Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong dạy học tam giác đồng dạng ở trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGÔ THỊ HƯƠNG

VẬN DỤNG CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG
DẠY HỌC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGÔ THỊ HƯƠNG

VẬN DỤNG CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG
DẠY HỌC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP
DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Cường

HÀ NỘI - 2019


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc
tới các thầy cô của ĐHSP Giáo Dục, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán đã tạo mọi điều kiện cho em về tài liệu và thủ tục để em hoàn
thành bản luận văn này.
Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
TS. Trần Cường. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới Thầy - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo và có
những nhận xét, góp ý quý báu giúp em trong suốt quá trình thực hiện
cho đến khi luận văn được hoàn thành.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, các anh chị em
trong khóa Cao học Toán đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Em rất mong nhận được những ý
kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn nữa.

Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2019
Tác giả

Ngô Thị Hương

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MMP

Dự án Toán học cho tất cả

SMP

Dự án Toán học ở trường học ở Anh

EASMP

Dự án Toán học ở trường học ở Đông Phi

GV

Giáo viên

GT

Giả Thiết

ATAM

Hiệp hội hỗ trợ giảng dạy Toán học

HS

Học sinh

KL

Kết luận

SMSG

Nhóm nghiên cứu Toán học

SGK

Sách giáo khoa

CMLW

Ủy bạn hiện đại hóa chương trình Toán học ở trường
trung học

ICMI

Ủy ban hướng dẫn Toán học quốc tế

CIEAEM

Ủy ban nghiên cứu và cải tiến về giảng dạy Toán học

CEEB

Ủy bạn tuyển sinh đại học Hoa Kỳ

CIEAEM

Ủy ban nghiên cứu và cải tiến về giảng dạy Toán học

UICSM7

Ủy ban Toán học của trường đại học Illinois

OEEC

Tổ chức hợp tác kinh tế Châu Âu

OEED

Tổ chức hợp tác kinh tế và phát triển

ii


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Sơ đồ hệ thống dạy học tối thiểu . . . . . . . . . . . . 21
Hình 1.2 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm của Chevallard24
Hình 1.3 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm . . . . . . 26
Hình 1.4 Tính tích phân bằng diện tích . . . . . . . . . . . . . . 28
Hình 1.5 Sự chuyển đổi sư phạm trong giáo dục Toán học. Vị
trí bên ngoài của các nhà nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 32
Hình 1.6 Ba đường conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Hình 1.7 Elip là 1 mặt cắt của hình nón . . . . . . . . . . . . . 39
Hình 1.8 Quỹ đạo các hành tinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Hình 1.9 Luật phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Hình 1.10 Luật phân phối theo phương pháp FOIL . . . . . . . . 46
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12

2.13
2.14
2.15

Cách đo kim tự tháp . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ kiến thức tam giác đồng dạng . . . . . . .
Hướng dẫn phần hệ quả định lí Thalès . . . . . .
Câu hỏi 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh định lí
Bài tập kiểm tra bài cũ . . . . . . . . . . . . . .
Hình minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

51
53
58
64
68
69
70
71
72
73
74
75
80
81
82


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Đối tượng - phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5. Giả thiết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

6. Phương pháp nghiên cứu và dự kiến cấu trúc luận văn . . . . . . . . . .

2

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . .

4

1.1. Một cuộc cải cách trọng đại về nội dung giáo dục toán học bắt đầu
từ bậc Đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Nhóm Bourbaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Toán học mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Sự bắt đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Sự mở rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5. Sự phản ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.6. Toán học mới thoái trào . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Quan niệm của lý thuyết tình huống về tri thức - sự chuyển hóa sư
phạm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Hệ thống dạy học tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Chuyển hóa sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3. Một trường hợp điển hình: Ba đường conic . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3. Một ví dụ về thể hiện chuyển hóa sư phạm trong sách giáo khoa . .
42
1.3.1. Chuyển hóa sư phạm và sách giáo khoa toán học . . . . . . . . . . . 42
1.3.2. Sự công bố trong chuyển hóa sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.3. Môi trường thay đổi trong chuyển hóa sư phạm . . . . . . . . . . . . . 46
iv

Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

CHƯƠNG 2. CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG NỘI DUNG
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (HÌNH HỌC 8) . . . . . . . . . . . . .

49

2.1. Tam giác đồng dạng trong lịch sử toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2. Các hình đồng dạng, quan hệ song song và hàng điểm điều hòa,
chùm điều hòa trong toán cao cấp, cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2. Định lý Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3. Hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Từ tri thức khoa học tới Tri thức chương trình . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Định lí Thalès trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Tính chất đường phân giác của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Khái niệm tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Các trường hợp đồng dạng của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông . . . . . . . . . . . . .

54
54
55
56
57

58

2.4. Một số ví dụ chuyển hóa sư phạm tới Tri thức dạy học . . . . . . .
2.4.1. Định lý Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Tính chất đường phân giác của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Khái niệm tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Các trường hợp đồng dạng của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. Các trường hợp của tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
59
64
66
74
79

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

CHƯƠNG 3. BƯỚC ĐẦU THỬ NGHIỆM THIẾT KẾ BÀI
DẠY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

v


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, người ta không thể dạy cho học sinh
toàn bộ kiến thức của một môn học. Do vậy, tri thức được dạy cần chọn
lọc, sắp xếp để đạt được mục tiêu giáo dục. Trong quá trình giảng dạy,
từ tri thức khoa học người giáo viên dạy như thế nào, tổ chức hoạt động
học tập cho học sinh ra sao để học sinh dễ hiểu nhất, hứng thú với bài
học và đạt được mục tiêu bài dạy? Đây là một quá trình biến đổi phức
tạp mà Y. Chevallard gọi là sự chuyển hóa sư phạm, "công việc chuyển
đổi những tri thức bác học thành những tri thức cần dạy thể hiện trong
chương trình SGK, tiếp đó chuyển đổi từ tri thức cần dạy thành tri thức
được dạy trên lớp học” [11].
Chuyển hóa sư phạm đã được nghiên cứu từ lâu trong Didactic toán,
trường phái lý luận được hình thành từ Pháp vào cuối thập niên 70 của
thế kỉ trước, hiện có rất nhiều ảnh hưởng quan trọng trong lĩnh vực Giáo
dục toán học, mà Chevallard là một trong những người đặt nền móng.
Khi xem xét hệ thống dạy học tối thiểu gồm thầy, trò, tri thức và môi
trường, các nhà nghiên cứu Didactic "luôn bắt đầu từ tri thức để xét đến
điều kiện giảng dạy và học tập tri thức đó. Những kiến thức về Didactic
sẽ giúp cho người giáo viên biết quan sát, phân tích chương trình, sách
giáo khoa một cách hiệu quả hơn, hiểu những gì xảy ra trong lớp học để
dạy học một cách hiệu quả hơn” [1. Tr 9].

