Bài giảng Vật liệu và dụng cụ vẽ: Chương 3

CHƯƠNG III

HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
MỤC TIÊU THỰC HIỆN
Học xong bài này HSSV có khả năng:
• Mô tả được các phép chiếu vật thể.
• Mô tả và xác định được hình chiếu thứ ba của điểm,
đọan thẳng, hình phẳng khi biết trước hai hình chiếu
của chúng.
• Vẽ được hình chiếu của các khối hình học và một số
vật thể đơn giản.


NỘI DUNG CHÍNH
1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU
1.1. Các phép chiếu
1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm
1.1.2. Phép chiếu song song
1.2. Phương pháp vẽ các hình chiếu vuông góc
2. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC
2.1. Hình chiếu của điểm
2.2. Hình chiếu của một đường thẳng (đoạn thẳng)
2.3. Hình chiếu của một mặt phẳng (hình phẳng)
3. HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC
3.1. Khối đa diện
3.1.1. Hình lăng trụ
3.1.2. Hình chóp và chóp cụt đều
3.2. Khối tròn xoay
3.2.1. Hình trụ
3.2.2. Hình nón
3.2.3. Hình cầu

1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU
1.1. Các phép chiếu

S

A

A'
P
S

Hình 3.1

B

A
C

B'

A'
C'

Hình 3.1

P

1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm

• S: tâm chiếu
• SA : tia chiếu
• P’ : mặt phẳng hình chiếu
• A' : hình chiếu xuyên tâm của điểm A
lên mặt phẳng hình chiếu P qua tâm
chiếu S
• A’B’C’ : hình chiếu xuyên tâm của
ABClên mặt phẳng hình chiếu P’ qua
tâm chiếu S
• Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu mà
các tia chiếu đều đi qua một điểm cố
định S .


1.1.2. Phép chiếu song song
Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tia chiếu luôn song
song với một đường thẳng cố định l gọi là phương chiếu .

l

B

A

A'

B'

P

a)

Hình 3.2a

l

A

B

A'

B'

P

- Phép chiếu
xiên : nếu phương
B
A
l
chiếu l xiên với mặt phẳng
hình chiếu P. ( Hình 3.2a)
- Phép
chiếu
vuông góc : nếu
A'
B'
phương chiếu
l vuông góc

P
với mặt phẳng hình chiếu P.
b)
Hình 3.2
( Hình 3.2b)

P

b)
Hình 3.2 Hình 3.2b


1.2. Phương pháp vẽ các hình chiếu vuông góc
l

C
B
A

Hình 3.3a - Hình chiếu các điểm
cùng nằm trên một tia chiếu

A' B' C'

P

P

Hình 3.3a
Hình 3.3a

Hình 3.3b

Hình 3.3b - Hình chiếu giống
nhau của 2 vật thể khác nhau

C'

3.3a

P

P

Hình 3.3b

Hình 3.3b


Phương pháp vẽ các hình chiếu vuông góc của vật thể

z

hc ñöù
ng
P1

hc caïnh
P3

x
hc baè
ng

y

P2

Hình 3.4

- Chiếu vật thể lên các mặt
phẳng hình chiếu vuông
góc với nhau từng đôi một .
- Sau đó, xoay các mặt
phẳng hình chiếu về cùng
một mặt phẳng bản vẽ
(xoay theo chiều qui ước).
- Lúc này, trên mặt phẳng
bản vẽ có các hình chiếu
vuông góc của vật thể.


z
P1

P3

x

Hình 3.4a - Sau khi xoay các mặt

phẳng hình chiếu về cùng một
mặt phẳng bản vẽ.

y

P2

zz
xx

y

o

oo

Hình 3.4b - Ba hình chiếu vuông
góc của vật thể, sau khi bỏ đi
đường bao của các mphc

Hình 3.4a

yy

Hình 3.4c - Ba hình chiếu vuông
góc của vật thể, sau khi bỏ đi
đường bao của các mphc và
các trục chiếu

yy

Hình 3.4b

Hình 3.4c


2. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC
2.1. Hình chiếu của điểm
2.1.1. Hình chiếu của điểm trên hai mặt phẳng hình chiếu
P1

P1 P2
A1

A1

A1

x

x Ax

A

x

x

x

A

A2
P2

A

A2

A2

Hình 3.5

Hình
- Để vẽ hai hình chiếu của điểm
A 3.5
trên cùng một mặt phẳng, ta
xoay P2 quanh trục x một góc 90°( theo chiều qui ước ) về trùng
mặt phẳng P1.
- Cặp điểm (A1,A2) nằm trên đường vuông góc với trục x còn gọi
là đồ thức của điểm A.
- Để đơn giản chỉ vẽ trục x và cặp hình chiếu A1,A2.


2.1.2. Hình chiếu của điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu

z

P1

P1 P2 P3

A1

Az

A1
A

x

z

Ax

A3 P
3

Ay

P2

z

A1

Ay

x

y

x

A

A3

Az

o

A2

Hình 3.6a)

y

A2

Hình 3.6a)

P1 P2 P3

A3 P
3

x

A

o

A2

z

x

y
Hình 3.6a

- Lần lượt chiếu điểm A lên 3 mặt
A
Az
phẳng hình chiếu
- Sau khi xoay P2 như trên, ta xoay
P3
quanh trục z về phía bên phải
o
của P1.
- Ta có 3 hình chiếu A1, A2, A3
cùng nằm trên một mặt phẳng bản
vẽ P1 P2 P3(hình 3.6a).
Chúng mang tính chất sau:
A1 A2
Ox
A1A3
Oz
A2Ax = A3Az
3

y


Nhờ tính chất này, bao giờ ta cũng vẽ được hình chiếu thứ ba khi biết
được hai hình chiếu vuông góc của điểm (hình 3.6b).

z z
A1

A1

x Axx Ax

Az

o

AzA 3

o Ay

z z

A2

Ay

Ay

y y

A1

y yxAx xAx

Ay
45°

A2

A1

A3

Az

o

AzA 3

A3

o Ay
45°

45°

A2

Hình 3.6b

A2

Ay

Ay

y y

y y

Ay

45°


2.2. Hình chiếu của một đường thẳng (đoạn thẳng)
- Một đường thẳng được xác định khi ta biết hai điểm không trùng nhau.
- Do đó, muốn vẽ hình chiếu vuông góc của đường thẳng hay đoạn thẳng, ta chỉ cần
vẽ hình chiếu vuông góc của hai điểm đó rồi nối chúng lại.
2.2.1. Hình chiếu của đoạn thẳng trên một mặt phẳng hình chiếu
Tùy theo vị trí của đoạn thẳng so với mặt phẳng hình chiếu, ta có 3 trường hợp:
A

B
A

A

B

B

A'

B'

A'

B'

P

a)

A' B'
P

b)

P

c)

Hình 3.7
- Đoạn thẳng xiên với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là đoạn thẳng
không song song và có độ dài không bằng nó( A'B'< AB) (hình 3.7a).
- Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là đoạn
thẳng song song và có độ dài bằng nó ( A'B'= AB) (hình 3.7b).
- Đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là một
điểm (A' B') (hình 3.7c).

2.2.2. Hình chiếu của đoạn thẳng trên ba mặt phẳng hình chiếu
- Để tìm hình chiếu của đoạn thẳng trên 3 mặt phẳng hình chiếu, ta xem vị trí
đoạn thẳng so với từng mặt phẳng hình chiếu rồi lần lượt chiếu nó lên các mặt
phẳng hình chiếu đó.
- Sau đó, xoay các mặt phẳng hình chiếu theo qui ước về trùng một mặt phẳng
bản vẽ, ta có 3 hình chiếu của đoạn thẳng trên một mặt phẳng bản vẽ (hình 3.8).

