(Luận văn thạc sĩ) Sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❍✐➲♥

❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❱⑨ ❚➑◆❍ ▲■➊◆ ❚❍➷◆● ❈Õ❆ ❚❾P ◆●❍■➏▼
✣➮■ ❱❰■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚Ü❆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈❚❒ ❙❯❨ ❘❐◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❍✐➲♥
❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❱⑨ ❚➑◆❍ ▲■➊◆ ❚❍➷◆● ❈Õ❆ ❚❾P ◆●❍■➏▼
✣➮■ ❱❰■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚Ü❆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈❚❒ ❙❯❨ ❘❐◆●
◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❇Ò■ ❚❍➌ ❍Ò◆●

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝
✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ◆❣✉ç♥ t➔✐ ❧✐➺✉ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❤♦➔♥
t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ♥❣✉ç♥ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠ð✳ ❈→❝ t❤æ♥❣ t✐♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥
♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣❤✐ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❍✐➲♥
❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥

❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥
❚❙✳ ❇ò✐ ❚❤➳ ❍ò♥❣

✐


ớ ỡ
rữợ tr ở ừ tổ tọ ỏ t
ỡ s s tợ s ũ ũ ữớ trỹ t ữợ
ú ù t t t ồ t ủ ú tổ
t
ổ tr trồ ỡ ũ t t
t ổ rữớ ồ ữ ồ
ồ rữớ ồ ữ ở tr tử tổ ỳ
tự q trồ t t ủ tổ ỳ ỵ õ õ

qỵ tr sốt q tr ồ t tỹ
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ q t ú ù
ở tổ tr sốt q tr
ổ t ỡ

t

ữớ t






▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❝↔♠ ì♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉✱ ❝→❝ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐
✐✐
✐✈
✶
✸

✶✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✸✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✹✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✹✳✶✳ ◆â♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✹✳✷✳ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ t❤❡♦ ♥â♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✹✳✸✳ ❚➼♥❤ ❧ç✐ t❤❡♦ ♥â♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ✤è✐ ✈î✐
❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝tì s✉② rë♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✷✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✐✐✐


❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉✱ ❝→❝ ❝❤ú ✈✐➳t
t➢t
R

t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝

R+

t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠

R−

t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ❞÷ì♥❣

Rn

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ❊✉❝❧✐❞❡ n− ❝❤✐➲✉

Rn+

t➟♣ ❝→❝ ✈➨❝tì ❦❤æ♥❣ ➙♠ ❝õ❛ Rn

Rn−

t➟♣ ❝→❝ ✈➨❝tì ❦❤æ♥❣ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ Rn

f :X→Y

→♥❤ ①↕ tø t➟♣ X ✈➔♦ t➟♣ Y

A := B

A ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜➡♥❣ B

∅

t➟♣ ré♥❣

A⊆B

A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B

A⊆B

A ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B

A∪B

❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

dom F

♠✐➲♥ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F

gph F

✤ç t❤à ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F

✐✈


A∩B

❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A\B

❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A×B

t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

cl A

❜❛♦ ✤â♥❣ tæ♣æ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

co A

❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

int A

♣❤➛♥ tr♦♥❣ tæ♣æ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

conv A

❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

✷

❦➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

✈



t tỡ õ ự ử q trồ tr t ỵ
t ồ ỵ tt sỹ tỗ t ừ t ố ợ t
tỡ ữủ rt t ồ ự ữợ tt
ử t tỹ ỗ tỹ ỗ t õ
ự sỹ tỗ t ố ợ t ỳ
t ỳ ừ t tỡ s rở ợ
tt ử t ỗ t õ t rở t q
tr ợ t tỹ tỡ s rở
ự sỹ tỗ t ừ t tỡ ữớ t ỏ q t

ự t t ừ t ừ t r số t
t ừ t t t tổ õ trỏ rt q trồ õ
ữủ t q tử ữớ t
ự t tổ ừ t ỳ q ỡ
tr tứ ổ ỳ s ổ ỳ
õ t ữủ rở ợ ổ õ số ổ
ự t tổ ừ t
ừ t tỡ s rở õ t
rở t q tr ợ t tỹ tỡ s rở
ử ừ tr ởt tố t q
tr ổ tr sỹ tỗ t t tổ ừ t ố ợ
t tỹ tỡ s rở
ỗ ữỡ ở t t
t



❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t➟♣ ❧ç✐✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❧ç✐✱ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉
♠↕♥❤✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣
✈➨❝tì s✉② rë♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛ t➼♥❤ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥
tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝tì s✉② rë♥❣ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✳

✷


ữỡ
tự
t tr ữủ t tứ ỳ ừ t

ừ s tứ tỹ t ở số ứ
tr ợ ổ ử t tr t ồ ữ ỵ
tt ữỡ tr ữỡ tr r t tự
ữỡ tr s rở ỵ tt tố ữ ỵ tt
tố ữ ử t ồ q ỵ t t t tr ởt
õ ự ử s s r ữỡ ú tổ tr
ởt số tự t q q t t tr ữủ tr r
tứ ố s t tr t q ừ ữỡ
ỡ s tr t q ừ ữỡ

ỗ ởt số t t

sỷ X ổ t t A X ữủ
ồ ỗ ợ ồ x1 , x2 A t ổ õ

x1 + (1 )x2 A ợ ồ [0, 1].

ữợ rộ t ỗ
sỷ A X t ỗ ợ ồ I ợ I t
số t õ t A = A ỗ
I




ự x, y A õ x, y A , ợ ồ I A ỗ
ợ ồ I x + (1 )y A , ợ ồ [0, 1], I. õ

x + (1 )y A. A t ỗ

sỷ Ai X t ỗ i R (i = 1, 2, . . . , m)
õ 1 A1 + 2 A2 + ã ã ã + m Am t ỗ
ự t A = 1 A1 + 2 A2 + ã ã ã + m Am . x, y A, õ tỗ
t xi Ai , yi Ai , i = 1, 2, . . . , m s x = 1 x1 + 2 x2 + ã ã ã + m xm ,

y = 1 y1 + 2 y2 + ã ã ã + m ym .
õ

x + (1 )y = (1 x1 + ã ã ã + m xm ) + (1 )(1 y1 + ã ã ã + m ym )
= 1 [x1 + (1 )y1 ] + ã ã ã + m [xm + (1 )ym ].
Ai t ỗ xi +(1)yi Ai , ợ ồ [0, 1], i {1, 2}, . . . , m.
r x + (1 )y A, ợ ồ [0, 1]. A t ỗ

sỷ X ổ t t A ởt t
ừ X õ ừ tt t ỗ ự A ữủ ồ ỗ ừ
t A co A.

t ỗ ự tt tờ ủ ỗ ừ
tỷ tr

ỵ sỷ A t ừ ổ t t X õ
co A trũ ợ t tt tờ ủ ỗ ừ t A tự
n

n

i xi : xi A, i 0,

co A =
i=1

i = 1 .
i=1

ự õ co A t ỗ A co A co A ự tt
tờ ủ ỗ ừ A ỡ ỳ t tt tờ ủ ỗ ừ A ỗ ự A
õ õ ự co A co A t ỗ ọ t ự co A trũ ợ
t tt tờ ủ ỗ ừ A



✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❍å τ ♥❤ú♥❣ t➟♣
❝♦♥ ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët tæ♣æ tr➯♥ X ♥➳✉
✭✐✮ ❍❛✐ t➟♣ ∅, X ✤➲✉ t❤✉ë❝ ❤å τ ❀
✭✐✐✮ τ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥✱ tù❝ ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ t➟♣
t❤✉ë❝ ❤å τ t❤➻ ❝ô♥❣ t❤✉ë❝ ❤å τ ❀
✭✐✐✐✮ τ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❤ñ♣ ❜➜t ❦➻✱ tù❝ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❤❛②
✈æ ❤↕♥ t➟♣ t❤✉ë❝ ❤å τ t❤➻ ❝ô♥❣ t❤✉ë❝ ❤å τ ✳
❈➦♣ (X, τ ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ X t❛ ❣å✐ ❧➔
✤✐➸♠ ✈➔ ❝→❝ t➟♣ t❤✉ë❝ ❤å τ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ♠ð✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ ●✐↔ sû τ, τ

