Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học giải tích lớp 11

1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn
thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết
quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa học của luận
văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác.
Phú Thọ, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Bạch Văn Tuấn


2
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trịnh
Thị Phương Thảo - Giảng viên trường ĐHSP Thái Nguyên. Em xin được bày tỏ lời
cảm ơn sâu sắc đến cô, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt quá trình
thực hiện luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại
học trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá
trình học tập và làm luận văn.
Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán và các em HS
khối 11 trường THPTPhong Châu, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ đã giúp đỡ tạo
điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị
học viên lớp K1 – Cao học khóa 1 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học
bộ môn Toán - Đại học Hùng Vương đã luôn động viên khích lệ, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã cố gắng trong nghiên cứu đề tài
và trình bày luận văn, song luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong nhận được sự góp ý của Hội đồng phản biện khoa học, quý thầy cô giáo và

các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện.
Em xin chân thành cảm ơn!
Phú Thọ, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Bạch Văn Tuấn


3
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC

iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
DANH MỤC BẢNG

v

vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒvii
MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Ngôn ngữ toán học..............................................................................................5
1.1.1. Quan niệm về ngôn ngữ toán học

5

1.1.2. Chức năng của ngôn ngữ toán học

6

1.2. Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học................................................................11
1.2.1. Quan niệm về năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học 11
1.2.2. Biểu hiện của năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ở học sinh trung học phổ thông
11
1.2.3. Các cấp độ sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh

14

1.3. Khái quát về nội dung, chương trình Giải tích lớp 11 ở trường Trung học phổ
thông........................................................................................................................16
1.3.1. Nội dung chương trình giải tích lớp 1116
1.3.2. Hệ thống thuật ngữ toán học trong chương trình lớp giải tích 11

17

1.4. Thực trạng việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ở các trường
trung học phổ thông..................................................................................................18
1.4.1. Mục đích điều tra

18

1.4.2. Phương pháp và đối tượng điều tra
1.4.3. Kết quả điều tra

18

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

26

18


4
CHƯƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TÍCH LỚP 11 27

2.1. Định hướng đề xuất biện pháp sư phạm phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ
toán học cho học sinh thông qua dạy học giải tích lớp 11........................................27
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học
cho học sinh thông qua dạy học giải tích lớp 11.......................................................27
2.2.1. Biện pháp 1: Tổ chức cho học sinh các hoạt động nhận biết, hiểu và sử dụng đúng
ngôn ngữ về các đối tượng, quan hệ và các bước biến đổi toán học
27
2.2.2. Tăng cường các hoạt động nghe hiểu, đọc hiểu (các văn bản, mô hình, sơ đồ, hình

vẽ,..) và ghi chép (nội dung nghe hiểu, đọc hiểu) bằng ngôn ngữ toán học 35
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

50

3.1. Mục đích và kế hoạch thực nghiệm sư phạm.....................................................50
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 50
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm 50
3.2.1 Nội dung thực nghiệm 51
3.2.2. Nội dung đánh giá

51

3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 58
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3
KẾT LUẬN

70

71

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN


5
STT
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Viết tắt
ĐC
GV
HĐ
HS
NL
NNTN
NNTH
PPDH
SBT
SGK
STK
TN
TVTH
THPT

VD

Viết đầy đủ
Đối chứng
Giáo viên
Hoạt động
Học sinh
Năng lực
Ngôn ngữ tự nhiên
Ngôn ngữ toán học
Phương pháp dạy học
Sách bài tập
Sách giáo khoa
Sách tham khảo
Thực nghiệm
Từ vựng toán học
Trung học phổ thông
Ví dụ


6
DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.4: Những vấn đề khó khăn của GV khi dạy học phát triển NL sử dụng NNTH
20
Bảng 1.5: Một số biện pháp đề suất của GV trong việc dạy học phát triển NNTH 21
Bảng 1.6: Các sai lầm HS thường mắc phải khi sử dụng NNTH
Bảng 2.1: Mức độ hiểu về NNTH của HS

21

22

Bảng 2.2: Em hãy đánh giá về mức độ hiểu về các TVTH của em trong chương trình giải
tích lớp 11
23
Bảng 2.3. Trong các tiết học em đã thấy các thầy( cô) tổ chức các hoạt động nào sau đây
23
Bảng 2.4. Những khó khăn của em trong việc sử dụng NNTH

23

Bảng 2.5. Em có kiến nghị gì về vấn đề phát triển NNTH trong nhà trường THPT 24
Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

59

Bảng 3.2 : Bảng phân bố tần suất kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
59
Bảng 3.3 Phân loại kết quả học tập 60


7
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Quan điểm của GV về vấn đề phát triển khả năng sử dụng NNTH

19

Biểu đồ 1.2. Trong quá trình dạy học GV đã có quan tâm tới sự phát triển NL sử dụng
NNTH cho HS hay chưa
19

