Tổng hợp đề thi đại học môn Toán từ 1975 đến nay

Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Năm học 1975 -1976 Đề số 1 Đại học Tổng hợp
(180 phút không kể thời gian chép đề bài)
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau đây, trong hệ trục tọa độ vuông góc
x2  1
y
.
x
Câu 2. Tìm những trị số của x để hàm số sau đây xác định:
y  log   x 2  4 x  6 

Ký hiệu log chỉ logarit thập phân.
Câu 3. Cho hai điểm B, C và một đường thẳng (D) song song với đường thẳng BC. Khoảng cách
a
,a
giữa (D) và đường thẳng BC bằng 2
là độ dài đoạn BC. Lấy một điểm A bất kỳ trên (D). Các
góc của tam giác ABC được ký hiệu là A, B, C.
a. Chứng minh các hệ thức:
cot B  cot C  2,
cot  B  C   sin A  cos A.

b. Nếu

B C 


,

4 hãy tính A, B, C.

Câu 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a, (D) là đường thẳng qua A và thẳng góc với mặt phẳng của
ABC. Lấy một điểm M bất kỳ trên (D). Gọi O là tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong tam giác MBC, BE là đường cao phát xuất từ B, CF là đường cao phát xuất từ C (E ở trên
CM, F ở trên BM).
a. Khi M di động trên (D) thì quỹ tích của E và F là những vòng tròn, hãy xác định các mặt
phẳng chứa các vòng tròn này, các tâm và bán kính của chúng.
b. Gọi H là trực tâm của BCM . Chứng minh OH và (D) nằm trong cùng một mặt phẳng. Nếu
N là điểm cắt nhau của hai đường thẳng OH và (D), hãy chứng minh tứ diện BCMN có các cạnh
đối đôi một trực giao (vuông góc).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

1


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Đề số 2 Đại học Bách Khoa
(Bài thi làm trong 180 phút không kể thời gian chép đề)
Câu 1. Cho hàm số f định bởi:
y  f  x 

x2  2x  2
( x �1)
x 1

a. Tìm giới hạn của y khi x � �� và khi x � 1. Tính đạo hàm y ' và xét dấu đạo hàm đó.
b. Trong một hệ trục tọa độ vuông góc, đường biểu diễn
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

 

 

của f cắt trục hoành tại A và B.

tại A và B.

c. Viết phương trình của các đường tiệm cận của
của hàm số trên.

   . Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị   

Câu 2. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Giả sử trung tuyến AM xuất phát từ A có độ dài
c
.
bằng 2 Hãy chứng minh các hệ thức sau đây:

 1 ,
2sin B  sin  A  C   2  .
2b 2  a 2  b2

Câu 3. Trong mặt phẳng (P), ta lấy một hệ trục tọa độ vuông góc có gốc là O. Trên đường thẳng
(D) vuông góc với (P) tại O, ta lấy hai điểm A và B đối xứng nhau qua O. Đặt OA  OB  a.
Trên trục x ' Ax song song và cùng chiều với trục hoành X ' OX (trong mặt phẳng (P)) ta lấy một
điểm M và trên trục y ' By song song và cùng chiều với trục tung độ Y ' OY (trong mặt phẳng

(P)) ta lấy một điểm N.
a. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng tỏ rằng I ở trong mặt phẳng (P).
b. Gọi

 x; y 

là tọa độ của điểm I trong mặt phẳng (P). Chứng tỏ rằng 2 x  AM , 2 y  BN và từ


đó suy ra quĩ tích k của I khi M và N di động thế nào cho AM  BN  k , k là một hằng số cho


trước. k là một đường thẳng. Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, k luôn luôn song song với một
đường thẳng cố định.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

2


Giáo viên Lê Văn Tho

c. Chứng minh hai hệ thức

Sđt 01658968434

MN 2  AB 2  AM 2  BN 2  4  a 2  OI 2  .

Từ đó suy ra quĩ tích của I

khi M và N di động thế nào cho MN có độ dài không đổi l.