z

z

P1
A1
A

x

A3

A1

B1
A2
P2

B1

A3 P

3
B
B2

o

x

B3

y

o

B

3

B2

y
A2

Hình3.8a) Trường hợp AB xiên với P1, P2 ,P3

y


z

A1

z

P1

z
A1

P1A1

AA1

x

B1

x

B
B1

A

A3 P3

B3
o B

A2 B2

P2
A2 B 2
P2

o

z

B1

x

A3 P3

yB

3

o
o

B3

y

y

A2

A2

B2

A3

B3
B1

x

A3

y

B2

Hình 3.8b) Trường hợp AB ⁄⁄ P1
AB xiên P2 , P3

y

y


z z
P1 P1

A1

A1

B1

B1

z

z

A3

A3

B3

B3

A1 A1
A3
B1

xx

B1
o

P2

A 2 B2

P2

A 2 B2

B3
o

A3

P3

x x

P3

B3

y

y

A 2 B2

o

A 2 B2

o

y

Hình 3.8c) Trường hợp AB ┴ P2
AB ┴ P1

y

y

y


2.3. Hình chiếu của một mặt phẳng (hình phẳng)
2.3.1. Hình chiếu của hình phẳng lên 1 mặt phẳng hình chiếu
Tùy theo vi trí của hình phẳng so với mặt phẳng hình chiếu, ta có 3 trường
hợp:
C

C
D

A
D

B

B

A
A

A'

D

D'

C'

D'

C

A'

B'

B'
P

P

a)

B

C'

b)

Hình 3.9 Hình 3.9

A' B'

C' D'
P

c)

- Hình phẳng xiên so với mphc: A’B’C’D’không song song và nhỏ hơn ABCD (hình
3.9a).
- Hình phẳng song song với mphc: A’B’C’D’ song song và bằng ABCD(hình 3.9b).
- Hình phẳng vuông góc với mphc: hình chiếu của nó là 1 đoạn thẳng (hình 3.9c)


2.3.2. Hình chiếu của hình phẳng lên 3 mặt phẳng hình chiếu
Muốn tìm hình chiếu của hình phẳng trên 3 mặt phẳng hình chiếu, ta
xem vị trí hình phẳng so với từng mặt phẳng hình chiếu rồi lần lượt chiếu
nó lên các mặt phẳng hình chiếu đó. Sau đó xoay các mặt phẳng hình
chiếu theo qui ước về trùng một mặt phẳng bản vẽ, ta có 3 hình chiếu của
hình phẳng trên mặt phẳng bản vẽ như sau: (hình3.10a,b,c):

z z

P1

A3 A3

A 1 A1

P1

A1

x x

z z

C1 C1
A1
A PA P
A A
C C 3 3 3 3
B

B1 B1
A2 A2
P2

B

C3 C3

B2 B2

B3 B3
o
B2 B2 o

P2 C 2 C 2

x x

B1

C1 C1
B3 B3
B1
o o

y y

A2 A2

y y

C2 C2

Hình 3.10a Trường hợp ABC xiên với P1, P2 ,P3

C3 C3

y y


P1

zz
D

zz

P1 D1 C 1
D1DC 1 D3
D CD33
C3
B 1 A1
C
P
3
B1 AA1
C A3
A3 P3
A
B3 B3
B Bo
o
D
2
D2
A2 A
2
B2 BC
2 2 C2
P2 P2

B 1 A1
B 1 A1

xx

yy

D1 C 1
D1 C 1

D3 C 3C 3

A3

xx
A2 A
2

3

o

A3

o

D2 D2

B2 B2 C 2 C 2

B3
B3

yy

yy

Hình 3.10b Trường hợp ABCD ┴ P1 , ABCD xiên P2 , P3


zz

zz
P1P1

xx

BB1 1

CC1 1

BB
AA1 1 DD1 1
AA

CC CC33 BB33
DD

PP33

B11
B

CC11

C3C3 B3B3

A11
A

DD11

AA
3 3 DD
3 3

x

oo

DD33 AA33

AA2 2 BB2 2 CC22 DD22
PP2 2

y

A
A22 BB22 CC22 DD2 2

yy

Hình 3.10c Trường hợp ABCD ⁄⁄ P1 , ABCD ┴ P2 , P3

yy

3. HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC
3.1. Khối đa diện
• Khối đa diện là khối hình học được
giới hạn bằng các đa giác phẳng là
các mặt của khối đa diện. Các đỉnh
và các cạnh của đa giác cũng
chính là các đỉnh và các cạnh của
khối đa diện.
• Muốn vẽ hình chiếu của khối đa
diện phải vẽ hình chiếu của các
đỉnh, các cạnh và các mặt của đa
diện. Khi chiếu lên mặt phẳng hình
chiếu, nếu cạnh không bị các mặt
của vật thể che khuất thì cạnh đó
được vẽ bằng nét liền đậm, còn
cạnh nào bị che khuất thì cạnh đó
vẽ bằng nét đứt (hình 3.11).