Biểu đồ 1.3. Những vấn đề GV quan tâm khi dạy học phát triển ngôn ngữ cho HS
20
Biểu đồ 3.1 So sánh tần suất điểm kiêm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
59


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc đổi mới của đất nước hiện nay, ngành Giáo dục và Đào tạo
đang đứng trước những nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề một trong những nhiệm
vụ đó là tạo ra những con người toàn diện về cả tri thức và nhân cách đáp ứng được
yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Để thực hiện nhiệm
vụ này, giáo dục không chỉ cần quan tâm tới việc đổi mới mục tiêu, nội dung
chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta cũng quan tâm nhiều đến
đổi mới phương pháp dạy học. Từ các cấp lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo các
cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo đều khẳng
định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm
nâng cao chất lượng của giáo dục toàn diện của nhà trường. Điều này đã được đưa
ra trong Luật giáo dục: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, tư duy sáng tạo của người học; phát triểncho người học năng lực tự học,
khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". Chính vì vậy, hơn lúc
nào hết, giáo dục cần nỗ lực để bắt kịp với yêu cầu đổi mới của đất nước, nhằm tạo
ra con người phát triển về mọi mặt, không những có kiến thức mà còn biết sử dụng,
diễn đạt kiến thức đó vào thực tế và công việc. Với nhiệm vụ đó, ở các trường
THPT, đi đôi với việc phát triển nhân cách con người, khả năng tư duy cho học
sinh thì việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ phù hợp với từng chuyên ngành
cũng đóng vai trò quan trọng.
Ngôn ngữ toán học đóng vai trò là công cụ kết nối trực tiếp từ kiến thức, kĩ
năng, kĩ xảo, là cầu nối của tri thức toán học tới học sinh và là công cụ để học sinh

đưa ra sáng kiến, kinh nghiệm của bản thân trong bộ môn toán. Đã có nhiều công
trình nghiên cứu về ngôn ngữ toán học, chức năng của ngôn ngữ toán trong việc
giảng dạy môn toán. Trong các chức năng của ngôn ngữ toán, chức năng giao tiếp
toán học và biểu diễn toán học đã được khai thác trong quá trình dạy học và nghiên
cứu các phương pháp dạy học.


2
Vấn đề bồi dưỡng và phát triển khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học đã được
nhiều tác giả trong nước và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Theo Hoàng Chúng [6]: "Dạy học Toán, xét về mặt nào đó là dạy học một
ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác động to lớn trong việc diễn tả các sự kiện,
các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực
tiễn". Tác giả Nguyễn Bá Kim [11] cho rằng: “Trong toán học, người ta phân biệt
cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét
phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và
những qui tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú
pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn,
tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó
là phương diện ngữ nghĩa”. Ngoài ra các tác giả trong nước như Phạm Văn Hoàn,
Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình.. cũng có những đóng góp nghiên cứu về đề tài
ngôn ngữ.
Tuy nhiên thực tế hiện nay, đa số các GV chưa thật sự quan tâm đến năng lực
sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh, còn thiên vị về cung cấp tri thức mà chưa
quan tâm những học sinh đó có thực sự hiểu, diễn đạt được các tri thức đó một cách
trọn vẹn hay không. Dẫn đến học sinh học một cách rập khuân, máy móc, bị động
lúng túng khi gặp một số bài toán sử dụng nhiều kí hiệu toán học.
NNTH có mối liên hệ chặt chẽ với môn toán, là công cụ để học tập, nghiên
cứu môn toán trong nhà trường phổ thông. Tuy nhiên trong SGK cũng như trong
dạy học Giải tích lớp 11 hiện nay chưa chú ý đúng mức và quan tâm tới việc làm rõ

mối liên hệ NNTH với DH toán, nhằm phát triển cho học sinh ý thức và năng lực
vận dụng NL sử dụng NNTH vào việc học tập, nghiên cứu, giải quyết các tình
huống được đặt ra trong quá trình DH. Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Giải tích
lớp 11 ở nhà trường THPT cho thấy rằng, đa số các GV chỉ quan tâm tới việc truyền
thụ lý thuyết mà chưa thật sự quan tâm đúng mức tới sự phát triển NL sử dụng
NNTH của HS.


3
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài:"Phát triển năng lực sử dụng ngôn
ngữ toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học giải tích lớp 11".
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về năng lực sử dụng NNTH, thực trạng sử dụng NNTH
của học sinh THPT từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển NL sử
dụng NNTH cho học sinh thông qua dạy học giải tích lớp 11.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán
học cho học sinh thông qua dạy học Giải tích lớp 11.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 11 trên địa bàn tỉnh Phú Thọ.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm phù hợp nhằm rèn luyện kĩ
năng sử dụng NNTH cho HS trong dạy học Giải tích lớp 11 THPT thì có thể nâng
cao năng lực sử dụng NNTH cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán lớp 11 ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực sử dụng ngôn
ngữ toán học.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực sử dụng ngôn
ngữ toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học giải tích lớp 11.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của

những biện pháp sư phạm đề xuất.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực sử dụng ngôn
ngữ toán học.
6.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn
- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán
học nhằm phát hiện vấn đề nghiên cứu.


