
; )

2 7

2
4
y 1
có nghiệm là:
3
5
y 1

B. (

2 7
; )
5 5

7 2
C. ( ; )
2 7

 x  1  y  0
Câu 23. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
2 x  y  5
A. x  3; y  2.
B. x  2; y  1.
C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

 x  3 y  1
Câu 24. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
 x  y  3
A. (5;2),(2; 1).
B. (5; 2),(2; 1).
C. (5; 2),(5;2).

D. (2;1),(2;1).


2 x  y  7
Câu 25. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
3
x

5
y

9




A. (

43 3
; )
13 13

B. (

43 3
; )
13 13

C. (

26 3
; )
7 7

D. (

26 3
; )
7 7

Đ P N VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI
Câu
1
C
Câu
14
D

Câu
2
D

Câu
15
B

Câu
3
A
Câu
16
A

Câu
4
D
Câu
17
A

Câu
5
A
Câu
18
C

Đ P N DẠNG 3
Câu
Câu
Câu
6

7
8
C
D
A
Câu
Câu
Câu
19
20
21
C
A
B

Câu
9
C
Câu
22
C

Câu
10
A
Câu
23
B

Câu

11
A
Câu
24
A

Câu
12
A
Câu
25
D

Câu
13
A

4. D ng 4: Gi i hệ phƣơng trình ba ẩn với hệ ố tƣ ng minh
hương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax  by  cz  d ,
trong đó x, y , z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.
a1 x  b1 y  c1 z  d1

- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác là b2 y  c2 z  d 2
1
c z  d
3
 3
Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) ta tính được z , thay vào phương trình thứ hai tính

được y rồi thay vào phương trình đầu tính được x.

-

a1 x  b1 y  c1 z  d1

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

 2

Trong đó x, y , z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.Mỗi bộ ba số  x0 ; y0 ; z0  nghiệm đúng của
ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình  2  .
Cách giải:Bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương
trình dạng tam giác.

A. VÍ DỤ MINH HỌA
 x  y  z  1

V dụ 1: Hệ phương trình  7 y  z  5 có nghiệm là:

2z  4


A. (2;1;2).

B. (2; 1; 2).

C. (2; 1;2).
i gi i

D. (2; 1; 2).


Chọn .
Gi i tự luận:
Từ phương trình cuối suy ra z  2. thay giá trị này của z vào phương trình thứ hai, ta được y  1.
Cuối cùng, thay các giá trị của y và z vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được x  2 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y; z)  (2;1;2)
Gi i trắc nghiệm:
Bấm máy tính  Chọn A.
x  y  z  3

V dụ 2: Hệ phương trình 2 x  y  2 z  3 có nghiệm là:
 x  3 y  3z  5


A. (1; 3;–1)

B. (1; 3;–2)

C. (1; 2; –1)

D. (1; –3; –1)

i gi i
Chọn .
Gi i tự luận:
Cách 1:
Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:
x  y  z  3

3x  3z  0
 x  3 y  3z  5


Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ
x  y  z  3

x  z  0
4 x  4


Từ phương trình cuối ta có x  1, thay vào phương trình hai tính được z  1. thay đồng thời x, z
vào phương trình đầu thì y  3. Vậy nghiệm của hệ là (1;3; 1).
Cách 2:Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.


Từ phương trình đầu ta rút được z  3  x  y, đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:
z  3  x  y

2 x  y  2 z  3
 x  3 y  3z  5


z  3  x  y

Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ 3 y  9
4 x  4


Từ hai phương trình cuối dễ tính được x  1, y  3. Thay vào phương trình đầu được z  1.
Vậy nghiệm của hệ là (1;3; 1).
Gi i trắc nghiệm:
Bấm máy tính  Chọn A.
 x  2 y  3z  1

V dụ 3: Hệ phương trình  x  3 y  1
có nghiệm là
 y  3z  2


A. (2;1;1).

B. (-2;1;1).

C. (2;-1;1).

D. (2;1;-1).

i gi i
Chọn .
Giải tương tự Ví dụ 2.

3 x  y  3z  1


V dụ 4: Gọi  x0 ; yo ; z0  là nghiệm của hệ phương trình  x  y  2 z  2 . Tính giá trị của biểu thức
 x  2 y  2 z  3

P  x02  y02  z02 .
A. P  2.