S1
S
K1

A1

E1

B1 D 1

S2

C

C1

D
E

D2

E2
A2

K

C2
K2
B2

Hình 3.11

A

B


3.1.1. Hình chiếu vuông góccủa khối lăng trụ
+ Hình chiếu vuông góccủa hình hộp chữ nhật

- Để đơn giản, ta đặt các mặt

K

y

z

C
K1

B

D
A

x

K3

D 1 A 1 C1 B1 C3 D3
D2
A2

C2
K2

B2
y

A3
B3

y

của khối hình hộp song song
hoặc vuông góc với các mặt
phẳng hình chiếu.
- Hình chiếu của chúng là các
hình chữ nhật.
K
- Muốn
C xác định một điểm K
nằm trên mặt của khối hình
D hộp, ta vẽBqua K đường thẳng
nằmA trên mặt của khối hình
hộp.


+ Hình chiếu của hình lăng trụ đáy tam giác đều

z

K1
K

K

z

K3

K1

x

x

K2
Hình 3.12

K3
y

K2
y

y

y


3.1.2. Hình chóp và chóp cụt đều
S1
S

z

S3

 Hình chiếu của hình chóp
đáy hình vuông

K1
K

K3
y

x

S1
S

z

S3

S2

K 3.14a) x
Hình

K1
K2

K3
y
y

S2

Hình 3.14a)

K2
y

Hình 3.13a

- Đặt đáy hình chóp đều song
song với mặt phẳng hình chiếu
bằng P2 và 2 đường chéo đáy
song song với P1, P3, sẽ được
các hình chiếu như hình 3.14a.
- Để tìm hình chiếu của điểm
nằm trên mặt hình chóp, ta có
thể dùng một trong hai cách
sau:
- Cách 1: kẻ qua K đường
thẳng SK nằm trên mặt bên
của hình chóp


 Hình chiếu của hình chóp cụt đáy hình vuông
z

z

K1
x

y K3

K1

y

x

K

K3

K

Hình 3.14b)

Hình 3.13b

Hình 3.14b)

K2

K2 y
y

-

Cách 2: Dựng mặt phẳng qua K song song với đáy sẽ cắt hình chóp
theo giao tuyến là một hình đồng dạng với đáy như hình 3.14b.

3.2. Khối tròn xoay

Hình 3.15

•
•

Khối tròn xoay là khối hình học giới hạn bởi mặt tròn xoay hay một phần mặt
tròn xoay và các mặt phẳng.
Mặt tròn xoay là mặt tạo bởi một đường bất kỳ quay một vòng quanh một
đường thẳng cố định. Đường bất kỳ gọi là đường sinh của mặt tròn xoay,
đường thẳng cố định gọi là trục quay của mặt tròn xoay. Mỗi điểm của đường
sinh khi quay sẽ tạo thành một đường tròn có tâm nằm trên trục quay và bán
kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay (hình 3.15).
- Nếu đường sinh là đường thẳng song song trục quay sẽ tạo thành mặt trụ tròn
xoay.
- Nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay sẽ tạo thành mặt nón tròn xoay
- Nếu đường sinh là nửa đường tròn quay quanh trục quay là đường kính của
nó sẽ tạo thành mặt cầu tròn xoay.


3.2.1. Hình trụ
K1

K3

K1

K3

K

K
Hình 3.16

K2

Hình 3.16

K2

Hình 3.16

- Khi vẽ hình chiếu, để đơn giản,
nên đặt đáy của hình trụ song
song với mặt phẳng hình chiếu
P2 .
- Hình chiếu bằng là đường tròn
có đường kính bằng đường kính
đáy của hình trụ.
- Hình chiếu đứng và hình chiếu
cạnh là hai hình chữ nhật bằng
nhau có các cạnh song song với
trục x có độ dài bằng đường kính
đáy. Hai cạnh song song với trục
z là hinh chiếu của đường sinh hai
bên của mặt trụ, có chiều cao
bằng chiều cao hình trụ (hình
3.16).
- Muốn xác định một điểm nằm

trên mặt trụ thì vẽ qua điểm đó
đường sinh hay đường tròn của
mặt trụ.