Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Digital signal processing) - Chương 5: Biến đổi Z

Xử lý số tín hiệu
Chương 5: Biến đổi Z


1. Định nghĩa


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):

X ( z)

x( n) z

n

n

          ... x( 2) z 2



x( 1) z x(0) x(1) z

1

x(2) z

Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)

H ( z)

h( n) z
n

n

2

...


2. Các tính chất cơ bản
a.

Tính tuyến tính

A1 x1 (n) A2 x2 (n)
b.

A1 X 1 ( z ) A2 X 2 ( z )

Tính trễ

xn
c.

Z

Z

X z                x n D

Z

z

D

X ( z)

Tính chập

y (n)

h(n) x(n)              Y (z)

X(z)H(z)


2. Các tính chất cơ bản
(n) và tính chất của biến đổi
Ví dụ 1 Dùng u (n) u (n 1)
Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)

Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín
hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]

3. Miền hội tụ
Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):

ROC

z C X (z )

Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
Biến đổi Z:
X ( z)
(0.5) n u (n) z

0.5 z

ROC

n

1

1

(0.5) u n

Z

z

n 0

z C z
n

z-plane

(0.5 z 1 ) n

z

0.5

ROC

0. 5
1
 ,         z
1
1 0.5 z

0.5

5
0.

Tổng hội tụ khi

n

|z|

3. Miền hội tụ
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
1
Biến đổi Z:

(0.5) n z

X ( z)

n

n

ROC

[(0.5) 1 z ]m
m 1

z C z

0.5

z-plane
z
5
0.



Kết quả:
n

(0.5) u ( n 1)

Z

1
ROC
 ,        z
1
1 0.5 z

|z|

0.5


3. Miền hội tụ
 Tổng

n

quát: a u (n)

Z

a nu ( n 1)

a

z-plane

z-plane

a

a

|a|

|z|

|
|z

ROC

1
,      z a
1
1 az
1
Z
,      z
1
1 az

cực

ROC

|a|

cực


4. Tính nhân quả và ổn định


Tín hiệu nhân quả dạng:
n
1 1

x ( n)

A p u (n) A2 p u (n) ...

có biến đổi Z là:

A1
1 p1 z

X ( z)

Với ROC: z

n
2

1

A2
1 p2 z

1

...

max pi
i

p4
p1

p2
p3

ROC


4. Tính nhân quả và ổn định


Tín hiệu phản nhân quả dạng:

x ( n)

n
1 1

A p u ( n 1) A2 p u ( n 1) ...

cũng có biến đổi Z là:
A1
X ( z)
1 p1 z
Với ROC: z

n
2

1

A2
1 p2 z

1

...

min pi
i

p4
p1

p2
p3

ROC


4. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
b. x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1)
c. x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1)
d. x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n)


4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định

ROC có chứa vòng tròn đơn vị

Các trường hợp:
p4
p1

p4
p1

p2
p3

p3

ROC

ROC
vòng tròn đơn vị

p2

vòng tròn đơn vị


5. Phổ tần số


Biến đổi Z của x(n):

x ( n) z n

X ( z)
n





Biến đổi DTFT của x(n): X ( f )
Đặt



2 fT

X( )

2 f
(Tần số số)
fs

x ( n )e
n

x ( n )e

j n

n

X ( z)

z ej

Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.

j 2 fnT


5. Phổ tần số


Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):

H( )

h( n)e

j n

H ( z)

n





z ej

X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần
hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
DTFT ngược:
f /2

x ( n)

1
2

X

e

j n

d

1
fS

S

X f e
fS / 2

j 2 fn / f S

df


6. Phổ tần số
ejω

Mặt phẳng Z
ω=π

ω=0
0

Vòng tròn
đơn vị

Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa
vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định

6. Phổ tần số
 Xét

1 z1 z
X(z): X ( z )
1 p1 z

 X(z)

1
1

z z1
z p1

có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1

 Thay

z = ejω,
X( )

j

e
ej

z1
p1

X( )

ej

z1

ej

z2


6. Phổ tần số
|z-p1|
ejω

|z-z1|

p1

z1

|X(ω)|

ω1

pole
zero

φ1

1

0
0

φ1

ω1

ω


7. Biến đổi Z ngược


Đưa X(z) về dạng

A1
X ( z)
1 p1 z

1

A2
1 p2 z

Tùy theo ROC, suy ra x(n)
1
1

Ví dụ: X ( z )
1 0.8 z 1 1 1.25 z

1

...

1



ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)



ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)



ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)


7. Biến đổi Z ngược


Pp khai triển phân số từng phần:
N ( z)
N ( z)
X ( z)
D( z ) (1 p1 z 1 )(1 p2 z 1 )...(1 pM z 1 )



Khi bậc của N(z) nhỏ hơn M:

A1
X ( z)
1 p1 z


1

A2
1 p2 z

Với

Ai

1 pi z

1

1

AM
...
1 pM z

X ( z) z

pi

1