TÍCH PHÂN

Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Công thức tính nguyên hàm cần biết:
x n 1
C
n 1

n
 x dx 

  x  a

1

n

 x  a
dx 

n 1

1

 x dx  ln x  C

 x  a dx  ln x  a  C

 e dx  e

e

x



x

dx 

x

n 1

C

n 1

C

1
x C
ln 

xa



dx  e x a  C

xa

dx 

1 xa
 C
ln 

 sin xdx   cos x  C

 sin  x  a  dx   cos  x  a   C

 cos xdx  sin x  C

 cos  x  a  dx  sin  x  a   C

1
 sin 2 x dx   cot x  C

 sin  x  a  dx   cot  x  a   C

1

 cos

2

x

dx  tan x  C

1  ax  b 
  ax  b  dx  a n  1  C
1
1
 ax  b dx  a ln ax  b  C
1 ax b
ax  b
 e dx  a e  C
1 1 ax b
ax  b
  dx  a ln    C
cos  ax  b 
C
 sin  ax  b  dx   a
1
 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C
cot  ax  b 
1
dx


C
2
 sin  ax  b 
a

1

2

1

 cos  x  a  dx  tan  x  a   C
2

n

1

 cos  ax  b  dx 
2

tan  ax  b 
C
a

1dx  x  C
Công thức tính nguyên hàm nâng cao:
1
1
1
x
2
 x 2  a 2 dx  a arctan a  C  x2  a dx  ln x  x  a  C
Các công thức tích phân cần biết:



b

b

b


a

a

f  x  dx    f  x  dx
b

Chú ý: Nếu f  x  là hàm lẻ thì


a

c

c

b

a

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

1

x

dx  arcsin  C
a
a x
2

2

b

b

a

a

 Adx   Bdx   A  Bdx
a

a

a

a

a

a

0

 f  x  dx  0 . Nếu f  x  là hàm chẵn thì  f  x  dx  2 f  x  dx

1. TÍCH PHÂN CƠ BẢN

 
Câu 1: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   2cos x  1 . Tính F   biết rằng F  0   2 ?
2
Lời giải:

 
Cách 1: Ta có F  x    2cos x  1dx  2sin x  x  C vì F  0   2  C  2  F    4  .
2
2

2

Cách 2: Ta có


0



 
 
f  x  dx  F    F  0   F      2cos x  1 dx  F  0 
2
2 0
2

b

Chú ý công thức:

 f ( x)dx  f  b   f  a 
a

Câu 2: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn
2

1; 2 , f (1)  1 và f (2)  2. Tính I   f ( x)dx.
1

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 1/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429

2

Lời giải: Ta có: I   f ( x)dx  f  x 
1

D. I 

C. I  3.

B. I  1.

A. I  1.

7

2

2
 f  2   f 1  2  1  1.
1

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
2. thức đổi biến tích phân gốc: du  u ' dx .
Công
Công thức đổi biến tích phân:
1
x n dx 
d  x n 1 
n 1

1

Câu 1:

2
 x  x  1

Biết rằng

2018

e x dx  d  e x 

sin xdx  d cos x

a x ln adx  d  a x 

cos xdx  d sin x

1
dx  d ln x
x
1
dx  d  log a x 
x ln a

1
dx  d tan x
cos 2 x
1
 2 dx  d cot x
sin x

dx 

0

Lời giải: Ta có:

 x  x  1

2

0

C. P  10090

B. P  10095

A. P  8076
1

2a  1
trong đó a, b  . Tính giá trị của biểu thức P  a  2b ?
b

1
x 2  1
2018

1
2
2
dx    x  1 d  x  1 
20
4038

2019

2018

ln 2 x  1
a
1 x dx  b trong đó a, b 
biểu thức P  a 2  b 2 ?
A. P  17
B. P  32
e

Câu 2:

Biết rằng

đồng thời

D. P  8072
1 22019  1

.
0
4038

a
là phân số tối giản. Tính giá trị của
b

C. P  25

D. P  26

e

 ln 3 x
e 4
ln 2 x  1
2
dx

ln
x

1
d
ln
x

 ln x  


1 x
1 
 3
1 3
e

Lời giải: Ta có:


2

Câu 3:

Biết rằng

e

sin x

cos xdx  ea  b trong đó a, b  . Tính giá trị của biểu thức P  a 2  b 2 ?

