phan 2 gom 50 de HSG toán 8

1
Website:tailieumontoan.com

100 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh
luyện thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, website tailieumontoan.com giới
thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 của các
huyện trên cả nước có hướng dẫn giải cụ thể. Đây là bộ đề thi mang tính
chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học
sinh giỏi lớp 8 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao,
mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều
Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn
luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu
thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức
nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên
được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn.
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng
tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập
100 đề thi học sinh giỏi lớp 8 này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh
phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề
ngay dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi
học sinh giỏi toán lớp 8 ở các huyện trên cả nước.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn
chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này!

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Câu 1. (3 điểm)

a) Phân tích đa thức
b) Cho

a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b)

thành nhân tử

( a + b + c)

a,b,c

2

= a2 + b2 + c2

là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
a2
b2
c2
P= 2
+ 2
+ 2

a + 2bc b + 2ac c + 2ab
Tính giá trị của biểu thức:
2 x5 + y 5 + z5 = 5xyz x2 + y2 + z 2
x + y + z = 0.
c) Cho
Chứng minh rằng:
Câu 2. (2 điểm)
n + 18
n
n − 41
a) Tìm số tự nhiên để
và
là hai số chính phương

(

)

(

2

a,b > 0

)

2


1 

1
25
a+ ÷ +  b+ ÷ ≥
b 
a
2


a + b = 1.
thỏa mãn
Chứng minh
Câu 3. (1 điểm)
A BCD
A BC
Cho hình bình hành
có góc
nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình

b) Cho

·
BCE
DCF.
EAF
hành các tam giác đều
và
Tính số đo
Câu 4. (3 điểm)
AA ',BB',CC '
ABC

Cho tam giác
nhọn có các đường cao
và H là trực tâm
2
BC'.BA + CB'.CA = BC
a) Chứng minh
HB.HC HA.HB HC.HA
+
+
=1
AB.A C BC.AC BC.AB
b) Chứng minh rằng:
c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt
AB,AC
MN.
lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của
Câu 5. (1 điểm)
A BCD
2018
Cho hình vuông
và
đường thẳng cùng có tính chất chia hình
2
.
3

vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng
Chứng minh rằng có ít
505
nhất

đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b) = a2 ( b − c) − b2 ( a − c) + c2 ( a − b)

a)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
= a2 ( b − c) − b2 ( a − b) + ( b − c)  + c2 ( a − b)

(

)

(

)

= a2 − b2 ( b − c) + c2 − b2 ( a − b)

= ( a − b) ( a + b) ( b − c) − ( b − c) ( b + c) ( a − b)

= ( a − b) ( b − c) a + b − b − c = ( a − b) ( b − c) ( a − c)

( a + b + c)

b)

2

= a2 + b2 + c2 ⇔ ab + ac + bc = 0

a2
a2
a2
=
=
a2 + 2bc a2 − ab − ac + bc ( a − b) ( a − c)
b2
b2
=
b2 + 2ac ( b − a) ( b − c)

c2
c2
=
c2 + 2ac ( c − a) ( c − b)

;

Tương tự:
a2
b2
c2

P= 2
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
a2
b2
c2
=
−
+
( a − b) ( a − c) ( a − b) ( b − c) ( a − c) ( b − c)
=

( a − b) ( a − c) ( b − c) = 1
( a − b) ( a − c) ( b − c)

x + y + z = 0 ⇒ x + y = −z ⇒ ( x + y ) = −z 3
3

c) Vì
Hay

x3 + y3 + 3xy ( x + y ) = −z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3

(

) (
)(
)
+x ( y +z ) +y (z +x ) +z (x +y )

3xyz x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 x2 + y2 + z2
= x5 + y5 + z5
Do đó:

3

2

2

3

2

2

x2 + y2 = ( x + y ) − 2xy = z2 − 2xy ( Vi

2

2

x + y = −z )

2

Mà

3

y2 + z2 = x2 − 2yz;z2 + x2 = y2 − 2zx

Tương tự:
3xyz x2 + y2 + z2 = x5 + y5 + z5 + x3 x2 − 2yz + y3 y2 − 2zx + z3 z2 − 2xy
Vì vậy:
= 2 x5 + y5 + z5 − 2xyz x2 + y2 + z2

(

(

)

)

(

(

(

)

(

)

(

)

)

)

(

2 x5 + y5 + z5 = 5xyz x2 + y2 + z2

)

Suy ra :
Câu 2.
n + 18
n − 41
a) Để
và
là hai số chính phương
2
n − 41 = q2 ( p,q ∈ ¥ )
⇔ n + 18 = p
và
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

⇒ p2 − q2 = ( n + 18) − ( n − 41) = 59 ⇔ ( p − q) ( p + q) = 59
p − q = 1
p = 30
⇔

p + q = 59 q = 29

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
n + 18 = p2 = 302 = 900 ⇒ n = 882
Từ
882 − 41 = 841 = 292 = q2
n − 41,
Thay vào
ta được
n = 882
n + 18
n − 41
Vậy với
thì
và
là hai số chính phương

b) Có:

( a − b)