❧➔ ❝→❝ tæ♣æ tr➯♥ X ✳ ◆➳✉ τ ⊆ τ ✱ t❛ ♥â✐

tæ♣æ τ ②➳✉ ❤ì♥ ✭t❤æ ❤ì♥✮ tæ♣æ τ ❤❛② tæ♣æ τ ♠↕♥❤ ❤ì♥ ✭♠à♥ ❤ì♥✮ tæ♣æ τ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❝â q✉❛♥ ❤➺ ✤â✱ t❛ ♥â✐ ❤❛✐ tæ♣æ ❦❤æ♥❣ s♦ s→♥❤ ✤÷ñ❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ (X, τ ) ✈➔ A ⊆ X ✳
✭✐✮ ❚➟♣ ❝♦♥ U ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ A ♥➳✉ U ❧➔ ❜❛♦
❤➔♠ t➟♣ ♠ð ❝❤ù❛ A❀
✭✐✐✮ ▲➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû x ∈ X ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ {x}✳ ❍å t➜t ❝↔
❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✤â✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ (X, τ ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍❛✉s✲
❞♦r❢❢ ♥➳✉ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tò② þ x, y ∈ X ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❧➙♥
❝➟♥ U ❝õ❛ x, V ❝õ❛ y s❛♦ ❝❤♦ U ∩ V = ∅✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K✳
✭✐✮ ▼ët tæ♣æ τ tr➯♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ X
♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳
✭✐✐✮ ▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tæ♣æ tr➯♥
tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët ❝➦♣ (X, τ )✱ tr♦♥❣ ✤â X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K
✈➔ τ ❧➔ ♠ët tæ♣æ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ X ✳

✺


ổ tổổ t t X ữủ ồ ổ
ỗ ữỡ tổổ ừ õ tổổ ỗ ữỡ tr X õ ởt
ỡ s ừ ố ỗ t t ỗ ỡ ổ ỗ
ữỡ X ỗ tớ ổ sr t X ữủ ồ ổ
ỗ ữỡ sr

ử ổ ổ rt ổ
ỗ ữỡ sr

tr

sỷ X Y t ủ 2X t tt t ừ

X

ởt tr F tứ X Y

ự ợ ộ

tỷ x X ởt t ừ Y ữủ ỵ F : X 2Y
ỹ t ộ tr F : X 2Y ữủ trữ ởt t
ừ X ì Y gph F ữủ

gph F := (x, y) X ì Y : y F (x) .
ủ gph F ữủ ồ ỗ t ừ F

ừ F dom F

dom F := x X : F (x) = .

ử t ữỡ tr tự ợ số tỹ
xn + a1 xn1 + ... + an1 x + an = 0,
t ự ộ tỡ a = (a1 , a2 , ..., an ) Rn ợ t ừ
ữỡ tr tr F (a) t ởt tr

F : Rn 2C
tứ ổ Rn ổ ự C



✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦ X, Y

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤❛

trà F : X → 2Y ✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣
✭✐✮ F ❝â ❣✐→ trà ❧ç✐ ♥➳✉ F (x) ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ Y ✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X;
✭✐✐✮ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧ç✐ ♥➳✉ gph F ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ X × Y.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦ X, Y

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✈➔ F : X → 2Y ❧➔

→♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣
✭✐✮ F ❝â ❣✐→ trà ✤â♥❣ ♥➳✉ F (x) ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ Y ✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ❀
✭✐✐✮ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣ ♥➳✉ gph F ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X × Y ❀
✭✐✐✮ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ♠ð ♥➳✉ gph F ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ X × Y ❀
✭✐✐✐✮ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ F (X) ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ tr♦♥❣ Y ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✺✳ ●✐↔ sû X, Y

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ →♥❤ ①↕

✤❛ trà F : X → 2Y ✳ ❑❤✐ ✤â
✭✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣ t❤➻ F ❝â ❣✐→ trà ✤â♥❣❀
✭✐✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ♠ð t❤➻ F ❝â ❣✐→ trà ♠ð❀
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧ç✐ t❤➻ F ❝â ❣✐→ trà ❧ç✐❀
✭✐✈✮ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

