Bài giảng Giải tích mạch: Chương 4.1 - Đỗ Quốc Tuấn

Chương 4 : Phân tích mạch trong miền thời gian
 Giải bài toán quá độ của mạch điện
 Phương pháp tích phân kinh điển
• Phương trình mạch và nghiệm
• Đáp ứng tự do
• Đáp ứng xác lập
• Sơ kiện

 Phương pháp toán tử Laplace

• Phép biến đổi Laplace
• Định luật Ohm và Kirchhoff dạng toán tử
• Phân tích mạch dùng toán tử Laplace
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

1
/>

4.1 Giới thiệu
 Chế độ xác lập (steady-state) :
2K Ω

Bài toán xác lập DC:
uxl = ?

12V

2 µF

uCxl

=> Ucxl = 12 V.

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

2
/>

4.1 Giới thiệu
2K Ω

 Bài toán xác lập AC :
 Tìm ucxl(t) ?
Từ mạch phức :

2 µF

e(t)

uCxl

e(t)=12cos(250t)
1
106
=
−j
=
− j 2K
jω C

250.2

− j 2K
12
= 6 2∠ − 45o (V )
Nên : U =
Cxl
2K − j 2K
•

o
=
u
(
t
)
6
2
cos(250
t
−
45
)V
Và biểu thức xác lập : Cxl
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

3
/>

4.1 Giới thiệu
 Bài toán quá độ :

2K Ω

• Bài toán quá độ :
12V

2 µF

t=0
uC(t)

1K Ω

 Trước khi đóng khóa : mạch xác lập và ta có uCxl1 = 12V
 Sau khi đóng khóa và mạch xác lập : uCxl2 = 4 V.
 Dạng tín hiệu uc(t) khi t > 0 (tín hiệu quá độ )
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

4
/>

4.1 Giới thiệu

 Kết luận :
Bài toán quá độ (transient analysis) cho ta kết quả đúng
tại mọi thời điểm .
Bao hàm cả nghiệm xác lập.

Thời gian quá độ :

tquá độ

Chế độ
xác lập 1

Chế độ
xác lập 2
t=0

t

t = txl

Phân tích quá độ = Phân tích trong miền thời gian
(time-domain analysis).
CuuDuongThanCong.com

/>

4.1 Giới thiệu
Các dạng bài toán quá độ thường gặp
 Bài toán quá độ do thông
số mạch thay đổi (Bài toán
có khóa)
Bài toán quá độ do tác động
lên mạch biến thiên đột ngột
(Bài toán xung).



CuuDuongThanCong.com

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

Phương pháp
Tích phân kinh điển
 Phương trình mạch và nghiệm
 Đáp ứng tự do
 Đáp ứng xác lập
 Sơ kiện

CuuDuongThanCong.com

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Phương trình mạch trong miền thời gian



Xây dựng hệ PT theo hai định luật Kirchhoff→hệ PTVP
Rút gọn theo 1 biến bất kỳ→PTVP cấp n mô tả quan hệ
giữa đáp ứng cần tìm y(t) và nguồn tác động

an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a1 y '+ a0 y =
f (t )

an , an −1 ,...: các hằng số
f (t ) : tổ hợp các nguồn tác động


Phương pháp tích phân kinh điển: tìm nghiệm quá độ bằng
cách giải PTVP (1) theo cách giải cổ điển
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

8
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Nghiệm của PTVP

an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a1 y '+ a0 y =
f (t )

=
y (t ) ytd (t ) + ycb (t )
= ytd (t ) + y xl (t )
ytd (t ) : nghiệm PT thuần nhất, thành phần quá độ
ycb (t ) : nghiệm cưỡng bức, thành phần xác lập yxl (t )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

9
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a1 y '+ a0 y =
f (t )

=
y (t ) ytd (t ) + y xl (t )
 Cách tìm nghiệm xác lập (thành phần xác lập)




Đối với mạch có nguồn tác động bất kỳ (vế phải f(t) là bất
kỳ) → nghiệm xác lập y xl (t ) tìm bằng phương pháp hệ
số bất định
Đối với mạch có nguồn tác động là DC, AC→giải mạch
xác lập DC, AC.
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

10
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ... + a1 y '+ a0 y =
f (t )

=
y (t ) ytd (t ) + y xl (t )
 Cách tìm nghiệm tự do (thành phần quá độ)