0

A. P  1

C. P  2

B. P  3





2

Lời giải: Ta có:  e



2

sin x

cos xdx   e

0

D. P  1

sin x

d sin x  e

0

sin x

1
2  e  1  a  1, b  1 .
0

TÍCH PHÂN CĂN THỨC
3.
Câu 1:

3

Tính giá trị của I  
0

A. I 

9

2

x
dx ?
x 1
B. I 

8
3

C. I 

7
4

7
2

t 2 1
x  1  t  x  t  1  dx  2tdt do đó: I  
2tdt  2 t 2  1dt
t
1
1
2

Lời giải: Ta đặt

D. I 
2

2

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 2/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429
7

Câu 2:



Tính giá trị của P 

x3
3

0

131
10

A. P 

x2  1

dx ?

B. P 

111
11

C. P 

141
20

D. P 
7

Lời giải: Ta đặt

x  1  t  x  1  t  2 xdx  3t dt do đó: P 

3

2

2

3

2



x3

3

0

1
dx 
2
x2  1

121
12
7



x2
3

0

x2  1

2 xdx

1 t 3 1 2
3
P 
3t dt   t 4  tadt .

21 t
21
2

2

e

Câu 3:

Tính giá trị của I  
1

A. I 

116
135

1  3ln x .ln x
dx ?
x
B. I 

106
125

C. I 

96
115

D. I 

115
132

e
t  t 2  1 2t
t 2 1
1
2t
 dx  dt do đó: I  
Lời giải: Ta đặt 1  3ln x  t  ln x 
dt
3
x
3
3
3
1

TÍCH PHÂN PHÂN THỨC: Nếu phân thức có bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì
4. chia đa thức
Câu 1:

(THPT KHTN – Hà Nội lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A.
C.

 f ( x)dx  2ln x  2  ln x  1  C.

 f ( x)dx  2ln x  1  ln x  2  C.

B.
D.

x3

x  3x  2
2

 f ( x)dx  2ln x  1  ln x  2  C.
 f ( x)dx  ln x  1  2ln x  2  C.

x3
1 
 2
dx   

 dx  2ln x  1  ln x  2  C 
 3x  2
 x 1 x 1 

Lời giải:

 f ( x)   x

Câu 2:

(THPT Quế Võ Số 1 – Bắc Ninh năm 2016 – 2017) Cho a , b là các số hữu tỉ thỏa mãn tích

2

3x 2  5 x  1
2
1 x  2 dx  a ln 3  b. Hãy tính a  2b.
A. a  2b  30.
B. a  2b  40.
C. a  2b  50.
0

phân

Lời giải:

D. a  2b  60.

0
0 
3x 2  5 x  1
21 
2 19
2
1 x  2 dx  1  3x  11  x  2  dx   3x  11x  21ln x  2  1  21ln 3  2
0

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: NHẤT LOG – NHÌ ĐA – TAM LƯỢNG – TỨ MŨ
5.
Câu 1:

2

Biết rằng

  x  1 e dx  ae
x

2

 be  c trong đó a, b, c 

. Tính P  a  b  c ?

1

A. P 

2
3

B. P 

2

Lời giải: Ta có:

x
x
  x  1 e dx  e  x  1
1

3
2

C. P  1

D. P  0

2 2 x
 e dx  3e2  2e  e2  e  2e2  e.
1 1


3

Câu 2:

Biết rằng

 x sin xdx  a

3  b trong đó a, b 

. Tính P  a  b ?

0

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 3/8

Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429
A. P 

2
3





2

Câu 3:

C. P 

5
6

D. P 

1
6



3

3

x
sin
xdx


x
cos
x

3
0
0 cos xdx  6  2 .
0
3

Lời giải: Ta có:

1
3

B. P 

 x ln

Biết rằng

2

xdx  a ln 2 2  b ln 2  c trong đó a, b, c 

. Tính P  a  b  c ?

1

A. P 

5
4

B. P 

1
4

C. P 

3
4

D. P  1

2ln x

du 
dx
2 2
2

u  ln 2 x
x2 2 2

x 2ln x

x
2
Lời giải: Đặt 


.ln
x

dx

2ln
2

x ln x


2
1
2
2
x
dv

xdx
x

1
1

v 


2
 x2
2 1 2 x2 

1 x2 2 
3
2
 2 ln 2 2   ln x   dx   2 ln 2 2   2 ln 2 
  2 ln 2  2 ln 2  .
1 21 x
2 2 1
4

 2



Câu 4:

Biết rằng  e x cos xdx  ae  b trong đó a, b 

. Tính P  a  b ?