(1 − t)F (x) + tF (x ) ⊆ F ((1 − t)x + tx ) ✈î✐ ♠å✐ x, x ∈ X ✈➔ t ∈ [0, 1]
✳
❈→❝ ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ❝â ❣✐→ trà ❧ç✐ ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ❧➔

→♥❤ ①↕ ❧ç✐ ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ❝â ❣✐→ trà ✤â♥❣ ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✻✳ ❈❤♦ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F : N∗ → 2R ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

 co 1, 2, ..., n − 1 , ♥➳✉ n ≥ 2,
F (n) =
 {0}, ♥➳✉ ♥❂✶.
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈î✐ ❣✐→ trà ❧ç✐✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ F ❦❤æ♥❣ ❧➔ →♥❤ ①↕
❧ç✐✳

✼


ử t tr F : R 2R

[0, 1], x = 0,
F (x) =
R, tr trữớ ủ ỏ .
F õ tr õ t t õ

gph F = (x, y) R2 : y F (x) = ({0} ì [0, 1]) (R\{0} ì R)
t ổ õ tr R2 ữ F ổ õ

X, Y ổ tổổ õ ừ
F tr cl F : X 2Y ỗ t ừ õ õ ừ ỗ t
ừ F tự

gph(cl F ) = cl(gph F ).

sỷ F : X 2Y

tr tứ X Y

ồ ữủ ừ F ỵ F 1 : Y 2X ữủ

F 1 (y) = x X : y F (x) , ợ y Y.
õ F 1 ữủ ừ F
ồ tr õ ữủ ổ ú ố ợ
ỡ tr ụ tr ữủ ồ tr õ ữủ
t ộ ỷ tử ữợ ữủ ổ
ú

ởt số t t ừ tr
r ú tổ tr t t tử t õ ừ
tr t ỗ t õ ừ tr tr
sỹ rở ừ t tử t ỗ ừ
tr rữợ t t tr õ tr ổ t t




✶✳✹✳✶✳ ◆â♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳ ❈❤♦ Y

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥

❦❤æ♥❣ ré♥❣ tr♦♥❣ Y ✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ C ❧➔ ♥â♥ ❝â ✤➾♥❤ t↕✐ ❣è❝ tr♦♥❣ Y ♥➳✉

tc ∈ C ✱ ✈î✐ ♠å✐ c ∈ C ✈➔ t > 0✳

◆➳✉ C ❧➔ ♥â♥ ❝â ✤➾♥❤ t↕✐ ❣è❝ t❤➻ C + x0 ❧➔ ♥â♥ ❝â ✤➾♥❤ t↕✐ x0 ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✷✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♥â♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ Y ✳ ❚❛ ♥â✐
r➡♥❣
✭✐✮ C ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ♥➳✉ C ❧➔ t➟♣ ❧ç✐❀
✭✐✐✮ C ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥ ♥➳✉ l(C) = {0}✱ tr♦♥❣ ✤â l(C) = C ∩ (−C)✳
◆â♥ C ❣å✐ ❧➔ ✤â♥❣ ♥➳✉ C ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ Y ✳ ❚❛ ♥â✐ C ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤â♥❣

♥❤å♥ ♥➳✉ C ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ♥❤å♥✳
❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ♥â♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✸✳ ✶✳ ❈❤♦ Y

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â 0 ✱ Y ❧➔ ❝→❝ ♥â♥

tr♦♥❣ Y ✈➔ t❛ ❣å✐ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ ♥â♥ t➛♠ t❤÷í♥❣ tr♦♥❣ Y ✳
✷✳ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ Rn ✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣

Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n}
❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ♥❤å♥ tr♦♥❣ Rn ✈➔ t❛ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ❖rt❤❛♥t ❦❤æ♥❣ ➙♠ tr♦♥❣ Rn ✳
✸✳ ●å✐ C[0, 1] ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝→❝ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝
tr➯♥ ✤♦↕♥ [0, 1] ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣

(x + y)(t) = x(t) + y(t),
(λx)(t) = λx(t).
❑❤✐ ✤â t➟♣

C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, 1]
❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ♥❤å♥ tr♦♥❣ C[0, 1]✳
✾

tử t õ ừ tr
rữợ t t tử ừ ỡ tr ỳ ổ
tổổ

ởt ỡ tr f

: X Y tứ ổ tổổ

X ổ tổổ Y ữủ ồ tử t x0 X ợ ồ t
V tr Y ự f (x0 ) tỗ t U tr X ự x0 s

f (U ) V
r trữớ ủ F : X 2Y tr tứ ổ tổổ X
ổ tổổ Y r ữ r t ỷ tử tr
ỷ tử ữợ ừ tr

tr F : X 2Y ữủ ồ ỷ tử tr
ữợ t x0 ợ ộ t V tr Y tọ F (x0 ) V tữỡ
ự F (x0 ) V = tỗ t U ừ x0 tr X s F (x) V
tữỡ ự F (x) V = ợ ồ x U
sỷ X, Y ổ tổổ t t C õ tr
tử t õ ừ tr
rở ừ r t ỷ tử tr ỷ tử ữợ
ừ tr

tr F : X 2Y
F ữủ ồ C tử tr ữợ t x
dom F ợ ộ

V ừ ố tr Y tỗ t U ừ x
tr X s

F (x) F (
x) + V + C
(F (
x) F (x) + V C, tữỡ ự)
ợ ồ x U dom F
F C tử tr C tử ữợ t x
ỗ tớ t t
õ F C tử t x




✭✐✐✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ ✈➔ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐
✤✐➸♠ tr♦♥❣ dom F ✱ t❛ ♥â✐ F ❧➔ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ ✈➔ C ✲ ❧✐➯♥
tö❝ tr♦♥❣ X ✳
❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❇❡r❣❡
❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❉♦ ✤â ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ ♥â♥ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝
❞÷î✐ t❤❡♦ ♥â♥ ❝ô♥❣ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦
✤✐➲✉ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤â✳

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✼✳ ❈❤♦ →♥❤ ①↕ ✤❛ tràF : R → 2R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
 R, ♥➳✉ x = 0,
F (x) =
 {0}, ♥➳✉ x = 0.

❑❤✐ ✤â ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ x0 = 0✱
♥❤÷♥❣ F ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x0 = 0✳

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✽✳ ❈❤♦ →♥❤ ①↕✤❛ trà F : R → 2R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
 {0}, ♥➳✉ x = 0,
F (x) =
 R, tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝á♥ ❧↕✐.

❑❤✐ ✤â ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐

x0 = 0✱ ♥❤÷♥❣ F ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ x0 = 0✳
▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤÷❛ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ❧✐➯♥ tö❝ t❤❡♦
♥â♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳✾✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ Y

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥

t➼♥❤ ✈î✐ t❤ù tü s✐♥❤ ❜ð✐ ♥â♥ ❧ç✐ C ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F : X → 2Y ✈î✐ F (x0 )
❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Y ✳ ❑❤✐ ✤â
✭✐✮ F ❧➔ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ x0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ t➟♣ ♠ð V ✱ F (x0 ) ⊆

V + C ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ F (x) ⊆ V + C, ✈î✐ ♠å✐
x ∈ U ∩ dom F.
✭✐✐✮ F ❧➔ C ✲ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ F (x0 ) ✈➔ ❧➙♥

❝➟♥ V ❝õ❛ y ✱ tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ F (x) ∩ (V + C) = ∅ ✈î✐ ♠å✐

x ∈ U ∩ dom F ✳
✶✶

F C tử ữợ t x0 ợ ồ t G

tọ F (x0 ) (G + C) = ổ tỗ t U ừ x0 s

F (x) (G + C) = ợ ồ x U dom F.
ự sỷ F C tử tr t x0 V t tr

Y s F (x0 ) V + C F (x0 ) t tỗ t V0 ừ 0
s F (x0 ) + V0 V + C. F C tử tr t x0 tỗ t
U ừ x0 s

