Luận án Tiến sỹ Toán học: Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN
KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:
9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. PGS. TS. Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI - NĂM 2018


ii

LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS.
TS. Đỗ Văn Lưu. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng
được công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả luận án

Nguyễn Dương Nguyễn


iii

LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ,
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận
tình của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùng
toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học
viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa
Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán
ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đóng
góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar,
nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình,
những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn

thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn
này.
Tác giả


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

vi

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan . . . . . . . . .

9
9

1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach . . . . . .

9

1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 20
1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên . . . . . . . . . 24
1.3.1. Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề . . . . 26
Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu
2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

32

tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach . . . . 32
2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi
tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach . . . 44
2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu
chỉnh lặp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


v

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn
điệu cực đại trong không gian Hilbert
64
3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . 64
3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số
của toán tử giải khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận chung

83

Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo

84

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

85

Tài liệu tham khảo

86


Một số ký hiệu và viết tắt

Rn

không gian Euclide n-chiều

H

không gian Hilbert

E∗

không gian đối ngẫu của không gian Banach E

θE

phần tử không của không gian E

2E

tập tất cả các tập con của không gian E

x, x∗

giá trị của phần tử x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E

R

tập hợp các số thực

∅

tập rỗng

A\B

hiệu của tập hợp A và tập hợp B

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

S1 (0)

mặt cầu đơn vị trong không gian E

BE

hình cầu đơn vị trong không gian E

Br (x0 )

hình cầu tâm x0 và bán kính r

∀x

với mọi x

D(A)

miền xác định của ánh xạ A

R(A)

miền ảnh của ánh xạ A

A−1

ánh xạ ngược của ánh xạ A

A∗

ánh xạ liên hợp của ánh xạ A

I

ánh xạ đơn vị

Jk

toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk

ZerA

tập không điểm của ánh xạ A

Lp (Ω)

không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p < ∞)

lp

không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞)


vii

l1

không gian các dãy số khả tổng bậc 1

l∞

không gian các dãy số bị chặn

Wpm (Ω)

không gian Sobolev

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

αn

dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0

n→∞

α0

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh đến x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu đến x

x

Js

ánh xạ đối ngẫu tổng quát

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

M

bao đóng của tập hợp M

ρE

mêtric của không gian mêtric E

int(C)
phần trong của tập hợp C
∂ m x(t)
đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1 , t2 , ..., tn )
∂tα1 1 ∂tα2 2 · · · ∂tαnn
Dom(f )

miền hữu hiệu của f

PC

phép chiếu mêtric lên tập hợp C

∂f

dưới vi phân của phiếm hàm lồi f

arg min f

tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f

A×B

tích đề các của hai tập hợp A và B

A≡B

A trùng B

x≈y

x xấp xỉ y


Mở đầu

Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như
quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa
chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy
hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán
tử sau (xem [15, 67, 68]):
A(x) = f,

(0.1)

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không
gian mêtric E và f ∈ E. Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các
bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,
tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn
của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định.

Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường
được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ...) và sau đó lại được
xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt
ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao
cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền
móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K. Ivanov [50], M.M.
Lavrent’ev [57], J.L. Lions [102], A.N. Tikhonov [83, 84], ... Do tầm quan
trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn
thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải
bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I. Alber [9], A.B. Bakushinskii
[15, 16], J. Baumeister [19], H.W. Engl [40, 41], V.B. Glasko [42], A.V.
Goncharskii [15], R. Gorenflo [10, 44], C.W. Groetsch [40, 45], M. Hanke
[41, 47], B. Hoffmann [49, 98], A.K. Louis [99], V.A. Morozov [63, 64],
M.Z. Nashed [66], F. Natterer [67, 68], A. Neubauer [41], G.M. Vainikko
[88], F.P. Vasil’ev [89, 90], ... Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu


2

nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài
toán đặt không chỉnh như Đ.Đ. Áng [10], P.K. Anh [1], Ng. Bường [1, 2],
Đ.Đ. Trọng [10], v.v ... hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên
như Ng.M. Chương [36], Đ.N. Hào [48, 87], T.Đ. Vân [87], ...
Nếu E là không gian Banach với chuẩn . thì trong một số trường hợp
của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu
phiếm hàm làm trơn Tikhonov:
Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

