Tiết 29-30: Phương trình mặt phẳng

§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
n
∆
•
Lớp 10 ta đã học đường
thẳng và vec tơ pháp tuyến
của đường thẳng là vec tơ
có giá vuông góc với đường
thẳng đó
Vậy trong không gian ta có
định nghĩa tương tự như thế
không ?

I.VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Định nghĩa
α
α
α
r r
r
Cho mặt phẳng ( ). Nếu vectơ n khác o va øco ù
gia ù vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n được gọi
la øvectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).


n
r

m
ur
u
r
T hỡnh biu din mp() v cỏc vect
cỏc em hóy chn phng ỏn ỳng sau
õy?
n
r
B. Chỉ có vectơ là vtpt của ()
A. Vectơ là vtpt của ()
u
r
C. Cả hai vectơ và là vtpt
của ().
n
r
m
ur
D. vectơ là vtpt
của ().
Vậy một mặt phẳng có bao nhiêu
vec tơ pháp tuyến?
&u n
r r

Chú ý: Nếu là VTPT của mặt phẳng thì
với , cũng là VTPT của mặt phẳng đó
n
r

kn
r
0k ≠
1 2 3
1 2 3
( ; ; ),
( ; ; )
a a a a
b b b b
=
=
r
r
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ; ; )n a b a b a b a b a b a b= − − −
r
Cho ba véc tơ sau
Hãy tính tích các tích vô hướng sau
. .a n và b n
r
r r r
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ;
a a a a
a a
n
b b b b

b b
 
=
 ÷
 
r
α
n
r
Theo đ/n mp(α) có bao
nhiêu VTPT nửa?
. 0 . 0a n và b n= =
r
r r r

α
a
r
b
r
n
r
a
b
Vectơ xác định
như trên được gọi là
tích có hướng (hay
tích vectơ ) của hai
vectơ
Kí hiệu :

n
r
a và b
r
r
,n a b hoăc n a b
 
= Λ =
 
r r
r r r r
Vectơ được gọi là vectơ pháp
tuyến của mp (α)
,n a b
 
=
 
r
r r

Δ1?. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3),
B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp
tuyến của mp(ABC)
: (2;1; 2)
( 12;6;0)
, ,
(12; 24; 24) 12(1;2;2)
Ta có a AB
b AC
n a b AB AC

= = −
= = −
   
⇒ = =
   
= =
r uuur
r uuur
r r r uuur uuur
a
b
α
n
= [ a ; b ]
A
B
C

Trong không gian cho đg thẳng a và mp(α)
α
a
b
c
Điều kiện để a ┴ (α) ?

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1.Trong không
gian Oxyz cho
mp(α) đi qua
điểm M

o
(x
o
;y
o
;z
o
)
và nhận
Làm vectơ pháp
tuyến. Tìm điều
kiện để điểm
M(x;y;z) thuộc
mp(α)
•
M(x
0
;y
0
;z
0
)
n ( A;B;C )
α
•
M (x

;y;z)
( ; ; )n A B C=
r

⇔
A(x– x
0
) +B(y– y
0
)+ C (z-z
0
)
= 0
M (x

;y;z) ∈ (P)
⇔ n
⊥
M
0
M
⇔ n
.
M
0
M=0

2.Trong mp Oxyz Cho phương trình 3 ẩn
Ax +By + Cz + D = 0 (1) ,(A
2
+B
2
+C
2

≠ 0). Chứng
minh Tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn (1) là
một m/phẳng nhận làm VTPT
( ; ; )n A B C=
r

•
M(x
0
;y
0
;z
0
)
n
( A;B;C )
α
•
M (x

;y;z)
Ax +B y + Cz + D = 0 (*)
Chän M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) tháa (*)
Ta l i cã: Axạ
0
+B y
0
+ Cz
0
+ D = 0 (**)
A(x– x
0
) +B(y– y
0
)+ C (z-z
0
) = 0(*)
T (*),(**)=>ừ
=>
( A;B;C )
n
⊥
M
0
M
M∈ mp (α) qua M
0
vu«ng gãc víi
n
Ta có M (x

;y;z) tháa m·n pt (*) khi

Gọi (α) là mp qua M
o
nhận làm
vtpt
( ; ; )n A B C=
r
Ax +By+ Cz+ D = 0(*)
D = -(Ax
0
+By
0
+CZ
0
)
Ax + By + Cz + D =0 (*)