F (x) F (x0 ) + V0 + C ợ ồ x U dom F.
ứ õ s r

F (x) V + C + C = V + C ợ ồ x U dom F.
ữủ W t ý ừ 0 tr Y t V = F (x0 ) + W
õ V t tọ F (x0 ) V + C tt tỗ t
U ừ x0 tr X s F (x) V + C ợ ồ x U dom F. ứ
õ s r

F (x) F (x0 ) + W + C ợ ồ x U dom F.
ự tọ F C tử tr t x0 .
sỷ F C tử ữợ t x0 y F (x0 ) tũ ỵ V
ừ y t ý t W = y V õ W ừ 0 tr Y

F C tử ữợ t x0 tỗ t U ừ x0 tr X s
F (x0 ) F (x) + W C ợ ồ x U dom F.
y F (x0 ) y F (x) + W C õ t t y = y + w c
y F (x), w W c C ứ õ t y = y w + c V + C
ự tọ y F (x) (V + C) F (x) (V + C) = ợ ồ

x U dom F.
ữủ sỷ V ừ 0 tr Y õ

F (x0 )

(y + V ).
yF (x0 )




F (x0 ) t tỗ t y1 , y2 , ..., yn F (x0 ) s
n

F (x0 )

(yi + V ).
i=1

ợ i {1, 2, ..., n} yi + V ừ yi F (x0 ) tỗ t

Ui ừ x0 s
F (x) (yi + V + C) = ợ ồ x Ui dom F.
t U = ni=1 Ui õ U ừ x0

F (x) (yi + V + C) = ợ ồ x U dom F i {1, 2, ..., n}.
ự

F (x0 ) F (x) + V C ợ ồ x U dom F.

t y0 F (x0 ) tũ ỵ ứ õ s r
n

y0

(yi + V ).
i=1

tỗ t i0 {1, 2, ..., n} v V s y0 = yi0 + v t
F (x) (yi0 + V + C) = ợ ồ x U dom F tỗ t y F (x)
v V, c C s y = yi0 + v + c ứ õ s r y0 = y + v v c

F (x) + V C F (x0 ) F (x) + V C ợ ồ x U dom F ự
tọ F C tử ữợ t x0
sỷ F C tử ữợ t x0 G t t ý tọ

F (x0 ) (G + C) = ứ õ s r tỗ t y0 F (x0 ) s y0 = g + c
g G c C G tỗ t V ừ 0 s

g + V G ứ õ s r g + c + V G + C y0 + V G + C t
y0 + V ừ y0 t tỗ t U ừ x0 s
F (x) (y0 + V + C) = ợ ồ x U dom F t

F (x) (G + C) = ợ ồ x U dom F.



ữủ y0 F (x0 ) V ừ y0 ứ õ s r y0

F (x0 ) (V + C) tt tỗ t U ừ x0 s F (x)

(V + C) = ợ ồ x U dom F. t s r F C tử
ữợ t x0

t C = {0} F (x0) t t t
tr ỗ t ợ t ỷ tử tr
ỷ tử ữợ ừ r r trữớ ủ Y ổ
F ứ {0} tử tr ứ {0} tử ữợ t x0 t F tử
t x0 t sr
F ỡ tr t tứ t t t C tử
tr C tử ữợ trũ õ t õ F C tử
r trữớ ủ Y = R C = R+ ỡ tr F C
tử t x0 t F ỷ tử ữợ t x0 t tổ tữớ
C = R F C tử t x0 t F ỷ tử tr t x0
ứ tr t õ t õ r ởt tr F C
tử tr t x0 F (x) ổ r q s ợ F (x0 ) + C x x0
F C tử ữợ t x0 F (x) ổ t q ọ s ợ

F (x0 ) + C x x0

ỗ t õ ừ tr

D t rộ ỗ tr ổ
X C Y t õ ỗ õ ồ ợ tr rộ
tr : D 2Y ữủ ồ
C ó ợ x1 , x2 t ý tở D t [0, 1] t õ

(tx1 + (1 t)x2 ) t(x1 ) + (1 t)(x2 ) + C.
C ó t ợ x1 , x2 t ý tở D x1 = x2

t [0, 1] t õ

(tx1 + (1 t)x2 ) t(x1 ) + (1 t)(x2 ) + int C.