Được định dạng từ kết quả sau khi giải phương trình đặc
trưng → dạng nghiệm tự do ytd (t )
Phương trình đặc trưng có bậc n
Nghiệm đơn

an p + an −1 p
n

n −1

+ ... + a1 p + a0 =
0

Nghiệm bội
Nghiệm phức,…
……

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

11
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Các trường hợp nghiệm đặc trưng
 Nghiệm

p1, p2, …. , pn thực, phân biệt :

n

◦ Nghiệm tự do dạng

ytd (t ) = ∑ K i e pit
i =1

 Nghiệm

thực p1 bội r , & pr+1, …. , pn phân biệt

◦ Nghiệm tự do dạng

ytd (t ) = ( K1 + K 2t + ..... + K r t

r −1

)e

p1t

+

n

∑ Ke

i = r +1

i

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

pi t

12
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Các trường hợp nghiệm đặc trưng
 Nghiệm

phức liên hiệp p1,2 =−α ± j β
, & p3, …. , pn phân biệt

◦ Nghiệm tự do dạng
n

=
ytd (t ) Ke −α t cos( β t + ϕ ) + ∑ K i e pit
i =3

◦ Hoặc
n

ytd (=
t ) e −α t [ K1 cos( β t ) + K 2 sin( β t ) ] + ∑ K i e pit
i =3

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

13
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Cách tìm phương trình đặc trưng
các phương trình Kirchhoff
 Rút gọn theo 1 biến
 Suy ra phương trình đặc trưng
 Viết

xét: phương pháp tổng quát , áp dụng cho hầu hết
các trường hợp, đòi hỏi kỹ năng rút gọn…→nhìn chung là
khá phức tạp, mất nhiều thời gian tính toán.

 Nhận

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

14
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Cách đại số hóa mạch

R → R
 L → pL

 Triệt tiêu các nguồn độc lập

 Thay các phần tử mạch bằng các giá trị đại số 
1
C → pC

 Do tác động của sơ đồ đại số là 0, nhưng
 M → pM

nghiệm tự do phải khác không , nên :

• Zv(p) = 0 (trở kháng vào của một nhánh đối với dòng điện).
• Yv(p) = 0 (dẫn nạp vào giữa hai nút đối với điện áp).
• Các định thức của Zml(p) hay Yn(p) bằng 0 .

→ Phương trình đặc trưng
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

15
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
Lưu ý khi dùng phương pháp này:
 Nếu PTĐT có bậc nhỏ hơn bậc quá độ mạch : chỉ dùng
cho áp hay dòng đó.
 Nếu PTĐT có bậc bằng bậc quá độ mạch : dùng được cho
tất cả các tín hiệu trong mạch.
 Không dùng cho các mạch có khớp nối và không tương
hỗ (do không thỏa mãn nguyên lý lập luận của phương pháp

này).
 Không dùng cho các tín hiệu : dòng qua dây dẫn hoặc áp
trên cửa.
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

16
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Điều kiện đầu (sơ kiện của bài toán mạch)


Với phương trình đặc trưng bậc n, các hệ số Ki có thể xác
định nếu ta biết được các điều kiện đầu (sơ kiện) :
y(0+) ; y’(0+) ; … ; y(n-1)(0+) .



Sơ kiện có 2 loại
◦ Sơ kiện độc lập: uC(0+) & iL(0+)
◦ Sơ kiện phụ thuộc: là tất cả các sơ kiện còn lại (bao
gồm cả các sơ kiện đạo hàm).
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

17
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Xác định sơ kiện độc lập

uC (0+ ) & iL (0+ )

+
−
=
W
(0
)
W
(0
) → sơ kiện
 Năng lượng là liên tục



Đối với mạch điện chỉnh : dùng luật liên tục của dòng
qua cuộn dây và áp trên tụ , còn gọi là luật đóng ngắt
(switching laws)
+
−
uC (0 ) = uC (0 )
 +
−
=
i
(0
)
i

(0
)
 L
L



Các giá trị tại t = 0- xác định từ việc giải mạch khi t < 0

CuuDuongThanCong.com

−
uC (0=
) lim ( uC (t ) ↔ khi : t < 0 )

t →0
 −
) lim ( iL (t ) ↔ khi : t < 0 )
iL (0 =
t →0

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Xác định sơ kiện độc lập


Đối với mạch điện không chỉnh :
◦ Dùng luật liên tục của từ thông (loop)

+
+
ψ
(0
)
=
ψ
(0
∑ k
∑ k )
loop

loop

+
−
L
i
(0
)
=
L
i
(0
∑ k Lk
∑ k Lk )

 Mạch chứa tập cắt cảm

loop

loop

◦ Luật bảo toàn điện tích (node)

+
−
q
(0
)
=
q
(0
∑ k
∑ k )

node

node

 Mạch chứa vòng điện dung

+
−
C
u
(0
)
=
C

u
(0
∑ k Ck
∑ k Ck )

node
CuuDuongThanCong.com

node

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển


 Xác định sơ kiện độc lập
Đối với mạch điện không chỉnh chứa hổ cảm:
i1(t)

t=0

M

i2(t)