4
- Trao đổi với giáo viên có nhiều kinh nghiệm để tìm hiểu về cách thức phát
triển năng lực ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Nghiên cứu trường hợp: Theo dõi, phân tích và đánh giá năng lực ngôn ngữ
toán học của một số HS tham gia thực nghiệm sư phạm để thấy rõ tác động của các
tác động sư phạm đối với các đối tượng HS.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính
khả thi và hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh thông
qua dạy học giải tích lớp 11.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.


5
CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Ngôn ngữ toán học
1.1.1. Quan niệm về ngôn ngữ toán học
Một số quan niệm về ngôn ngữ toán học
Theo Raymond Duval và cộng sự [17], NNTH bao gồm ngôn ngữ, các kí hiệu
tượng trưng, hình ảnh trực quan. Cùng quan điểm đó Phạm Văn Hoàn [7], Hà Sĩ Hồ
[8] mô tả NNTH được tạo bởi các ký hiệu toán học (chữ số, chữ cái, dấu phép tính,
dấu quan hệ) và ngôn ngữ viết.
Theo Hoàng Chúng [6], Nguyễn Bá Kim [13] trong dạy học môn toán các
hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức là một dạng NNTH cần được hình thành và
có vai trò rất lớn trong việc rèn luyện HS.
Theo Trần Ngọc Bích [4] “ NNTH bao gồm các thuật ngữ (từ, cụm từ), kí
hiệu, biểu tượng và các quy tắc kết hợp giữa chúng. Dùng làm phương tiện để diễn
đạt nội dung toán học một cách chính xác, rõ ràng và lôgic. Kí hiệu gồm chữ số,
chữ cái, dấu các phép toán, dấu quan hệ, kí tự alphabetic, và các dấu ngoặc được
dùng trong toán học. Biểu tượng gồm hình vẽ, sơ đồ , hình ảnh, hoặc mô hình của
đối tượng cụ thể”.
Từ quan niệm về NNTH như trên, có thể cho rằng: NNTH bao gồm mô hình
trực quan (hình ảnh, hìnhvẽ, sơ đồ, biểu bảng,...), các kí hiệu toán học; thuật ngữ
toán học; biểu thị các nội dung toán học; các từ, cụm từ của NNTN
được kết hợp theo các nguyên tắc nào đó để biểu đạt chính xác nội dung toán học.
Trong đó :
- Mô hình trực quan là hình ảnh, hình vẽ, biểu đồ, sơ đồ hoặc mô hình biểu
hiện đối tượng cụ thể
- Kí hiệu toán học là chữ số, chữ cái dấu phép tính, dấu quan hệ, ...
- Thuật ngữ toán học là các từ, cụm từ tên gọi các khái niệm, định nghĩa,.. có
tính hệ thống, đơn nghĩa và tính quốc tế.
Ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo những đặc điểm sau :
- Khắc phục sự cồng kềnh của NNTH;

6
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của NNTH;
- Loại bỏ sự đa nghĩa của NNTH.
.....

Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình [10]

NNTH khác với NNTH ở chỗ:
.......

“Thứ nhất, trong NNTH một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép tính, hay dấu

quan hệ biểu thị điều mà NNTH phải dùng đến từ hay một kết hợp từ mới biểu thị
được, điều đó làm cho NNTH gọn gàng hơn so với NNTH.
Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một nghĩa
duy nhất, điều đó làm cho NNTH có khả năng diễn đạt chính xác tư tưởng toán học
hơn hẳn NNTH (đôi khi ta gặp những từ hoặc cụm từ có nhiều nghĩa).
.....

Thứ ba, trong NNTH có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị nhiều đối tượng

trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngôn ngữ toán học rất thích hợp để
diễn đạt khái quát các quy luật chung”.
...

Ngôn ngữ toán học có tính quốc tế nên rất thuận lợi trong giao lưu toán học

giữa các nước trên thế giới.
1.1.2. Chức năng của ngôn ngữ toán học
NNTH có hai chức năng cơ bản của ngôn ngữ: chức năng giao tiếp và chức

năng tư duy.
a) Chức năng giao tiếp
Chức năng giao tiếp của NNTH đã giúp con người hiểu biết hơn về toán học,
sáng tạo kiến thức toán học và đưa ra phương pháp giải quyết các vấn đề toán học
mà không có sự hạn chế nào về ngôn ngữ, không gian, hình thức giao tiếp.
Ví dụ 1.1. Xét tình huống HS thảo luận nhóm, lập luận để tìm hướng giải
quyết cho bài toán sau:
“Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh (3 nam,
3 nữ) để ghép thành 3 đôi để biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?”
Pha 1: Các nhóm đưa ra kết quả của nhóm


7
Hoạt động 1: Các nhóm tiến hành thảo luận và đưa ra kết quả
Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 3
3
A12
A3
. 10 (cách)

3
12

C .