2

≥ 0 ⇔ a2 + b2 − 2ab ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi

a= b

2

Áp dụng

( *)

có:


1  25

1
 a + b ÷ + 4 ≥ 5 a + b ÷





2

Suy ra:

(*)

2

;


1  25

1
 b + a ÷ + 4 ≥ 5 b + a ÷





2



1 
1  25
1 
1
 a + b ÷ +  b + a ÷ + 2 ≥ 5 a + b ÷+  b + a ÷

 

 


2

2

2

2



1 
1  25
 1 1 
⇔  a+ ÷ +  b+ ÷ +
≥ 5( a + b) +  + ÷
b 
a
2

 a b 


1 
1  25
 1 1
⇔  a+ ÷ +  b+ ÷ +
≥ 5+ 5 + ÷ (Vi
b 
a
2

 a b

Với

a,b

dương , chứng minh
a= b
Dấu bằng xảy ra khi
2

Ta được:

1 1
4
+ ≥
=4
a b a+ b

a + b = 1)

(Vi

a + b = 1)

2


1 
1  25
 a + b ÷ +  b + a ÷ + 2 ≥ 5+ 5.4


 

2

2


1 
1
25
⇔  a+ ÷ +  b+ ÷ ≥
b 
a
2


⇔ a= b=
. Dấu đẳng thức xảy ra

1
2

Câu 3.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1

Website:tailieumontoan.com

Chứng minh được
Chứng minh được
AF = EF
Tương tự:

·
·
ABE
= ECF

∆ABE = ∆FCE ( c.g.c) ⇒ A E = EF

⇒ A E = EF = AF ⇒ ∆AEF

đều

·
⇒ EAF
= 600

Câu 4.

∆BHC ' : ∆BAB' ⇒

BH BC '
=
⇒ BH.BB' = BC'.BA
AB BB'

(1)

∆BHA ' : ∆BCB' ⇒

BH BA '
=
⇒ BH.BB' = BC.BA '
BC BB'

(2)

a) Chứng minh

Chứng minh
⇒ BC '.BA = BA '.BC
Từ (1) và (2)
CB'.CA = CA '.BC
Tương tự :
⇒ BC'.BA + CB'.CA = BA '.BC + CA '.BC = ( BA '+ A 'C ) .BC = BC 2

b) Có

BH BC '
BH.CH BC '.CH SBHC
=
⇒
=
=
AB BB'

AB.AC BB'.AC SABC

Tương tự:

AH.BH SAHB AH.CH SAHC
=
;
=
CB.CA SABC CB.AB SABC

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
⇒

HB.HC HA.HB HC.HA SABC
+
+
=
=1
AB.AC AC.BC BC.AB SABC
∆AHM : ∆CDH ( g.g) ⇒

HM AH
=
HD CD

(3)

∆AHN : ∆BDH ( g.g) ⇒

AH HN
=
BD HD

(4)

c) Chứng minh
Chứng minh
CD = BD
Mà

(gt)

(5)

HN
=
⇒ HM = HN
( 3) ,( 4) ,( 5) ⇒ HM
⇒H
HD HD

Từ
là trung điểm của MN
Câu 5.

E,F,P,Q
AB,CD,BC,AD.
I,G
Gọi
lần lượt là trung điểm của
Lấy các điểm
trên EF
K ,H
và
trên PQ thỏa mãn:
IE HP GF KQ 2
=
=
=
=
IF HQ GE KP 3
Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng
AD,BC,EF
M ,N ,G'.
lần lượt tại
Ta có:
AB.( BM + AN )
SABMN 2
2
EG' 2
2
= ⇔
= ⇔
= ⇔ G ≡ G'
SCDNM 3

G'F 3
CD.( CM + DN ) 3

d
hay qua G.
Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề Câu đều đi
G,H ,I ,K
qua một trong 4 điểm
G,H ,I,K
2018
Do có
đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm
theo nguyên lý Dirichle
2

 2018
 4  + 1 = 505



phải tồn tại ít nhất
đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4
điểm trên.
Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy.
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (3 điểm)

( x + y) ( x

3

1) Chứng minh :

2) Phân tích đa thức thành nhân tử:
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

)

− x2y + xy2 − y3 = x4 − y4

(

)

x ( x + 2) x2 + 2x + 2 + 1
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
a,b,c

3) Tìm
biết:
Câu 2. (4 điểm)

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac

P=

Cho biểu thức:
x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y

1) Rút gọn biểu thức

và

y2 − x2
y2 
x+ y
2  x2
− 2
+
−
. 2
2÷
x  x + xy
xy
xy + y  x + xy + y2

với

P.