R1
EDC



L1

L2

EDC
i1 (0 ) =
R1
−

R2

i2 (0− ) = 0

t > 0 → i1 =
0

→ i1 (0+ ) =
0

=
L2i2 (t ) + Mi1 (t )
Vòng chứa cuộn L2 ψ
2 (t )

ψ 2 (0− )= 0 + Mi1 (0− ) 

+
−
→
=

L
i
(0
)
Mi
(0
)

2 2
1
+
+
=
ψ
L2i2 (0 ) + 0 

2 (0 )

→ i2 (0+ )=
CuuDuongThanCong.com

i (0− )=

M
L2 1

M
L2 R1

EDC

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển


 Xác định sơ kiện độc lập
Đối với mạch điện không chỉnh chứa hổ cảm:
i1(t)

t=0

M

i2(t)

i1 (0− ) = 0

R1
L1

e(t)



L2

R2

i2 (0− ) = 0

Vòng chứa cuộn L1

ψ 1 (0− ) = 0



+
+
→
+
L
i
(0
)
Mi
(0
)=
0
11
2
+
+
+ 
ψ=
L1i1 (0 ) + Mi2 (0 ) 

1 (0 )


Tương tự

→ L2i2 (0+ ) + Mi1 (0+ ) =
0

CuuDuongThanCong.com

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Xác định sơ kiện độc lập

(
(

)
)

2
+
+
M2

−
=−
L
i
(0
)
L
(1

k
)
i
(0
)=
0
1
1
L1i1 (0 ) + Mi2 (0 ) =
0
  1 L2 1
→
+
+
M2
L2i2 (0 ) + Mi1 (0 ) =
0
L2 − L1 i2 (0+ ) =−
L2 (1 k 2 )i2 (0+ ) =
0
 

+

+

+
+
=
i

(0
)
0
=
&
i
(0
) 0
 Hệ số ghép k < 1→ 1
2



Hệ số ghép k = 1→ viết thêm các PT Kirchhoff → sơ kiện
i1(t)

M

i2(t)

R1i1 + L1i1' + Mi2' =
e(t )

R1
e(t)

L1

L2

R2

R2i2 + L2i2' + Mi1' =
0

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

22
/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển


Hệ số ghép k=1→ viết thêm các PT Kirchhoff → sơ kiện
i1(t)

M

i2(t)

R1
e(t) L1

R2

L2

(3) → R1i1 (0+ ) − R2

R1i1 + L1i1' + Mi2' =
e(t )

(1)

R2i2 + L i + Mi =
0

(2)

'
2 2

(2) →

L1i1 (0+ ) + Mi2 (0+ ) =
0 
L1
+
+
→
=
−
i
i
(0
)
(0
)
 2

L2 1
+
+
L2i2 (0 ) + Mi1 (0 ) =
0 

'
1

i + Li =
−
i

L1 L2 '
M 2

'
11

L1 R2
M 2

k=
1 → Mi2' + L1i1' =
− L1MR2 i2
(1) → R1i1 − L1MR2 i2 =
e(t )

PT (3) đúng ∀ t>0
CuuDuongThanCong.com

(3)

(

R1 + R2

L1
L2

)

L1
L2

i2 (0+ ) =
e(0+ )

i1 (0+ ) =
e(0+ )

L2
i1 (0 ) =
e(0+ )
R1 L2 + R2 L1
+

− L1 L2
i2 (0 ) =
e(0+ )

R1 L2 + R2 L1
+

/>

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển
 Xác định sơ kiện phụ thuộc


Thường dựa vào 3 cơ sở
trị sơ kiện độc lập
 Giá trị nguồn tác dộng tại t = 0+
 Hệ phương trình mô tả mạch tại t = 0+
 Giá

Các sơ kiện đạo hàm → tìm từ việc lấy đạo hàm
các PT KCL & KVL

Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

24
/>

Qui trình PP tích phân kinh điển
 Giải mạch khi t < 0:

Chỉ tìm uC(0-) và iL(0-)

 Giải mạch khi t > 0:

a) Tìm nghiệm xác lập : yxl(t) .
b) Tìm nghiệm tự do:
=
y (t ) ytd (t ) + yxl (t )
 Tìm PTĐT.
 Giải PTĐT và suy ra ytd(t) .
 Sơ kiện :

Tìm đủ số sơ kiện cho bài toán

 Xác định Ki : Dựa vào y(t) và sơ kiện , tính các hệ số Ki.
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
CuuDuongThanCong.com

25
/>