0

A. P  1

B. P  1

D. P  

C. P  0

1
2


 
u  e x
du  e x dx

 e x .sin x   e x .sin xdx    e x .sin xdx
Lời giải: Đặt 
0 0
dv  cos xdx
v  sin x
0

 e x .cos x


0



  e x cos xdx  2 I  e x .cos x
0


0

 e  1  I 

e 1

2
2

I

6.

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
t2

Chú ý công thức: v   adt ; s   vdt
t1

Câu 22: (THPT Tiên Lãng – Hải Phòng năm 2016 – 2017) Một vật chuyển động với gia tốc
a(t )  20(1  2t ) 2 (m/s 2 ). Khi t  0 thì vận tốc của vật là 30( m /s ). Tính quãng đường vật đó
di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây).

A. 46m.
Lời giải: Ta có:

B. 48m.

Vận tốc là: v  20

1

1  2t 

2

dt 

C. 47m.

D. 49m.

10
 C . Khi t  0 thì vận tốc của vật là 30( m /s ).
1  2t
2

Do đó: v 

10
10
 20 . Quãng đường: s  
 20dt  48 .
1  2t
1  2t
0
b

 Thể tích tròn xoay quanh trục hoành: V    f 2  x   g 2  x  dx
a

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 4/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429
b

 Thể tích tròn xoay quanh trục tung: V  2  xf  x  dx
a

b

 Thể tích của vật thể có thiết diện với diện tích S  x  : V   S  x  dx .
a

Câu 1:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  1 và đường thẳng
y  2 x  1.
A. S 

9

2

C. S 

B. S  4.

11

2

D. S  3.

2
x  2
9
Lời giải: Ta có: x  x  1  2 x  1  x  x  2  0  
 S   x 2  x  2 dx  .
2
 x  1
1
Câu 2: Tính thể tích V của khối tròn xoay có được khi cho hình phẳng giới hạn bởi các
đường y  x  1, y  0, x  4 quay xung quanh trục hoành Ox.
2

A. V 

2

7

5

B. V 

4

Lời giải: Ta có V   





6

7

2

x  1 dx  V 

1

Câu 3:

C. V 

7

6

D. V 

5


6

7

6

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định lần 8 năm 2016 – 2017) Cho phần vật thể B
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2. Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x  2), ta được thiết diện là một tam giác
đều có độ dài cạnh bằng x 2  x . Tính thể tích V của phần vật thể B.
4
A. V  
3

B. V 

3

3

C. V  4 3.

D. V  3.

2

3 2
3
x  2  x  dx 


Lời giải: Ta có V 

4 0
3
7. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 1:
x

Với x  a  0 và a là tham số, đặt f  x    t ln 3 tdt . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
a

Lời giải: Giả sử F  t  là một nguyên hàm của

t ln 3 t , ta có: F '  t   t ln 3 t .

Khi đó: f ( x)  F  x   F  a   f '  x   F '  x   x ln 3 x  0  ln x  0  x  1 .
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 2:

1

2
1
Biết rằng  xf  x  dx  , tính  sin 2 xf  sin x  dx .
4
1

2

6





2

2

1





6

6

1
2

Lời giải: Ta có:  sin 2 xf  sin x  dx  2   sin x  f  sin x  d  sin x   2 xf  x  dx 

1
.
2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 3:

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 5/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   3xf  x 2   1  x 2 với mọi x thuộc đoạn
1

0;1 . Tích phân  f  x  dx bằng:
0

1

1

1

0

0

0

Lời giải: Ta thay x bởi x 2 trong tích phân: I   f  x 2  d  x 2   2 xf  x 2  dx  3 xf  x 2  dx 

3
I .
2

3



Vậy: I  I    f  x   3xf  x 2 dx   1  x 2 dx   I  .
2
4
10
0
0
1

1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 4:
Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên

1; 2

1; 2

và đồng biến trên

thỏa mãn:

 f ' x 
3x  2 xf  x   
 , với x  1; 2 và f 1  3 .
 x 
2

f ' x

 f ' x 
x x
Lời giải: Ta có: 3x  2 xf  x   
  f '  x   x 3x  2 xf  x  
3  2 f  x
 x 
2

