Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƢƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƢƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN

Hà Nội – 2018

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lý – trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin
chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan đã tạo điều kiện tốt
nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến
đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đỗ Thị Thương


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo Th.s
Nguyễn Thị Phương Lan cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả
(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đỗ Thị Thương

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN. ........................................................ 3
1.1. Một số khái niệm............................................................................................ 3
1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. .................................................................... 3
1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. ..................................................................... 3
1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. ............................................................. 3
1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. ....................................................................... 3
1.2.1. Định nghĩa. .................................................................................................. 3
1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. .......................................................................... 4
1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.................................................................... 4
1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. .............................................................. 6
1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một................................................. 7
1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. ........................................................................... 9
1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. ......................................................................... 10
CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ............................. 13
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. ......................................................... 13
2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. ......................................................................... 13
2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. ............................................................................ 13
2.1.2. Sự phân rã phóng xạ.................................................................................. 14
2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. ............................................... 15
2.1.4. Một số bài toán về cơ học. ........................................................................ 16
2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. ........................................................ 18
2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. ................................................ 21
2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. ......................................................... 21
2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. ........................................................................ 27
2.3.3. Phƣơng trình Schrodinger. ........................................................................ 30

CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG. 35
3.1. Trong y sinh và hóa lý (dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa
chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh). ....................................................... 35


3.1.1. Dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản.............. 35
3.1.2. Sự phát triển của dịch bệnh:...................................................................... 38
3.2. Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa và giá cả). ..................................... 39
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 41


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phƣơng trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ
thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa
mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu
của các phƣơng trình vi phân tƣơng ứng. Phƣơng trình vi phân có ứng dụng
rộng rãi trong các ngành nhƣ kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc
độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ
môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là
các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm
ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy. Và phƣơng trình vi phân là một công cụ,
một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh
các giả thuyết.
Vì vậy, em đã quyết định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi
phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí” để nghiên cứu.
Khóa luận bao gồm các nội dung:
 Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân
 Chƣơng 2: Áp dụng các phƣơng trình vi phân để giải một số bài toán

 Chƣơng 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về các dạng phƣơng trình vi phân.
- Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phƣơng trình vi phân.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các dạng phƣơng trình vi phân.
- Một số bài toán vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các dạng phƣơng trình vi phân.
- Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng,…
- Thống kê, lập luận, diễn giải.

1


6. Những đóng góp mới của khóa luận
Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào giải
một số bài toán vật lý.

2


CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số khái niệm.
1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân.
Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là
cấp hay bậc của phƣơng trình vi phân đó
Ví dụ: ( y' )2  4 xy3  5 y5  0, có mặt đạo hàm cấp 1 nên đƣợc gọi là phƣơng trình

vi phân cấp 1
( y '' )2  5( y ' )3  y  1; ( y ' )5  ( y '' )2  y  1, có mặt đạo hàm cấp 2 nên đƣợc gọi là
phƣơng trình vi phân cấp 2
1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng.
Phƣơng trình vi phân có dạng F ( x, y, y ' ,... y ( n) )  0, đƣợc gọi là phƣơng trình vi
phân thƣờng cấp n.
Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm,
là đạo hàm cấp n của y

là đạo hàm cấp 1 của y,...

1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân.
Nghiệm hay tích phân của phƣơng trình vi phân là mọi hàm số y = f(x) mà
khi thay vào phƣơng trình sẽ biến phƣơng trình thành đồng nhất thức
Ví dụ: Phƣơng trình y ''  y  0, nhận các hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx –
sinx và tổng quát là hàm số có dạng y =
trình, với mọi hằng số và

sinx +

cosx là nghiệm của phƣơng

1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một.
1.2.1. Định nghĩa.
Phƣơng trình vi phân cấp một là phƣơng trình có dạng F(x,y, ) = 0
Hay
= f(x,y) hay
Ví dụ:

= f(x,y)

3 yy '  3x 2  0 ; y 2 dx  xdy  0 ; y '  

Hoặc từ (1.1) ta giải ra đƣợc:
3

y
x

(1.1)


y '  f ( x, y)

Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phƣơng trình vi phân đã giải ra đạo hàm dƣới dạng đối
xứng
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

Cách giải:
Ta dùng phƣơng pháp tách biến
- Đƣa phƣơng trình vi phân cấp một về dạng:
A(x)dx + B(y)dy = 0
(1.2)
Trong đó A(x), B(y) là các hàm lần lƣợt chỉ phụ thuộc vào x và y.
- Tích phân 2 vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng quát của (1.2):