✭✐✐✐✮ C ✲ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ x1 , x2 ❜➜t ❦ý t❤✉ë❝ D ✈➔ t ∈ [0, 1] t❛ ❝â

tΦ(x1 ) + (1 − t)Φ(x2 ) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2 ) + C.
✭✐✈✮ C ✲ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ x1 , x2 ❜➜t ❦ý t❤✉ë❝ D ✈➔ t ∈ [0, 1]✱ tç♥ t↕✐

x3 ∈ D s❛♦ ❝❤♦
tΦ(x1 ) + (1 − t)Φ(x2 ) ⊆ Φ(x3 ) + C.
✭✈✮ C ✲ tü❛ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ x1 , x2 ❜➜t ❦ý t❤✉ë❝ D ✈➔ t ∈ [0, 1]
t❛ ❝â
❤♦➦❝ Φ(x1 ) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2 ) + C,
❤♦➦❝ Φ(x2 ) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2 ) + C.
✭✐✈✮ C ✲ tü❛ ❧ç✐ tü ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ ✈î✐ x1 , x2 ❜➜t ❦ý t❤✉ë❝ D ✈➔ t ∈ [0, 1]✱ tç♥
t↕✐ λ ∈ [0, 1] s❛♦ ❝❤♦

λΦ(x1 ) + (1 − λ)Φ(x2 ) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2 ) + C.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✶✷✳ ◆➳✉ Φ ❧➔ C ✲ ❧ç✐ t❤➻ Φ ❧➔ C ✲ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ❧ç✐✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✶✸✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ Φ ❧➔ C ✲ ❧ç✐ t❤➻ Φ ❧➔ C ✲ tü❛ ❧ç✐ tü ♥❤✐➯♥✳
◆➳✉ Φ ❧➔ C ✲ tü❛ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ t❤➻ Φ ❧➔ C ✲ tü❛ ❧ç✐ tü ♥❤✐➯♥✳ ▲î♣ ❝→❝ →♥❤
①↕ C ✲ tü❛ ❧ç✐ tü ♥❤✐➯♥ rë♥❣ ❤ì♥ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ C ✲ ❧ç✐ ✈➔ C ✲ tü❛ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤
t❤÷í♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✶✹✳ ●✐↔ sû Y = R2✱ C = R2+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}✱
π
X = R ✈➔ A = [0, ]✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà Φ : A → 2Y ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
2

Φ(x) = (sin x, 3 − sin x) + BY .
❑❤✐ ✤â t❛ t❤➜② Φ ❦❤æ♥❣ ❧➔ C ✲ ❧ç✐ ❤❛② C ✲ tü❛ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣✱ ♠➔ Φ ❧➔ C ✲
tü❛ ❧ç✐ tü ♥❤✐➯♥✳

✶✺


ữỡ
ỹ tỗ t t tổ ừ t
ố ợ t tỹ
tỡ s rở
r ữỡ ú tổ tr ởt số ỵ sỹ tỗ t
ừ t tỹ tỡ s rở t tổ ừ t
ố ợ t t q ừ ữỡ ữủ ú tổ tr
tứ ổ tr

ởt số tự
r ổ õ trữớ ủ t t W

X Y ổ ỗ ữỡ sr sỷ C Y t
õ ỗ õ ồ ợ tr rộ R+ := {x R : x 0}
P ởt ỗ õ ồ ồ BY õ tr Y Y
ổ tổ ổ ố ừ Y C ữủ

C := {f Y : f (c) 0, ợ ồ c C}.
tỹ tr ừ C C # ữủ

C # := {f Y : f (c) > 0, ợ ồ c C\{0}}.