3
C10

1
2 (cách)

3!.3!.

Nhóm 4

3
C12
C3
C 3 C3
. 10 (cách) 3!. 12 . 10 (cách)

Pha 2: Do có nhiều kết quả khác nhau nên ta tiến hành thảo luận giữa các
nhóm để tìm ra kết quả đúng
Các nhóm đưa ra kết quả
Nhận xét của các nhóm
Nhóm 1: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 2 lập luận nhóm 1 đã quan tâm tới
là

việc sắp thứ tự cho 3 bạn nam và 3 bạn

3
A12
(cách)

nữ nên gặp sai lầm trong tính toán

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là

3
10

A

(cách)
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là:
3
3
A12
A10

.
(cách)
Nhóm 2:Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 4 cho rằng nhóm 2 chưa quan tâm
là

tới sự hoán đổi vị trí của các cặp nhảy

3
C12
(cách)

trong số các bạn được chọn nên lời giải

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là

3
10

C

của nhóm 2 là chưa chính xác

(cách)
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là:
3
C12
C3
. 10 (cách)

Trong số 3 cặp nam nữ vẫn có thể đổi
chỗ cho nhau nên chúng ta phải tính
thêm số cách chọn trong 3 cặp năm nữ

C3 C 3

này bằng phép tính: 12 . 10 ( cách)
Nhóm 3:Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 2,4 chỉ ra rằng trong số các kết
là

3
C12
(cách)

quả của việc hoán vị giữa các cặp đã có


8

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là

3
sự trùng lặp
C10

Giả sử trong số 3 bạn nam: A; B; C và 3

(cách)
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3
nữ là:

3
12

3
10

C . C (cách)

bạn nữ: (a; b; c) thì khi hoán vị cả 3 nam
(C; A; B) và 3 nữ (c; a; b) thì ắt hẳn sẽ
trùng với cách ban đầu (Aa; Bb; Cc)

Trong 6 học sinh chọn ra thì có có 3 nam nên kết quả của nhóm 3 cũng chưa chính
và 3 nữ, sau đó ta hoán đổi vị trí cho 3 xác
nam và 3 nữ.
Vậy số cách chọn thoả mãn là:
3
3

C
C
12
10
3!.3!.
.
(cách)

Nhóm 4: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Sau khi xem phân tích và lời giải của
nhóm 4 các nhóm còn lại đều thấy được

3
C
12
là
(cách)

sự thiếu xót trong tính toán và thiếu

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là

3
10

C

chính xác trong lập luận của mình

(cách)
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3

nữ là:

3
3
C12
C10

.

(cách)

Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách)
ghép giữa các đôi nhảy với nhau (là
hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học
sinh nữ)
Vậy số cách chọn thoả mãn là:
3!.

3
C12
C3
. 10 (cách)

Nhận xét: Nếu như không trình bày bằng ngôn ngữ một cách rõ ràng thì
nhìn vào cách nào cũng nghe có vẻ hợp lý. Nhưng khi trình bày 4 lời giải, một số
nhóm không đưa ra được sự chính xác về lập luận,nhóm có lập luận đúng đắn và
khả năng trình bày bằng ngôn ngữ tốt sẽ có thể lập luận tốt nhất để thuyết phục các


9

nhóm còn lại. Ở đây chức năng giao tiếp của NNTH được thể hiện qua việc các
nhóm đã dùng NNTH để thể hiện lời giải của mình, dùng NNTH để lập luận đưa ra
sự thiếu chính xác hay sai lầm trong lời giải của nhóm khác.
b) Chức năng tư duy
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy [11] ''Do đặc điểm của
khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện
cho học sinh tư duy lôgic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn
ra dưới hình thức ngôn ngữ, và được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con
người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy''
NNTH là phương tiện, công cụ tư duy của toán học. NNTH tham gia vào
việc tư duy toán học. Các hình thức cơ bản của tư duy toán học đều được biểu đạt
thông qua NNTH. Chính vì vậy để thực hiện được tư duy toán học ta cần có NNTH.
Các thao tác tư duy toán học được hiểu là các thao tác tư duy tiến hành trên
đối tượng toán học, quan hệ toán học và nội dung toán học. Các thao tác tư duy bao
gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa, ... [14], Thông qua
NNTH HS mới có thể thể hiện các thao tác tư duy.
Ví dụ 1.2. Xét tình huống HS tìm lời giải cho bài toán sau:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Em hãy giải bài toán sau:

tư duy thông qua NNTH
Gọi số tự nhiên có 5 chữ Trong lời giải bài toán HS

Cho

tập

A   0;1;2;3;4;5

Biểu hiện của các thao tác

hợp số khác nhau được lập từ cần thể hiện các thao tác
,từ A có tập A là:

aa
a1 �0
1 2a3a4a5
,

thể lập được bao nhiêu số Số cách chọn a1 có 5 cách
tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau , trong đó nhất
thiết phải có mặt chữ số 0
và 3?

Số cách chọn

a2a3a4a5

là

số chỉnh hợp chập 4 của 5
có

A54

(cách)

Suy ra : có 5.

A54

= 600

tư duy như phân tích đề
bài, so sánh, tổng hợp...


10
(số)
Trong 600 số trên thì:
Số không có chữ số 0
đượclập

từ

A1   1;2;3;4;5

tập
là

số

hoán vị của 5 có:

P5 = 120 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán

ta có :
600 - (120 + 96) = 384
(số)
Nhận xét: Trong ví dụ trên HS cần phân tích được yêu cầu của bài toán là từ
6 số tự nhiên phân biệt cho trước cần lập ra tất cả các số có 5 chữ số khác nhau.
HS cần tổng hợp lại thế nào là số có 5 chữ số khác nhau, phân biệt giữa số có
5 chữ số khác nhau và số có 5 chữ số. Theo bài làm trên ta thấy HS đã tư duy như
sau: thay vì phải xét các trường hợp riêng lẻ như số có số 0 đứng đầu, số có số 3 và
số 0 HS đã lựa chọn phương pháp loại trừ. Tức là các em xét có tất cả bao nhiêu số
có 5 chữ số được lập nên bởi 6 chữ số. Sau đó chỉ cần xem xét trường hợp số không
có chữ số 0 và chữ số 3. Cách làm này đã thể hiện tư duy sáng tạo của HS ( không
đi vào lối mòn), ngoài ra ta còn thấy còn có các thao tác khác như tương tự hóa,
khái quát hóa( tổng quát lại cách giải bài toán với mục đích sử dụng trong việc giải
các bài toán tương tự).
1.1.3. Các hoạt động sử dụng ngôn ngữ toán học
Có nhiều cách phân dạng các hoạt động sử dụng NNTH, trong luận văn này
chúng tôi quan niệm các hoạt động sử dụng NNTH bao gồm:
a) Sử dụng NNTH trong giao tiếp, học tập Toán
- Sử dụng NNTH để tóm tắt được ý chính khi nghe thầy hoặc bạn trình bày;


11
- Sử dụng NNTH để trình bày một vấn đề hấp dẫn nhờ sử dụng các loại ngôn
ngữ và các phương tiện kĩ thuật;
- Sử dụng NNTH để trình bày sáng sủa một bài toán nhờ sử dụng chính xác
thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy tắc suy luận;
- Sử dụng NNTH để phát biểu một định nghĩa, một định lí theo các ngôn
ngữ, các cách khác nhau;
- Sử dụng NNTH để vẽ hình, vẽ đồ thị, vẽ biểu đồ, lập bảng một cách trực
quan và đẹp;

b) Sử dụng NNTH để chuyển đổi NNTN và ngược lại
- Sử dụng NNTH để mô hình hóa các vấn đề thực tế và giải quyết vấn đề đó.
- Chuyển đổi được từ NNTH sang NNTN.
1.2. Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học
1.2.1. Quan niệm về năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng theo quan điểm của Thái Huy Vinh
[16] NL sử dụng NNTH có thể được thể hiện qua các kỹ năng như:
+ Có vốn TVTH (hay còn gọi là vốn từ toán học) tối thiểu để đáp ứng nhu
cầu học tập;
+ Nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp của các vốn TVTH;
+ Sử dụng chính xác NNTH trong giao tiếp, học tập Toán; có kĩ năng nghe
Toán, nói Toán, đọc Toán, viết Toán một cách thành thạo theo yêu cầu chuẩn kiến
thức, kĩ năng, mức độ quy định;
+ Vận dụng chuyển đổi linh hoạt NNTH sang NNTN và ngược lại;
+ Tăng cường, mở rộng và phát triển vốn TVTH đã có của mình;
+ NNTH từng bước trở thành vốn tri thức toán học, phẩm chất, năng lực toán
học của mỗi HS.
1.2.2. Biểu hiện của năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ở học sinh trung học
phổ thông
Như vậy, theo chúng tôi NL sử dụng NNTH gồm các biểu hiện sau:
+ HS có vốn từ vựng toán học tối thiểu để đáp ứng nhu cầu học tập; đồng


12
thời nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp của các vốn TVTH đó;
+HS có NL sử dụng chính xác NNTH trong giao tiếp toán học:
HS mô tả, trình bày bài giải, cách giải quyết vấn đề.
HS sử dụng chính xác thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy tắc suy luận
để trình bày lời giải.
HS trình bày bằng NNTH cho cả lớp các lập luận trong lời giải.

HS tranh luận bằng ngôn ngữ nói và các kí hiệu, quy tắc toán học để bảo vệ
cách giải quyết vấn đề của mình hay bác bỏ cách giải quyết vấn đề của nhóm, bạn
khác.
HS đưa ra được ví dụ để bảo vệ cách giải quyết vấn đề của mình hay bác bỏ
cách giải quyết vấn đề của nhóm, bạn khác.
HS đưa ra các câu hỏi, trả lời các câu hỏi của các bạn, các nhóm.
HS chứng minh bằng việc sử dụng thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy
tắc, định lí toán học đã học.
+ HS có thể vận dụng chuyển đổi linh hoạt NNTH sang NNTN và ngược lại;
+ HS thường xuyên tăng cường, mở rộng và phát triển vốn TVTH đã có của
mình;
Ví dụ 1.3. Xét tình huống HS thảo luận nhóm, lập luận để tìm hướng giải
quyết cho bài toán thực tế sau:
“Trong một chuyến tham quan du lịch, Thầy Tuấn có cơ hội được chụp ảnh
lưu niệm tại Tháp Bình Sơn tỉnh Vĩnh Phúc. Trong lúc chụp ảnh thầy đứng cách
tháp này 10m nhìn thấy cái tháp dưới góc 65 0và được phân tích như hình vẽ. Tuy
nhiên vì thời gian tham quan có hạn nên thầy chưa kịp tìm hiểu về thông tin của
tháp.Với số liệu được thầy cung cấp trong quá trình chụp ảnh ở trên, các em hãy
giúp Thầy tính xem chiều cao của tháp đó là bao nhiêu?”
Một số biểu hiện có thể quan sát được trong quá trình thảo luận như sau:


13
Hoạt động của HS

Quan sát các biểu hiện của
NL sử dụng NNTH

Hoạt động 1:
Phân tích tình huống và đưa về bài toán toán học + HS chuyển đổi từ mô hình

như sau:

hóa thành bài toán toán học.

Cho hình thang vuông ABDE, tam giác ABC + HS sử dụng vốn TVTH
vuông tại C( C là chân đường vuông góc hạ từ A của mình để xây dựng đề
tới BD). Biết cạnh ED = AC = 10m;

bài

� = 550,CAD
� = 100.
BAC
Tính cạnh BD?

Hoạt động 2:

HS mô tả, trình bày bài giải,

Lập luận tìm hướng giải quyết cho bài toán

cách giải quyết vấn đề

Xét thấy cạnh BD = BC + CD
Do đó chuyển hướng sang tính cạnh BC, CD bằng
việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác
vuông. Từ đó đi đến kết luận chiều cao của tháp
Bình Sơn.
Hoạt động 3: Trình bày lời giải trong nhóm

HS sử dụng các khái niệm,
thuật ngữ, ký hiệu để trình
bày lời giải
HS chứng minh bằng việc
sử dụng các kí hiệu toán
học, các quy tắc, định lí
toán học đã học.


14
Các biểu hiện còn lại có thể quan sát thông quá quá trình HS trao đổi, thống
nhất kết quả trong nhóm; HS trình bày kết quả của nhóm mình với các nhóm khác;
Thảo luận chung toàn lớp để đi đến thống nhất cuối cùng.
1.2.3. Các cấp độ sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh
Các mức độ sử dụng NNTH của HS được xây dựng theo bảng biểu hiện các
mức độ thể hiện năng lực giao tiếp toán học [15].
Mức độ 1: Nhận biết ban đầu từ vựng toán học qua thực tiễn (tên gọi thông
thường trong cuộc sống).
Ở THPT những TVTH cần trang bị cho HS một số ít HS đã nghe, đã nói,đã
viết, đã dùng theo NNTN trong cuộc sống hàng ngày qua giao tiếp, qua truyền hình,
qua báo chí,… còn đa số là các thuật ngữ toán học khá trừu tượng với học sinh như
vi phân, tích phân, giới hạn... bằng cách chỉ ra mối liên hệ của các thuật ngữ toán
học với cuộc sống sẽ dễ ghi nhớ hơn đối với các TVTH đó.
Mức độ 2: Diễn đạt thành lời trọn vẹn chính xác TVTH ( tên gọi, cách đọc,
cách viết theo NNTN, biết liên kết chính xác vốn TVTH ở dạng đơn giản).
Mức độ 3: Nhận biết và phân biệt TVTH; nắm được ngữ nghĩa và cú
phápTVTH; biết diễn đạt (nói, viết) TVTH theo nhiều cách khác nhau, biết liên kết
các từ vựng toán học ở dạng phức; diễn đạt trọn vẹn các tính chất, công thức, qui
tắc, kết luận toán học,…biết chuyển đổi NNTN sang NNTH và ngược lại trong học
tập Toán.

Mức độ 4: Thực hành ứng dụng, HS ghi nhớ được vững chắc các dạng cơ
bản;áp dụng và giải các bài toán dạng cơ bản theo đúng qui trình; kĩ năng nghe, nói,
đọc, viết Toán khá thành thạo theo yêu cầu chuẩn kiến thức, kĩ năng,..
Mức độ 5: Có kĩ năng vận dụng vốn từ toán học để giải quyết các bài toántổng
hợp; tăng cường, mở rộng và phát triển TVTH, vốn từ toán học trở thành công cụ,
phương tiện “tác chiến”,“kiến thiết” để chiếm lĩnh kiến thức toán học mới tiếp theo;
kĩ năng nghe, nói, đọc, viết Toán thành thạo theo chuẩn kiến thức, kĩ năng.
Mức độ 6: Tính bền vững của vốn từ toán học trong học tập Toán và trở thành
vốn tri thức toán học, năng lực, phẩm chất, VHTH của mỗi một HS.