2) Tính giá trị của biểu thức

P,

x + y + 10 = 2( x − 3y )
2

a8 + b8 + c8 = 3

x,y
biết

thỏa mãn đẳng thức:

2

Câu 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình:

( 6x + 8) ( 6x + 6) ( 6x + 7)

2

( x;y)

= 72
x2 + x + 3 = y2

2) Tìm các cặp số nguyên
thỏa mãn:
Câu 4. (2 điểm)
a,b,c
1≥ a,b,c ≥ 0.
Cho các số
thỏa mãn

Chứng minh rằng:
a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1

Câu 5. (5,5 điểm)
Cho hình vuông

A BCD

có cạnh bằng

I

a,

biết hai đường chéo cắt nhau tại

O.Lấy điểm thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh

BC

(I và M
AM
CD
không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của
và
,K
OM
BN.
là giao điểm của
và

∆BIO = ∆CMO
BIOM
a
1) Chứng minh
và tính diện tích tứ giác
theo
·
·
BKM
= BCO
2) Chứng minh
1
1
1
=
+
2
2
CD
AM
AN 2
3) Chứng minh
Câu 6. (1,5 điểm)
ABC ( AB < AC ) ,
G.
d
Cho tam giác
trọng tâm
Qua G vẽ đường thẳng cắt

các cạnh

A B,AC

theo thứ tự ở

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

D

sao cho

·
IOM
= 900

và E. Tính giá trị biểu thức

AB AC
+
.
AD AE

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

( x + y) ( x

3

1) Ta có:

− x2y + xy2 − y3

)

= x4 − x3y + x2y2 − xy3 + x3y − x2y2 + xy3 − y4
= x4 − y4
Vậy đẳng thức được chứng minh.
x ( x + 2) x2 + 2x + 2 + 1 = x2 + 2x x2 + 2x + 2 + 1

(
=(x

(

)

(

2

)

)

(

)(

)

= x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 1
2

2) Ta có:

3) Biến đổi

)

+ 2x + 1 = ( x + 1)
2

4

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

( a − b) + ( b − c) + ( c − a)
2

về

2

2

=0

a= b= c
Lập luận suy ra
a= b= c
a8 + b8 + c8 = 3
3a8 = 3 ⇔ a8 = 1⇔ a = ±1
Thay
vào
ta có:
a = b = c = 1

a = b = c = −1
Vậy
Câu 2.
x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y
1) Với
ta có:
2
2
2
2
x+ y
2  x y − x − y ( x + y ) − xy ÷
P= −
. 2
x 
÷ x + xy + y2

xy ( x + y )



(

)

x+ y
2 xy ( x − y) − ( x − y ) ( x + y )
= −
. 2
x
xy ( x + y )
x + xy + y2
2

(

)

2
2
x+ y
2 ( x − y ) x + xy + y
= +
. 2
x
xy ( x + y )
x + xy + y2

=

2 x− y x+ y
+
=
x xy
xy

2) Ta có:

x2 + y2 + 10 = 2( x − 3y )

⇔ x2 − 2x + 1+ y2 + 6y + 9 = 0
⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = 0
2

Lập luận

2

x = 1
⇒
(tm)
y
=
−
3


Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Nên thay
Câu 3.

1) Đặt

x = 1;y = −3

6x + 7 = t.

P=
vào biểu thức

Ta có:

2
x = − 3
⇔ t = ±3 ⇒ 
x = − 5

3

( t + 1) ( t − 1) t

2

x + y 1+ ( −3) 2
=
=
xy
3
1.( −3)

(

)

= 72 ⇔ t2 − 1 t2 = 72 ⇔ t4 − t2 − 72 = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm

−2 −5
S=  ; 
 3 3

x2 + x + 3 = y2 ⇔ 4x2 + 4x + 12 = 4y2 ⇔ ( 2x + 1) − 4y2 = −11
2

2)

⇔ ( 2x + 2y + 1) ( 2x − 2y + 1) = −11
 2x + 2y + 1 = 1
x = −3

⇒

 2x − 2y + 1 = −11  y = 3
 2x + 2y + 1 = −1 x = 2

⇒
 2x − 2y + 1 = 11  y = −3
⇔
 2x + 2y + 1 = 11 ⇒ x = 2
 2x − 2y + 1 = −1 y = 3


 2x + 2y + 1 = −11 x = −3
⇒

2x
−
2y
+
1
=
1

 y = −3


Câu 4.
b,c ∈ 0;1
b2 ≤ b;c3 ≤ c
Vì

nên suy ra
2
a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1)
Do đó :
a + b + c − ab − bc − ca = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) − abc + 1
Lại có:
a,b,c ∈ 0;1
( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) ≤ 0; −abc ≤ 0
Vì
nên
( 2) ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1 ( 3)
Do đó từ
a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1
Từ (1) và (3) suy ra

(2)

Câu 5.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

(

·

·
IBO
= MCO
= 450

1)

BO = CO

)

(Tính chất đường chéo hình vuông)

(tính chất đường chéo hình vuông)
·
·
·
BOM
)
BOI
= COM
(cùng phụ với
⇒ ∆BIO = ∆CMO ( g.c.g)
⇒ SBIO = SCMO

mà

SBMOI = SBOI + SBMO

SBMOI = SCMO + SBMO = SBOC =

Do đó:

2) Ta có:

1
1
SABCD = a2
4
4

∆BIO = ∆CMO(cmt) ⇒ CM = BI ⇒ BM = A I
BM AM
IA AM
=
⇒
=
⇒ IM / /BN
CM M N
IB MN

Ta có:

CN / /AB
Vì
nên
OI = OM ( ∆BIO = ∆CMO ) ⇒ ∆IOM

cân tại O
·
·

·
·
IM / /BN ⇒ BKM
= IMO
= 45 ⇒ BKM
= BCO

·
·
⇒ IMO
= MIO
= 450

0

Vì

3) Qua

A

AN
Ax
kẻ tia
vuông góc
cắt CD tại E.
∆ADE = ∆ABM ( g.c.g) ⇒ AE = AM

Chứng minh
∆ANE

AD ⊥ NE
Ta có:
vuông tại A có
2
2
AD.NE AN.AE
SAEN =
=
⇒ AD.NE = AN.AE ⇒ ( AD.NE ) = ( AN.AE )
2
2
Áp dụng định lý Pytago vào

(

⇒ AD 2. AN 2 + AE2

Mà

AE = AM

)

∆ANE

AN 2 + AE2 = NE2

ta có:
AN + AE2
1

1
1
1
= AN 2.AE2 ⇒
=
⇒
+
=
2
2
2
2
2
AN .AE
AD
AE AN
AD 2

CD = AD ⇒
và

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

2

1
1
1
=
+

2
2
CD
AM
AN 2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Câu 6.

Gọi M là trung điểm của BC
Qua B vẽ đường thẳng song song với

d
d

cắt AM tại I, ta có:
K,

AM

Qua C vẽ đường thẳng song song với cắt
tại
AB AC AI + AK
+
=
(3)
AD AE

AG
Từ (1) và (2) suy ra
AI + AK = ( AM − MI ) + ( AM + MK ) = 2AM ( 4)
Mặt khác :
∆BMI = ∆CMK )
MI = MK
(Vì
do
AB AC 2AM 2AM
+
=
=
=3
2
AD AE
AG
AM
3

AB AI
=
AD AG

ta có:

AC A K
=
AE A G

(1)

(2)

Từ (3) và (4) suy ra

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8

Câu 1. (4 điểm)

Cho biểu thức:

 1
2
5− x  1− 2x
A =
+
−
: 2
2÷
 1− x 1+ x 1− x  x − 1

a) Rút gọn biểu thức

A

b) Tìm các giá trị nguyên của
x

x

để biểu thức

A

nhận giá trị nguyên

A =A

c) Tìm để
Câu 2. (6 điểm)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

a) Giải phương trình:

x4 + x2 + 6x − 8 = 0

b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
c) Cho

a3 + b3 + c3 = 3abc

với

x2 + 2x − 10 = y2

a,b,c ≠ 0


a
b
c
P =  1+ ÷ 1+ ÷ 1+ ÷
b
c  a


Tính giá trị biểu thức
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng
chia hết cho 7
x,y,z
x + y + z = 1.
b) Cho
là các số thực dương thỏa mãn:
1
1 1
M=
+
+
16x 4y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4. (4 điểm)
AB = a = 12cm,BC = b = 9cm.
A BCD

Cho hình chữ nhật
có
Gọi H là chân
đường vuông góc kẻ từ A xuống BD
BCD
AHB
a) Chứng minh tam giác
đồng dạng với tam giác
AH
b) Tính độ dài đoạn thẳng
AHB
c) Tính diện tích tam giác
Câu 5. (2 điểm)
M ,N
A BC.
Cho tam giác đều
Gọi
lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và
BM = BN.
∆BMN
AN.
BC sao cho
Gọi G là trọng tâm
và I là trung điểm của
Tính
ICG.
các góc của tam giác

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

x ≠ ±1;x ≠

a) ĐKXĐ:

1
2

 1+ x + 2( 1− x) − ( 5 − x)
A =

1− x2

−2 x2 − 1
2
=
.
=
2
1− x 1− 2x 1− 2x

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

 x2 − 1
÷.
÷ 1− 2x


TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1
Website:tailieumontoan.com

b)

A

x

nguyên, mà
x= 0
Vậy
c) Ta có:

nguyên nên

A = A ⇔ A ≥ 0 ⇔ 1− 2x > 0 ⇔ x <

1
2

−1 ≠ x <

1
2

Kết hợp với điều kiện :
Câu 2.

( x − 1) ( x

3

a) Phân tích được

2M( 1− 2x) ,

(

)

+ x2 + 2x + 8 = 0

)

⇔ ( x − 1) ( x + 2) x2 − x + 4 = 0

Vì

từ đó tìm được

 x = 1(ktm)

 x = 0(tm)

(1)

 x − 1= 0
x = 1
x2 − x + 4 > 0 ⇒ ( 1) ⇔ 

⇔
 x + 2 = 0  x = −2
x2 + 2x − 10 = y2 ⇔ ( x + 1) − y2 = 11
2

b) Ta có:
Vì

⇔ ( x + 1+ y ) ( x + 1− y ) = 11 (2)

x,y ∈ ¥

nên

x + 1+ y > x + 1− y > 0

( x + 1+ y ) ( x + 1− y ) = 11.1

(2) viết thành:
 x + 1+ y = 11  x = 5
⇔
⇔
x
+
1
−
y
=
1


y = 5

( x;y) = ( 5;5)

Vậy
c) Biến đổi giả thiết về dạng:
2
2
2
1
a + b + c) ( a − b) + ( b − c) + ( c − a)  = 0
(