B. P  14.

C. P  3.

D. P  1.

i gi i
Chọn C.
Tương t các ví dụ trên, giải được  x0 ; yo ; z0  = (1;1;1) thay vào P được kết quả P  3.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN


Câu 9:

3x  2 y  z  7

Nghiệm của hệ phương trình 4 x  3 y  2 z  15 là:
 x  2 y  3z  5


A. (-10; 7; 9)

B. (5; -7; 8)

C. (-10, -7; 9)

D.( -5; -7; -8)

Câu 10: Bộ  x; y; z   1; 0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
2 x  3 y  6 z  10  0

A.  x  y  z  5
.
 y  4 z  17


 x  7 y  z  2

B. 5 x  y  z  1 .
x  y  2z  0


2 x  y  z  1

C.  x  y  z  2 .
 x  y  z  2


 x  2 y  z  2

D.  x  y  z  4 .
 x  4 y  z  5



x  2 y  1

Câu 11: Hệ phương trình  y  2 z  2 có nghiệm là ( x0 ; y0 ; z 0 ) thì giá trị của biểu thức
z  2x  3


F  2 x0  y0  3z 0 là:
A.4

B.5

C.2

D.6

3x  2 y  z  2

Câu 12: Gọi  x; y; z  là nghiệm của hệ phương trình 5 x  3 y  2 z  10 . Tính giá trị của biểu thức
2 x  2 y  3z  9


M  x yz.
A. -1
Câu 13: Gọi  x0 ; yo ; z0 

B.35

C.15

D.21

3 x  y  3 z  1

là nghiệm của hệ phương trình  x  y  2 z  2 . Tính giá trị của biểu thức
 x  2 y  2 z  3


P  x02  y02  z02 .
A. P  1.
Câu 14: Gọi  x0 ; yo ; z0 

B. P  2.

C. P  3.

D. P  14.

 x  y  z  11

là nghiệm của hệ phương trình 2 x  y  z  5 . Tính giá trị của biểu thức
3x  2 y  z  24


P  x0 y0 z0 .
A. P  40.

B. P  40.

C. P  1200.

D. P  1200.


Câu 15: Gọi  x0 ; yo ; z0 

x  2 y  1

là nghiệm của hệ phương trình  xz  z  1
. Tính giá trị của biểu thức
 xz  yz  3z  1


P  x0 y0 z0 .
A. P  0.

B. P  1.


2 2 x  1 


Câu 16: Nghiệm của hệ phương trình  2 x  1 


4 2 x  1 

A. (1;0;0).
B. (1;1;1).

C. P  2.
3
 4 z 1  1
x y
3
 z  1  1 là:
x y
1
 2 z 1  3
x y

C. (1;0;1).
i gi i

Chọn .

1

x  2

Điều kiện:  x  y
 z  1



a  2 x  1

1


Đặt b 
x y


c  z  1

2a  3b  4c  1

Hệ trở thành a  3b  c  1 .
4a  b  2c  3

a  1

Giải hệ ta được b  1 
c  1

Vậy hệ có nghiệm (1;0;0).

D. P  2.

 2x 1  1

x  1
 1

 1   y  0 thỏa mãn điều kiện.

 x y

z  0


 z 1  1

D. (1;0; 1).


Câu
1
D

Câu
2
C

Câu
3
B

Câu
4
B

Đ P N DẠNG 4
Câu
Câu
Câu
Câu
5
6
7

8
C
B
A
A

5. D ng 5:Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có một nghiệm duy nhất.
Phƣơng ph p gi i
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

a1 x  b1 y  c1 2 2
(a1  b1  0, a22  b22  0)

a2 x  b2 y  c2
Cách 1: Tính các định thức: D 

a1
a2

 D Dy
Hệ có nghiệm duy nhất  x ;
 D D


 khi D  0.