Tam giác đồng dạng là chủ đề khó, quan trọng và có ứng dụng thực
tiễn cao trong chương trình hình học lớp 8. Sách giáo khoa hiện hành
đề cập tới chương này theo cách đưa ra định lý Talet sau đó đề cập tới
nội dung tam giác đồng dạng. Cách trình bày này giúp rèn luyện tính
tư duy, logic, sáng tạo và phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu
quả. Tuy nhiên, một số khái niệm, định lý, kiến thức chưa được làm rõ
quá trình chuyển hóa sư phạm gây nên nhiều khó khăn cho giáo viên và
học sinh khi dạy học.
Vì những lý do trên, đề tài được chọn là
1


Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong dạy học Tam giác đồng dạng ở
trường trung học cơ sở
2. Mục đích
Tìm hiểu sâu sắc và toàn diện về bối cảnh và quá trình chuyển hóa
sư phạm giữa các dạng tri thức, vận dụng trong một nội dung dạy học
cụ thể ở THCS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu và trình bày lược sử trào lưu toán học mới như một bối
cảnh nền quan trọng cho những luận điểm của lý thuyết tình huống
về tri thức trong hệ thống dạy học tối thiểu;
• Nghiên cứu lý luận về khái niệm chuyển hóa sư phạm trong lý
thuyết tình huống;
• Từ đó vận dụng trong chủ đề tam giác đồng dạng;
• Thiết kế một số giáo án dạy học theo hứớng vận dụng hiểu biết về
chuyển hóa sư phạm.
4. Đối tượng - phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là chuyển hóa sư phạm trong giáo dục Toán
học.

Phạm vi nghiên cứu là chủ đề tam giác đồng dạng (hình học 8)
5. Giả thuyết khoa học
Nội dung tam giác đồng dạng trong sách giáo khoa Hình học 8 là
kết quả của một quá trình chuyển hóa sư phạm lâu dài, phức tạp. Nếu
người giáo viên toán có những hiểu biết đầy đủ, toàn diện về quá trình
chuyển hóa này sẽ có thể thiết kế và triển khai được những hoạt động
dạy học phong phú, đa dạng, phù hợp với quá trình nhận thức tự nhiên,
tạo thuận lợi đáng kể cho hoạt động học tập của người học.
6.Phương pháp nghiên cứu và dự kiến cấu trúc luận văn
Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như nghiên cứu
lý luận, quan sát - điều tra, tổng kết kinh nghiệm và bước đầu tiến hành
2


một số thử nghiệm sư phạm.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có 3
chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong trong dạy học Tam
giác đồng dạng (hình học 8)
Chương 3. Bước đầu thử nghiệm thiết kế bài dạy

3


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chuyển hóa sư phạm là một khái niệm quan trọng thể hiện một góc
nhìn nhận đặc sắc của lý thuyết tình huống khi phân tích về thành phần

tri thức trong hệ thống dạy học tối thiểu. Trong chương này trình bày
những tìm hiểu về cơ sở lý luận liên quan tới chuyển hóa sư phạm được
bắt đầu bằng trào lưu Toán học mới (NewMath) có ảnh hưởng rộng lớn,
lâu dài tới những quan điểm chỉ đạo cũng như việc thiết kế, xây dựng
nội dung giáo dục toán học từ nửa sau thế kỷ 10 đến nay, tất nhiên cũng
làm cơ sở quan trọng cho tìm hiểu về tri thức khoa học như nguồn vật
liệu đầu tiên của chuyển hóa sư phạm.
1.1. Một cuộc cải cách trọng đại về nội dung giáo dục toán học
bắt đầu từ bậc Đại học
Bourbaki là bút danh của một nhóm các nhà toán học trẻ ở Pháp,
họ lên kế hoạch xuất bản một tác phẩm bách khoa toàn thư về hầu hết
toán học hiện đại. Nhóm muốn thực hiện hóa ý tưởng mà D.Hilbert đã
đề ra là muốn xem xét các lí thuyết toán học với quan điểm của phương
pháp tiên đề. Nội dung chủ yếu là toán cao cấp nhưng sau chiến tranh
lạnh lại có ảnh hưởng rất lớn đến toán học phổ thông.
1.1.1. Nhóm Bourbaki
JJ O’Connor và EF Robertson đã quan tâm và tìm hiểu quá trình
hình thành, phát triển và các tác phẩm của nhóm Bourbaki [21] và [22].
Nhóm bắt đầu từ hai giảng viên trẻ tại đại học Strasbourg là Henri
Cartan và Ardré và những người bạn của họ ở Paris. Họ nói về việc sẽ
viết 1 cuốn sách 1000 trang sẽ được xuất bản trong vòng 6 tháng. Một
lượng lớn tiểu ban đã được hình thành, với quy mô của nhóm và bao
gồm các chủ đề sau: đại số, hàm giải tích, lý thuyết tích phân, phương
trình vi phân, định lý tồn tại cho phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng, vi phân và dạng vi phân, giải tích nhiều biến, hàm đặc
trưng, hình học, chuỗi Fourier, khai triển hàm số. Đến mùa hè năm 1935,
4