Lấy nguyên hàm hai vế:



f '  x  dx
3  2 f  x

  x xdx   d





2
3  2 f  x    x xdx  3  2 f  x   .x 2 x  C
5
2

13 
2 2
x x   3


13
2 5 26 2
47
5
5
Theo giả thiết: f 1  3  C   f  x   

x  x x
5
2
25
25
25
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 5:
1
1
2
9
3
Biết rằng   f   x   dx  và  x 2 f   x  dx  đồng thời f 1  2 . Tính f  2   ?
5
5
0
0
Lời giải: Ta có 2 cách giải:
1

Cách 1: Ta dễ thấy:

4

 x dx 
0

1





1

2
2
1
   f   x    6 x 2 f   x   9 x 4 dx  0    f   x   3x 2  dx  0 .
5
0
0

Do vậy: f   x   3x 2  f  x   x3  1  f  2   9 .
2

1
1
 1
2
9  2
9
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:
.

   x f   x  dx    x 4 dx   f   x  dx 
25  0
25
0
 0
1

1

0

0

Vậy đẳng thức xảy ra khi f   x   kx 2 mà   x 2 f   x  dx   kx 4 dx 

3
 k  3  f   x   3x 2 .
5

Tới đây ta giải tương tự như cách trên để có f  2   9 .
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 6:
Cho f  x  , có đạo hàm trên đoạn  0;1 , f 1  2 f  0   2 và

1


0

1

f  x  dx  10 . Tính I    2  x  f '  x  dx .
0



1
u  2  x
du  dx

  2  x  f  x    f  x  dx  f 1  2 f  2   10  12 .
Lời giải: Đặt 
0 0


dv  f '  x 
v  f  x 
1

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 6/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 7:
Cho f  x  , có đạo hàm trên đoạn  0;1 , thỏa mãn  f   x   f   x  f  x   3x 2 và f  0   f   0   1 .
2

2
Lời giải: Ta có  f   x   f   x  f  x   3x 2   f  x  f   x    f  x  f   x   x3  1 .

Do vậy:

f  x  f   x  dx   x3  1dx 



f 2  x  x4
1
  x  C mà f  0   1 suy ra C  .
2
2
4

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 8:
Cho y  f  x  liên tục trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1 
Lời giải: Ta có 2 xf   x   f  x   3x 2 x 



 f  x x

  32 x

2



2 xf   x 
2 x



f  x
2 x



3x 2 x

 f  x x 

2 x

1
. Tính f  4  .
2

f  x
2 x



3 2
x
2



3

x3

  f  x  x dx   x 2 dx  f  x  x 
C
2
2

1
 C  0  f  4   16 . Chọn D.
2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 9:
f 1 

sao cho f  x   3 f  x   8 x  2 x 

Cho y  f  x  liên tục trên

1

. Tính I   f  x  dx ?
0

x  0  t  1
Lời giải: Xét f  x   t ta có: t  3 t  8 x  2 . Đổi cận: 
. Vi phân:
x  1  t  8


1
1  3 2

 3 t


 dt  8dx .


8
1 
1
t 1 

8 1  33 t 2


141
.
 dt 
32

0
TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 10:
1

Vậy: I   tdx 

Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn

1

1

 f  x  dx   e f  x  dx  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x

0

1

tích phân

  f  x 

2

0

dx .

0

Lời giải: Với mọi số thực a , b và a 2  b 2  0 ta có
1

1

1

0

0

0

a  b  a  e x f  x  dx  b  f  x  dx    ae x  b  f  x  dx

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:
2

1
1
 1
2
 a  b      ae x  b  f  x  dx     ae x  b  dx  f 2  x  dx
0
0
 0
1
1
2
1
Mặt khác   ae x  b  dx    a 2e 2 x  2abe x  b 2  dx   e 2  1 a 2  2  e  1 ab  b 2
2
0
0
2

 a  b

1

Do đó

 f  x  dx  1
2

0

2

e

2

2

 1 a 2  2  e  1 ab  b 2

, a, b  , a 2  b 2  0

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 7/8


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429



2



a  b

1
1
  f  x  dx  max
 1 

 3,1316 .


2
2
a b 0 1
3  e e 1
0
  e2  1 a 2  2  e  1 ab  b 2 
2

8.
1

2

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 8/8