 A( x)dx   B( y)dy  C
Ví dụ:
Giải phƣơng trình: (1  x) ydx  (1  y) xdy  0

Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, có thể viết phƣơng trình thành:
1
1
(  1)dx  (1  )dy
x
y

Lấy tích phân hai vế ta đƣợc:
ln|x| + x = y - ln|y| + C
Hay
ln|xy| + x – y = C
Đó là tích phân tổng quát của phƣơng trình.
1.2.2. Một số dạng phƣơng trình.
1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.
Phƣơng trình y’ = f(x,y) đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng cấp nếu f (x, y) là
hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là f (x, y)  f (tx, ty)
ví dụ:

y' 

x y
là phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp một
x y

Cách giải:
Theo định nghĩa phƣơng trình đẳng cấp ta có f (tx, ty)  f (x, y)

4

Chọn t 

y
1
( x  0 )thì ta có y '  f (x, y)  f(1, )
x
x

(1.3)

Vế phải của phƣơng trình (1.3) là một biểu thức luôn phụ thuộc vào
y
x

y
do
x

y
x

vậy y '  f (1, )   ) (1.4)
Đặt u 

y
x

y  u.x

y '  u  x.u ' thế vào phƣơng trình (1.4) ta có x.u '   (u)  u

- Trƣờng hợp 1:  (u)  u
y
x

Khi đó:

( ) 

y
x

Do đó phƣơng trình (**) trở thành y ' 
- Trƣờng hợp 2:

dy dx

y
x

y
x

y  Cx

 (u)  u  0

du
dx


: phƣơng trình tách biến
 (u)  u x

Khi đó:

Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y ' 

x y
x y

Rõ ràng đây là phƣơng trình đẳng cấp. Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau:
y
x y
x
y' 

x  y 1 y
x
1

y
x

Đặt u  . Ta có: y '  u ' x  u và thay vào phƣơng trình ta có:
u' x  u 

1 u
1 u

1 u

dx
du 
2
1 u
x

Lấy tích phân hai vế ta đƣợc:
du

udu

 1 u   1 u
2

2

 ln x  lnC

1
arctgu  ln(1  u 2 )  ln C x
2

Hay
arctgu  ln C x 1  u 2

Vậy nghiệm của phƣơng trình có dạng:

5

C( x  y )  e

2

2

y
arctg ( )
x


1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần.
Phƣơng trình:
M (x, y) dx  N(x, y) dy  0

(1.5)

Đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là
vế trái của phƣơng trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào
đó. Tức là tồn tại hàm U (x, y) khả vi nào đó sao cho:
dU (x, y)  M(x, y) dx  N(x, y) dy

Điều kiện để một phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phƣơng
trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phƣơng trình vi phân toàn
phần) là:
M N

y
x

Cách giải:
Nếu (1.5) là phƣơng trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của

phƣơng trình (1.5) là:
y

x

U (x, y)   M (x, y0 ) dx   N (x, y)dy  C
x0

(1.6)

y0

Hoặc
y

x

U (x, y)   M (x, y) dx   N (x 0 , y)dy  C
x0

(1.7)

y0

Với (x 0 , y0 ) là một điểm bất kì mà khi thay vào các hàm M (x, y0 ) , N (x 0 , y) xác
định.
Ví dụ: Giải phƣơng trình:
(3x2  6 xy 2 )dx  (6 x2 y  4 y3 )dy  0

(1.8)

Giải:
Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình đã cho có là phƣơng
trình vi phân toàn phần hay không
M(x, y)  (3x2  6 xy 2 ) , N(x, y)  (6 x2 y  4 y3 )
Ta có:
M N

 12 xy
y
x

Vậy (1.8) là phƣơng trình vi phân toàn phần.
Chọn (x 0 , y0 )  (0,0)
6


Theo công thức (1.7) ta đƣợc:
x

y

0

0

2
2
3
 (3x  6 xy )dx   4 y dy  C

Hay tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.8) là:
x 3  3x 2 y 2  y 4  C

1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một.
Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình có dạng:
y '   p(x) y q(x)

(1.9)

(hay y '  p(x) y  q(x) )
Trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trƣớc
Nếu q(x) 0 thì (1.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp
một thuần nhất.
- Nếu q(x)
0 thì (2.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp
một không thuần nhất.
Cách giải:
-

 Cách 1: Phƣơng pháp thừa số tích phân.
p ( x ) dx
Nhân 2 vế của (1.9) với thừa số e
ta đƣợc:

y 'e 

p ( x ) dx

 p( x)e

p (x)dx

y  q( x)e

p ( x ) dx

(1.10)

Ta chú ý vế trái của phƣơng trình (1.10) sẽ thấy biểu thức ở vế trá chính là
đạo hàm của tích số y.e

p ( x ) dx

.

Vậy ta viết lại phƣơng trình (1.10) nhƣ sau:
( y.e

)  q( x).e

p ( x ) dx '

p ( x ) dx

Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc:
y.e

p ( x ) dx

  q( x).e 

p ( x ) dx

dx  C

Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) có dạng:
 p ( x ) dx 
p ( x ) dx
ye 
.   q( x).e 
dx  C 



Lƣu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trƣờng hợp hệ số của y ' bằng 1.
Ví dụ: Giải phƣơng trình:
y '  2 xy  4 x

Giải:
7


2 xdx
Nhân 2 vế của phƣơng trình với thừa số e  e x

Ta đƣợc:

y ' .e x  2 xe x . y  4 x.e x
2

2

2

2

Hay
2
2
d
( y.e x )  4 x.e x
dx

Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc:
y.e x  4 x.e x dx  C  2e x  C
2

2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là:
y  2  C.e x

2

 Cách 2: Phƣơng pháp Bernoulli (phƣơng pháp tìm nghiệm dƣới dạng
tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng tích của 2

hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình dƣới dạng tích: y  u( x).v( x)
Ta có:

y '  u 'v  v'u

Thế vào phƣơng trình (1.9) ta có:
(u 'v  v'u)  p( x).(u.v)  q( x)

Hay
(u '  p( x).u)v  v' .u  q( x)

(1.11)

Phƣơng trình (1.11) có tới 4 thông số chƣa biết là u, v,
nên không thể
giải để tìm u, v bất kì. Để tìm u, v thỏa mãn phƣơng trình (1.11), ta cần chọn u,
v sao cho triệt tiêu đi một hàm chƣa biết.
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho
(1.12)
u '  p( x).u  0
Ta dễ dàng tìm đƣợc hàm u(x) thỏa mãn (1.12) vì (1.12) chính là phƣơng
trình tách biến. Khi đó:
 p ( x ) dx
du
  p(x) dx  u(x)  C.e 
u

 p ( x ) dx
Chọn C=1 ta có u(x)  e 

Nhƣ vậy ta tìm đƣợc hàm u(x) nên từ (1.11) ta sẽ có:
v' 

p ( x ) dx
q ( x)
 q( x).e 
u ( x)

v   q( x).e 

Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) là:
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx  C 
ye 
1
  q( x)e


8

p ( x ) dx

dx  C1


 Cách 3: Phƣơng pháp Larrange (phƣơng pháp biến thiên hằng số)
Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng y  u( x).v( x) , với u(x) là
nghiệm của phƣơng trình (1.12) – đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần
nhất cấp 1.
Do vậy, giải phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm đƣợc

 p ( x ) dx
u( x)  C.e 

Mà công thức nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) lại là y  e 
.v( x)
chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất, sau đó
thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải đƣợc bài toán. Vậy:
 p ( x ) dx

Bước 1: Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phƣơng trình
(1.9):
y '  p( x).y  0

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất có dạng:
 p ( x ) dx
y  C.e 

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (1.9)
có dạng:
 p ( x ) dx
y  v( x).e 

Ta có:

 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
y '  v' ( x).e 
 v. p( x).e 

Thế vào phƣơng trình ta có:
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
v' ( x).e 
 v. p( x).e 
 p( x).v.e 
 q ( x)

Suy ra: v'  q( x)e

p ( x ) dx

. Từ đó tìm đƣợc v(x).

1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli.
Phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình có dạng:
y '  p( x). y  q( x). y ,(  0,   1)

(1.13)

Cách giải:
Nhân 2 vế của phƣơng trình (1.13) cho (1   ).y . Ta có:
(1   ).y . y '  (1   ). p( x). y1  (1   ).q( x)

9

(1.14)

Khi đó, ta đặt: z  y1 . Ta có z '  (1   ) y ' . y  . Thế vào phƣơng trình (1.14) ta
đƣợc:
z '  (1   ) p( x).z  (1   ).q( x)

Phƣơng trình này chính là phƣơng trình tuyến tính với z là hàm theo biến x.
Ví dụ:
Giải phƣơng trình:

y' 

y x2

2x 2 y

(1.15)

Giải:
1
x 2 1
y
y
y
2x
2

Ta viết lại phƣơng trình:

'

Đây là phƣơng trình Bernoulli với   1

Do đó, ta nhân hai vế của phƣơng trình với (1  (1)). y1  2 y .
Ta có:
Đặt z  y 2

1
2 yy '  . y 2  x 2
x

(*)

1
z '  2 yy ' . Thế vào (*) ta có: z '  .z  x 2
x

(**) (phƣơng trình

tuyến tính với z là hàm theo biến x).
- Giải phƣơng trình thuần nhất liên kết với (**) ta đƣợc: z  C.x
- Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) có dạng: z  v( x).x
Thế vào (**) ta tìm đƣợc: v( x) 

x2
C
2

Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) là: z 
Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là:

y2 

x3
 C.x
2

x3
 C .x
2

1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2.
Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình có dạng:
F ( x, y, y ' , y '' )  0 hay y ''  f ( x, y, y ' )
Ví dụ: x3 y ''  2 xy  ex y  3x  0 ; y ''  2

(1.16)

y
 x cos x là những phƣơng trình vi phân
x2

cấp 2
Xét phƣơng trình y ''  f ( x, y, y ' )

10


Nếu f ( x, y, y' ) là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm
( x0 , y, y0' ) thì phƣơng trình vi phân cấp 2 đã cho tồn tại một nghiệm y  y0 ( x) thỏa

mãn điều kiện y( x0 )  y0 ; y ' ( x0 )  y0' . Ngoài ra, nếu

f
f
và ' cũng liên tục trong
y
y

miền nói trên thì nghiệm y  y( x) là nghiệm duy nhất.
Điều kiện để y( x0 )  y0 ; y ' ( x0 )  y0' đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu của một
phƣơng trình vi phân cấp 2:

y

x  x0

 y0 ; y '

x  x0

 y0'

Gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là hàm số y   ( x,C1 ,C2 ) ,
trong đó
-

,

là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:

Nó thỏa mãn phƣơng trình (1.16) với mọi giá trị của ,
Với mọi ( x0 , y0 , y0' ) ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất

nghiệm đƣợc thỏa mãn, có thể tìm đƣợc các giá trị xác định
C1  C10 , C2  C20 sao cho hàm số y   ( x, C10 , C20 ) thỏa mãn:
y

x  x0

 y0 , y '

x  x0

 y0'

Hệ thức  ( x, y, C1 , C2 )  0 xác định nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.1)
dƣới dạng ẩn đƣợc gọi là tích phân tổng quát của nó.Nó biểu diễn một họ đƣờng
tích phân phụ thuộc hai tham số.
Ngƣời ta gọi nghiệm riêng của phƣơng trình (1.16) là một hàm số
y   ( x, C10 , C20 ) mà ta đƣợc bằng cách cho ,
trong nghiệm tổng quát các giá
trị xác định C10 , C20 . Hệ thức  ( x, y, C10 , C20 )  0 đƣợc gọi là tích phân riêng.
Ví dụ:
Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: y ''  sinx . Tìm một nghiệm riêng
thỏa mãn điều kiện ban đầu y

x 0

 0; y '

x 0

1

Giải:
Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và
Từ phƣơng trình
(1.17)
Ta có:

y ''  sinx

y '   sin xdx  C1   cos x  C1
y    cos xdx  C1 x  C2   s inx  C1 x  C2

Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: y   sinx  C1x  C2
11


Tìm nghiệm riêng:
Vì y

x 0

 0   sin 0  C1 0  C2  0  C2  0

Vì y '

x 0

 1   cos 0  C1  1  C1  2

Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: y   sinx  2 x

12


CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ.
2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1.
2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli.
Bài toán:
Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC đƣợc kích thích bởi một nguồn DC từ
bên ngoài.
Xét mạch (nhƣ hình). Khóa K đóng tại thời điểm t = 0 và tụ đa tích điện ban
đầu với giá trị V0 . Xác định các giá trị v, ic và iR sau khi đóng khóa K, tức t > 0?