15
Ví dụ 1.4. Thuật ngữ “Xác suất” [1]
Mức độ 1 : HS nhận biết ban đầu từ “Xác suất” qua việc đánh giá khả năng
xảy ra khi thực hiện một hành động nào đó trong cuộc sống hàng
ngày, bước đầu nhận ra hình ảnh của xác suất và nghe thuật ngữ “Xác suất”
trong thực tế, “ xác suất trúng sổ số”, “ xác suất bị gọi lên kiểm tra bài cũ”.
Mức độ 2: HS nêu được tên gọi, kí hiệu: chẳng hạn; diễn đạt thành lời trọn
vẹn: “Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu  chỉ có
n( A)
một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n() là xác suất của
n( A)
biến cố A, kí hiệu là P(A) hay P(A) = n() ”

Mức độ 3: HS hiểu được bản chất toán học của xác suất, phân tích các yếu tố
của xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến của biến cố, không gian mẫu, biến
cố đối, biến cố độc lập, và công thức tính xác suất liên quan.
Mức độ 4: HS biết thực hành, vận dụng giải các bài tập về nhận biết, phân biệt
xác suất của biến cố; xác định các yếu tố trong công thức tính toán về xác suất; tìm
được không gian mẫu; tìm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, vận dụng công

thức tính xác suất thành thạo…
Mức độ 5: Sử dụng chính xác NNTH giải các bài toán tổng hợp. Từ định nghĩa
xác suất; tăng cường, mở rộng, phát triển vốn từ xung quanh thuật ngữ
“xác suất”, như là “công thức cộng xác suất”, “công thức nhân xác suất”, biến cố
độc lập ,…Từ việc hiểu ngữ nghĩa và công thức tính của xác suất GV có thể hướng
dẫn cho HS xây dựng công thức cộng xác xuất và công thức nhân xác suất chiếm
lĩnh các kiến thức mới liên hệ với khái niệm xác suất...
Mức độ 6: Xác suất của biến cố bao gồm các yếu tố của nó có trong đầu HS
trở thành vốn từ bền vững, giao tiếp quen thuộc gắn liền với việc ứng dụng cuộc
sống. Dần dần HS hiểu được tại sao khi chơi sổ xố thì giải thưởng đưa ra rất cao
nhưng công ty sổ xố vẫn thu lãi rất lớn...


16
Ví dụ 1.5. Thuật ngữ “ giới hạn” [1]
Mức độ 1: HS đã làm quen với khái niệm giới hạn trong thực tế. Trước khi
được nghiên cứu về khái niệm này HS đã được nghe thấy, được sử dụng rất nhiều
trong cuộc sống và biết được rằng giới hạn chỉ một sự việc, hiện tượng có kết thúc
tại một điểm nào đó, “ Giới hạn dân số”, “ giới hạn kinh tế vĩ mô’
Mức độ 2: HS nêu được khái niệm, kí hiệu. Diễn đạt được thành lời văn, ví dụ:
“Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0 },
ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (xn ) bất kì,
xn �K \  x0 

Kí hiệu:

, ta có f ( xn ) � L .

lim f ( x)  L

x � x0

hay f ( x) � L khi x � x0 ”

Mức độ 3: HS hiểu được bản chất toán học của giới hạn, biết được các định lý
về giới hạn, công thức tính giới hạn, hiểu được như thế nào là giới hạn một bên.
Phân biệt giữa giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
Mức độ 4: HS biết thực hành, vận dụng giải các bài tập về nhận biết, phân
biệt các loại giới hạn. Biết cách tính được giơi hạn hữu hạn, giới hạn vô cực , cách
tính giới hạn vô cực.
Mức độ 5: Sử dụng chính xác NNTH giải các bài toán tổng hợp. Từ định nghĩa
giới hạn; tăng cường, mở rộng, phát triển vốn từ xung quanh thuật ngữ
“ giới hạn”, như là “liên tục”, “ gián đoạn”,…Từ việc hiểu ngữ nghĩa và công thức
tính GV có thể HD cho HS xây dựng cách xác định hàm số liên tục tại điểm, liên
tục trên khoảng hay gián đoạn tại điểm nào đó.
Mức độ 6: giới hạn bao gồm các yếu tố của nó có trong đầu HS trở thành vốn
từ bền vững, giao tiếp quen thuộc gắn liền với việc ứng dụng cuộc sống.
1.3. Khái quát về nội dung, chương trình Giải tích lớp 11 ở trường Trung học
phổ thông
1.3.1. Nội dung chương trình giải tích lớp 11
Giải tích lớp 11 được đưa vào chương trình môn Toán trong nhà trường
THPT với những nội dung chính sau:


17
Chương ''Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân'', chương ''Giới hạn'' và
chương ''Đạo hàm'' là ba chương cuối cùng nằm cạnh nhau trong chương trình SGK
môn Đại số và Giải tích lớp 11 hiện hành. Cụ thể:
- Chương III: Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân: Bao gồm định nghĩa,
những tính chất của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân.

- Chương IV: Giới hạn: Bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và
hàm số liên tục.
- Chương V: Đạo hàm: Bao gồm định nghĩa, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo
hàm; Đạo hàm của hàm số lượng giác; Vi phân; Đạo hàm cấp hai.
Nhìn vào nội dung của ba chương ta nhận thấy kiến thức ở chương sau có
mối liên hệ mật thiết với kiến thức ở chương trước và chúng có vị trí quan trọng để
nghiên cứu các khái niệm tiếp theo cũng như ứng dụng trong chương trình Giải tích
12 nói riêng và môn Toán THPT nói chung.
1.3.2. Hệ thống thuật ngữ toán học trong chương trình lớp giải tích 11
Để thấy được vai trò của kiến thức Giải tích lớp 11, chúng tôi xét trên các
khía cạnh: Mối liên hệ giữa các khái niệm của Giải tích lớp 11 trong môn Giải tích
và với các khái niệm trong phân môn khác của toán học.
+ Từ thế kỉ XVII, khái niệm giới hạn đã được coi là một khái niệm cơ bản
của toán học. Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của các khái niệm về giới hạn
chính là nhiều khái niệm toán học khác phụ thuộc vào nó và nó còn đóng một vai
trò vô cùng lớn trong việc áp dụng các lí thuyết toán học khác nhau như: Tổng của
một cấp số nhân lùi vô hạn, tính liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số, tích phân
của hàm số,...Tất cả đều liên quan đến khái niệm của giới hạn trong việc định nghĩa
chúng. Hay nói một cách khác, ''chủ đề giới hạn có vai trò hết sức quan trọng của
Giải tích toán học THPT, vì khái niệm giới hạn là nền tảng, là cơ sở của Giải tích,
hàm số liên tục là nền tảng để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân''[16].
Khái niệm đạo hàm được xây dựng từ khái niệm giới hạn, ngược lại khái
niệm đạo hàm có tác động trở lại là công cụ giúp tính giới hạn. Chẳng hạn, với các


18

lim

bài toán tính giới hạn dạng

x � x0

f ( x )  f ( x0 )
x  x0
với hàm số f (x) có đạo hàm tại x = x0
lim

thì theo định nghĩa đạo hàm ta có

x �x0

f ( x )  f ( x0 )
x  x0
= f '(x0), hoặc một dạng bài tập
lim

mở rộng từ dạng bài tập trên là: tính giới hạn

x � x0

f ( x)  f ( x0 )
g ( x)  g ( x0 ) trong đó hàm số f(x),

f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x0 )
lim
 '
x � x0 g ( x )  g ( x )
g ( x0 ) . Còn khái
0

g(x) đều có đạo hàm tại x = x0 và g '(x0) � 0 thì

niệm nguyên hàm thì được xây dựng từ bài toán ngược của đạo hàm.
+ Việc nắm vững các khái niệm giải tích lớp 11 sẽ giúp HS hình thành được
một số khái niệm thuộc phân môn khác của Toán học như: Hình học, Đại số, Lượng
giác, đồng thời giúp HS thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các phân môn này.
1.4. Thực trạng việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ở các
trường trung học phổ thông
1.4.1. Mục đích điều tra
Khi tiến hành điều tra chúng tôi đặt ra những mục tiêu chính sau đây:
- Tìm hiểu mức độ sử dụng NNTH của HS (tập trung chủ yếu vào học sinh
lớp 11).
- Tìm hiểu những khó khăn HS gặp phải khi sử dụng NNTH.
- Tìm hiểu các biện pháp GV đã đưa ra đối với HS để rèn luyện khả năng phát
triển NNTH.
1.4.2. Phương pháp và đối tượng điều tra
- Phương pháp: sử dụng phiếu hỏi, phỏng vấn xin ý kiến trực tiếp.
- Đối tượng điều tra: 30 GV và 100 HS lớp 11 ở các trường THPT Phù Ninh,
THPT Phong Châu, THPT Tử Đà, THPT Kinh Tế Kĩ Thuật Việt Trì, Dự Bị Dân
Tộc Phú Thọ trên địa bàn Huyện Phù Ninh, Huyện Lâm Thao và Tp. Việt Trì.
- Cách thức tiến hành: Để tiến hành điều tra, chúng tôi đã gặp gỡ, trao đổi, xin ý
kiến của GV Toán THPT và các em HS để thăm dò ý kiến GV và HS ( Phụ lục 1, 2).