giải tích 1 lê xuân đại 5 ứng dụng cua tích phân sinhvienzone com

C
o

e.

on

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.
/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

1/1


C
o

Công thức tính diện tích miền phẳng

on

e.

Định lý
Cho f (x) khả tích trên [a, b]. Khi đó diện tích
miền phẳng giới hạn bởi y = f (x), x = a, x = b,
trục Ox là
b

nZ

S=

|f (x)|dx.

hV

ie

a

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

2/1


C
o

Công thức tính diện tích miền phẳng

b

on

e.

Định lý
Nếu miền phẳng D giới hạn bởi
y = f (x), y = g (x), x = a, x = b thì

|f (x) − g (x)|dx.

nZ

S=

hV

ie

a

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

3/1


ie

nZ

on

e.

C
o

Công thức tính diện tích miền phẳng

hV
in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

4/1


Tính yếu tố diện tích dS
Lấy tổng suy rộng các dS

e.

2

Công thức tính diện tích miền phẳng

C
o

1

nZ

on

Chia [a, b] thành n đoạn bởi phân hoạch
a = x0 < x1 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b. Yếu tố
diện tích
Si = [f (ξi ) − g (ξi )].∆xi

ie

Diện tích hình phẳng
n

hV

S = lim

n→∞

in

m

Tính diện tích miền phẳng

=

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

n

[f (ξi ) − g (ξi )].∆xi

Si = lim

n→∞

i=1
b

i=1

b

dS =

[f (x) − g (x)]dx

a
a />ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

5/1


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Tính diện tích hình phẳng, giới hạn bởi
y = 4x − x 2 và trục Ox

ie

nZ

Phương trình hoành độ giao điểm của
y = 4x − x 2 và trục Ox

hV

4x − x 2 = 0 ⇔

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x =0
x =4

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

6/1


ie

nZ

on

e.

C
o

Ví dụ

1
(4x − x )dx = 2x − x 3
3

hV

4

S=

0

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

2

4

2

=

0

32
3

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

7/1


C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (x − 1)2 và
y2
x2 −

=1
2

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

8/1


C
o

Ví dụ

nZ

on

e.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và

hyperbol
(x − 1)4
2
x −
= 1 ⇔ x 4 − 4x 3 + 4x 2 − 4x + 3 = 0
2
x =1
⇔ (x − 1)(x − 3)(x 2 + 1) = 0 ⇔
x =3
3

2(x 2 − 1) − (x − 1)2]dx =

ie

S= [

hV

√ 1
√
2 √ 2
=
x x − 1 + ln |x + x 2 − 1
2 √
√
10
2
=
+

ln(3 + 8)
3
2
/>
in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3
1

−

1
(x − 1)3
3

3
1

TP. HCM — 2013.

=

9/1


C
o

Bài tập

hV

ie

nZ

on

e.

Bài 1.
Tính diện tích miền√phẳng giới hạn bởi
y = x − x 2, y = x 1 − x

in

m

Tính diện tích miền phẳng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

10 / 1


C
o

Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

on

e.

Định lý
Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang
cong 0 y f (x), a x b quanh trục Ox là
b

nZ

Vx = π

f 2(x)dx.

hV

ie

a

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

11 / 1


C
o

Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

e.

Tính vi phân thể tích dV : ứng với vi phân dx
ta có 1 vật thể vô cùng bé là 1 lát mỏng, có
thể coi là hình trụ đáy S(x) và chiều cao dx.
Do đó dV = S(x)dx
Lấy tổng suy rộng

ie

2

nZ

on

1

b

b

dV =

hV

V =

a

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b

f 2(x)dx

S(x)dx = π
a

a

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

12 / 1


C
o

Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

on

e.

Định lý
Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang
cong 0 x g (y ), c y d quanh trục Oy là
d

g 2(y )dy .

nZ

Vy = π

hV

ie

c

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

13 / 1


C
o

Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

on

e.