2
a + b + c = 0
⇔
a = b = c

Với

a+ b+ c = 0

 −c   −a  − b 
P =  ÷ ÷
÷ = −1
 b   c  a 

tính được:
a= b= c

P = 2.2.2 = 8
Với
tính được:
Câu 3.
abc
a) Gọi số có ba chữ số cần tìm là
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

abc = ( 98a + 7b) + 2a + 3b + c

Ta có:
abcM
7 ⇒ 2a + 3b + cM
7
(3)
Vì
a + b + cM7
(4),k
b − cM7
Mặt khác, vì
ết hợp với (3) suy ra
−7;0;7
b− c
Do đó

chỉ có thể nhận các giá trị
707;518;329
b − c = −7 ⇒ c = b + 7.
Với
Kết hợp với (4) ta chọn được các số
thỏa mãn.
b − c = 7 ⇒ b = c + 7.
b
c
Với
Đổi vai trò và của trường hợp trên ta được các cặp số
770,581,392
thỏa mãn Câu toán.
b− c = 0⇒ b = c
a + 2bM7
Với
mà do (4) nên
7;14;21.
1≤ a + 2b ≤ 27
a + 2b
Do
nên
chỉ có thể nhận các giá trị
133;322;511;700;266;455 ;644;833;399; 588;
Từ đó ta chọn được 12 số thỏa mãn là
777;966
Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán:
;455;644;833;399;588;777;966.

b) Vì

x+ y + z = 1

M=

707;518;329;770;581;392 ;133;322;511;700 ;266

1
1 1  1
1 1
+
+ =
+
+ ÷( x + y + z )
16x 4y z  16x 4y z 

nên:
y  x z  y z 
21  x
= +
+
+
+ +
÷+
÷
16  4y 16x   z 16x ÷
  z 4y 

y
16x2 + 4y2 ( 4x − 2y ) + 2.4x.2y ( 4x − 2y )

x
1 1
+
=
=
=
+ ≥ ( ∀x,y > 0)
4y 16x
64xy
64xy
64xy
4 4
2

Ta có:

Tương tự:

M≥
Từ đó

2

x z
1 y z
+
≥ ; +
≥ 1( ∀x,y > 0)
z 16x 2 z 4y

21 1 1
49
+ + + 1=
16 4 2
16

Vậy GTNN của
Câu 4.

M

là

"= "
. Dấu
xảy ra
49
1
2
4
⇔ x = ;y = ;z =
16
7
7
7

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp


1

x = 7
 4x = 2y = z

2


⇔  x + y + z = 1⇒  y =
7
 x,y,z > 0


4

x = 7


TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

a) Chứng minh được

∆AHB : ∆BCD(g.g)

∆A HB : ∆BCD(cmt) ⇒

b)

AH AB
a.b
=
⇒ AH =
BC BD
BD
BD = AD 2 + AB2 = 225 = 15( cm)

Áp dụng định lý Pytago được:
12.9
AH =
= 7,2(cm)
15
Từ đó tính được:
AH 7.2
k=
=
∆AHB : ∆BCD
BC
9
c)
theo tỉ số
S,S'
∆BCD
S = 54cm2
∆AHB
Gọi
lần lượt là diện tích của
và
, ta có:

2

2

S'
 7.2 
 7.2 
= k2 = 
⇒ S' = 
.54 = 34,56(cm2 )
÷
÷
S
 9 
 9 

Vậy diện tích tam giác AHB bằng

34,56(cm2 )

Câu 5.

Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của
của MN,
GP 1
=
GN 2
Ta có:
(tính chất trọng tâm tam giác đều)
PI

PI
1
GP
PI
1
=
=
=
=
(1)
MA NC 2
GN NC 2
Lại có:
suy ra
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

∆BMN.

Gọi P là trung điểm

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
·
·
·
GPI
= GPM

+ MPI
= 900 + 600 = 1500

Mặt khác:
·
·
·
·
·
GNC
= GNP
+ PNC
= 300 + 1200 = 1500
GPI
= GNC
Và
, do đó :
(2)
1
GI = GC
·
·
∆GPI : ∆GNC(c.g.c) ⇒ PGI
= NGC
2
Từ (1) và (2) suy ra
và
·
·
·

IGC
= 600
IGC
= PGN
= 600

)

(

Mà

GI = GK =
Gọi K là trung điểm của GC thì
∆GIC
Điều này chứng tỏ
vuông tại I
0
0
·
·
·
GIC
= 90 ;IGC
= 60 ;GCI
= 300

1
GC,
2

suy ra

∆GIK

đều nên

1
IK = GC
2

Vậy
(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2 điểm)

(x

2

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
b) Đa thức

f ( x) = 4x3 + ax + b

)(

)

− 2x x2 − 2x − 1 − 6

chia hết cho các đa thức

x − 2;x + 1.