Cách 2: Nếu tỉ số:

c

b1
, Dx  1
c2
b2

a
b1
, Dy  1
a2
b2

c1
.
c2

 D Dy 
a1 b1

thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x ;

a2 b2
 D D

A. VÍ DỤ MINH HỌA

mx  y  m
V dụ 1: cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
 x  my  m
A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.
i gi i

Chọn C.
Cách 1:
Ta có: D  m2 1 .
Hệ có nghiệm duy nhất khi D  0  m  1.
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi

m 1
  m  1.
1 m

D. m  0.


3 x  my  1
V dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: 
mx  3 y  m  4
A. m  3 hay m  3.

B. m  3 và m  3.

C. m  3.

D. m  3.

L i gi i

Chọn B.
Cách 1:
Ta có : D 

3 m
 9  m2
m 3

hương trình có đúng một nghiệm khi D  0  m  3 .
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi

3
m

 m  3.
m
3

V dụ 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắtnhau

 d1  :  m2 –1 x – y  2m  5  0 và  d 2  : 3x – y  1  0
A. m  2.

B. m  2.

C. m  2 hay m  2.

D. m  2.
L i gi i

Chọn D.
Cách 1:

(m2  1) x  y  2m  5
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất
3x  y  1

 D  0  m2  4  0  m  2.
Cách 2:
Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau khi

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

m2  1 1

 m2  4  m  2.
3
1


 x  ay  5
Câu 1: Tìm tát cả các giá trị của a để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất.
ax  y  6
A. a  1.
B. a    1

C. a  1
D. a    1
mx  3 y  2m  1
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ 
có nghiệm duy nhất ?
 x  (m  2) y  m  3
A. m  1.
B. m  3.
D. m  1 và m  3.

C. m  1 hoặc m  3.
Câu 3:

Câu 4:

mx  (2  m) y  5
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình 
có một nghiệm duy nhất?
x  y  3
A. m  1
B. m  0
C. m  2
D. m  R
3x  my  1
Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất là :
2 x  5 y  3

3m  5


 x  2m  15
A. 
7
y 

2m  15
Câu 5:

3m  5

 x  2m  15
B. 
7
y 

2m  15

3m  5

 x  2m  15
C. 
 y  7

2m  15

3m  5

 x  2m  15
D. 
 y  7


2m  15

2 x  y  1
Cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
mx  y  m  1
A. m  2.
B. m  2.
C. m  2
D. m  2.
L i gi i
Chọn A.
Cách 1:
 x  0

 2 x  y  1
 mx  y  m  1
Hệ tương đương 
 x  0
  2 x  y  1

 mx  y  m  1

(1)

(2)

Tập nghiệm của hệ ban đầu là tập hợp hai tập nghiệm của hai hệ (1) và (2).
Hệ (1) có: D1  2  m; D1x  m; D1 y  1.

Hệ (2) có: D2  2  m; D2 x  3m  2; D2 y  3m  2.


 (1) co nghiem duy nhat

(2) VN
Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất khi: 
giải ta được m  2.
 (1) VN

 (2) co nghiem duy nhat
Vậy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
Thử thấy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất  loại D, A phù hợp.
Kiểm tra thấy m  2 thì hệ có vô số nghiệm  loại B.
Kiểm tra đáp án C. Ta thử lấy m tùy. VD lấy m  1hoặc m  0 ,… thấy hai hệ (1) và (2) đều có
nghiệm duy nhất và khác nhau, nên hệ ban đầu có 2 nghiệm  loại C.
Vậy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
-

Câu 6:

mx  y  3
Cho hệ phương trình : 
.Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình
 x  my  2m  1
có nghiệm nguyên là :
A. m  0, m  –2.
B. m  1, m  2, m  3.
C. m  0, m  2.

Câu 7:

Câu 8:

2 x  y  2  a
Cho hệ phương trình : 
. Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương
x  2 y  a 1
hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
1
1
A. a  1.
B. a  1.
C. a  .
D. a   .
2
2
mx  (m  2) y  5
Cho hệ phương trình : 
. Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của
 x  my  2m  3
tham số m là :
5
5
A. m  2 hay m  .
B. 2  m  .
2
2
C. m  

Câu 9:

D. m  1, m  –3, m  4.

5
5
hay m  2. D.   m  1.
2
2


 a  b  x   a  b  y  2
Cho hệ phương trình :  3 3
3
3
2
2

 a  b  x   a  b  y  2  a  b )
Với a  b , a.b  0 , hệ có nghiệm duy nhất bằng :


A. x  a  b, y  a – b.
C. x 

a
b
,y
.

ab
ab

B. x 

1
1
,y
.
ab
a b

D. x 

a
b
,y
.
a b
a b

mx  2 y  m  1
( I ). Khi hệ ( I ) có nghiệm ( x; y), thì hệ thức độc lập giữa
Câu 10: Cho hệ phương trình 
2 x  my  2m  5
x , y đối với m là
A. 2 x  2 y  1.