Định lý
Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang
cong 0 y f (x), a x b quanh trục Oy là
b

Vy = 2π

nZ

xf (x)dx.

hV

ie

a

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

14 / 1


C
o

Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

Tính yếu tố thể tích dV : ta hình dung lớp
hình hộp này có đáy là tấm hình chữ nhật với
chiều rộng là f (x) chiều dài là 2πx và chiều
cao dx. Từ đó

nZ

on

e.

1

dV = 2πxf (x)dx

ie

Lấy tổng suy rộng

hV

2

b

V =

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b

dV = 2π
a

xf (x)dx
a

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

15 / 1


C
o

Ví dụ

ie

nZ

on

e.

Tính thể tích vật thể tròn xoay, khi quay hình
phẳng giới hạn bởi y 2 = (x − 1)3, y 0 và x = 2,
quanh trục Ox.

2

hV
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

2

2

V =π

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

(x − 1)3dx =

y dx = π

1

1

1
π
2
= π (x − 1)4 1 =
4
4
/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

16 / 1


C

o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

Ví dụ
Tính thể tích vật thể tròn xoay, khi quay hình
phẳng giới hạn bởi y = x 2, x = 1, x = 2, y = 0
quanh trục Oy

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

17 / 1


C
o

Ví dụ

Cách 1.
2

2

x.x 2dx =

x.f (x)dx = 2π

e.

V = 2π

1

2

on

1

nZ

x4
= 2π
4

ie

Cách 2.
2

=

1

15π
2
4

2

hV

V = π.2 .4 − π.1 .1 − π

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

√
( y )2dy =

1
4

y2
15π
=
= 15π − π.
2
2
/>
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

18 / 1


C
o

Bài tập

nZ

on

e.

Bài 1
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay
miền phẳng giới hạn bởi y = x 2, y = 0, x + y = 3
quanh trục Ox

hV

ie

Bài 2.
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay
miền phẳng giới hạn bởi
y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 quanh trục Ox. ĐS.
Vx = 2π ln2 2 − 4π ln 2 + 2π.

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

19 / 1


e.

C
o

Bài tập

hV

ie

nZ

on

Bài 3
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay
miền phẳng giới hạn bởi
y = x + arctan x, y = x − arctan x, x = 0, x = 1
quanh trục Ox. ĐS. Vx = π 2 − 2π.

in

m

Thể tích của vật thể tròn xoay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

20 / 1


e.

C
o

Công thức tính độ dài cung

on

Định lý

nZ

Cho cung AB có phương trình y = f (x),
a x b. Khi đó độ dài cung AB là
b

ie

L=

1 + f 2(x)dx.

hV

a

in

m

Tính độ dài cung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

21 / 1


nZ

on

e.

C
o

Công thức tính độ dài cung

hV

ie

Chia đoạn [a, b] bởi những điểm
A = M0, M1, . . . , Mi−1, Mi , . . . , Mn = B. Độ dài
cung Mi−1Mi là
Li =

in

m

Tính độ dài cung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2
/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

22 / 1


C
o

Công thức tính độ dài cung

e.

Theo định lý Lagrange, ta có

on

yi − yi−1 = f (ξi )(xi − xi−1) = f (ξi ).∆xi ,
ξ ∈ (xi−1, xi ). Khi đó độ dài của cả cung AB là
L = lim

n

Li = lim

ie

i=1

hV

n→∞

nZ

n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

n→∞

1 + (f (ξi ))2∆xi =

i=1

b

1 + f 2(x)dx

=

in

m

Tính độ dài cung

a
/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

23 / 1


C
o

Ví dụ

Ví dụ

x

3.

hV

ie

nZ

on

e.

x 2 ln x
−
,1
Tính độ dài cung y =
2
4

in

m

Tính độ dài cung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

24 / 1


3
1
3

=

C
o
e.
3

dx =

x2 +

1

4x 2 + 1
x2 1
dx =

− ln |x|
4x
2
4

1
1
+ dx.
2
16x
2

3

=4+
1

1
ln 3
4

hV

1

2

ie

L=

1
4x

nZ

1
1+ x −
4x

Ví dụ

on

Ta có f (x) = y = x −

in

m

Tính độ dài cung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2013.

25 / 1