Tính

2a − 3b

Câu 2. (2 điểm)
an = 1+ 2+ 3+ ... + n.
an + an+1
a) Cho
Chứng minh rằng
là một số chính phương
10n2 + 9n + 4
20n2 + 20n + 9
n
b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số
tối giản
Câu 3. (3 điểm)
xyz
P=
3
3
3
( x + y ) ( y + z ) ( z + x)
x + y + z = 3xyz.
a) Cho
Hãy rút gọn phân thức :

4
4
1 + 4 5 + 4 94 + 4 174 + 4
M= 4
.
.
....
3 + 4 74 + 4 114 + 4 194 + 4
b) Tìm tích:
Câu 4. (4 điểm)
x = by + cz;y = ax + cz;z = ax + by
x + y + z ≠ 0;xyz ≠ 0
a) Cho
và
.
1
1
1
+
+
=2
1+ a 1+ b 1+ c
CMR:
yz xz xy
1 1 1
P= 2 + 2+ 2
+ + = 0,
x y
z
x y z

b) Cho
tính giá trị của biểu thức
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

P=

 x+ 1 1
x2 + x
2− x2 
:
−
+

÷
1− x x2 − x 
x2 − 2x + 1  x

Câu 5. (3 điểm) Cho biểu thức :
P
a) Rút gọn biểu thức
x
P<1
b) Tìm để
P

x>1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Câu 6. (3 điểm) Cho hình vuông
A B,BC.

a) Chứng minh rằng:

ABCD,

gọi

E,F

thứ tự là trung điểm của

CE ⊥ DF

DF.
A M = AD
và
Chứng minh rằng:
ABDE,
A BC.
Câu 7. (3 điểm) Cho tam giác
Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông
ACFH.
M

b) Gọi

là giao điểm của

a) Chứng minh rằng

CE

EC = BH;EC ⊥ BH

M ,N

ABDE,ACFH.
thứ tự là tâm của các hình vuông
Gọi I là trung
BC.
MNI
điểm của
Tam giác
là tam giác gì ? Vì sao ?

b) Gọi

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

( x + 1) ( x − 3) ( x

2

a)

b) Đa thức

)

− 2x + 2

f(x) = 4x3 + ax + b

f ( 2) = 0 ⇒ 32 + 2a + b = 0(1)
f(−1) = 0 ⇒ −4− a + b = 0

Từ

( 1)

Vậy

( 2)

và
ta tìm được
2a − 3b = 0

chia hết cho các đa thức

x − 2;x + 1
nên:

(2)
a = −12;b = −8

Câu 2.

a) Ta có:

an+1 = 1+ 2 + 3+ ..... + n + n + 1

an + an+1 = 2( 1+ 2 + 3+ ..... + n) + n + 1 = 2.
= ( n + 1)

n ( n + 1)
2

+ n + 1= n2 + 2n + 1

2

là một số chính phương.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
10n2 + 9n + 4

d

b) Gọi

20n2 + 20n + 9

là ƯCLN của
và
2
2
10n + 9n + 4Md
20n + 18n + 8M
d
⇒
⇒
⇒ 2n + 1Md

2
2
20n + 20n + 9Md 20n + 20n + 9Md
⇒d
2n + 1Md ⇒ 4n2 + 4n + 1M
d ⇒ 20n2 + 20n + 5Md ⇒ 4M
d

Mặt khác :

là số tự nhiên lẻ
, mà

d

lẻ nên

d=1

Vậy phân số trên tối giản
Câu 3.

x= y = z
x+ y + z = 0
chỉ ra được
hoặc
TH1: x + y + z = 0 ⇒ x + y = − z;x + z = − y;y + z = −x ⇒ P = −1
1
TH 2: x = y = z ⇒ P =
8
x3 + y3 + z3 = 3xyz

a) Từ

b) Nhận xét được:
M=

(

)

2
2
n4 + 4 = ( n − 1) + 1 ( n + 1) + 1





. Do đó:

( 4 + 1) .( 6 + 1) ...... ( 16 + 1) .( 18 + 1) = 1 = 1
( 2 + 1) .( 4 + 1) ( 6 + 1) .( 8 + 1) ( 18 + 1) .( 20 + 1) 20 + 1 401
1. 2 + 1
2

2

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 4.

a) Từ giả thiết
⇒ c=

⇒ 2cz + z = x + y ⇒ 2cz = x + y − z

x+ y − z
x+ y + z
1
2z
⇒ c + 1=
⇒
=
2z
2z
c+ 1 x+ y + z

Tương tự:

b) Từ

2y
1
2x
1

=
;
=
1+ a x + y + z 1+ b x + y + z

. Khi đó:

1
1
1
+
+
=2
1+ a 1+ b 1+ c

1 1 1
1 1 1
3
+ + = 0⇒ 3 + 3 + 3 =
x y z
xyz
x y z

Khi đó:
 1 1 1
yz xz xy xyz xyz xyz
3
P = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz. 3 + 3 + 3 ÷ = xyz.
=3
xyz

x y
z
x
y
z
x
y
z


Câu 5. a) ĐKXĐ:

Rút gọn

P

ta có:

x ≠ 0;x ≠ 1;x ≠ −1

x2
P=
x−1

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1

Website:tailieumontoan.com
2

b)