B. x  y  3.

C. 2 x  2 y  1.

D. x  y  3.

Câu
1
A

Câu
2
D

Câu
3
D

Câu
4
A

Câu
5
A

Đ P N DẠNG 5
Câu
Câu
Câu
6
7

8
A
C
D

Câu
9
B

Câu
10
D

6. D ng 6:Tìm điều kiện để hệ b c nhất 2 ẩn vô nghiệm, có nghiệm.
Phƣơng ph p gi i
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

a1 x  b1 y  c1 2 2
(a1  b1  0, a22  b22  0)

a2 x  b2 y  c2
Cách 1: Tính các định thức: D 
-

a1
a2

b1
c
, Dx  1

b2
c2

a
b1
, Dy  1
a2
b2

c1
.
c2

Hệ vô nghiệm khi D  0; và có ít nhất một trong hai định thức Dx  0 hoặc Dy  0

D  0
Hệ có nghiệm khi 
 D  Dx  Dy  0
Cách 2:
-

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

-

Hệ vô nghiệm khi:

-

 a1 b1
a  b
2
2
Hệ có nghiệm khi: 
 a1 b1 c1
a  b  c
 2
2
2


A. VÍ DỤ MINH HỌA

mx  y  m
V dụ 1: cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ vô nghiệm khi
 x  my  m
B. m  1.

A. m  0.

C. m  1.

D. với mọi m  .

i gi i
Chọn C.
Cách 1:

2

m  1  0
Hệ vô nghiệm khi  2
 m  1.

m  m  0

Vậy m  1 thì hệ vô nghiệm.
Cách 2:
Hệ vô nghiệm khi:

m 1 m
   m  1.
1 m m

Vậy m  1 thì hệ vô nghiệm.
Cách 3:
Dùng máy tính thử các đáp án, thấy đáp án C đúng.
Vậy m  1 thì hệ vô nghiệm.

mx   m  4  y  2
V dụ 2: Cho hệ phương trình: 
. Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số
m  x  y   1  y
m là:
A. m  0
B. m  1 hay m  2.
1
C. m  1 hay m  .

2

D. m  
i gi i

Chọn .
Cách 1:

mx   m  4  y  2
Ta có: Hệ tương đương 
mx   m  1 y  1

1
hay m  3.
2


D  m  m  1  m  m  4   3m

Dx  m  2; Dy  2m.
Xét D  0  m  0, khi đó Dx  2  0  hệ vô nghiệm.
Vậy m  0 hệ vô nghiệm.
Cách 2:

mx   m  4  y  2
 D  m  m  1  m  m  4   3m
Ta có: Hệ trở thành 
mx

m


1
y

1



Hệ vô nghiệm  D  0  m  0
Thử lại thấy m  0 thoả điều kiện.
Vậy m  0 hệ vô nghiệm.

x  2 y  3
V dụ 3:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình 
có nghiệm
mx  y  1  m
1
1
1
A. m  .
B. m  .
C. m  .
2
2
2

D. m 

1
.

2

i gi i
Chọn C.
Cách 1:
D  1  2m.

Dx  m  1; Dy  4m  1.
3
1
1
Xét D  0  m  , khi đó Dx   0  hệ vô nghiệm. m   không thỏa mãn.
2
2
2

Cách 2:
Bấm máy tính, thử với m 

1
hệ vô nghiệm, các giá trị khác của m hệ có nghiệm.
2

ax  y  a 2
V dụ4:Tìm a để hệ phương trình 
vô nghiệm:
 x  ay  1
A. a  1.
B. a  1 hoặc a  1 . C. a  1.
i gi i

D. Không có a .