Đề số 3 Đại học Y – Nha – Dược
Thí sinh chọn một trong hai đề sau
ĐỀ I
� �
sin 2 x  sin �x  �
.
3
�
�
Câu 1. Giải phương trình lượng giác
y

Câu 2. Dùng công thức để tính đạo hàm của hàm số sau

1

 3x  4 

2

.

2
Câu 3. Cho hàm số y  x  6 x  9.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đường biểu diễn của hàm số đã cho trong hệ trục tọa độ vuông
góc.
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường biểu diễn của hàm số đã cho biết rằng

hoành độ của A là 2.
Câu 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. SA là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD và
SA  a. M là một điểm di động trên đoạn SD. Đặt SM  x.
a. Mặt phẳng ABM cắt đoạn SC tại N. Chứng minh tứ giác MABN là một hình thang vuông.
2
b. Đặt y  AM . Tính y theo a và x.
2
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đường biểu diễn của y  AM khi M vẽ đoạn SD (dùng hệ trục
tọa độ vuông góc).

ĐỀ II
Câu 1. (như câu 1 đề I). Câu 2. (như câu 2 đề I). Câu 3. (như câu 3 đề I).
2
Câu 4. Cho hàm số lượng giác y  sin x  cos x (x tính theo radian).

a. Chứng minh đó là một hàm số chẵn.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

3


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

b. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, vẽ đường biểu diễn hàm số trên trong hệ trục tọa độ vuông
góc.

c. Tính giới hạn

y  x 

y  cos x
khi x � 0
tan 2 2 x
với y đã cho ở trên.

Đề số 4 Đại học Sư Phạm
Khối A

Câu 1. Cho hàm số

y

x 2  2mx  m
x 2  8m
trong đó m là tham số và m �0; đường biểu diễn y trong

hệ trục tọa độ vuông góc được gọi là

 Cm  .

a. Hãy xác định m để cho hàm số qua một cực đại khi x  1.
b. Khảo sát hàm số khi m  1 và vẽ đồ thị.
c. Chứng minh rằng khi m thay đổi,
Câu 2. Giải bất phương trình

 Cm 

luôn qua hai điểm cố định.

x  x  1  6 x  1.

2
2
Câu 3. Giải phương trình 4 cos x  6sin x  5sin 2 x  4  0.

Câu 4. Trong một mặt phẳng (P) người ta cho một tam giác vuông cân ABC với
AB  AC  a; Bu , Cv là những nửa đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C và cùng một phía
với (P). Trên Bu, Cv người ta lần lượt lấy những điểm M, N di động sao cho tam giác AMN
vuông góc tại M. Đặt BM  x và CN  y.
a. Hãy tính y khi x  a. Tính diện tích tam giác AMN; suy ra cosin của góc nhọn hợp bởi mặt
phẳng AMN và (P).
b. I là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc AMI là góc phẳng của nhị diện có cạnh là MN và
có các mặt là các mặt phẳng BMNC và AMN. Tính giá trị của góc này khi x  4.
c. Chứng minh

α. Bốn điểm C, I, M, N cùng nằm trên một vòng tròn.
β. Năm điểm A, C, I, M, N cùng nằm trên một mặt cầu. Hãy xác định tâm của hình cầu này.
Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

4


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Năm học 1976 – 1977 Đề số 1 Đại học Bách khoa – Kiến trúc

Thí sinh cần làm tất cả các câu của phần bắt buộc và một trong hai đề của phần tự chọn.
PHẦN BẮT BUỘC

Câu 1. Cho hàm số

f  x 

x 2  5 x  10
.
3 x

1. Tìm khoảng xác định của
2. Hàm số

f  x

f  x

y  f  x .

tăng (đồng biến) giảm (nghịch biến) trong các khoảng nào?

3. Tìm cực đại và cực tiểu của
4. Vẽ đồ thị

và các đường tiệm cận của đường cong

f  x .

y  f  x .

5. Hãy chứng tỏ đường cong

y  f  x

có một tâm đối xứng, tìm tọa độ của tâm đó.

6. Viết phương trình của tiếp tuyến của đường cong
trục Oy.

y  f  x

tại giao điểm của đường cong với

 r  R .
Câu 2. Cho một hình nón cụt tròn xoay có chiều cao h, các đáy có bán kính là r và R
Tìm kích thước của hình trụ tròn xoay có cùng trục đối xứng, nội tiếp trong hình nón cụt đó và
có thể tích lớn nhất.
PHẦN LỰA CHỌN
x
x
cos  3 sin  1.
2
2
Câu 3. Giải phương trình lượng giác

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

5

Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Câu 4. Với ý thức tiết kiệm vật liệu, anh hay chị hãy tính xem cần bao nhiêu thanh sắt, mỗi
thanh dài 7, 4m để cắt thành 1000 đoạn, mỗi đoạn dài 0, 7m và 2000 đoạn, mỗi đoạn dài 0,5m
(không được nối). Anh hay chị có chứng tỏ được cách tính của anh hay chị là tiết kiệm vật liệu
nhất không?

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha
uuuur uuuur
Câu 1. Trong hệ trục tọa độ vuông góc x ' Ox, y ' Oy cho hai đường cong sau đây
x2
 P1  : y  2 x ;  P2  : y  .
2
1.

 P1 

và

 P2 

cắt nhau tại O và M. Tính tọa độ của M.

2. Tính diện tích giới hạn bởi cung OM trên

 P1 

và OM trên

 P2  .

Câu 2. Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần để tính tích phân bất định sau đây
I �
x sin xdx.

Câu 3. Cho biết

tan

x
 2 3
2
và từ đó suy ra trị số của sin x, cos x và x (tính bằng radian).

Câu 4. Cho một tứ diện đều S.ABC có cạnh là a.
1. Hãy tính chiều cao SO phát xuất từ đỉnh S và thể tích của tứ diện S.ABC.
2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và của BC. Chứng minh MN là đoạn thẳng vuông
góc chung của SA và BC. Hãy tính độ dài của MN theo a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

6


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Đề số 3 Đại học Tổng Hợp
Câu 1. Giải phương trình

4 cos 2 x  2





3  2 cos x  6  0.
sin ax

xa
Câu 2. x, a là hai số thực cho trước và a �0. Chứng minh

Câu 3. 1. Cho hàm số

y

�x .

x2  2x  m
x 2  2 x  2 trong đó m là tham số. Hãy xác định m để hàm số có một

cực đại khi x  2. Vẽ đường biểu diễn của hàm số trong trường hợp này (dùng một hệ trục tọa
độ vuông góc).
2. Trong một mặt phẳng với một hệ trục tọa độ vuông góc xOy, ta xem những điểm A và B có tọa
độ lần lượt là

 1;0 

và

 1;0 

và đường thẳng

 D

có phương trình y  1, M là một điểm di

MA2
MA
.
 k, k
2
D

động trên
và có hoành độ là x. Hãy tính tỉ số MB Tìm M để MB
là một hằng số
dương cho trước. Biện luận (có thể dùng đề thi của câu 1).
Câu 4. ABC là một tam giác đều cạnh a, nội tiếp trong một vòng tròn tâm O chứa trong một mặt
phẳng (P). D là điểm xuyên tâm đối của A trên vòng tròn này, SD là một đoạn thẳng có chiều dài
là a và vuông góc với (P).
1. Chứng minh SAC và SAB là những tam giác vuông.
2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC.
3. Định tâm của hình cầu qua 5 điểm S, A, B, C, D.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

7


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Đề số 4 Đại học Sư Phạm
Thí sinh chọn 1 trong 2 đề
ĐỀ I

Câu 1. Khảo sát hàm số

y

x3  1
.
x2

Câu 2. Đáy hình chóp S . ABCD là hình chữ nhật ABCD có AD  BC  2a và AB  DC  5a.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy ABCD. Biết rằng điểm H nằm trên đoạn thẳng
IJ, trong đó I là trung điểm của AD và J là trung điểm của BC. Cho SH  2a; IH  a.
1. Chứng minh rằng tam giác ISJ vuông. Tính giá trị góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng SAD và
SBC.
2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.
3. Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng vuông góc với IJ tại điểm K. Hỏi tiết diện là hình gì? Giả sử
IK  x. Gọi y là diện tích của tiết diện MNPQ (M, N, P, Q là bốn điểm của mặt phẳng vuông góc
cắt bởi bốn cạnh của hình chóp). Tính y theo a và x (xét trường hợp K nằm giữa I và H, hoặc K

nằm giữa H và J).
4. Vẽ đồ thị của hàm số

y  f  x

đó.

Câu 3. Giải phương trình 1  cos 2 x  4sin x.

x
Câu 4. Giải bất phương trình

2

 x  1  1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

x

8


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

ĐỀ II
Câu 1. Cho hàm số thực y  ex  ln x trong đó e là cơ số của hệ thống logarit nêpe và ln x là
logarit nêpe của x.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
2. Viết phương trình tiếp tuyến với
3. Tính diện tích giữa

 C

 C

của hàm số y.

tại điểm x  1.

 C  , trục hoành và hai đường thẳng

x  1; x  e.

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, cho bốn điểm
A  1; 1 , B  4; 2  , C  1;5  , D  2; 2  .
uuu
r uuu
r uuu
r uur
uuu
r
uuu
r
AB
,
AD
,

CD
, CB. Chứng minh AB và AD vuông góc. Từ đó suy ra tứ
1. Tính các mô-đun của
giác ABCD là hình gì?
2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).
Câu 4. Giải phương trình

sin  2 x  2700   tan  450  x  .

Câu 5. Như câu 4 đề 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

9


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Năm học 1977 – 1978
Đề số 1 Đại học Bách Khoa
Thí sinh chọn một trong hai đề sau
ĐỀ I
Câu 1. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y

x3
.
1  x2

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 C : y 

x3
1  x 2 và  d  : y  x.

�1 3� �3 1�
A�
 ;
, B�
�
�
�2 ; 2 �
�
2 2 �
�
�
�
�và tiếp xúc với
Câu 4. Viết phương trình các đường tròn qua hai điểm
đường thẳng x  3 y  2  0. Kiểm tra kết quả bằng hình vẽ.
ĐỀ II
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy là a, góc ở đỉnh của mặt bên là  .
a. Tính thể tích của hình chóp đã cho.

b. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S nội tiếp trong hình chóp đó.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

10


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

3
2
Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y  x  2 x  15 x  12. Viết phương trình của tiếp
tuyến với đường cong đã cho tại điểm uốn.
2
2
2
2
Câu 3. Giải phương trình cos x  cos 2 x  cos 3 x  sin x  sin 2 x  0.

Câu 4. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh a (cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai
đường tròn cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của
hộp trụ được làm ra, biết rằng các cạnh của hình chữ nhật phải song song hoặc trùng với các
cạnh ban đầu của tấm tôn.

Đề số 2 Đại học Y – Nha – Dược
Thí sinh chọn một trong hai đề
ĐỀ I
Câu 1. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 2. Tính

I �
x cos xdx  x  0  .

Câu 3. Cho hàm số

y

2x2
.
2x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong hệ trục trực chuẩn.
2
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau đây 2cos   2m cos   m  0, 0< < ,
trong đó  là ẩn số, m là tham số.

Câu 4. Trong hệ trục tọa độ vuông góc, cho các đường tròn

 C

và

 C '

có phương trình

 C  : x 2  y 2  x  y  0,
 C ' : x 2  y 2  x  y  0.

a. Xác định tọa độ tâm của

 C

và

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

 C ' . Tính bán kính của từng vòng tròn nói trên.

11


Giáo viên Lê Văn Tho

b. Một đường thẳng

Sđt 01658968434

 D

 C  tại hai
có phương trình y  mx (m là tham số) cắt đường tròn

điểm O và M và cắt đường tròn

 C '

tại hai điểm O và M’. Tính tọa độ của M và M’ theo m.
ĐỀ II

Câu 1. Tìm giới hạn
1 �
� 1
lim � 2  2 �
, (x
x �0 4sin x
sin
2
x
�
�
b.
tính bằng radian).

x
lim x cot ,
3
a. x �0
Câu 2. Giải và biện luận phương trình

5 x  x m , x

là ẩn số, m là tham số.

Câu 3. (Giống như câu 3 đề I).
Câu 4. Trong mặt phẳng (P), xét một vòng tròn (C) đường kính AB  2 R và một dây cung MN


0    ; Ax

�
2
vuông góc với AB tại H. Đặt BAM   với
là đường vuông góc với (P) tại A.
Trên Ax lấy một điểm S sao cho AS  R.
a. Tính thể tích của khối chóp S.AMBN theo R và  .
b. Xác định  để thể tích hình chóp S.BMN bằng 3 lần thể tích hình chóp S.AMN.
Đề số 3 Đại học Tổng hợp
(KHỐI A)
Thí sinh chọn 1 trong hai đề sau
ĐỀ I

�x

Câu 1. Tính tích phân
a. Đặt x  tanθ,

x3
2

 1

3

dx
bằng hai cách đổi biến số sau

2
b. Đặt u  x  1.

So sánh hai kết quả tìm được.

y  2x 
Câu 2. Cho hàm số xác định bởi

1
.
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong một hệ trục vuông góc.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

12


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

b. Dùng kết quả trên để biện luận số nghiệm của phương trình
x là ẩn số, m là tham số.
c. Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác sau

2x x 1  m x 1  1  0

trong đó

2 cos x cos x  1  m cos x  1  1  0


2
�x � .
3
trong đó x là ẩn số, m là tham số và 3
Câu 3. (Chưa tìm thấy nội dung).
2
Câu 4. Trong một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho một parabol (P) có phương trình y  x .

x ' x "
.
2
a. Lấy 3 điểm M ', M ", N trên (P) có hoành độ lần lượt là x ', x " và u với
Hãy viết
phương trình tiếp tuyến với (P) tại N và chứng minh tiếp tuyến này song song với M ' M ".
u

QN Oy.
b. Các tiếp tuyến của (P) tại M ' và M " cắt nhau tại Q. Tính tọa độ Q. Chứng minh

ĐỀ II
x
lim x cot ;
3
Câu 1. Tìm a. x �0

x sin 2 x
(x
b. x �0 1  cos x
tính bằng radian).

lim

Câu 2. (Giống câu 2 của đề I).
Câu 3. a. Cho a là một số nguyên dương. Chứng minh
b. Nếu

1  a �2 a  1 .

a1 ; a2 ;...; an là n số nguyên dương, chứng minh rằng

 1  a1   1  a2  ...  1  an  �2n
Trường hợp nào thì hệ thức (1) là đẳng thức.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

13

a1a2 ...an

 2 .


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R, đường kính SS '. Một mặt phẳng vuông góc với
SS ' cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Cho ABC là một tam giác đều nội tiếp trong vòng
tròn này. Cho SH  x.
a. Tính những cạnh của tứ diện SABC. Định x để SABC là một tứ diện đều, trong trường hợp này

hãy tính thể tích của nó.
b. Giả sử tứ diện SABC đều chứng minh thể tích của tứ diện S’ABC bằng một nửa thể tích tứ diện
SABC và chứng minh tam diện S’ABC có đỉnh S’ có ba góc vuông.

Đề số 4 Đại học Sư Phạm – Kinh Tế – Tài Chánh – Nông nghiệp
(KHỐI B)
Thí sinh chọn 1 trong 2 đề
ĐỀ I
Câu 1. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây

y  sin 2 x  sin x  1; y  0; x  0; x 


.
2

Câu 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng
3 x  5 y  2  0;5 x  2 y  4  0 và song song với đường thẳng 2 x  y  4  0.
Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

14


Giáo viên Lê Văn Tho

Câu 3. Cho hàm số

y

Sđt 01658968434

x 2  2mx  3
, m ��.
xm

1. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm

 1;0  .

2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m  1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C)
có hệ số góc 1.
3. Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo k số nghiệm và dấu của nghiệm số của phương trình
x2  2 x  3
 k.
x  11

ĐỀ II
x 2  2mx  3
y
, m ��.
xm
Câu 1. Cho hàm số
1. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm

 1;0  .

2. Khảo sát hàm số ứng với m  1.
Câu 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB  2a; AD  a. Từ A kẻ
đường vuông góc với mặt phẳng (P) và trên đó lấy đoạn AS  3a.
1. Tính các đoạn SB, SC, SD theo a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

15


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

2. Chứng minh rằng các tam giác SDC và SBC là các tam giác vuông.
3. Mặt phẳng chứa DC cắt SA tại M và SB tại N. Hãy xác định tính chất của tứ giác DCMN. Đặt
AM  x, tính diện tích của tứ giác DCMN theo a và x.
Câu 3. Giải bất phương trình 1  3

x2  x

 9.

1  tan x
 2sin x.
Câu 4. Giải phương trình lượng giác 1  cot x

Năm học 1978 – 1979
Đề số 1 Đại học Bách Khoa
PHẦN BẮT BUỘC

Câu 1. Cho hàm số

y

 x2  x  a
,
xa
trong đó a là tham số.

a. Với giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị vừa tìm được của a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

16

 2; 0  . Khảo


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

b. Xác định tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  x  1 tại hai điểm phân
y;y
y
y
biệt. Khi đó gọi 1 2 là tung độ của hai giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa 1 và 2 không
phụ thuộc vào a.
bc
4
�
.
bc

Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu b  0; c  0 thì bc
b. Sử dụng kết quả trên, chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1 thì
b  c �16abc.

PHẦN TỰ CHỌN
(Mỗi thí sinh được chọn một trong hai phần dưới đây để tiếp tục làm bài)
Phần 1
Câu 3. a. Hãy tìm ba số A, B, C sao cho với mọi x �1 ta có
B  2 x  1
x
A
C
�
 2
 2
.
x 1 x 1 x  x 1 x  x 1
3

xdx

� .
b. Dự vào đó hãy tính x  1
3

n

c. Với mỗi số dương n, đặt

xdx

J n  �3 .
x 1
0

Chứng minh rằng

lim J n 
n ��

2
.
3 3

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, người ta cho đường tròn (C) có phương
2
2
M  4;7  .
trình x  y  2 x  4 y  0. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm

Câu 5. (Chưa tìm thấy nội dung).
Phần II
Câu 3. Giải phương trình lượng giác

1  tan x   1  tan x   1  sin 2 x  .

Câu 4. Trong không gian, từ một điểm A ngoài mặt phẳng (P) người ta hạ đường vuông góc AB
và đường xiên AC xuống mặt phẳng (P) (B và C nằm trong (P)). Điểm M di chuyển trên đường
tròn đường kính BC trong (P).
2
2

2
2
2
2
2
2
a. Chứng minh rằng AB  BM  MC  AC và AM  BC  BM  AC .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

17


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

b. Tìm góc phẳng của nhị diện cạnh AM tạo nên bởi các mặt phẳng AMB và AMC.
c. Gọi D và E là các hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AM và AC. Chứng minh
rằng BD vuông góc với AC và DE. Tìm quĩ tích của D khi M di chuyển.
d. Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, M nằm trên cùng một đường tròn.

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha
Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số

y

mx  4

,m
xm
là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với giá trị m  1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

18


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

b. Khi m ��2 đồ thị
Jm
khi m thay đổi.
c. Chứng minh rằng

 Hm 

Jm

của hàm số đã cho là một hyperbol tâm

Jm.

Tìm quĩ tích của tâm

luôn đi qua hai điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của hai điểm cố định

ấy. Hãy xác định m để cho các tiếp tuyến với
nhau.

 Hm 

tại hai điểm cố định trên là song song với

kx  1
�3, x ��.
Câu 2. Hãy tìm tất cả các giá trị của k sao cho x  x  1
2

Phần tự chọn
Phần I
Câu 3. Tính các tích phân

I �
x cos xdx; J  �
e x cos xdx.

A  1; 1 , B  2;1 , C  3;5  .
Câu 4. Trong một hệ trục trực chuẩn cho tam giác ABC có
Gọi K là
trung điểm của AC. Hãy viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với BK. Tính diện tích
của tam giác ABK.
Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác

tan 2 x 

1  cos x
.
1  sin x

Câu 4. Từ trọng tâm G của tam giác đều ABC cạnh a, ta kẻ đường vuông góc với mặt phẳng
ABC. Trên đường thẳng đó, ta lấy một điểm S với

SG 

a 6
.
3

a. Chứng minh các cạnh đối của tứ diện SABC vuông góc với nhau từng đôi một.
b. Chứng minh tứ diện SABC đều.
c. Tìm bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Đề số 3 Đại học Kiến Trúc
Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa)

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

19


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

4  x  x  1  1.

Câu 2. Giải bất phương trình

Phần tự chọn
Thí sinh chọn một trong hai đề sau
ĐỀ I

2

Câu 3. Cho tích phân
a. Tìm hệ thức giữa

In

In  �
sin n xdx, n ��.
0

và

In2 .

b. Chứng minh rằng hàm số
c. Tính

f  n    n  1 I n 1

thỏa mãn hệ thức

f  n  1  f  n  .

f  n .

Câu 4. (Giống câu 4 phần I Đại học Bách Khoa).
Câu 5. (Chưa tìm thấy nội dung).
ĐỀ II
Câu 3. (Giống câu 3 phần II Đại học Bách Khoa).
Câu 4. Cho tứ diện ABCD, cạnh AB vuông góc với CD.
a. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường cao của tứ diện. Chứng minh AA’, BB’ cắt nhau tại H,
CC’, DD’ cắt nhau tại K và HK nằm trên đường vuông góc chung của AB và CD.
2
2
2
2
b. Chứng minh AC  BD  AD  BC .
2
2
2
2
c. Ngược lại, giả sử trong tứ diện ABCD ta có AC  BD  AD  BC thì chứng minh
AB  CD.

Đề số 4 Đại học Kinh Tế
Phần bắt buộc
Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

20

Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Câu 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

y

2 x2  4 x  2
.
2x  3

b. Dùng đồ thị trên để biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2 x 2  2  2  m  x  3m  2  0.
4 x  x  sin    1  4 x  cos 2 .
Câu 2. Cho phương trình với ẩn số x
Với những giá trị nào của
 thì tổng bình phương của các nghiệm đã cho đạt
a. Giá trị lớn nhất; b. Giá trị nhỏ nhất.
Phần tự chọn
Phần I
t

Câu 3. a. Giả sử t  1. Tính tích phân sau đây

2 x ln xdx
I �
.

2 2
0  1 x 

b. Tính giới hạn của tích phân này khi t � 0.
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, người ta cho đường tròn (C) có phương
2
2
trình x  y  2 x  4 y  0. Đường tròn này cắt Ox tại A và O, cắt Oy tại O và B.

a. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) tại O, A, B.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm

M  4;7  .

Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).
Phần II
Câu 3. Giải phương trình

tan 2 x 

1  cos x
.
1  sin x

Câu 4. Trong không gian trên 3 trục Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một, người ta lần lượt
lấy ba điểm A, B, C với OA  a; OB  b; OC  c.
a. Hãy tính theo a, b, c đường cao OH của tứ diện OABC hạ từ đỉnh O (H nằm trên mặt phẳng
ABC).
b. Chỉ rõ vị trí tâm O của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và tính bán kính R của hình cầu ấy.
c. Chứng minh rằng các điểm O, I, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng.

Đề số 5 Đại học Tổng Hợp khối A

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

21


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa).
Câu 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số thực không âm thì

 a  b   b  c   c  d   d  a  �16abcd .
Phần tự chọn
Phần I
Câu 3. (Giống câu 3 phần I đề Đại học Bách Khoa).
Câu 4. (Giống câu 4 phần I đề Đại học Bách Khoa).
Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).
Phần II

1
1
1


.
sin

x
sin
2
x
sin
4
x
Câu 3. Giải phương trình lượng giác
Câu 4. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông góc tại C. Trên đường thẳng (d) đi qua A
và vuông góc với (P), ta lấy một điểm S khác A. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của A lên SD,
SC.
a. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E nằm trên cùng một mặt cầu.
b. Chứng minh SD vuông góc với mặt phẳng ABE.
c. Chứng minh rằng khi S di chuyển trên (d) thì đường thẳng DE luôn luôn đi qua một điểm cố
đỉnh.

Đề số 6 Đại học Sư Phạm khối A
Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

22


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa).
Câu 2. (Giống câu 2 đề Đại học Kiến Trúc).
Phần lựa chọn

Phần I
Câu 3. (Giống câu 3, phần I, Đại học Kiến Trúc).
Câu 4. (Giống câu 4, phần I, Đại học Bách Khoa).
Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).
Phần II
Câu 3. (Giống câu 3, phần II, Đại học Tổng Hợp khối A).
Câu 4. (Giống câu 4, phần II, Đại học Kiến Trúc).
Đề số 7 Đại học Tài Chính
Phần bắt buộc
Câu 1, 2. (Giống câu 1, 2 Đại học Kinh Tế)
Phần lựa chọn
Phần I


Câu 3. Tính các tích phân



dx
x cos x
I �
; J �
dx.
2
1  sin x
0
0  1  sin x 

Câu 4, 5. (Giống câu 4, 5 Đại học Kinh Tế).
Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác sin x  cos x  sin x cos x  1.
Câu 4. (Giống câu 4, phần II, Đại học Kinh Tế).

Đề số 8 Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Thủ Đức
Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

23


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Giống đề Đại Học Kinh Tế
Đề số 9 Đại học Tổng Hợp khối B
Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Y – Dược – Nha).
Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).
Phần lựa chọn
Phần I
Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).
Câu 4. Trong hệ trục trực chuẩn, cho đường thẳng (D) có phương trình x  y  1 và đường thẳng
(D’): x  3 y  3  0. Hãy viết phương trình đường thẳng
qua đường thẳng

 D ''

đối xứng với đường thẳng

 D '

 D .
Phần II

1
sin 4 x  cos4 x � .
2 Dấu đẳng thức xảy ra với
Câu 3. Với x là một số thực tùy ý, hãy chứng minh
những giá trị nào của x.
Câu 4. (Giống câu 4, phần II Đại học Y – Dược – Nha).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

24


Giáo viên Lê Văn Tho

Sđt 01658968434

Đề số 10 Đại học Sư Phạm khối B
Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Kinh Tế).
Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).
Phần lựa chọn
Phần I

Câu 3. Giải phương trình lượng giác

sin x  cos x 

1
.
cos x

Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD với cạnh AB  a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.
a. Chứng minh rằng

AC   BCD  ;

tính độ dài AC theo a.

b. Lấy điểm M trên cạnh BC, N trên đoạn CD. Đặt
Tính thể tích của tứ diện ACMN theo a, x, y.

CM  x  0 �x �a  , CN  y  0 �y �a  .

Đề số 11 Đại học Nông Nghiệp khối B
Phần bắt buộc
Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Y – Dược – Nha).
Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).
Phần lựa chọn
Phần I
Câu 3. (Giống câu 3, phần I Đại học Y – Dược – Nha).
Câu 4. (Giống câu 4, phần I Đại học Tổng Hợp khối B).
Phần II
Câu 3. (Giống câu 3, phần II Đại học Tài Chính).
Câu 4. (Giống câu 4, phần II Đại học Sư Phạm khối B).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

25