Bài giảng Đại số tuyến tính - Bài 3: Ma trận nghịch đảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.69 MB, 32 trang )
Bài 3
AX = B
−1
X=A B
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính chất:
1)
2) ( A−1 ) −1 = A
T −1
−1 T
3) ( A ) = ( A )
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận
sau: 1
2 3 A11 = 28 A21 = 29 A31 = 12
A = −2 4 0 A12 = 14 A22 = 5 A32 = 6
4 −5 7 A13 = 6 A23 = 13 A33 = 8
A11
PA = A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32 =
A33
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận
sau:
2 0 0 A11 = 1 A21 = 0 A31 = 0
A = 5 1 0 A12 = 5 A22 = 2 A32 = 0
A13 = 17 A23 = 8 A33 = 2
3 4 −1
A11
PA = A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32 =
A33
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Ví dụ:
1 2 3 28 −29 −12
APA = −2 4 0 14 −5 −6
4 −5 7 −6 13
8
38 0 0
= 0 38 0
0 0 38
1 0 0
= 38 0 1 0
0 0 1
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
1 2 3
det( A) = −1
A= 0 1
4
0 0 −1
−1 2 5
PA = 0 −1 −4
0 0 1
1 −2 −5
−1
A = 0 1
4
0 0 −1
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 6
A=
1 4
A−1 =
det( A) = 2
PA =
2
1 4 −6
= 1
−2
2 −1 2
−6
4
−1
−3
1
2
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
0 2
3
A = 1 0 −1
4 5 0
det( A) = ? 
PA = ?
1
PA
� A =
det( A)
−1
§3: Ma trận nghịch đảo
Đáp số:
5 15 −2
1
−1
A = −4 −12 3
7
5
8 −2
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 5
−2 5
−
1
A=
Đáp số: A =
1 2
1 −2
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
a b
A=
c d
d −b
PA =
−c a
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương
pháp Gauss:
a.Các phép biến đổi sơ cấp (bđsc) trên ma trận:
1. Nhân một số khác không với một hàng (cột) của
ma trận. Ký hiệu: A hi =λ hi B
2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
A
hi
hj
B
3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột)
khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:
A
hi = hi + λ h j
B
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương
pháp Gauss:
b. Phương pháp Gauss:
bđsc
(A I)
( I A−1 )
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của
1 1 1
A= 1 2 3
0 1 1
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss:
Ví dụ:
1 1 1 1 0 0
(A I) = 1 2 3 0 1 0
h2 = h2 − h1
0 1 1 0 0 1
h3 = h3 − h2
1 1
0 1
1
2
1
−1
0 0 −1 1
0
1
0
0
−1 1
h3 =− h3
1 1 1 1 0 0
0 1 2 −1 1 0
0 1 1 0 0 1
1 1 1 1
0
0
0 1 2 −1 1
0
0 0 1 −1 1 −1
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss:
Ví dụ:
h3 =− h3
1 1 1 1
0
0
0 1 2 −1 1
0
0 0 1 −1 1 −1
h1 = h1 − h2
h1 = h1 − h3
h2 = h2 − 2 h3
−1
1 0 0 1
0
0 1 0 1
−1 2 .
0 0 1 −1 1
−1
1 1 0 2
−1 1
0 1 0 1
−1 2
0 0 1 −1 1
1
−1
0
−1
Vậy A−1 = 1 −1 2 .
−1 1
−1
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn
1)
2)
3)
4)
AX = B
XA = B
AXB = C
AX + kB = C
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có:
1)
AX=B
1
1
A AX=A B
1
IX=A B
−1
X=A B
2) XA = B
−1
XAA = BA
XI = BA
−1
X = BA
−1
−1
−1
A B
Tính
n
ế
Tuy
ố
S
i
Đạ