1 3
x− ÷ +

2
2
2
2 4
x
x
x − x+1
P < 1⇔
< 1⇔
− 1< 0 ⇔
< 0⇔ 
<0
x− 1
x−1
x−1
x−1

⇔ x − 1< 0 ⇔ x < 1
Vậy với

x<1

và

x ≠ 0;x ≠ −1

P=

c) Ta có:
Khi

thì

P<1

x2
x2 − 1+ 1
1
1
=
= x + 1+
= x − 1+
+2
x− 1
x−1
x−1
x−1
x − 1+

x > 1;x − 1 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
x = 2.
4⇔ x = 2
ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của P bằng

1
≥2
x−1

. Dấu

"= "

xảy

Câu 6.

a) Chứng minh được

¶ =D
¶
∆CBE = ∆DFC ( c.g.c) ⇒ C
1
1

¶ +C
¶ = 900 ⇒ D
¶ +C
¶ = 900 ⇒ CE ⊥ DF

C
1
2
1
2

Lại có:
A ECK
K
b) Gọi là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác
là hình bình
AK / /CE
hành suy ra
KN / /CM
N
DF.∆DCM
DK = KC
AK
Gọi
là giao điểm của
và
có
và
nên N là trung
CM ⊥ DM(
KN / /CM ⇒ KN ⊥ DM
điểm của DM. Vì
câu a),

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

∆ADM
AN
Tam giác
có
là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác
A.
cân tại
⇒ AM = AD
Câu 7.

a) Chứng minh được:

·
· BH
∆EA C = ∆BA H ( c.g.c) ⇒ EC = BH ,AEC
=A

EC
và O thứ tự là giao điểm của
với BA và BH
· EK = OBK
·
· KE = OKB

·
· K = BOK
·
A
;A
⇒ EA
∆OBK
∆AEK
Xét
và
có:
·
EC ⊥ BH
⇒ BOK
= 900.
Vậy
Gọi

K

MI / /EC;MI =

b) Ta có:

1
1
EC;IN / /BH ;IN = BH
2
2

EC = BH
MI = IN
MI ⊥ IN
và
nên
và
MIN
Vậy tam giác
vuông cân tại I
Mà

EC ⊥ BH

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị của

a

( 21x

2

)(

)

− 9x3 + x + x4 + a Mx2 − x − 2

để
n4 − 2n3 − n2 + 2n
24
n∈ ¢
b) Chứng minh rằng
chia hết cho
với mọi
Câu 2. (2,0 điểm)
a3 + b3 + c3 = 3abc
a + b + c = 0.
a) Cho
Chứng minh rằng
1 1 1
+ + = 0,
x ≠ 0;y ≠ 0;z ≠ 0)
x y z
b) Cho
(với

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

yz xz xy
+

+
x2 y2 z2
Tính giá trị của biểu thức
Câu 3. (2,5 điểm)
 4x
8x2   x − 1 2 
A =
+
:
− ÷
2÷  2
 2+ x 4− x   x − 2x x 
Cho biểu thức :
A
a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
x
A = −1
b) Tìm để
A <0
x
c) Tìm các giá trị của để
Câu 4. (1,5 điểm)
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm
trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một
đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.
Câu 5. (2,0 điểm)
·
xOy
= m0(0 < m < 90).
Gọi M là diểm nằm trong

chiếu của

M

Gọi P, Q lần lượt là hình

Ox,Oy.
trên

a) Chứng minh
b) Tính số đo

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của
HK ⊥ PQ

·
HPQ

OM ,PQ

theo m
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

a) Thương:

x2 − 8x + 15

Phép chia hết nên

b)

a + 30
và dư:
a + 30 = 0 ⇒ a = −30

(

)

n4 − 2n3 − n2 + 2n = n n3 − 2n2 − n + 2
= n  n2.( n − 2) − ( n − 2) 

(

)

= n n2 − 1 ( n − 2) = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2)
n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2)

là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết
cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4
n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2) M2.3.4 = 24
Nên
n4 − 2n3 − n2 + 2nM24
Vậy
Câu 2.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

a)

( a + b + c)

3

= ( a + b) + 3( a + b) c + 3( a + b) c2 + c3
3

2

= ( a + b) + 3( a + b) c.( a + b + c) + c3 = ( a + b) + c3
3

3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b)

= a3 + b3 + c3 + 3ab ( −c) (Vi a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c)
= a3 + b3 + c3 = 3abc
a=

b) Với

1
1
1
;b = ;c =
x
y
z

1 1 1
3
+ 3+ 3=
3
xyz
x y z

a
Áp dụng kết quả câu ta có:
 1 1 1
yz xz xy xyz xyz xyz
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz. 3 + 3 + 3 ÷
2
x y
z
x
y
z
x y z 

= xyz.

3
=3
xyz

Câu 3.

a) ĐKXĐ:

x ≠ 0;x ≠ ±2

2
 4x
8x2   x − 1 2  4x( 2 − x) + 8x x − 1− 2( x − 2)
A =
+
:
− ÷=
:
2÷  2
x ( x − 2)
 2 + x 4 − x   x − 2x x  ( 2 + x) ( 2 − x)
2
2
2
8x − 4x + 8x x − 1− 2x + 4
8x + 4x
3− x
=
:

=
:
( 2+ x) ( 2− x) x( x − 2) ( 2+ x) ( 2− x) x ( x − 2)

4x ( 2 + x)

x ( x − 2)

4x2
=
.
=
( 2+ x) ( 2− x) 3− x x − 3

b)

 x = −1
4x2
2
A = −1⇔
= −1 ⇔ 4x + x − 3 = 0 ⇔ 
x = 3
x− 3

4
A < 0⇔

c)
Vậy
Câu 4.