nhóm đã quyết định lấy tên là Nicolas Boubaki. Họ quyết định dựa trên

cơ sở trình bày toán học là phương pháp tiên đề. Bourbaki không bao
giờ khái quát từ các trường hợp đặc biệt mà luôn luôn suy ra các trường
hợp đặc biệt từ tổng quát nhất. Kết quả của cách tiếp cận này là một
trật tự logic mạnh mẽ trên cách xây dựng toán học.
Ngay trong năm 1935, Bourbaki đã đưa ra quyết định sản xuất 1
loạt sách. Không có tài liệu tham khảo nào có thể được thực hiện ngoài
Bourbaki, vì nhóm muốn xây dựng toán học từ đầu trong công việc của
họ. Họ đặt ra kế hoạch gồm 6 cuốn sách, mỗi cuốn có vài chương. Những
quyển sách đó là:
Quyển I: Lý thuyết tập hợp (Set theory)
Quyển II: Đại số (Algebra)
Quyển III: Hình học Topo (Topology)
Quyển IV: Hàm số biến số thực (Functions of One Real variable )
Quyển V: Không gian vecto Topo (Topological Vecto Spaces)
Quyển VI: Tích phân (Integration)
Tuy nhiên phải đến năm 1939 tác phẩm đầu tiên mới được xuất bản.
Tiêu đề được chọn cho toàn bộ tác phẩm là " Éléments de Mathématique" được chọn năm 1938.
Ấn phẩm đầu tiên là cuốn sách chứa ký hiệu của lý thuyết tập hợp.
Ấn phẩm thứ hai xuất hiện năm 1940, hai ấn phẩm nữa xuất hiện năm
1942.
Chiến tranh thế giới thứ hai đã can thiệp vào thời điểm Bourbaki
chuẩn bị đẩy nhanh sản xuất và nhanh chóng hướng tới mục tiêu ban
đầu của nhóm là xuất bản sáu cuốn sách, mỗi cuốn có vài chương. Tác
động của chiến tranh là khiến dự án bị đình trệ. Khi dự án khởi động
lại sau khi chiến tranh kết thúc, các nhà toán học trẻ mới được tuyển
dụng. Các kế hoạch tại thời điểm này là để thực hiện các mục tiêu mà
Bourbaki đã đặt ra vào năm 1939, cụ thể là xuất bản 6 cuốn sách, mỗi
cuốn tối đa 10 chương.
Sau thế chiến thứ hai, xuất bản bắt đầu lại vào năm 1947 sau khi
nghỉ 5 năm. Một mô tả về các chương sẽ xuất hiện trong 5 năm 19475

1952 sẽ minh họa cho tính tổng quát mà các tác giả đã đạt được cũng
như thực tế là các chương được đưa ra theo thứ tự lộn xộn, không liên
tiếp.
1947: Hình học Topo (quyển 3) chương V, VI, VII
Đại số (quyển 2) chương II, III
1948: Hình học Topo chương IX
1949: Hàm số biến số thực (quyển 4) chương I
1950: Đại số chương IV, V
1951: Hàm số biến số thực chương IV
1952: Đại số chương VI, VII
Tích phân (quyển 4) chương I, II, III, IV
“Thế hệ thứ ba” của các thành viên Bourbaki đã tham gia vào khoảng
thời gian dự án xuất bản 6 cuốn đang trên đường hoàn thành. Đến năm
1958 các ấn phẩm của 6 cuốn đã được hình thành.
Một vấn đề đặt ra là mục đích ban đầu là tạo ra một văn bản cập
nhật cho học sinh để học cách tiếp cận mới nhất đối với toán học. Nhưng
đến năm 1958 khi 6 cuốn sách gốc được hoàn thành, một vài trong số
những cuốn sách đầu tiên này đã xuất bản được gần 20 năm và trở thành
lỗi thời. Rõ ràng các tác giả của một vài chương đầu tiên không thể đề
cập đến tất cả những gì cần thiết trong các tài liệu sau này vì toán học
là một môn phát triển nhanh chóng. Họ dự định viết lại sáu cuốn đầu
tiên và xuất bản “một phiên bản cuối cùng” của chúng. Họ muốn tạo
ra một bản tóm tắt dựa trên phép tính vi phân và giải tích trên đa tạp
theo mô hình của phiên bản đầu tiên chương I cuốn I và quyết định sản
xuất thêm một số chủ đề nâng cao. Mặc dù Bourbaki giữ lại mục tiêu
cuối cùng là viết ra toàn bộ toán học trong quá trình phát triển tuyến
tính của họ, nhận ra rằng điều này là không khả thi, nhưng họ vẫn bắt
tay vào một chương trình đầy tham vọng. Đến năm 1980 họ đã sản xuất

2 chương tóm tắt theo kế hoạch về vi phân và giải tích trên đa tạp, 7
chương về đại số giao hoán, 8 chương về nhóm Lie và đại số Lie, 2 chương
về lý thuyết phổ. Họ cũng đã tạo ra bản dịch tiếng anh của một trong
số sáu cuốn sách đầu tiên, cùng với ba trong số các chương về nhóm Lie
6


và đại số, bảy trong số các chương về đại số giao hoán.
Nói về nhóm Lie và đại số Lie là những thành tựu tốt nhất của Bourbaki.
Đến nay có Hiệp hội cộng tác viên De Nicolas Bourbaki, tổ chức các Hội
thảo Bourbaki nổi tiếng ba lần một năm – các hội nghị quốc tế thường
có hơn 200 nhà toán học tham dự. Năm 2016, một tập mới về cấu trúc
liên kết đại số được xuất bản.
Tư tưởng của Bourbaki mặc dù xuất phát chỉ có giáo dục đại học
nhưng do ảnh hưởng của chiến tranh lạnh nên nó ảnh hưởng rất lớn đến
giáo dục phổ thông khoảng mấy chục năm thế kỉ XX.
1.1.2. Toán học mới
Jeremy Lilpatrick [20] đã tìm hiểu về quá trình từ bắt đầu đến thoái
trào của toán học mới. Từ giữa những năm 1950 đến giữa những năm
1970 và muộn hơn ở một số nơi, một loạt các nỗ lực để thay đổi toán học
được thực hiện dưới nhãn hiệu “toán học hiện đại hoặc “toán học mới”.
Những nỗ lực này nảy sinh từ nhiều nguồn khác nhau và có nhiều hình
thức, nhưng họ có xu hướng chung mong muốn đưa toán học đến gần
hơn với toán học hàn lâm của thế kỉ XX để loại bỏ thuật ngữ khó hiểu
và giúp nó chuẩn bị tốt hơn cho toán học được giảng dạy trong trường
đại học. Một ảnh hưởng quan trọng trong vấn đề này là công việc của
nhóm Bourbaki bắt đầu từ những năm 1930 đã cố gắng khái quát hóa,
chính thức hóa thống nhất tất cả toán học thuần túy.
Sau khi Liên Xô đưa Sputnik (tàu không gian không người lái) đầu
tiên vào quỹ đạo trái đất vào tháng 10 năm 1957, các nỗ lực hiện đại hóa