+ α x − x+ 2 ,

(0.2)

cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ
là xấp xỉ của f thỏa mãn
fδ − f ≤ δ

0,

(0.3)

và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm
của (0.1) theo ý muốn. Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dự
đoán. Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là
không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc
cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Điều đó
dẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp. Vì vậy, để giải
bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa
ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Tư tưởng của phương pháp này do
F.E. Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu
chỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏa
mãn điều kiện bức. Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ là một ánh xạ phi tuyến đơn
điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường và
nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E ∗ , xét bài toán bất đẳng thức
biến phân:
Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho

T (u0 ) − ω, v − u0 ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E.

(0.4)

Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω .
Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E. Browder đã xét


3

bất đẳng thức biến phân sau:
Tα (uα ) − ωα , v − uα ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E,

(0.5)

trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0 , với v0 là phần tử bất
kỳ trong E ∗ . Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5)
có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh về phần tử
u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến
phân:
M u0 − v0 , v − u0 ≥ 0, v ∈ Aω .
Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E ∗ là
không gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của E có tính chất
như ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]). Năm 1975, dựa trên tư tưởng phương
pháp hiệu chỉnh của F.E. Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu J s ,
Ya.I. Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như
sau:
A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ .

(0.6)

Năm 2016, Ng. Bường, T.T. Hương và Ng.T.T. Thủy [32] đã phát triển
phương pháp (0.6) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
toán tử
Ai (x) = fi , i = 0, 1, ..., N,

(0.7)

ở đây N là số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ và Ai : E → E ∗ là ánh xạ
đơn điệu trên không gian Banach E, i = 0, 1, ..., N .
Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì J s
là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.6) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi
A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn
nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể
sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ J s xác định
trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm
đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường (xem [2, 28]) đã cải tiến
phương pháp (0.6) bằng cách thay ánh xạ J s bằng ánh xạ tuyến tính và
đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp sau:
A(x) + αB(x − x+ ) = fδ .

(0.8)


4

Rõ ràng, nếu A là một ánh xạ tuyến tính thì (0.8) là bài toán tuyến
tính. Ngoài ra, phương pháp (0.8) còn có ưu điểm là nếu biết được một số
thông tin về nghiệm chính xác thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao cho
nghiệm hiệu chỉnh vẫn giữ nguyên được tính chất đó.

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) có
dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J 2 ≡ I là ánh xạ
đơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành:
A(x) + α(x − x+ ) = fδ .

(0.9)

Lý thuyết về ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach là một hướng
mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Bài toán
(0.1) với A là ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệ
chặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳng
thức đồng biến phân (xem [8]). Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong
không gian Lp và Wpm (xem [56, 59, 78, 79]). Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P.
Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là một
ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian
Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là
quá nhỏ (chỉ có không gian lp ). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương
[33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòi
hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Dựa vào
phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng. Bường và Ng.Đ. Dũng [30] đã xây
dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trong
trường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J-đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J-đơn
điệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, ..., N .
Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9)
là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định
khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề
xuất bởi A.B. Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu

chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là


5

phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa trên cơ sở phương pháp
của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp
A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu
E ∗ , khi thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn thỏa mãn (0.3) với δ
được thay thế bởi δn , I.P. Ryazantseva (xem [9, 77]) đã đưa ra phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn .

(0.10)

Tuy nhiên, do phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành
phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov (0.6). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên
không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tư
tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường và
V.Q. Hùng [31] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich sau:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ ,

(0.11)

dưới các điều kiện
A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E
(0.12)
và

A (x∗ )v = x+ − x∗ ,

(0.13)

ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A (x∗ ) là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần
tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.12) và (0.13) sử dụng đạo hàm
Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt
chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã chứng minh sự
hội tụ của phương pháp (0.11) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh
xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert,
khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là
A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H, L > 0.

(0.14)


6

Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với
toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach
mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các
kết quả đã nêu ở trên.
Tiếp theo, ta xét bài toán:
Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ),

(0.15)

trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệu

cực đại. Phần tử p∗ được gọi là một không điểm của ánh xạ A. Ta đã biết,
nếu f : H → (−∞, +∞] là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục
dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại trên H. Khi đó,
bài toán tìm một cực tiểu của f tương đương với bài toán tìm một không
điểm của ∂f . Ngoài ra, trong thực tế, có nhiều bài toán có thể đưa về bài
toán tìm không điểm của một ánh xạ đơn điệu cực đại như phương trình
tiến hóa (xem [46]), bài toán bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), bài
toán điểm yên ngựa lồi-lõm (xem [74]), bài toán quy hoạch lồi (xem [75]).
Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán
(0.15) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B. Martinet [103] giới
thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổng
quát hóa bởi R.T. Rockafellar [74] vào năm 1976 như sau:
xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1,

(0.16)

trong đó Jk = (I + rk A)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số
rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H. Vì A là ánh
xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (xem [91]). Do vậy, ưu điểm
nổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán đa trị về bài
toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã chứng minh được rằng phương
pháp (0.16) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A dưới giả thiết tập
không điểm của ánh xạ A khác rỗng,

∞
k=1

ek < ∞ và rk ≥ ε > 0, với

mọi k ≥ 1. Bằng cách kết hợp giữa nguyên lý ánh xạ co Banach và phương

pháp điểm gần kề (0.16), P.N. Anh và các cộng sự đã đưa ra các phương
pháp mới để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
(xem [11, 12]). Năm 1991, O. G¨
uler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm


7

gần kề (0.16) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không
gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên
của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực
đại trong không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) cũng
như của ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80])
đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều được
đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ
A không khả tổng, tức là ∞
k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt ra là: có
tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của
nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng,
tức là

∞
k=1 rk

< +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận

án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi
đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không
gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa ra
dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.

Các kết quả thu được trong luận án là:
1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.10) của I.P. Ryazantseva để
giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào
không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã
nêu của phương pháp (0.10).
2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich (0.11) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường
hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏ
được các điều kiện (0.12), (0.13), (0.14) và không đòi hỏi tính liên tục yếu
theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J.
3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không
điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự
hội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiết
dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bố
cục gồm ba chương như sau:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị


8

Chương này có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm và tính
chất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
và phương pháp hiệu chỉnh. Chương này cũng trình bày phương pháp
Newton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để
tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.
Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu
Chương này trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơn

điệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định
lí về sự hội tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh
họa cho kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn
điệu cực đại trong không gian Hilbert
Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề
để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert,
bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ
của các phương pháp này. Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương
này nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội,
23-25/04/2014.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội,
21-23/04/2016.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội,
20-22/04/2017.
• Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc của
Công nghệ thông tin và truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh,
05-06/11/2015.
• Seminar hàng tuần ở nhóm Toán ứng dụng của Viện Công nghệ thông
tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc
trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau. Mục
1.1 giới thiệu một số khái niệm, tính chất trong không gian Banach, bài
toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.2 khái quát lại

phương pháp Newton và phương pháp Newton-Kantorovich. Mục 1.3 trình
bày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìm không điểm
của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.
1.1.
1.1.1.

Không gian Banach và các vấn đề liên quan
Một số tính chất trong không gian Banach

Trước hết, mục này giới thiệu một số không gian Banach thông dụng.
a) Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω, trong đó Ω là một tập đo
được trong Rn , ký hiệu Lp (Ω) (1 < p < ∞), được xác định như sau:




p
Lp (Ω) = x(t) : |x(t)| dt < ∞ .


Ω

Lp (Ω) là không gian Banach, với chuẩn là

1/p
x

p

|x(t)|p dt

=

, x(t) ∈ Lp (Ω).

Ω

Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) là không gian Lq (Ω), với

1 1
+ = 1.
p q

Với x(t) ∈ Lp (Ω) và x∗ (t) ∈ Lq (Ω) thì
x, x∗ =

x(t)x∗ (t)dt.
Ω

Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert.
b) Không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp , được


10

xác định như sau:
∞

lp =

|xi |p < ∞ .

x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) :
i=1

lp là không gian Banach, với chuẩn là
1/p

∞

x

|xi |p

=

lp

, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ lp .

i=1

1 1
+ = 1.
p q
Với x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ lp và y = (y1 , y2 , ..., yi , ...) ∈ lq thì
Không gian đối ngẫu của lp là không gian lq , với

∞

x, y =

xi yi .
i=1

Không gian l2 là không gian Hilbert.
c) Không gian các dãy số bị chặn, ký hiệu l∞ , được xác định như sau:
l∞ = x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) : {xi }∞
i=1 bị chặn .
l∞ là không gian Banach, với chuẩn là
x

∞

= sup |xi |, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l∞ ,
i∈N∗

ở đây N∗ = {1, 2, 3, ...}.
d) Không gian các dãy số khả tổng bậc 1, ký hiệu l1 , được xác định như
sau:

∞

l1 =

|xi | < ∞ .

x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) :
i=1

l1 là không gian Banach, với chuẩn là
∞

x

1

|xi |, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l1 .

=
i=1

Không gian đối ngẫu của l1 là l∞ .
Với x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l1 và y = (y1 , y2 , ..., yi , ...) ∈ l∞ thì
∞

x, y =

xi yi .
i=1


11

e) Không gian Sobolev Wpm (Ω) (1 < p < ∞, m > 0): Cho Ω là một tập con
giới nội trong Rn . Kí hiệu C m (Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp
m trên Ω. Do Ω là một tập compact nên C m (Ω) ⊂ Lp (Ω), m = 0, 1, 2, ....
Vì vậy, với x ∈ C m (Ω), ta có
Dα x

p
Lp (Ω)

|x(t)|p dt +

=

|α|≤m

|Dα x(t)|p dt < +∞,
0<|α|≤m Ω

Ω

n
∂ |α| x(t)
,
|α|
=
αi , t = (t1 , t2 , ..., tn ) ∈ Ω.
∂tα1 1 ∂t2α2 · · · ∂tαnn
i=1
Không gian Sobolev Wpm (Ω) là không gian Banach tạo thành bởi C m (Ω)

trong đó Dα x(t) =

và được làm đầy đủ bởi chuẩn

x

Wpm (Ω)

=

1/p
Dα x

p

Lp (Ω)

, x ∈ C m (Ω).

|α|≤m

Không gian đối ngẫu của không gian Wpm (Ω) là Wq−m (Ω), với

1 1
+ = 1.
p q

Không gian W2m (Ω) là không gian Hilbert.
Sau đây, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất trong không
gian Banach. Để cho đơn giản, trong mục này cũng như trong suốt luận
án, chuẩn của không gian E và không gian đối ngẫu của E là E ∗ cùng
được kí hiệu là . .
Định nghĩa 1.1. Cho E và E là hai không gian Banach. Ánh xạ A :
E −→ E được gọi là liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với
mọi dãy {xn } ⊂ D(A) mà xn
x0 thì A(xn )

A(x0 ).
Định nghĩa 1.2. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
A : E −→ E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Gâteaux tại
x ∈ D(A) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A (x) : E → E sao cho với mọi
h ∈ E, t ∈ R thỏa mãn x + th ∈ D(A) thì
A(x + th) − A(x)
= A (x)h.
t→0
t

lim

Khi đó:
A (x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.
A (x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.


12

Định nghĩa 1.3. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
A : E → E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ D(A)
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính và liên tục A (x) : E → E sao cho với mọi
h ∈ E thỏa mãn x + h ∈ D(A) thì
A(x + h) − A(x) = A (x)h + ω(h),
ω(h)
= 0. Khi đó:
h →0 h
A (x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.
A (x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.
trong đó lim

Nếu ánh xạ A khả vi Fréchet tại điểm x thì nó cũng khả vi Gâteaux tại
điểm x và khi đó hai đạo hàm là đồng nhất (xem [5]).
Định nghĩa 1.4. Cho E và E là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ
A : E → E được gọi là hemi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với mọi dãy
số {tn }, tn → 0 khi n → ∞, mọi y ∈ E thỏa mãn x0 + tn y ∈ D(A) thì
A(x0 + tn y)

A(x0 ) khi n → ∞.

Nhận xét 1.1. Nếu ánh xạ A liên tục tại điểm x0 thì ánh xạ A là hemiliên tục tại điểm x0 .
Định lí 1.1. ([6]) Mọi ánh xạ tuyến tính là ánh xạ hemi-liên tục.
Bổ đề 1.1. ([23, 62, 86]) Cho E là không gian Banach thực, f ∈ E ∗ và
A : E −→ E ∗ là một ánh xạ hemi-liên tục. Khi đó, nếu bất đẳng thức sau
thỏa mãn
A(x) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ D(A),
thì A(x0 ) = f .
Bổ đề 1.1 còn được gọi là Bổ đề Minty.
Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian Banach và E ∗ là không gian đối
∗
ngẫu của nó. Với số s ≥ 2, ánh xạ J s : E → 2E được xác định như sau:
J s (x) = {g ∈ E ∗ : x, g = x g , g = x
= {g ∈ E ∗ : x, g = x s , g = x
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E.

s−1

s−1

}

}, x ∈ E


13

Trường hợp s = 2, ánh xạ đối ngẫu J 2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của E và thường được ký hiệu là J.
Ta có
J(x) = {g ∈ E ∗ : x, g = x . g , g = x }
= {g ∈ E ∗ : x, g = x 2 , g = x }, x ∈ E.
Đặc biệt, nếu J là đơn trị thì với x ∈ E, ta có
x, J(x) = x 2 , J(x) = x .
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của các không gian Lp (Ω), lp và Wpm (Ω) có
dạng như sau:
a) Đối với không gian Lp (Ω) (1 < p < ∞): Với x(t) ∈ Lp (Ω) thì
J(x) = x

2−p
p−2
x(t)
p |x(t)|

∈ Lq(Ω),

1 1
+ = 1.
p q
b) Đối với không gian lp (1 < p < ∞): Với x = (x1 , x2 , ...) ∈ lp thì

trong đó t ∈ Ω,

J(x) = x

2−p
lp z

∈ lq ,

1 1
+ = 1.
p q
c) Đối với không gian Sobolev Wpm (Ω) (m > 0, 1 < p < ∞): Với x(t) ∈
Wpm (Ω) thì
trong đó z = (|x1 |p−2 x1 , |x2 |p−2 x2 , ...) ∈ lp/(p−1) ,

J(x) = x

2−p
Wpm (Ω)

(−1)|α| Dα (|Dα x(t)|p−2 Dα x(t)) ∈ Wq−m (Ω),
|α|≤m

1 1
∂ |α| x(t)
α
trong đó t = (t1 , t2 , ..., tn ) ∈ Ω, + = 1 và D x(t) = α1 α2
,
p q

∂t1 ∂t2 · · · ∂tαnn
n

với |α| =

αi .
i=1
∗

Định lí 1.2. ([9]) Ánh xạ đối ngẫu J s : E → 2E tồn tại trong mọi không
gian Banach E. Hơn nữa, D(J s ) = E.
Định lí 1.3. ([9, 37]) Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của E là ánh xạ đơn vị.


14

Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi
Gâteaux nếu với mọi x, y ∈ S1 (0) giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại.
Định lí 1.4. ([37]) Không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và
chỉ khi ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s (s ≥ 2) của E là đơn trị.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặt
nếu với mọi x, y ∈ S1 (0), x = y thì

x+y
< 1.
2
Nói cách khác, không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặt
nếu trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt bất kỳ trên mặt
cầu đơn vị S1 (0) trong E nằm phía bên trong mặt cầu đơn vị đó. Nếu E
là không gian lồi chặt thì với x, y ∈ S1 (0), đẳng thức x + y = 2 xảy ra
khi và chỉ khi x = y.
Định lí 1.5. ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach phản xạ. Khi đó
a) E là lồi chặt khi và chỉ khi E ∗ có chuẩn khả vi Gâteaux.
b) E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và chỉ khi E ∗ là lồi chặt.
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach E được gọi là có tính chất ES nếu
E là không gian phản xạ, lồi chặt và với mọi dãy {xn } ⊂ E thỏa mãn
xn

x và xn → x thì xn → x.

Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ E, x ≤ 1,
y ≤ 1, x − y ≥ ε thì
x+y
≤ 1 − δ.
2
Nói cách khác, không gian Banach E là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2],
tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi điểm x, y thuộc hình cầu đơn vị
BE = {x ∈ E : x ≤ 1} thỏa mãn x − y ≥ ε thì khoảng cách từ trung
điểm của đoạn thẳng nối x và y tới mặt cầu đơn vị S1 (0) ít nhất là δ.


15

Ví dụ 1.1. Mọi không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy,
với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε, ta có
2

x+y

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

Suy ra
x+y =

2( x

2

+ y 2) − x − y

2

≤

4 − ε2 .

Do đó,
x+y
≤ 1 − δ(ε), với δ(ε) = 1 −
2

1−

ε2
,
4

tức là H là không gian lồi đều.
Ví dụ 1.2. Không gian lp , Lp (Ω), với (1 < p < ∞), là các không gian lồi
đều (xem [37, 38]).
Định lí 1.6. ([6, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E là lồi
chặt.
Ví dụ 1.3. Lấy phần tử x = (1, 0, 0, ...) và y = (0, 1, 0, ...) thuộc không
gian l1 . Ta thấy x 1 = 1, y 1 = 1 và x = y nhưng x + y 1 = 2. Do đó,
l1 không phải là không gian lồi chặt. Theo Định lí 1.6, l1 không phải là
không gian lồi đều.
Chiều ngược lại của Định lý 1.6 không đúng.
Định lí 1.7. (xem [6, 9, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E
là không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.10. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi
Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S1 (0), giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

đạt được đều với mọi x ∈ S1 (0).
Nhận xét 1.2. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì E có
chuẩn khả vi Gâteaux.
Định nghĩa 1.11. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi
Fréchet đều nếu giới hạn
x + ty − x
t→0
t
đạt được đều với mọi x, y ∈ S1 (0).
lim


16

Nhận xét 1.3. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Fréchet đều thì E có
chuẩn khả vi Gâteaux đều, và do đó, E có chuẩn khả vi Gâteaux.
Định lí 1.8. ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach. E có chuẩn khả vi
Fréchet đều khi và chỉ khi E ∗ là lồi đều.
Ví dụ 1.4. Vì không gian Hilbert H ∗ = H và các không gian lp∗ = lq ,
1 1
L∗p (Ω) = Lq (Ω), với 1 < p < ∞, + = 1, là các không gian lồi đều nên
p q
H, lp và Lp (Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Fréchet đều.
Nhận xét 1.4. Theo Ví dụ 1.4 và Nhận xét 1.3, không gian Hilbert H và
các không gian lp , Lp (Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Định nghĩa 1.12. Cho E và E là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ
tuyến tính giới nội P : E → E được gọi là phép chiếu từ không gian E

vào E nếu R(P ) = E và P 2 = P .
Định nghĩa 1.13. Không gian Banach E được gọi là có tính chất xấp xỉ
nếu tồn tại dãy {En } gồm các không gian con hữu hạn chiều của E thỏa
mãn En ⊂ En+1 , ∪En = E và các phép chiếu Pn : E −→ En sao cho
Pn = 1, ∀n và Pn x → x khi n → ∞, với mọi x ∈ E.
Ví dụ 1.5. Không gian Lp [a, b], với 1 ≤ p < ∞, là không gian có tính
chất xấp xỉ (xem [37]).
Định lí 1.9. ([3, 4]) Cho E, E là hai không gian định chuẩn và A : E −→
E là một toàn ánh tuyến tính. Nếu tồn tại một số m > 0 sao cho
A(x) ≥ m x , với mọi x ∈ D(A),
thì A có ánh xạ ngược A−1 liên tục.
Tiếp theo, ta có các định nghĩa và định lí sau với giả thiết E và E là
hai không gian Banach.
∗

Định nghĩa 1.14. Ánh xạ A : E −→ 2E được gọi là
i) đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), u ∈ A(x), v ∈ A(y) thì
u − v, x − y ≥ 0.
ii) đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và đồ thị của A không thực sự
nằm trong đồ thị của một ánh xạ đơn điệu khác. Nói cách khác, ánh xạ


17
∗

A : E −→ 2E được gọi là đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và với y ∈ E
và v ∈ E ∗ thỏa mãn
u − v, x − y ≥ 0, ∀x ∈ D(A), u ∈ A(x),
thì y ∈ D(A) và v ∈ A(y).
Định lí 1.10. ([25]) Cho E là không gian Banach phản xạ, A : D(A) ⊂

E −→ E ∗ là ánh xạ hemi-liên tục và w là một phần tử bất kỳ trong E ∗ .
Khi đó, nếu x˜ ∈ D(A) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
w − A(y), x˜ − y ≥ 0, ∀y ∈ D(A)

(1.1)

thì x˜ cũng là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
w − A(˜
x), x˜ − y ≥ 0, ∀y ∈ D(A).

(1.2)

Hơn nữa, nếu A là ánh xạ đơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.1)
và (1.2) là tương đương.
Định lí 1.11. ([9, 27]) Cho A : E −→ E ∗ là ánh xạ đơn điệu, hemi-liên
tục và D(A) = E. Khi đó, A là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Định lí 1.12. ([27]) Cho A : E −→ E ∗ là ánh xạ đơn điệu, thỏa mãn
R(A) = E ∗ và có ánh xạ ngược A−1 là hemi-liên tục. Khi đó, A là ánh xạ
đơn điệu cực đại.
Định lí 1.13. ([9, 18, 73]) Cho E là không gian Banach phản xạ và A1 , A2
là hai ánh xạ đơn điệu cực đại đi từ E vào E ∗ thỏa mãn
D(A1 ) ∩ int(D(A2 )) = ∅.
Khi đó, A1 + A2 là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.15. Ánh xạ A : E −→ E ∗ được gọi là
i) bức nếu
A(x), x
lim
= +∞.
x
x →+∞

ii) α-đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì
A(x) − A(y), x − y ≥ α x − y 2 .


18

iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng và liên tục γ(t), với t ≥ 0, thỏa
mãn γ(0) = 0, sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ γ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A).
Định lí 1.14. ([9, 27]) Nếu A : E −→ E ∗ là ánh xạ đơn điệu cực đại và
bức thì R(A) = E ∗ .
Định nghĩa 1.16. Ánh xạ A : E −→ E được gọi là
i) J-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0.
ii) m-J-đơn điệu nếu A là J-đơn điệu và R(A + αI) = E với mọi α > 0, ở
đây I là ánh xạ đơn vị trên E, tức là I(x) = x với mọi x ∈ E.
iii) α-J-đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α x − y 2 .
iv) J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm số thực tăng γ(t), với t ≥ 0, thỏa
mãn γ(0) = 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) để
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ γ( x − y ).
Định nghĩa 1.17. Ánh xạ A : E −→ E được gọi là L-liên tục Lipschitz
(L > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì
A(x) − A(y) ≤ L x − y .
Đặc biệt, nếu L = 1 thì A được gọi là ánh xạ không giãn và nếu L < 1 thì
A được gọi là ánh xạ co.
Định lí 1.15. ([26]) Nếu A : E −→ E, với D(A) = E, là ánh xạ J-đơn
điệu và liên tục Lipschitz thì A là ánh xạ m-J-đơn điệu.
Chú ý 1.1. Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thì J là ánh xạ đơn vị, do

đó các khái niệm J-đơn điệu, m-J-đơn điệu và α-J-đơn điệu mạnh tương
ứng trùng với các khái niệm đơn điệu, đơn điệu cực đại và α-đơn điệu
mạnh.