4x2
< 0 ⇔ x − 3< 0 ⇔ x < 3
x− 3

x < 3;x ≠ 0;x ≠ ±2

thì

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

A <0

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Kẻ

PH ⊥ AD;PK ⊥ CD;PM / /CD;PN / /AD

∆HMP : ∆KNP(g.g)

Chứng minh
PH PM
PH DN
⇒
=

⇒
=
PK PN
PK PN

(do PMDN là hình bình hành)
DN PN
∆DNP : ∆DCB( g.g) ⇒
=
DC BC

Chứng minh
DN DC
PH DC
⇒
=
⇒
=
(dfcm)
PN BC
PK BC
Câu 5.

a)

∆MPO

PH =
vuông tại P, đường trung tuyến

QH =

∆MQO

b)

1
OM
2

vuông tại Q, đường trung tuyến
⇒ PH = QH ⇒ ∆HPQ
⇒ HK ⊥ PQ
cân tại H
·
·
·
·
MHQ
= 2MOQ;MHP
= 2MOP

1
OM
2

·
·
·
⇒ PHQ = 2.POQ

= 2.m0 ⇒ PHK
= m0 ⇒ HPQ
= 900 − m0

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8
Câu 1. (2 điểm) Tìm

x

biết :

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

x−

a)
b)
c)

2 1
<
3 3

−3x = −6561

( 2x − 1)

2012

= ( 2x − 1)

2010

Câu 2. (2 điểm)
2012

a) Số tự nhiên

A = 1+ 23

là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
B = 2x2 + y2 + 2xy − 8x + 2028
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
x,y,z
10x2 + y2 + 4z2 + 6x − 4y − 4xz + 5 = 0
c) Tìm
biết:
Câu 3. (1,5 điểm)
2
3
3
4
Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển

4
5

Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn
tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi
đội tuyển ?
x(m + n) = y(n + p) = z(p + m)
x,y,z
Câu 4. (1,5 điểm) Cho
trong đó
la các số khác
n−p
p−m
m− n
=
=
x(y − z) y ( z − x) z ( x − y )

nhau và khác 0, Chứng minh rằng:
ABC
Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác
vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm
AI = AM.
giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho
CM ⊥ BI
a) Chứng minh rằng:
BP = 2CP.
P
b) Trên BC lấy điểm sao cho
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường

thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia
·
CBD
D. Tính số đo

Px

sao cho

·
xPB
= 600.

Tia

Px

cắt tia CA tại

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
2 1
−1
2 1
1
a) x − < ⇔
< x− < ⇔ < x < 1
3 3
3
3 3

3

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
b)

−3x = −6561

c) ( 2x − 1)

2012

hay

−3x = −38 ⇒ x = 8

= ( 2x − 1)

⇔ ( 2x − 1)

2010

⇔ ( 2x − 1)

2010

2010

⇔ ( 2x − 1)

2012

− ( 2x − 1)

2010

=0

2
. 1− ( 2x − 1)  = 0



.( 1− 2x + 1) ( 1+ 2x − 1) = 0


1
x = 2
 2x − 1 = 0


⇔  2 − 2x = 0 ⇔  x = 1
x = 0
 2x = 0



Câu 2.

32012 = 3n ( ∈ ¥ )
32012 M3
a)
nên có thể viết
3
2
2012
⇒ A = 1+ 23 = 13 + 23n = 13 + 2n = 1+ 2n 1− 2n + 2n  ⇒ A



( ) (

)

( )

là hợp số

b)B = 2x + y + 2xy − 8x + 2028
2

2

= x2 + 2xy + y2 + x2 − 8x + 16+ 2012
= ( x + y ) + ( x − 4) + 2012 ≥ 2012
2

2

 x + y = 0 x = 4
⇔
⇔
 x − 4 = 0  y = −4

Đẳng thức xảy ra

x = 4
2012 ⇔ 
 y = −4

Giá trị nhỏ nhất của B là
c)10x2 + y2 + 4z2 + 6x − 4y − 4xz + 5 = 0

(

) (

) (

)

⇔ 9x2 + 6x + 1 + y2 − 4y + 4 + 4z2 − 4xz + x2 = 0
⇔ ( 3x + 1) + ( y − 2) + ( 2z − x) = 0
2

2

2


1
x
=
−

3x + 1 = 0
3


⇔ y − 2 = 0 ⇔ y = 2
2z − x = 0 
−1

z =
6

Câu 3. Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là
x + y) − z
38
y
2
3
4
x
z = (
=

=2
x= y= z⇒
=
=
19
18
+
16
−
15
(
)
3
4
5
18 16 15
Ta có:
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

x,y,z ( x,y,z ∈ ¥ )

TÀI LIỆU TOÁN HỌC