đã tăng lên ở cả hai bờ Đại Tây Dương. Một sự kiện đặc biệt đáng chú ý
là hội thảo kéo dài 2 tuần do tổ chức Hợp tác kinh tế Châu Âu (OEEC
tổ chức, sau đó được các quốc gia ngoài Châu Âu tham gia thành lập
Tổ chức Hợp tác kinh tế và Phát triển, OECD) và được tổ chức từ ngày
23/11 đến 4/12 năm 1959 tại Cercle Culturel de Royaumont, AsnièresSur – Oise Pháp. Hội thảo đề cập đến một loạt các đề xuất để hiện đại
hóa chương trình toán học của trường, giảng dạy toán học và chuẩn bị
của giáo viên. Jean Dieudonne, một cựu thành viên của nhóm Bourbaki,
người đại diện cho những gì báo cáo hội thảo đã thách thức những người
7


tham gia loại bỏ hình học Euclide khỏi vị trí trung tâm của nó trong
chương trình giảng dạy ở trường trung học. Ông nói rằng sinh viên vào
trường đại học một mặt làm quen với một số môn cơ bản như đại số
tuyến tính cơ bản, lượng giác, một số tính toán. Mặt khác, sinh viên
nên được đào tạo khá tốt về việc sử dụng suy luận logic và có một số ý
tưởng về phương pháp tiên đề.
Sau đó, những nỗ lực bắt đầu ở nhiều quốc gia OECD để cải cách
toán học ở trường theo các đề xuất tại hội nghị. Vào tháng 8 và tháng 9
năm 1960 tại Dubbrovrik, Nam Tư để đáp lại nghị quyết tại Royaumont,
OECD đã triệu tập một nhóm chuyên gia để chuẩn bị bản tóm tắt kế
hoạch của chương trình toán học ở các trường trung học Châu Âu. Kết
quả tài liệu chỉ đề cập đến một phần của chương trình giảng dạy và một
phần của lượng lớn sinh viên nhưng nó cũng kích thích các nước OECD
tiến lên phía trước với những nỗ lực cải cách của họ. Dự án Toán học
ở trường học (SMP) được tổ chức để phát triển tài liệu SGK ban đầu
dành cho các trường trung học ở Anh. Các tài liệu này sau đó đã được
điều chỉnh để sử dụng trên toàn cộng đồng người nói tiếng Anh. Đồng
thời thí nghiệm toán học Midlands, một nỗ lực song song nhưng khiêm
tốn hơn cũng bắt đầu công việc tại Vương quốc Anh ở Hà Lan, một ủy

ban (CMLW) được thành lập năm 1961 để hiện đại hóa chương trình
toán học ở trường trung học. Thay vì phát triển SGK hoặc các tài liệu
giảng dạy khác, tuy nhiên CMLW đã thực hiện các nỗ lực đào tạo lại
giáo viên. Ở Bỉ, tập đầu tiên trong sáu tập đột phá mang tên Toán học
hiện đại của Georger and Fréderi-que Papy được xuất bản năm 1963.
Trong báo cáo một phiên làm việc quốc tế của OECD về phương pháp
giảng dạy mới cho toán học ở trường vào tháng 11 cùng năm ở Athens,
Hy Lạp, đã có báo cáo về “những đổi mới trong giáo dục toán học” từ
năm 1960 từ 20 quốc gia thành lập OECD: Áo, Bỉ, Canada, Đan Mạch,
Đức, Hy Lạp, Iceland, Ireland, Ý, Luxembourg, Hà Lan, Na Uy, Bồ Đào
Nha, Tây Ban Nha, Thụy Điển, Thụy Sĩ, Thổ Nhĩ Kì, Anh, Hoa Kỳ.
Những đổi mới đáng chú ý đã được thực hiện ở một số quốc gia này,
những nước khác vẫn chưa bắt đầu bất kì nỗ lực nào để đổi mới.
8


Một báo cáo có ảnh hưởng từ Ủy ban Cố vấn Quốc gia về Giáo dục
Toán học (1975) ở Hoa Kỳ, khảo sát các nỗ lực cải cách của Hoa Kỳ và
lập luận chống lại hai luồng ý kiến trái chiều đang được đề xuất cho toán
học ở trường khuyến nghị “thuật ngữ ‘’ bị hạn chế trong việc sử dụng
nó để mô tả vô số mối quan tâm và sự phát triển của giáo dục toán học
trong giai đoạn 1955 – 1975”. Nói cách khác, thuật ngữ này “là một cách
gọi không quá nhiều cho một tập hợp các đề xuất và hoạt động cải cách
như một thời đại mà một loạt các cải cách đã được thực hiện”. Quan sát
đó cũng có thể được thực hiện về toán học mới khi nó được thực hiện ở
các quốc gia khác trên thế giới.
1.1.3. Sự bắt đầu
Ngay cả trước những nỗ lực đã được thực hiện ở Hoa Kỳ để cải cách
toán học trung học. Gần cuối năm 1951, một ủy ban của khoa học Đại
học Illinois về kĩ thuật toán học và giáo dục đã đưa ra một báo cáo lập

luận rằng khởi đầu sinh viên kĩ thuật tại trường đại học cần chuẩn bị
tăng cường về toán học trung học. Năm sau nhận ra rằng vấn đề đã
vượt qua ngoài kĩ thuật và mở rộng khắp tiểu bang, một ủy ban khác
(Ủy ban Toán học của đại học Illinois [UICSM]) với nhiều thành phần
tương tự nhưng bao gồm đại diện của Trường trung học trực thuộc Đại
học, phòng thí nghiệm của Đại học Sư phạm, bắt đầu phát triển chương
trình toán cấp 2. Các tài liệu thu được một giáo trình hoàn chỉnh cho
các lớp từ 9 đến 12 được hỗ trợ bởi tập đoàn Carnegie và văn phòng
giáo dục Hoa Kỳ, được hướng dẫn bởi 2 nguyên tắc: ngôn ngữ được sử
dụng phải chính xác và học sinh nên có cơ hội khám phá sự tổng quát
hóa. Ngoài UICSM, các nhóm nhà toán học và nhà giáo dục tại các tổ
chức khác như trường Cao đẳng Sư phạm Ball, Đại học Maryland, Đại
học Nam Illinois và Đại học Boston đã thực hiện các dự án tương tự để
cải cách toán học trong những năm 1950.
Năm 1955, Ủy ban kiểm tra tuyển sinh đại học Hoa Kỳ (CEEB) đã
chỉ định một Ủy ban toán học với trách nhiệm nghiên cứu toán học cần
thiết cho sinh viên vào trường đại học. Các giám khảo Hội đồng lo ngại

9


về một khoảng cách ngày càng lớn giữa các kì thi của họ và toán học
được dạy trong một số chương trình dự bị đại học cũng như về mức độ
hiểu biết toán học thấp và thái độ kém đối với toán học của nhiều học
sinh tốt nghiệp trung học. Báo cáo cuối cùng có ảnh hưởng của Ủy ban
kèm theo một loạt các phụ lục nêu chi tiết về chương trình toán học thứ
cấp được đề xuất.
Ủy ban đề nghị giới thiệu các chủ đề mới như logic, đại số hiện đại,
xác xuất và thống kê để chương trình giảng dạy ở trường trung học sẽ
phản ánh tốt hơn các khía cạnh mới quan trọng của toán học, thuần túy

và ứng dụng. Nó cũng đề xuất sự kết hợp của các khóa học riêng biệt
trước đây trong mặt phẳng và hình học không gian, đại số và lượng giác
nâng cao để học sinh có thể tiến nhanh hơn đến biên giới toán học và
đáp ứng nhu cầu quốc gia về lực lượng lao động khoa học tinh vi.
Nhu cầu cải thiện sự chuẩn bị toán học của lực lượng lao động đó
và đặc biệt nhu cầu tuyển dụng và chuẩn bị một số lượng lớn các nhà
toán học là động lực đằng sau hai hội nghị của các nhà toán học được tổ
chức vào đầu năm 1958 dẫn đến việc thành lập nhóm nghiên cứu toán
học (SMSG) được tài trợ bởi quỹ khoa học quốc gia và dưới sự lãnh
đạo của Edward G.Begle. SMSG cuối cùng đã trở thành lớn nhất và nổi
tiếng nhất trong các dự án phát triển chương trình toán học của Hoa
Kỳ. Những nỗ lực tương tự để kiểm tra toán học ở trường đang được
tiến hành ở Châu Âu, mặc dù chưa có dự án chương trình giảng dạy nào
được đưa ra. Ví dụ, Ủy ban quốc tế về nghiên cứu và cải tiến giảng dạy
toán học (CIEAEM), được thành lập bởi Caleb Gattegno vào năm 1950,
đã tổ chức các cuộc họp định kì tập hợp các nhà sư phạm, nhà tâm lí
học, nhà nhận thức luận, nhà toán học, nhà triết học và nhà giáo trung
học để cải thiện việc giảng dạy toán học. Trong cuốn sách đầu tiên của
những người sáng lập CIEAEM. André Lichnerowicz đã lập luận “cho
một số nỗ lực thử nghiệm để giới thiệu một cái gì đó của tinh thần toán
học hiện đại vào số học, đại số, hình học cơ bản bằng cách chỉ ra cấu
trúc của vành, nhóm, không gian vecto và bằng cách điều chỉnh ngôn
ngữ”. Một số nỗ lực khác ở Châu Âu xảy ra khi “ngay từ năm 1950, một
10


hội nghị chung giữa UNESCO và văn phòng Giáo dục quốc tế đã cân
nhắc giữa các chủ để khác ‘toán học ở trường tiểu học”. Moon đã đặt
câu hỏi cho rằng “một làn sóng phát triển ở Hoa Kì đã vượt qua đến
Châu Âu”, thay vào đó, lập luận rằng lời nói đầu của báo cáo hội nghị

Royaumont năm 1959 cho thấy “một mô hình song song đổi mới” sẽ là
một mô tả chính xác hơn.
1.1.4. Sự mở rộng
a. Toán tiểu học
Ngay trong các báo cáo tại phiên làm việc của OECD ở Athens năm
1963, Vương quốc Anh lưu ý rằng Quỹ Nuffield đang bắt đầu một dự án
cải tổ toán học từ 5-13 tuổi. Hoa kì báo cáo rằng dự án SMSG đang bắt
đầu thực hiện toán học ở trường tiểu học và có “các phong trào lớn đang
diễn ra trong chương trình tiểu học mà bây giờ hứa hẹn những người
tham gia chuẩn bị tốt hơn vào trường trung học”. Năm 1965, Heinrich
Bauersfeld được chỉ định để chỉ đạo một dự án toán học ở trường tiểu
học ở Frankfurt, Đức và dự án chương trình Aleft đã được đưa vào năm
sau Bauerfeld muốn Alef, không giống như một số dự án ở các quốc
gia khác mà ông quen thuộc, tránh xa “cải cách nội dung toán học của
chương trình tiểu học để tập trung vào học tập xã hội và phát triển ngôn
ngữ”.
b. Toán học cho tất cả
Ngoài việc lan rộng đến các lớp thấp hơn, những nỗ lực cải cách toán
học ở trường cũng bắt đầu được gửi đến những học sinh có thể không
nằm trong số những người có ý định, hoặc thậm chí đủ điều kiện để
theo đuổi giáo dục đại học. Các quốc gia như Pháp và Vương quốc Anh
đã thành lập các trường toàn diện trong những năm 1960, và các tài
liệu SGK sửa đổi là cần thiết cho các học sinh trong các trường đó. Tại
Vương quốc Anh năm 1967, Hội đồng trường học đã thực hiện Dự án
Toán học cho tất cả (MMP), nhằm vào học sinh “trung bình và dưới
trung bình”, MMP. Như Dự án Toán học Nufield đã phải xem xét không
chỉ nội dung mà cả phương pháp giảng dạy, cho đối tượng mục tiêu đưa
ra các vấn đề cụ thể. Ngoài ra, các giáo viên được đề cập bởi dự án, nói
11

chung không bao giờ chuyên về toán học và thường chỉ dạy môn toán
học bán thời gian: những học sinh kém năng lực quá thường xuyên được
trao cho những người dạy khả năng kém.
Cuối cùng, vào năm 1971 Hội đồng trường đã thành lập một “Dự
án mở rộng" để chuẩn bị cho học sinh các tài liệu của mình cho MMP.
Nhiều nhà cải cách toán học mới tin rằng toán học được dạy cho tất cả
học sinh. Ở đỉnh cao của phong trào toán học mới, người ta thường cho
rằng toán học mới là một toán học dành cho tất cả. Các SGK được soạn
thảo từ SMSG được dự định sẽ sử dụng cho tất cả học sinh. SMSG có
một hội thảo với nhiệm vụ chính là chuẩn bị các văn bản toán học phù
hợp cho tất cả các học sinh không có định hướng học đại học ở 7, 8 và
9. Giả định là bằng cách giảm tải các văn bản xuống hai năm thay vì
một, tài liệu tương tự có thể được học bởi những sinh viên kém tiến bộ
và ít sự chuẩn bị hơn. Ngược lại ở Anh, sự khác biệt của toán học được
dạy theo “khả năng” nhận thức của học sinh. Thảo luận về quan điểm
tiến bộ của các thành viên Hiệp hội hỗ trợ giảng dạy toán học (ATAM,
sau này là ATM hoặc Hiệp hội giáo viên toán học) Bary Cooper đã có
ấn tượng chung về một cam kết giữa các thành viên đối với toán học
cho tất cả, trái ngược với các tiếp cận toán học đối với một số người và
số học đối với người khác, nhưng với ý nghĩa của toán học khác nhau và
mức độ cam kết dao động theo các địa điểm cụ thể của các thành viên,
các vấn đề nghề nghiệp hiện tại và các nhóm tham khảo.
c. Những quốc gia không thuộc OECD
Năm 1978, Ủy ban hướng dẫn Toán học quốc tế (ICMI) đã xuất bản
một báo cáo “Thay đổi trong Giáo dục Toán học từ cuối những năm
1950” trong đó các nhà giáo dục toán học đã báo cáo về sự phát triển
ở 16 quốc gia của phần lớn các nước bên ngoài OECD: Úc, Bangladesh,
Pháp, Anh, Hungary, Ấn Độ, Iran, Hà Lan, Nigeria, Ba Lan, Siera Leone,
SriLanka, Sudan, Thái Lan, Hoa Kỳ và Tây Ấn. Những nỗ lực thay đổi

chương trình toán học ở trường đã được thực hiện trong hai thập kỉ
trước ở mọi quốc gia nơi báo cáo được thực hiện, nhưng những nỗ lực đó

12


đã đạt được mức độ thành công khác nhau, đi theo những hướng khác
nhau và bị ảnh hưởng bởi những thay đổi khác nhau trong xã hội và hệ
thống giáo dục.
Ở Liên Xô, những nỗ lực cải cách chương trình giảng dạy đã bắt
đầu vào những năm 1960 và được dẫn dắt bởi nhà toán học nổi tiếng
Andrey Kolmogorov, người đã tạo ra một chương trình toán học mới
được phê duyệt vào năm 1968. Nhiều cải cách giống như những cải cách
đang được các nước OECD thực hiện. Ở những khối lớp đầu, số học đã
bị lọai bỏ như một môn học riêng biệt, trở thành “toán học” và bao gồm
các tài liệu chuẩn bị cho việc nghiên cứu đại số và hình học; một số chủ
đề thường được nghiên cứu sau đó, chẳng hạn như số phức và lý thuyết
xác suất cơ bản đã bị loại khỏi chương trình; các yếu tố tính toán, biến
đổi hình học, vecto và tọa độ đã được thêm vào.
Học sinh cũng được giới thiệu thực chất về phương pháp tiên đề. Tất
cả các chủ đề mới này phục vụ mục đích chính của chương trình giảng
dạy, đó là làm phong phú thêm khóa học về toán học với những ý tưởng
đã trở nên có ý nghĩa trong thời đại thúc đẩy tiến bộ công nghệ khoa
học như là những yếu tố của một nền văn hóa chung. Một mục tiêu quan
trọng khác là tăng độ chân thật hợp lý của sự trình bày.
Giáo trình toán học mới của Liên Xô bao gồm một số chú ý đến lý
thuyết tập hợp cơ bản, nhưng gần như không mở rộng như trong các
cải cách diễn ra ở các nước OECD. Kolmogorov chủ yếu quan tâm đến
việc giới thiệu một hệ thống ký hiệu và giải thích chính xác và đầy đủ
hơn cho các văn bản toán học để chuẩn bị cho học sinh bắt đầu thay đổi

công nghệ thông tin.
Ở một số quốc gia, các nỗ lực cải cách bao gồm nhập khẩu tài liệu
giảng dạy toán học mới từ các quốc gia khác. Dự án Entebbe còn được
gọi là Chương trình toán học Châu Phi, là một dự án của trung tâm
phát triển giáo dục Hoa Kỳ đưa các nhà phát triển chương trình giảng
dạy từ Hoa Kỳ và một số ít từ Anh hoặc người đã được giáo dục ở
đó, cùng với những người tham gia từ Ghana, Ethiopia, Liberia, Kenya,
Malawi, Tanzania và Zambia để làm việc trong các nhóm viết sách ở hội
13


thảo mùa hè hàng năm từ 1962 đến 1968 để phát triển SGK toán học
hướng dẫn giáo viên và các tài liệu giảng dạy khác. Tên dự án khác đến
từ thành phố Entebbe, Ugand nơi ba hội thảo mùa hè đầu tiên được
tổ chức. Đến năm 1971 dự án đã xuất bản 67 SGK và hướng dẫn giáo
viên khác nhau; theo một số ước tính 2 triệu học sinh Châu Phi đã sử
dụng cuốn sách “Entebbe Math” hoặc bản dịch của nó. Các SGK bị ảnh
hưởng nặng nề bởi quan điểm và cách tiếp cận của Hoa Kỳ và những
người tham gia ở Anh. Tại hội thảo đầu tiên vào tháng 7 năm 1962,
người Mỹ đã có chương trình của SMSG. Mười quốc gia Châu Phi bắt
đầu thử nghiệm toán học mới. Tiếp đó người Anh bắt đầu viết các dự
án của họ dựa trên SMP. Dự án toán học chung (JMP) đã được bắt đầu
ở Tây Phi và Đông Phi. Dự án toán học ở trường học (EASMP) ở Đông
Phi.
Thật không may, các giáo viên Châu Phi sẽ sử dụng những cuốn
SGK đó không được trang bị tốt để dạy tài liệu mới. Zimmerman đã
ghi nhận sự kém hiệu quả của các khóa học bồi dưỡng cho giáo viên ở
Ghana trong những năm 1960 được thiết kế để làm quen với nội dung
được hiện đại hóa.
Một nỗ lực tương tự để nhập ý tưởng và tài liệu từ các quốc gia khác

đã được UNESCO thực hiện khi các nước Ả Rập yêu cầu vào năm 1996
để hỗ trợ cải thiện toán học. Các cuộc hội thảo xác định giáo trình, các
buổi viết SGK và các buổi đào tạo cho giáo viên đã được tổ chức, kết
quả là một khóa toán học mới cho các trường trung học đã được triển
khai ở hầu hết các trường học ở Ả Rập. Như Malaty đã lưu ý, 8 trong số
12 tác giả của SGK cho trường trung học phổ thông không phải người
Ả Rập. Hoàn toàn là Hoa Kỳ và Anh, và các cuốn sách được viết trong
tiếng Anh sau đó được dịch sang tiếng Ả Rập. Ngoại trừ các dự án JMP
và EASMP trong đó SGK được viết bởi các giáo viên thường trú ở các
nước liên quan, các nhà cải cách ở các nước OECD chuyển những nỗ lực
của họ sang các nước ngoài OECD nhưng không diễn ra theo kế hoạch.
Ngay cả khi các nỗi lực đã được thực hiện để sản xuất các tài liệu
gốc dành riêng cho các quốc gia liên quan, ví dụ Dự án Entebbe và Dự
14


án các quốc gia Ả Rập của UNESCO, các nhóm viết bị chi phối về mặt
toán học và chuyên môn, nếu không phải là số lượng, bởi các tác giả
phương Tây không hiểu hệ thống giáo dục của các quốc gia liên quan và
quan trọng hơn là đạo đức xã hội được thể hiện trong các trường học.
Begle đã tóm tắt sự công nhận đang nổi lên trong số các nhà cải cách
toán học mới rằng ý tưởng và tài liệu của họ không thể được ghép dễ
dàng qua các quốc gia, nhiều quốc gia đang yêu cầu không chỉ Hoa Kỳ
mà các quốc gia giàu có khác có thể hỗ trợ cải thiên các chương trình
giáo dục toán học của họ. Đã xem xét một số nỗ lực để tôn vinh những
yêu cầu này, tôi tin rằng việc không nghiên cứu môi trường văn hóa của
các cải cách được đề xuất thường dẫn đến lãng phí nghiêm trọng thời
gian, công sức và tiền bạc.
1.1.5. Sự phản ứng
Sự phản đối phong trào toán học mới ở Hoa Kỳ đã bắt đầu ngay cả

trước khi hầu hết các dự án chương trình giảng dạy bắt đầu công việc
của họ. Morris Kline là người phản đối nhất các nỗ lực toán học mới
của Hoa Kỳ, đã xuất bản một bài báo trong Giáo viên Toán học tháng
10 năm 1958 dựa trên bài thuyết trình mà ông đã thực hiện trước Hội
đồng Giáo viên toán học Quốc gia. Ông cho rằng toán học truyền thống
đã lỗi thời và trừu tượng nên được dạy trước cái cụ thể. Trả lời Kilne,
Albert Meder người phục vụ trong Ủy ban lập luận rằng Kline đã giải
thích sai vị trí của Ủy ban và nên đợi cho đến khi báo cáo cuối cùng
xuất hiện trước khi phản bác nó. Không nản lòng, Kine đã phát động
cuộc đấu tranh dưới tiêu đề “Cải cách giảng dạy toán học được coi là
nguy hiểm đối với tiến bộ khoa học của Hoa Kỳ”.
Năm 1962, một biên bản “Về chương trình giảng dạy toán học của
trường trung học văn hóa đã được tác giả Kilne và Lipman Bers của
Đại học Stanford có chữ ký của 4 tác giả và 61 nhà toán học Hoa Kỳ
và Canada, biên bản đã được xuất bản đồng thời trên Tạp chí Toán học
Hoa Kỳ và Giáo viên Toán học. Nó nhắc lại nhiều điểm mà Kline đã đưa
ra trong các bài viết trước đó, cho rằng chương trình giảng dạy phải đáp

15


ứng nhu cầu của tất cả các học sinh và không chỉ những người có thể trở
thành nhà toán học, mà học sinh không nên được giới thiệu sớm về trừu
tượng, họ nên xem liên kết giữa toán học và các ngành khoa học khác,
rằng trực giác và phỏng đoán nên được đưa ra trước bằng chứng chính
thức, rằng bất cứ nơi nào có thể nên đưa ra ý tưởng toán học khi chúng
phát sinh về mặt di truyền, và toán học truyền thống không nên được
thay thế hoàn toàn bằng cái gọi là toán học hiện đại. Biên bản được
theo dõi 3 năm sau đó bằng một tập sự làm thử và chống lại toán học
mới và 11 năm sau đó là bằng chứng nào cho thấy phát súng cuối cùng

trong cuộc chiến toán học ở Mỹ: Kline cuốn sách “Tại sao Johny không
thể thêm: Sự thất bại của Toán học mới”. Mặc dù có tiêu đề tham khảo
về số học, cuốn sách thực sự nhằm vào các nỗ lực cải cách toán học ở
trường trung học. Như Malaty đã lưu ý, những lời chỉ trích về toán học
mới của Kline và những người khác ở Hoa Kỳ tương tự như những gì sẽ
xuất hiện ở các nước phương Tây khác, cũng như kết quả dư luận. Sự
khác biệt là những lời chỉ trích của Hoa Kỳ đã xuất hiện đầu tiên và rõ
ràng hơn.
Không phải tất cả các phản ứng chống lại những nỗ lực toán học mới
của Hoa Kỳ phát sinh từ bên ngoài hội các nhà cải cách. Max Beberman,
người đứng đầu dự án UICSM đã thấy sự chuyển động của toán học mới
từ tiểu học đến cấp hai ở Hoa Kỳ là “vội vàng và không khôn ngoan”,
‘chúng tôi đang gặp nguy hiển nuôi dạy một thế hệ những đứa trẻ không
thể làm tính toán số học’. Ông tuyên bố rằng các giáo viên tiểu học đã
hoảng sợ trước môn toán khó hiểu mà họ dự kiến sẽ dạy. “Những thay
đổi trong chương trình tiểu học phải được thực hiện rất cẩn thận và
chậm rãi, bởi vì một số lượng lớn giáo viên phải được đào tạo lại”. Cho
rằng họ phải dạy nhiều môn học, giáo viên tiểu học không thể kỳ vọng
thay đổi toán học họ dạy nhanh như giáo viên chuyên môn.
Ở Pháp, các cải cách toán học mới của chương trình giảng dạy
ở trường đã được bắt đầu vào năm 1966 với việc bổ nhiệm Ủy ban
Licherowicz (đứng đầu là nhà toán học nổi tiếng Andre Muff Licnerowicz) để lên kế hoạch cho những thay đổi. Gispert lưu ý rằng ủy ban đã
16


tuyên bố rằng toán học là “một khoa học suy diễn chứ không phải là
một thí nghiệm” và học sinh được dạy hình học affine trước hình học
Euclide mặc dù hình học affine là “mô hình không liên quan nhất đến
thế giới thực và cuộc sống hàng ngày. Khi Ủy ban bắt đầu công việc đã
có cuộc tranh luận nhưng ít sự phản đối để cải cách. Tuy nhiên, khi bộ

giáo dục cam kết thực hiện một chương trình toán học hiện đại vào đầu
năm 1970, mức độ tranh luận tăng lên và sự phản đối xuất hiện. Năm
1971, René Thom nổi tiếng không kém đã công bố trong các nhà khoa
học Mỹ một bài báo đặt câu hỏi về nỗ lực cập nhật chương trình giảng
dạy tiếng Pháp, chỉ ra dự nhầm lẫn và lo lắng của nhiều phụ huynh và
giáo viên về thuật ngữ mới. Dieudonné đã trả lời “chúng ta không thể
để cho các nhà quản lý và kĩ thuật viên tương lai dành phần lớn những
năm tháng quý giá của cuộc sống học đường tiếp thu những kiến thức
vô dụng được dạy bởi phương pháp lỗi thời”.
Ở Liên Xô, mặc dù cuộc cải cách Kolmogorov vẫn đang được tiến
hành, một cuộc cải cách chống lại bắt đầu vào năm 1978 được dẫn dắt
bởi các nhà toán học từ Học viện Khoa học Liên Xô. Điểm mâu thuẫn
lớn như là các kì thi tuyển sinh đại học về toán đã không được hiện đại
hóa cùng với chương trình giảng dạy, và một số nhà toán học đã chống
lại ý tưởng thay đổi các kỳ thi. Thay vì giải quyết một số sai sót được
thừa nhận trong chương trình và SGK lấy cảm hứng từ Kolmogorov, các
nhà cải cách đã cố gắng thuyết phục chính quyền phát triển một chương
trình giảng dạy mới và SGK mới. Cuối cùng tranh chấp đã vướng vào hệ
tư tưởng của Đảng Cộng Sản, trong đó giải quyết việc ủng hộ các nhà
phê bình cải cách.
Một số quốc gia dường như bỏ lỡ phần lớn phong trào toán học mới
ngay cả khi liên hệ quốc tế tăng lên giữa các quốc gia. Ví dụ, Hiệp hội
Giáo dục Toán học Nhật bản đã tổ chức khoảng 15 chuyến thăm nước
ngoài trong khoảng từ 1966 đến 1981; Nhật Bản đã tham gia vào các
nghiên cứu quốc tế về toán học do Hiệp Hội quốc tế đánh giá thành
tựu giáo dục bắt đầu vào năm 1964; và nó tham gia vào chuỗi các Đại
hội giáo dục toán học quốc tế bắt đầu từ năm 1969. Mặc dù triển vọng
17

quốc tế ngày càng tăng, tuy nhiên sự tham gia lớn nhất của Nhật Bản
vào các hoạt động toán học mới, theo Sekiguchi, dường như là một hội
thảo nghiên cứu năm 1964 tại Tokyo và Kyoto trong đó hai nhà toán
học từ dự án SMSG đã thông báo cho hơn 100 nhà giáo dục toán học
Nhật Bản về công việc của họ và một cuộc hội thảo năm 1971 Mỹ - Nhật
để thảo luận về các mục tiêu, chương trình toán học mới, phương pháp
giảng dạy. Ngược lại một số tác giả đã tuyên bố rằng vào giữa những
năm 1960 và đầu những năm 1970, Bộ Giáo dục Nhật Bản đã thử một
phiên bản toán học mới từ trên xuống. Dù bằng cách nào, tác động dẫn
đến thực hành toán học ở Nhật Bản dường như rất nhỏ.
Một ví dụ khác về ít hay không có ảnh hưởng là Hà Lan, ở cấp trung
học, toán học mới “không bao giờ trở thành một vấn đề chung cũng
không phải là mục tiêu cho các giáo viên hay phụ huynh chống đối”, và
giáo dục ở cấp tiểu học “không bao giờ trở thành nạn nhân của khẩu
hiệu và xu thế” của toán học mới. Freudenthal đã mô tả toán học mới
là một cuộc cạnh tranh khốc liệt giữa cả các chuyên gia và những người
bất tài mà hay ba hoa, nói chung kết quả đau buồn. Những người không
thể bắt kịp là những người nghèo trong lớp, những người hy vọng được
dạy và học toán học mới, điều thường gặp nhất là không thể giảng dạy,
không thể học được, không có tính toán học.
1.1.6. Toán học mới thoái trào
Tại sao toán học mới không thành công?
Đây là một cải cách từ trên xuống, được khởi xướng bởi cộng đồng
toán học, mà không tham khảo từ giáo viên hoặc cộng đồng. Một nguyên
nhân thất bại của toán học mới, đó là vì nó đại diện cho một triết lý
chuyên ngành.
Những thay đổi trong chương trình giảng dạy “toán học mới” không
đi kèm với những thay đổi hệ thống lớn hơn và do đó được đánh giá là
thất bại.
Như Damerow và Westbury đã quan sát “toán học mới” đã cho thấy

một cách dứt khoát sự thay đổi lớn có vấn đề trong một môn học: trong
khi có một số thử nghiệm tuyệt vời cho thấy những gì đã làm được ở
18