Giải:
Khi t > 0, viết định luật 1 Kirchhoff (định luật Kirchhoff về dòng điện –
KCL) cho mạch:
C

dv v
  I0
dt R

Hay:
I
dv
1

v 0
dt RC

C

Phƣơng trình này chính là phƣơng trình Bernoulli với   0
Giải phƣơng trình trên ta đƣợc:
v(t )  A.e



Xác định A nhờ điều kiện đầu.
13

t
RC

 RI 0


Ở t = 0+:

v(0)  v(0)  V0  V0  A  RI 0

Hay: A  V0  RI0
 v(t )  (V0  RI 0 ).e



t
RC

 RI 0  V0 .e



t
RC

 RI 0 (1  e



t
RC

)

Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu ( V0 ) và cả nguồn kích thích
( I 0 ).
Đáp ứng gồm 2 phần:
 Phần chứa hàm mũ có dạng giống nhƣ đáp ứng của mạch RC không
chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn đƣợc xác định nhờ thời hằng của
mạch và đƣợc gọi là đáp ứng tự nhiên:
vn  (V0  RI 0 ).e



t
RC

Để ý là vn  0 khi t  
 Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, đƣợc gọi là đáp

ứng ép:
v f  RI 0

Trong trƣờng hợp nguồn kích thích DC, vn và v f

Dòng iC và iR xác định bởi:
V0  RI 0  RCt
dv
iC (t )  C

.e
dt
R
V  RI 0  RCt V
iR (t )  I 0  iC  I 0  0
.e

R
R

2.1.2. Sự phân rã phóng xạ.
Gọi y(t) là số lƣợng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật
liệu cho trƣớc. Với k là một hằng số phƣơng trình:
dy (t )
 k . y (t )
dt

Là phƣơng trình vi phân mô tả lƣợng nguyên tử phóng xạ.
14

Bài toán:
Chu kì bán rã của Radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa là cứ khoảng 1600
năm khối lƣợng của Radium giảm đi một nửa. Nếu ban đầu một mẫu Radium có
khối lƣợng là 50 gram thì sau bao lâu khối lƣợng của nó là 45 gram?
Giải:
Gọi y(t) là khối lƣợng của Radium sau khoảng thời gian là t (năm)
Ta biết rằng y ' (t )  k. y(t ) (k là một hằng số)
Giải phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc: y(t )  C.ekt
Ta có: y(0)  50 và y(1600)  25 ta tìm đƣợc C  50, k  

Vậy sau thời gian

t

ln 2
1600

x
45
) ln( )
50 
50  243, 2 (năm)
k
k

ln(

2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng.
Đây là mô hình toán học diễn tả sự thay đổi của đối tƣợng đƣợc khảo sát

trong một môi trƣờng nhất định. Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo
thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tƣợng và
nhiệt độ Te của môi trƣờng xung quanh đối tƣợng
dT
 k (T  Te )
dt
t  0; T (0)  Te

Ví dụ: Một bình nƣớc đang sôi ở nhiệt độ ban đầu là 100 C , ngƣời ta muốn
giảm xuống 70 C biết nhiệt độ môi trƣờng là 26 C , nhiệt độ sẽ giảm xuống
96 C sau 1 phút.
- Viết phƣơng trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phƣơng trình này.
- Tính thời gian để bình nƣớc ở 63 C
Lời giải:
dT
 k (T  Te )
dt
t  0; T (0)  100; Te  26
t  1; T (1)  96

15


dT
 k (T  26)
dt

Phƣơng trình vi phân:
dT
 kdt  ln T  26  kt  C

T  26
T  e  kt C  26  C1e  kt  26


t  0; T (0)  100  100  C1  26  C1  74
 74 
t  1; T (1)  96  96  74.e  k .1  26  k  ln  
 70 
k  0, 06

Vậy nghiệm tổng quát: T  74.e0,06.t  26
Xét phƣơng trình:
74.e0,06.t  26  63
t 

ln 2
 11,55 phút
0, 06

2.1.4. Một số bài toán về cơ học.
 Vận tốc thoát khỏi trái đất.
Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm
đi ra trái đất và bị tác động bởi lực hấp dẫn của trái đất. Giả sử vận tốc ban đầu
theo hƣớng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đƣờng
đi qua tâm trái đất.
Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc tỷ lệ nghịch với bình
phƣơng khoảng cách từ hạt đến tâm trái đất. Giả sử rlà biến khoảng cách và Rlà
bán kính trái đất. Nếu tbiểu diễn thời gian, vlà vận tốc của hạt, alà gia tốc và k
là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có:
a

dv
k
 2
dt
r

Gia tốc là âm vì vận tốc giảm. Vì thế hằng số klà dƣơng. Khi r  R thì
a   g , gia tốc của trọng lực ở bề ngoài trái đất. Nhƣ vậy:
g  

k
R2

Từ đó:
a

16

gR 2
r2

(2.1)


Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách.
Ta có a 

dv
dr

và v  , do đó:
dt
dt

a

dv dr dv
dv

v
dt dt dr
dr

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) ta có:
v

dv
gR 2
 2
dr
r

(2.3)

Nghiệm tổng quát của (2.3) có dạng:
v2 

2gR 2

C
r

Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốc v0 . Khi đó v  v0 khi r  R , do đó ta
có:
C  v02  2 gR

Nhƣ vậy, một hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra xa trái
đất với vận tốc ban đầu v0 sẽ chuyển động với vận tốc v đƣợc xác định bởi
phƣơng trình:
2 gR 2
v 
 v0  2 gR
r
2

(2.4)

Phƣơng trình (2.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái
đất. Ở bề mặt trái đất, r  R , với vận tốc là dƣơng, v  v0 . Từ (2.4) ta thấy vận tốc
của hạt sẽ dƣơng nếu và chỉ nếu
v02  2 gR  0

Mặt khác, nếu v02  2 gR  0 thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế
phải của (2.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dƣơng
sang âm và hạt sẽ trở lại trái đất.
Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v02  2 gR sẽ
thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là
ve  2 gR

Đƣợc gọi là vận tốc thoát.
Nhƣ vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.3) ta
xác định đƣợc phƣơng trình vận tốc thoát của hạt.

17


 Vật thể rơi.
Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểm t  0 . Nếu h(t) là độ cao của vật
ở thời điểm t, gia tốc a(t)và vận tốc v(t)thì ta có mối liên hệ giữa a,v,h
a(t ) 

dv
dh
và v(t ) 
dt
dt

Đối với một vật thể rơi thì a(t)là hằng số và bằng với g = - 9,8(m/s).
Kết hợp các phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc:

d 2h
g
dt 2

Từ đó ta có:
dh
 gt  v0
dt

Do đó:
h(t ) 

1 2
gt  v0t  h0
2

Phƣơng trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu
vận tốc ban đầu .

với

2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dƣới tác
dụng của các lực F1, F2 ,..., Fn. Đối với chất điểm tự do các lực này là lực đặt lên
chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả ngoại lực và
phản lực liên kết. Căn cứ vào phƣơng trình cơ bản của động lực học ta có thể
thành lập phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Gọi véc-tơ định vị của chất điểm là r ta có:
d 2r
w 2 r
dr

Khi đó phƣơng trình cơ bản viết cho chất điểm nhƣ sau:
m

n
d 2r

 Fi

dt 2 i 1

(2.5)

Phƣơng trình vi phân (2.5) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân chuyển động
của chất điểm dƣới dạng vec-tơ.
Từ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động lực
học có hai bài toán cơ bản sau đây:
18


- Bài toán cơ bản thứ nhất: cho biết chuyển động của chất điểm xác định
lực gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận.
- Bài toán cơ bản thứ hai: cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện
ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm.
Bài toán này gọi là bài toán nghịch.
Cách giải 2 bài toán trên:
Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phƣơng trình vi phân của chuyển
động của chất điểm. Từ phƣơng trình vi phân ta xác định đƣợc lực tác dụng lên
từng chất điểm. Điểm cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm,
điều này đã đƣợc giải quyết trong động học.
Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phƣơng trình vi phân
sau đó tích phân phƣơng trình vi phân tìm đƣợc. Để tìm dạng chuyển động cụ
thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển
động.
Bài toán 1: Một chất điểm có khối lƣợng m chịu tác dụng của một lực F làm
nó chuyển động theo đƣờng elip x  acoskt và y  bsinkt , với a, b, k là các hằng
số, t là thời gian chất điểm chuyển động đƣợc. Hãy tìm lực tác dụng lên chất
điểm.
Giải:

Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất. Căn cứ vào phƣơng trình chuyển
động:
x  a cos kt
y=bsinkt

Xác định đƣợc:
x  ak 2 cos kt  k 2 x;
y=bk 2 sin kt  k 2 y;

Ta có phƣơng trình vi phân chuyển động nhƣ sau:
xm  Fx  mk 2 x
ym  Fy  mk 2 y

Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với:
F  Fx2  Fy2  mk 2 x 2  y 2  mk 2 r

Các góc chỉ phƣơng của F là:

19