CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN
HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN
Chủ đề: Mặt cầu
Dạng 1: Bài tập cơ bản về mặt cầu
Dạng 2: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Phương pháp xác định mặt cầu cực hay
Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay
Chủ đề: Hình trụ
Lý thuyết: Mặt trụ, hình trụ
Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ
Dạng 2: Thiết diện của hình trụ
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay
Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ cực hay, có lời giải
Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương cực hay
Chủ đề: Hình nón, khối nón
Dạng 1: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón
Dạng 2: Thiết diện của hình nón


Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực
hay
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải


Chủ đề: Mặt cầu
Dạng 1: Bài tập cơ bản về mặt cầu
Bài 1: Mặt cầu tâm O bán kính R = 17dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao
tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 18dm, BC = 24dm, CA = 30dm. Tính

khoảng cách từ O đến (P).
Hiển thị đáp án
Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B,
C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy CA2 = AB2 + BC2, do vậy tam giác
ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay r =
15dm. Ta có hình vẽ minh họa sau:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy

Bài 2:
a) Mặt cầu có thể tích bằng 36π cm3, khi đó bán kính mặt cầu bằng:
b) Diện tích mặt cầu bằng 100cm2, khi đó bán kính mặt cầu bằng:
c) Mặt cầu có bán kính bằng 10cm, khi đó diện tích mặt cầu bằng:
Hiển thị đáp án
a) Thể tích của khối cầu:


b) Diện tích mặt cầu:

c) Diện tích mặt cầu:

Bài 3: Cho mặt cầu (S) có thể tích là 4π/3. Mặt phẳng (α) đi qua tâm mặt cầu và
cắt mặt cầu theo hình (H). Tính diện tích hình (H)
Hiển thị đáp án
Mặt phẳng (α) đi qua tâm mặt cầu sẽ cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn có
bán kính bằng bán kính mặt cầu

Diện tích hình (H) là: S = πR2 = π
Bài 4: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) có giao
tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng

(P)
Hiển thị đáp án


Từ hình vẽ ta thấy: ∆IHC vuông tại H

Bài 5: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai
điểm A, B . Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng D
Hiển thị đáp án

Từ I kẻ IH vuông góc với AB
Khi đó, khoảng cách từ I đến AB là độ dài đoạn IH
Do ∆IAB cân tại I, IH ⊥ AB nên H là trung điểm của AB


⇒ AH = AB/2
Xét ∆IAH vuông tại H có:

B. Trắc nghiệm
Bài 1: Công thức tính thể tích khối cầu đường kính R là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : A

Bài 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Hình thang cân thì nội tiếp đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang cân sẽ
có mặt cầu ngoại tiếp.
Bài 3: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:
A. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì.
B. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi.
C. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.
D. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều.
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Sử dụng phương pháp loại trừ rõ ràng A, C, D đúng nên B sai
Bài 4: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ∠(ACB)=90º.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho
B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
C. ABC là một tam giác vuông cân tại C
D. AB là đường kính của một đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng
(ABC)
Hiển thị đáp án


Đáp án : D
Bài 5: Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong
mặt cầu:
A. Hình chóp tam giác (tứ diện)
B. Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác
D. Hình hộp chữ nhật
Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình
chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bài 6: Cho khối trụ có bán kính đáy là 3a, chiều cao là a/2. Một khối cầu có thể
tích bằng khối trục trên. Tính bán kính khối cầu
A.3a/2

B. 5a/2

C.2a

D.3a

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :
Thể tích của khối trụ là:

Gọi R là bán kính khối cầu
Theo bài ta, khối cầu có thể tích bằng khối trục nên ta có:


Bài 7: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp tâm các mặt cầu
đi qua A và B là
A. một đường thẳng
C. một đường tròn

B. một mặt phẳng
D. một mặt cầu

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
I là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A,B cho trước khi và chỉ khi
IA=IB. Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
Bài 8: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là
A. một đường thẳng
C. một đường tròn

B. một mặt phẳng
D. một mặt cầu

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A,B,C cho trước khi và chỉ khi
IA=IB=IC. Vậy ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là trục
của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là
A. 36π

B. 18π

Hiển thị đáp án

C. 9π

D. 27π


Đáp án : A
Bài 10: Diện tích mặt cầu 2π (cm2) bán kính mặt cầu đó bằng
A. 2 cm

B. 1/2 cm

C. 4 cm

D. √2/2 cm

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Bài 11: Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 và R2 = 2R1.
Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:
A.1/2

B.2

C.1/4

D. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :

Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:

Bài 12: Gọi (S) là mặt cầu có tâm O và bán kính R; d là khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (P) , với d < R. Khi đó có bao nhiêu điểm chung giữa (S) và (P)?
A. Vô số

B.1

C. 2

D. 0

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :
Khi d < R thì giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn, do đó giữa (P) và (S) có vô
số điểm chung.
Bài 13: Cho mặt cầu có diện tích bằng 8pa2/3, khi đó bán kính mặt cầu là:


Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:

Bài 14: Cho khối cầu có thể tích bằng 32πa3/81, khi đó bán kính mặt cầu là:
A.3a/2

B. 2a/3

C.2a

D.3a

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:

Bài 15: Cho điểm I cố định, số thực a > 0 không đổi. Tập hợp những điểm M thoả
mãn MI = a là:
A. Mặt phẳng;
Hiển thị đáp án
Đáp án : D

B. Mặt trụ;

C. Mặt nón;

D. Mặt cầu.


Bài 16: Mặt cầu tâm O, có bán kính R; mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung
với mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d(O;(P)) < R

B. d(O;(P)) > R

C. d(O;(P)) = R

D. d(O;(P)) = 0

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Bài 17: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính r = 4. Biết khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3. Bán
kính mặt cầu (S) là
A. 5

B. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :

Từ hình vẽ, ta có:

C. √5

D. 25


Bài 18: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai
điểm A, B . Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4. Bán kính
mặt cầu (S) là
A. 5

B. 4

C. √5

D. 25

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :

Bán kính mặt cầu (S) là:

Bài 19: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Khẳng
định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. OA = r
Hiển thị đáp án
Đáp án : C

B. OA < r

C. OA > r

D. OA ≤ r


Bài 20: Cho mặt cầu S (I;R) và một điểm A sao cho IA = 2R. Từ A kẻ tiếp tuyến
AT đến (S) (T là tiếp điểm). Khi đó độ dài đoạn thẳng AT bằng
A. R/2

B. R

C. R√2

D. R√3

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :

Xét tam giác ATI có:

Dạng 2: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp
A. Tự luận
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a
và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABCD.
Hướng dẫn:


Gọi O là trung điểm của SC
Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:

Ta có:

⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C
Hình chóp S.ABCD có:


Thể tích khối cầu là:

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại
B và AB = 3a, BC = 4a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Hướng dẫn:

Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:
AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2


DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2
DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2
Xét ∆DBC có:
DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2
⇒ ∆DBC vuông tại B
Gọi O là trung điểm của CD
∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến
⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)
∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến
⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc 30º. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Hướng dẫn:


Gọi O là tâm đáy ABCD
Hình chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)
OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD)
⇒ Góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc ∠(SAO)=30º
Gọi M là trung điểm của SA. Trung trực của SA cắt SO tại I
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm

Ta có: ∆SMI ~ ∆SOA (g.g)

Xét ∆SOA vuông tại O, ∠(SAO) = 30º có:


Thể tích mặt cầu là:

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2√3,
cạnh bên bằng √5. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức giải nhanh:

Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên bằng b.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:


Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Chứng minh:

Gọi O, O’ là tâm của ∆ABC và ∆A' B' C' là OO’ là trục của đường tròn ngoại tiếp
∆ABC và ∆A' B' C'.
Gọi I là trung điểm của OO’ thì IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình trụ. Bán kính mặt cầu là R = IA.
∆AOI vuông có:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng
2√3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức giải nhanh:

Trong đó, a = 2; b=2√3 ta được:

Công thức tính nhanh: Cho hính chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên bằng b.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:


Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Chứng minh:

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thì O là tâm của đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC đều cạnh a.
Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K
Khi đó SK = KB = KC hay K là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC


Tam giác SOA vuông tại O

B. Trắc nghiệm
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân ABCD với AB=2a,
BC=CD=DA=a và SA (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt
AB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính đường kính khối cầu ngoại tiếp khối

ABCDMNP.

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :


Nhận xét hình thang ABCD cân và AB =2AD =2BC = 2CD =2a nên ∠(ACB) =
∠(ADB) = 90º
Mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại M nên AMB = 90º.
Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC)
Do đó AN ⊥ BC và AN ⊥ SB nên AN ⊥ (SBC)
⇒ AN ⊥ BN, hay ANB = 90º
Ta cũng có AP ⊥ SB và AP ⊥ BD nên AP ⊥ (SBD) ⇒ AP ⊥ BP, hay APB = 90º
Ta thấy các điểm C,D,M,N đều nhìn AB dưới một góc vuông.
Vậy AB chính là đường kính của khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.


Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc
với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :