084 đề HSG toán 9 đà nẵng 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức M 

3a  9a  3
a  a 2



a 1
a 2



a 2
1 a

với a  0;a  1

a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  9

x 2  xy  xz  48

b) Giải hệ phương trình xy  y2  yz  12
xz  yz  z 2  84


Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho a  2. 2.... 2. 2 vµ b  2. 2....... 2. 2 Chứng minh rằng a và b
2016 thõasè 2

3016 thõasè 2

có cùng chữ số hàng đơn vị
b) Cho hàm số y  ax  a  1 với a là tham số, a  0 và a  1 . Tìm tất cả các giá
trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt
giá trị lớn nhất
Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung
nhỏ BC lấy điểm M tùy ý. Đường tròn (M;MB) cắt đoạn thẳng AM tại D.
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều
b) Chứng minh rằng MA=MB+MC
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn
nằm trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
Bài 5. (1,0 điểm) Cho x+y+z= 0 và xyz  0 . Tính giá trị của biểu thức
P

1
1
1
 2 2
 2

2
2
2
x  y  z y  z  x z  x 2  y2
2

---HẾT----


ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 ĐÀ NẴNG 2015-2016
Câu 1.
M
M

Ta có:
M
M


 a  1 a  2  
3a  3 a  3


a  1
a 1



3a  3 a  3  (a  1)  (a  4)







a  1

a 1

a 1 2

M nguyên 



a 1

a 1
2

a 1

a 2


a  2
a 2

 1



   a  2 
a  2  1  a 
a 1





a3 a 2



a 1

a 2


a  2
a 2



a 1
a 1

2
a 1

nguyên  a  1 là ước của 2

 a  11;1;2  a 0;4;9 (do a  0)

Câu 2
2a.
Phương trình
 x 1  4 x 1  4  x 1  6 x 1  9  9




x 1  2



2





x 1  3



2

9

 x 1  2  x 1  3  9
 x 1  2  x  5

2b
2
Cộng 3 phương trình của hệ ta được  x  y  z   144  x  y  z  12
x(x  y  z)  48

Mặt khác hệ  y(x  y  z)  12 kết hợp với trên ta có hai trường hợp sau
z(x  y  z)  84


*) Với x+y+z= - 12 hệ có nghiệm  x;y;z    4; 1; 7 
*)Với x+y+z=12 hệ có nghiệm  x;y;z   4;1;7 
Câu 3
3a. Nhận xét 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2  16 (8 thừa số 2)


2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm
có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàn
đơn vị là 6
3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm
có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng
đơn vị là 6
Suy ra điều phải chứng minh
3b.
Tam giác vuông OAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số
thì

1
1
1
a2
1
a2  1





h 2 OA 2 OB 2  a  12  a  12  a  12
2a
a 2  2a  1
2a
h 

1


1

 2.
1  a2
1  a2
1  a2
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1. Vậy khi a=1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số
là lớn nhất.

Câu 4.

A
I

D

O
C

B
M

a) MB = MD (bán kính đường tròn (M))
BMD  BCA  600 (cùng chắn cung AB)


Nên tam giác BMD đều
b) Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau vì AB = CB ; BD = BM
0
Và ABD  60  DBC  CBM  DA  MC

 MA  MD  DA

Mà MD=MB vậy MA=MB+MC
c) Gọi I là giao điểm của (O) với phân giác CO (trong tam giác đều ABC)
 I là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và I là điểm cố định thuộc (O)
Nên MI là phân giác BMD (góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn (O))
Nên MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều
Suy ra ID=IB

Do đó D luôn thuộc đường tròn  I;IB  cố định có tâm thuộc (O)
Câu 5.
Ta có : x+y+z=0  x  (y  z);y  (z  x);z  (x  y)
 x 2   y  z  ;y 2   z  x  ;z 2   x  y 
2

P
P

2

1
x  y  x  y
2

2

2



2

1
y  z  y  z
2

2

2



1
z  x  x  z 
2

1
1
1
xyz


P
0
2xy 2yz 2xz
2xyz

2

2