CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP
ÁN CHI TIẾT
21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường
thẳng
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với hai đường
thẳng chéo nhau
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng P song song và cách mặt phẳng Q một khoảng
k
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q và cách điểm M
một khoảng k
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu


Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một
góc
50 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt phẳng chọn lọc có đáp án chi tiết (phần
1)
50 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt phẳng chọn lọc có đáp án chi tiết (phần
2)
Chủ đề: Phương trình mặt phẳng

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận
vecto n→ làm vecto pháp tuyến
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x o; yo; zo) và có vecto pháp
tuyến n→(A;B;C) ≠ 0→ :
A.(x- xo) + B( y- yo)+C( z- zo) =0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4)
A. y – z + 1 = 0

B. 2x + y - z- 3= 0

C. 2x + 3y + 4z +1= 0

D. 2x- 3y - 4z - 1 = 0

Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4) có
phương trình là:
2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0


Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết
phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n→(2;-3;1)
A. 2x - 3y+ z + 2 = 0
C. 2x - 3y+ z = 0

B. 2x - 3y + z + 3=0

D. 2x – 3y + z - 3= 0

Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M(2; 1; 2)
+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là:
2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0
Hay 2x -3y + z - 3= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G
là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và
vecto pháp tuyến n→(2;1;1)


A. 2x+ y+ z- 3= 0
C. 2x+ z- 3= 0

B. 2x+ y- z+ 3=0

D. 2x+ y- z- 6= 0

Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

=> G( 0; 2; 1)
+ Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và có vecto pháp tuyến n→(2;1;1) có phương

trình là:
2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0
Hay 2x+ y+ z – 3= 0
Chọn A.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) và song song với
một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.
1. Phương pháp giải
Cách 1:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→(A;B;C)


Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C)
Phương trình mặt phẳng (α):
A(x- xo) + B. (y – yo) + C( z- zo) = 0
Cách 2:
Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D' ≠ D
Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x o; yo; zo) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm
đươc D’
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
(-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.
A. x + 2y – 3z - 3= 0

B. x - 2y+ 3z + 5 = 0

C. x+ 2y - 3z +3 = 0

D. – x+ 2y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng
(P) là n→(1;2-3) .
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(1;2-3) nên có
phương trình:
1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung điểm của AB. Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z 10 =0


A. 2x+ 5y + z+ 2= 0

B. 2x+ 5y + z+ 3= 0

C. 2x+ 5y + z - 4= 0

D. 2x+ 5y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M( 1; -1; 2)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp
tuyến n→(2;5;1)
Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1) và đi qua điểm M (1;
-1; 2) là:
2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4),

D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng
(ABC)
A. x+ y – z - 4= 0
Hướng dẫn giải:

B. x+ y +z+ 2= 0

C.x - y+ z+ 6= 0

D. Tất cả sai


Ta có:

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có
n→ cùng phương với [AB→, AC→]

nên

Chọn n→(1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto
pháp tuyến n→(1;1;1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n→(1;1;1)
là:
1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3),
D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng
(ABC)
A. x+ 2y+ z- 2= 0

Hướng dẫn giải:
Ta có:

B. x- 2y- 5z- 5= 0

C. x+ 2y- 5z- 9= 0

D. Tất cả sai


Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có
phương với

nên n→ cùng

Chọn n→(1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có
VTPT n→ (1; 2; -5).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (0; 0; -1) và có vecto pháp tuyến n→ là:
1. (x – 0)+ 2( y – 0) - 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0
Chọn D.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng
hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→,
v→ làm vecto chỉ phương
1. Phương pháp giải
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→
2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→, AC→]
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ =
[AB→, AC→]
Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có
dạng là:
x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.
Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt
phẳng theo đoạn chắn.
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm
vecto chỉ phương
1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→, v→]
2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT
=> Phương trình mặt phẳng (P).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0
C. 9x- y- 3z- 11=0

B. 9x+ y- 3z – 7= 0

D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có
n→ cùng phương với [AB→, AC→]

nên

Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là
9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5;
4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết
phương trình mặt phẳng (P).
A. x+ y+ z - 12 = 0
C. x- y+ z – 4= 0

B. x- y- z + 2= 0
D. x+ y- z – 6= 0

Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB =
OC nên
A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:
5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 =
0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),
C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường
thẳng CD có phương trình là:
A. x+ 4y+ z- 27= 0

B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0

C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0

D. Tất cả sai


Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên

ta có:

nên n→ cùng phương với [AB→, CD→].

Chọn n→ = (10;9;5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n → và đi qua điểm A(5; 1; 3)
là:
10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai
vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?
A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0

B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0

C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0

D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:
Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P)
nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5)
Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên
phương trình mặt phẳng ( P) là:
-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0
Chọn B.


Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt
phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?
A. 2x- 7y- 4z- 9= 0

B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0

C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0

D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0

Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AB→(0; 4; -7)
+ Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một
vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ = [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là:
2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0
Chọn A.
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x o; yo; zo) và có vecto pháp
tuyến n→(A:B:C) là:

A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0
+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :
• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm
của đoạn thẳng).
• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
2. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của AB?
A. 3x + 2y - z+ 6= 0

B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0

D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.
=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2;
-1)
+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

=> I( -1; - 1; 1)
+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:
3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của

AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
A. 2x + y +z+ 3= 0

B. 2x + y - z+ 3= 0


C. 2x – y – z - 3 = 0

D. 2x – y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:

=> M( 2; -1; -1)
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM.
=> Mặt phẳng ( P) nhận OM→(2;-1;-1) làm vecto pháp tuyến
+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:

+ Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến OM→(2;-1;-1) có phương trình là:
2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0


Chọn C.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm
của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2;
0) và I( -2; 1; 1)
A. x + y- z+ 1= 0

B. 3x+ y- z+ 6= 0

C. 3x- y+ z- 1= 0

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vecto IA→ ( 3; 1; -1) làm vecto
pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (P):
3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0
Chọn B.
Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với
abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1
+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần
lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x - y+ 2z 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?


Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0)
và C(0; 0; 2)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2;
-1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho
G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:

A. 2x - y+ 2z + 3 = 0

B. 2x – y - 2z – 6 =0

C. 2x + y - 2z + 9 = 0

D. 2x+ y + 3z - 9 =0

Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P)
phương trình có dạng:

Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên


Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm
H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao
cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:
A. 2x+ y + z - 6= 0

B. 2x + y + z+ 6 = 0

C. 2x – y + z +6 = 0

D. 2x+ y - z + 6 = 0

Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P)
phương trình có dạng:

Ta
có:
Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên


Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1
hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc
toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương
trình là:
A. x – y - z- 3 = 0

B. x+ y+ z+ 3= 0

C. x+ y+ z - 3 = 0

D. x+ y – z+ 3 = 0

Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 . Khi đó
phương trình mặt phẳng (P) có dạng:


Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :

Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .
=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3
⇔a=b=c=3
(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0
Chọn C
Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d.
1. Phương pháp giải

+ Đường thẳng d:
phương.

nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ


nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto

Đường thẳng :
chỉ phương.

+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
ta làm như sau:
Tìm vecto chỉ phương của d là ud→
Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp
tuyến nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O

và vuông góc với đường thẳng d:

A. 2x – z = 0

B. –y+ 2z= 0

C. x- y+ 2z= 0

D. x + z = 0

Hướng dẫn giải:
+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)
+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến
là:
nP→ →= ud→(2; 0; -1)
+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:
2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0


Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1)
và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng
BC.
A. 2x+ y – z - 3= 0
C. -2x + y + z - 4 = 0

B. x+ 2y - 2z + 2 = 0
D. x + y + z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto

pháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3;
0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và
vuông góc với đường thẳng (d):
A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0
C. 2x+ y+ 3z - 8=0

B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0

D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0

Hướng dẫn giải:
+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

?


=> I (2; 1; 1)
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPT
là n→(2;1;3)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0
Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1);
B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương
trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng

(d) :

?

A. 2x - 3y+ z- 10= 0

B. 3x- 4y+ z - 1= 0

C. 3x+ 4y - z + 3= 0

D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0

Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:


=> G( 2; 1; -1)
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1)
.
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vecto pháp
tuyến là : n→(3;-4;1)
=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0
Hay 3x – 4y + z- 1= 0
Chọn B.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vuông góc
với mặt phẳng (β) .
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ→
• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→
• Lấy một điểm M trên Δ


• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng
=0
A. x+ z = 0

và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10
B. x+ y +1= 0

C. y - z + 1= 0

D. x – y + 2z= 0

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→ = (1;2;-1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto
pháp tuyến là
n→ =[u→ ,nQ→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là:
1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng

98= 0 có phương trình là
A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0

và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z –

B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0


C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0

D.5x - 8y- 6z – 5 = 0

Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1;
-3).
+ Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ ( 2; -1; 3)
+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có
một vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)
Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2;
-1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và
vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là
A. x – 3y – 5z + 5 = 0

B. 3x - 4y – 5z = 0.

C. 3x - 4y – 5z – 2= 0

D. 3x+ 4y – 5z = 0

Hướng dẫn giải:
Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương
Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến nα→ (2 ; -1 ; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với
mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n → = [AB→ , nα→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua
A(3; 1; 1)
+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0