●å✐ D ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ Y ✱ ❦❤✐ ✤â ❜❛♦ ♥â♥ ❝õ❛ D ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

cone D := {td : t ≥ 0, d ∈ D}.
▼ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣ B ❝õ❛ ♥â♥ ❧ç✐ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ C ♥➳✉

C = cone B ✈➔ 0 ∈ cl B ✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ C # = ∅ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ C ❝â ❝ì sð✳
❱î✐ e ∈ int C ✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉

B ∗ := {f ∈ C ∗ : f (e) = 1},
✈➔

B # := {f ∈ C # : f (e) = 1}.
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ B ∗ ❧➔ ❝ì sð ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ ✯ ❝õ❛ C ∗ ✱ B # ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ C # ✈➔ B ∗
❂ cl B # ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ f ∈ C #✳ ◆➳✉ f (z) = 0 t❤➻ z ∈ −C\{0}✳
●✐↔ sû K ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✱ S : X → 2∆ ✈➔ F : X ×∆×X →

2Y ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ (GV QEP )✿ ❚➻♠ x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦
F (x0 , u, y) ∩ (−Ω) = ∅ ✈î✐ ♠å✐ u ∈ S(x0 ) ✈➔ y ∈ K,
tr♦♥❣ ✤â Ω ∪ {0} ❧➔ t➟♣ ♥â♥ tr♦♥❣ Y ✳
◆➳✉ t❤❛② F (x, u, y) ❜ð✐ F (x, y) t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ (GV QEP ) trð t❤➔♥❤ ❜➔✐
t♦→♥✿ ❚➻♠ x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦

F (x0 , y) ∩ (−Ω) = ∅ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K.
❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝tì s✉② rë♥❣ ✭GV EP ✮✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ ♥➳✉ t❤❛② F (x, y) ❜ð✐ f (y) − f (x)✱ tr♦♥❣ ✤â f : X → Y ❧➔ →♥❤ ①↕✱ t❤➻
❜➔✐ t♦→♥ (GV EP ) trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝tì ✭V OP ✮✿ ❚➻♠ x0 ∈ K s❛♦
❝❤♦

f (y) − f (x) ∈
/ −Ω ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K.
❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ G(F, S, K) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

(GV QEP )✱ tù❝ ❧➔
G(F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C, ✈î✐ ♠å✐ u ∈ S(x) ✈➔ y ∈ K},
✶✼


W (F, S, K) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (GV QEP )✱
tù❝ ❧➔

W (F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y)∩(− int C) = ∅, ✈î✐ ♠å✐ u ∈ S(x) ✈➔ y ∈ K},
✈➔ E(F, S, K) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (GV QEP )✱
tù❝ ❧➔

E(F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y)∩(−C\{0}) = ∅, ✈î✐ ♠å✐ u ∈ S(x) ✈➔ y ∈ K}.
❑➼ ❤✐➺✉ WV (f, K) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

(V OP )✱ tù❝ ❧➔
WV (f, K) = {x ∈ K : f (y) − f (x) ∈
/ − int C, ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K},
✈➔ EV (f, K) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (V OP )✱ tù❝ ❧➔

EV (f, K) = {x ∈ K : f (y) − f (x) ∈
/ −C\{0}, ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K}.
❱î✐ f ∈ C ∗ ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ Q(f ) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ f ✲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (GV QEP )✱
tù❝ ❧➔

Q(f ) = {x ∈ K : f (F (x, u, y)) ⊆ R+ , ✈î✐ ♠å✐ u ∈ S(x) ✈➔ y ∈ K}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✷✳ ❈❤♦ K ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤
X ✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà F : K → 2X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ KKM ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ t➟♣
❤ú✉ ❤↕♥ {y1 , y2 , ..., yn } tr♦♥❣ K t❛ ❝â
n

conv({y1 , y2 , ..., yn }) ⊆

F (yi ).
i=1

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà Φ : ∆ → 2Y

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ P ✲C ✲ t➠♥❣ ♥➳✉

✈î✐ u1 , u2 ∈ ∆ ♠➔ u1 − u2 ∈ P t❛ ❝â

Φ(u1 ) ⊆ Φ(u2 ) + C.

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✹✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❤➔♠ f : R → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ R+✲R+✲
t➠♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ u1 , u2 ∈ R ♠➔ u1 ≥ u2 t❛ ❝â f (u1 ) ≥ f (u2 )✳
✶✽