Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM
VÀ ĐA THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM
VÀ ĐA THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm của đạo hàm và đa
thức vi phân của hàm phân hình p-adic" không có sự sao chép của
người khác. Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều
có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS
Hà Trần Phương. Nếu có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hương Giang
Xác nhận

Xác nhận

của chủ nhiệm khoa Toán

của người hướng dẫn

PGS. TS Hà Trần Phương

i


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới PGS. TS. Hà Trần Phương. Thầy đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc, kiểm tra bài và giúp
đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên

trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại
học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi
hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn.
Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố
gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong
được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Học viên

Hoàng Thị Hương Giang

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

LỜI MỞ ĐẦU

1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic . . . . . .
1.1.1 Hàm phân hình p-adic . . . . . .
1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất
1.2 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . .
1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai . . . . . .

.
.
.
.
.
.

3
3
3
12
14
14
15

Chương 2 KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC
VI PHÂN
2.1 Không điểm của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Một số bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Không điểm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
19
29
40
40
44

KẾT LUẬN

49

Tài liệu tham khảo

50

iii

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.


LỜI MỞ ĐẦU
Cho K là một trường đóng đại số, có đặc số không và đầy đủ với giá trị
tuyệt đối không Acsimet (p-adic) và f là một hàm phân hình trên K. Kí
hiệu f là đạo hàm của hàm f và kí hiệu

F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + . . . + a1 f + a0 ,
trong đó aj là các hàm nhỏ đối với f , là một đa thức vi phân của hàm phân
hình f .
Trong trường hợp phức đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về số không
điểm của f và F trong các trường hợp khác nhau của hàm f . Đối với trường
hợp hàm phân hình trên trường p-adic, năm 2012, K. Boussaf, A. Escassut,
J. Ojeda ([2]) đã chứng minh nếu Wronskian của hai hàm nguyên là một
hàm đa thức thì cả hai hàm nguyên đó là một đa thức. Từ đó các tác giả
đã chứng minh đạo hàm f của một hàm phân hình siêu việt f trên K sẽ
nhận mọi giá trị trên trường K vô hạn lần nếu f có hữu hạn cực điểm bội.
Dựa trên các nghiên cứu của K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, năm 2012,
J-P Bézivin, K. Boussaf, A. Escassut ([3]) đã đặt ra giả thuyết nếu đạo hàm
của f của hàm phân hình f có hữu hạn không điểm thì f có là hàm hữu
tỷ? Cũng trong bài báo này, một số kết quả tổng quát đã được các tác giả

đã chứng minh. Trong [4], A. Escassut, W. L¨
u, and C. C. Yang đã nghiên
cứu vấn đề nói trên cho trường hợp đa thức vi phân F .
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề không điểm hàm phân hình và đạo
hàm của nó, chúng tôi lựa chọn đề tài "Không điểm của đạo hàm và
1


đa thức vi phân của hàm phân hình p-adic". Mục tiêu của đề tài là
trình bày lại các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây của các tác
giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, J-P Bézivin, W. L¨
u, and C. C. Yang
trong các bài báo [2], [3], [4]. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung chính, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Trong Chương 1, tôi bắt
đầu từ sự trình bày những cơ sở lý thuyết thường được sử dụng về các hàm
phân hình p-adic, các hàm Nevanlinna và tính chất của nó, bao gồm các
định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, một số mệnh đề và định lý cơ bản. Các kiến
thức cơ bản được tôi tham khảo trong tài liệu [1]. Trong Chương 2, các kết
quả nghiên cứu gần đây của các tác giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda,
J-P Bézivin, W. L¨
u, and C. C. Yang trong các bài báo [2], [3], [4] sẽ được
trình bày lại một cách tường minh và tính toán lại cẩn thận các lập luận.

2


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, tôi sẽ giới thiệu một số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu

cùng một số mệnh đề và định lý cơ bản. Trong toàn bộ luận văn, chúng ta
luôn ký hiệu các trường số hữu tỷ, số thực, số phức lần lượt là Q, R, C, ký
hiệu vành các số nguyên là Z.

1.1
1.1.1

Các hàm Nevanlinna p-adic
Hàm phân hình p-adic

Cho K là một trường đóng đại số, đầy đủ có đặc số không. Chúng ta đã
được biết một hàm |.| : K → R là một giá trị tuyệt đối trên trường K nếu
ba điều kiện sau được thỏa mãn:
1) |x| ≥ 0 với mọi x, |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;
2) |x.y| = |x|.|y| với mọi x, y ∈ K;
3) |x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x, y ∈ K.
Chúng ta đã biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| được định nghĩa như
sau:


 x nếu x ≥ 0;
|x| =
 −x nếu x < 0.

Với các số x, y ∈ Q, chúng ta ký hiệu d(x, y) = |x − y| thì d chính là một
3


khoảng cách trên tập hợp các số hữu tỷ. Điều đó có nghĩa là khoảng cách
giữa hai số hữu tỉ x và y được xác định bằng giá trị tuyệt đối |x − y|. Một

khoảng cách thì cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
1) Khoảng cách giữa hai điểm phân biệt phải là một số dương và bằng 0
khi hai điểm đó trùng nhau;
2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải bằng khoảng cách từ điểm y
đến điểm x;
3) Khoảng cách giữa hai điểm x và z phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng
cách từ x đến y và khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác).
Khoảng cách được xác định như trên không phải là duy nhất. Thật vậy,
trên tập hợp số hữu tỷ còn có những khoảng cách khác nữa. Với mỗi số
nguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic như sau:
Định nghĩa 1.1. Với x là một số hữu tỷ, nếu x = 0 thì ta định nghĩa
a
|0|p = 0. Nếu x = 0, chúng ta viết được x = pα , trong đó α ∈ Z và a, b
b
không chia hết cho p. Ta định nghĩa giá trị tuyệt dối p-adic của x là

|x|p = p−α .
Nhận xét 1.1. Ta có

1
≤ |k|p ≤ 1,
k
với mọi số k là số nguyên dương. Thật vậy, ta viết k = pm k1 , trong đó

m ≥ 0 và p k1 . Biểu diễn đó là duy nhất và khi đó,
1
1
1
= m ≤ m = |k|p ≤ 1
k

p k1
p
1
⇔
≤ |k|p ≤ 1.
k
Hàm |.|p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối không Acsimet trên
trường số hữu tỉ Q, tức là ngoài ba điều kiện của giá trị tuyệt đối, |.|p còn
4


thỏa mãn thêm điều kiện
3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p , |y|p }, với mọi x, y ∈ Q.
Trong thực tế, ta có

|x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }, nếu |x|p = |y|p ,
và rõ ràng, nếu ta đặt dp (x, y) = |x − y|p thì dp là một khoảng cách trên
trường các số hữu tỷ và dp thỏa mãn thêm điều kiện
3’) dp (x, y) ≤ max{dp (x, y), dp (y, z)}, với mọi x, y, z ∈ Q.
Khoảng cách dp khi đó được gọi là siêu metric (hay còn gọi là khoảng
cách không Acsimet) và ta gọi K là không gian siêu metric.
Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p . Khi đó |.|p sẽ cảm
sinh trên K một siêu metric dp . Với mỗi số thực r > 0 và một phần tử a
thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng và mở tâm a, bán kính r lần lượt là

d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r},
d(a, r− ) = {z ∈ K||z − a|p < r}.
Vành {z ∈ K|r < |z − a|p < R} được ký hiệu là Γ(a, r, R).
Trên không gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt hơn
so với không gian metric thông thường, đó là mọi tam giác đều cân và mọi

điểm nằm trong một hình cầu đóng hay mở đều là tâm của nó.
Khi mở rộng từ các số hữu tỷ Q đến các số thực R, ta dùng đến các dãy
Cauchy theo |.|, đó là các dãy {an } thỏa mãn với mọi ε > 0, tồn tại một số

N sao cho với mọi m, n > N ta có |an − am | < ε. Chúng ta cũng thêm vào
Q các dãy Cauchy theo |.|p để được trường các số p-adic Qp . Lấy bao đóng

¯ p . Nhưng vì Q
¯ p không đóng đại số nên ta lại tiếp tục
của Qp ta sẽ được Q
bổ sung thêm các dãy Cauchy để có được Cp . Đến đây, Cp là một trường
đầy đủ và đóng đại số.
5


Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu các vấn đề liên
quan đến giá trị tuyệt đối p-adic. Vì thế, để đơn giản tôi sẽ ký hiệu |.| thay
cho |.|p , ký hiệu K là một trường các số p-adic đóng đại số, đầy đủ có đặc
số không và K∗ = K \ {0}. Sự khác biệt giữa tính chất của chuỗi trong K
với chuỗi các số phức thông thường được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Dãy {an } trong K là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thỏa
mãn

lim |an+1 − an | = 0.

n→∞

∞

an với an ∈ K hội tụ

Mệnh đề trên cho chúng ta thấy chuỗi vô hạn
n=0

nếu và chỉ nếu lim |an | = 0. Hơn nữa ta có
n→∞

∞

an ≤ max∗ |an |.
n∈N

n=0

Bây giờ, ta xét đến các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa p-adic.
∞

Định nghĩa 1.2. Cho

an (z − z0 )n , an ∈ K là một chuỗi lũy thừa p-adic

n=0

hội tụ trong K. Tại mỗi z ∈ K mà |an (z−z0 )n | → 0 khi n → ∞, ta gán giá trị
∞

∞

n

an (z −z0 ) cho f (z). Hàm f (z) =

của tổng chuỗi
n=0

an (z −z0 )n , an ∈ K

n=0

được gọi là hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa.
∞

Tương tự như trường hợp phức, hàm chuỗi

an (z − z0 )n có bán kính

n=0

hội tụ

ρ=

1
1 .
lim sup |an | n
n→∞

Định nghĩa 1.3. Cho D ⊂ K là một tập mở. Ta nói hàm f : D → K liên
tục tại z0 ∈ K nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

|f (z) − f (z0 )| < ε, với mọi z ∈ d(z0 , δ).
6


f (z0 + h) − f (z0 )
tồn tại hữu hạn thì
h→0
h
đạo hàm của hàm f , ký hiệu là f (z0 ) được định nghĩa là
Định nghĩa 1.4. Nếu giới hạn lim

f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Khi đó ta nói hàm f khả vi tại z0 .
Trước khi tìm hiểu về hàm phân hình p-adic, ta bắt đầu với khái niệm
hàm giải tích toàn cục.
Cho D là một miền trong K. Ký hiệu R(D) là tập hợp các hàm hữu tỷ
P (z)
không có cực điểm trong D, nghĩa là h(z) ∈ R(D) thì h(z) =
với
Q(z)
P (z) và Q(z) là hai đa thức nguyên tố cùng nhau và Q(z) không có nghiệm
trong D. Ta đặt

||h||D = sup |h(z)|

z∈D

thì khi đó ||.||D là một chuẩn trên R(D). Ký hiệu H(D) là bổ sung của

R(D) với topo sinh bởi ||.||D .
Định nghĩa 1.5. Ta gọi mỗi phần tử thuộc H(D) là hàm giải tích toàn
cục trên D.
Định lý 1.1. Với mỗi r ∈ R+ , ta có H(d(0; r) = A(d(0, r− )).
Định nghĩa 1.6. Hàm f : D → K là hàm giải tích địa phương nếu với mỗi

a ∈ D tồn tại một số ρ ∈ R+ và các hằng số an ∈ K sao cho
∞

an (z − z0 )n , với mọi z ∈ D ∩ d(0, ρ).

f (z) =
n=0

Tập hợp các hàm giải tích địa phương trên D ký hiệu là Hol(D).
Cho hàm giải tích địa phương f trên D, z0 ∈ D và r ∈ R+ sao cho

d(0, r− ) ⊂ D. Theo Định lý 1.1 thì
∞

an (z − z0 )n , z ∈ d(z0 , r).

f (z) =
n=0

7

Cho f là một hàm không đồng nhất bằng 0 trong d(z0 , r− ). Nếu f (z0 ) = 0
thì tồn tại duy nhất một số nguyên dương q sao cho an = 0 với mọi n < q
và aq = 0. Trường hợp q = 1 thì ta gọi z0 là không điểm đơn của f , với

q ≥ 2 thì ta nói z0 là không điểm bội (bội q ) của hàm f . Trong trường
1
hợp này f (z) = (z − z0 )q g(z), với g(z) = 0. Những không điểm của hàm
f
được gọi là cực điểm của hàm f .
Định nghĩa 1.7. Cho D ⊂ K là một tập mở không có điểm cô lập. Ta gọi
hàm f : D → K là hàm giải tích tại a ∈ D nếu ρ ∈ R+ ∪ {∞} và các hằng
số an ∈ K sao cho d(a, ρ− ) ⊂ D, d(a, ρ− ) \ D = ∅ và
∞

an (z − z0 )n , z ∈ d(0, ρ− ).

f (z) =
n=0

Hàm f giải tích trên D nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D. Ký hiệu H(D)
là tập hợp các hàm giải tích trên D. Hiển nhiên một hàm giải tích trên D
thì khả vi trên D. Hơn nữa, ta có H(D) ⊂ H(D) ⊂ Hol(D).
Định nghĩa 1.8. Trường các hàm phân thức của H(D) ký hiệu là M(D).
Ta gọi mỗi phần tử f ∈ M(D) là một hàm phân hình trên D.
Định nghĩa 1.9. Nếu f ∈ M(D) không có cực điểm thì ta gọi f là hàm
chỉnh hình trên D. Nếu f chỉnh hình trên K thì ta gọi f là hàm nguyên.
Trong các phần tiếp theo chúng tôi sẽ dùng một số ký hiệu như sau:
Ký hiệu 1.1. A(d(0, r− )) là vành các chuỗi lũy thừa f (z) =

∞

an (z −
n=0

z0 )n , an ∈ K thỏa mãn điều kiện lim |an |rn = 0.
n→∞

Ký hiệu 1.2. M(d(0, r− )) là trường phân thức của các hàm thuộc A(d(0, r− )).
u
Với mỗi f ∈ M(d(0, r− )) thì f = với u, v ∈ A(d(0, r− )).
v
Ký hiệu 1.3. A(K) là tập hợp các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f (z) =
∞

an (z − z0 )n , an ∈ K có bán kính hội tụ bằng +∞ trên K, mỗi phần tử

n=0

thuộc A(K) là một hàm nguyên trên K.
8


Ký hiệu 1.4. M(K) là tập hợp các hàm f =

g
với g, h ∈ K, mỗi phần tử
h

thuộc M(K) là một hàm phân hình trên K.
n

Ký hiệu 1.5. K[z] là tập hợp các hàm đa thức f (z) =

an (z − a)k , an ∈

k=0

K, n < +∞.
Ký hiệu 1.6. K(z) là tập hợp bao gồm các hàm hữu tỷ trên K, mỗi phần
P
với P, Q ∈ K[z], Q = 0.
tử thuộc K(z) được viết dưới dạng
Q
Mỗi phần tử trong tập hợp M(K) \ K(z) là một hàm siêu việt trên K.
Ký hiệu 1.7. Mu (d(0, r− )) là tập hợp các hàm phân hình giới nội trên

d(0, r− ).
∞

an (z − z0 )n có thể nhận được từ

Ta thấy rằng miền hội tụ của chuỗi
∞

miền hội tụ của chuỗi

n=0

an z n qua một phép tịnh tiến. Do đó, từ nay trở

n=0

∞

đi chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa

an z n .

n=0

Cho f là một hàm nguyên, khi đó tồn tại một cách biểu diễn khác của
hàm f , đó là nội dung của Định lý 1.2 sau đây.
Định lý 1.2. Cho f là một chuỗi lũy thừa xác định một hàm nguyên trên
trường K. Nếu f không phải là một đa thức thì có thể biểu diễn f dưới dạng
tích vô hạn

∞

f (z) = az

m

1−
n=1

z
zn

trong đó a ∈ K, m là một số nguyên không âm, {zn } là tập các nghiệm khác

0 của f (z) và zn → ∞ khi n → ∞.
Định lý 1.2 cho chúng ta hai tính chất về số không điểm của hàm f .
Hệ quả 1.1. Nếu hàm nguyên f không phải là đa thức trên K thì f có vô
số không điểm trên K.
9


Hệ quả 1.2. Hàm nguyên f là hàm hằng nếu f không có không điểm trên
K.
∞

Bây giờ, ta xét chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n có bán kính hội tụ là ρ

n=0

với 0 < ρ ≤ +∞. Với mỗi số thực r thỏa mãn 0 < r < ρ, ta định nghĩa

|f |(r) = max |an |rn ,
n∈N

|f |(r) được gọi là số hạng lớn nhất. Chỉ số trung tâm được định nghĩa là
ν(r, f ) = max{n : |an |rn = |f |(r)}.
n≥0

Ta cũng viết

|f |(0) = lim+ |f |(r);
r→0

ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ).
r→0

Hiển nhiên, với mỗi hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f và với mỗi số thực

r, (0 < r < ρ), nếu z ∈ K mà |z| < r thì
|f (z)| ≤ max |an ||z|n ≤ max |an |rn = |f |(r).
n∈N

n∈N

Vì thế nên |f |(r) luôn tồn tại hữu hạn. Hơn nữa, hàm |f |(r) là hàm liên
tục theo r và A(d(0, r− )) là không gian đầy đủ với chuẩn |.|(r).
Chỉ số trung tâm ν(r, f ) tăng theo r khi r → ρ và với mỗi 0 < r < ρ ta
có
r

log |f |(r) = log |aν(0,f ) | +

ν(t, f ) − ν(0, f )
dt + ν(0, f ) log r.
t

0

Vì {pq : q ∈ Q} là trù mật trong R và |f |(r) là hàm liên tục theo r nên
ta thu được nguyên lý module cực đại:

|f |(r) = max |an |rn = sup |f (z)| =
n∈N

|z|≤r

10

lim

|z|→r,|z|=r

|f (z)|.


Nếu f ∈ M(K) thì f =

g
với g, h ∈ A(K). Khi đó ta định nghĩa
h
g
|g|(r)
.
(r) =
h
|h|(r)

|f |(r) =

Định lý 1.3 dưới đây nói về tính chất của đạo hàm của hàm sinh bởi

chuỗi lũy thừa.
∞

Định lý 1.3. Cho chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n có bán kính hội tụ ρ > 0.

n=0

Với mỗi z ∈ K, nếu f (z) hội tụ thì tồn tại đạo hàm f (z) được xác định
theo công thức

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=1

Chuỗi f (z) có bán kính hội tụ bằng ρ. Hơn nữa, f thỏa mãn

1
|f |(r) ≤ |f |(r)
r

(0 < r < ρ).
∞

Nhận xét 1.2. Từ công thức f (z) =

nan z n−1 , chúng ta có thể dễ dàng

n=1

thấy được f (z) = 0 nếu và chỉ nếu an = 0 với mọi n ≥ 1. Vì thế mà hàm

f ∈ A(K) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 khi và chỉ khi nó là hàm hằng.
Cho f ∈ M(K). Với mỗi r > 0, ta ký hiệu
Ký hiệu 1.8. ψf (r) là số không điểm bội của f trong d(0, r), mỗi điểm
được đếm số lần bằng bội của nó.
Ký hiệu 1.9. φf (r) = ψ f1 (r).
Định nghĩa 1.10. Cho các hàm nguyên f, g trên K, ta định nghĩa Wronskian của f và g là

W (f, g) =

f

g

f

g
11

= f g − f g.


1.1.2

Các hàm Nevanlinna và tính chất

Cho hàm phân hình f trên trường đóng đại số K có đặc số không, đầy
đủ với giá trị tuyệt đối p-adic và một giá trị a ∈ K. Cố định ρ0 , r và ρ sao
cho 0 < ρ0 < r ≤ R < ρ ≤ +∞, trước hết tôi giới thiệu một số kiến thức
cơ bản về các hàm Nevanlinna.
1
1
,n
¯ r, f −a
Ký hiệu 1.10. n r, f −a

lần lượt là số không điểm của hàm

f − a kể cả bội, số không điểm không kể bội của hàm f − a trong d(0, r).
Ký hiệu 1.11. n(r, f ) là số cực điểm của hàm f , mỗi điểm được đếm số
lần bằng bội của nó.
Định nghĩa 1.11. (Hàm đếm) Ta định nghĩa:
i) Hàm đếm tại các không điểm kể cả bội của f tại a là
r

N r,

1
f −a

n t,

=

1

f −a
dt
t

ρ0

và
r

N (r, f = a) =

1
1
− n 0, f −a
n t, f −a

t

dt + n 0,

1
log r.
f −a

0

ii) Hàm đếm tại các cực điểm tính cả bội của hàm f − a là
r

n(t, f )

dt
t

N (r, f ) =
ρ0

và

r

N (r, f = ∞) =

n (t, f ) − n(0, f )
dt + n (0, f ) log r.
t

0

12


Hàm đếm tại các không điểm tính cả bội của f còn được ký hiệu là

Z(r, f ) và
1
f

Z(r, f ) = N r,

.

1
,
f −a
¯ (r, f = a), N
¯ (r, f ), N
¯ (r, f = ∞) một cách tương tự. Tiếp theo ta định
N
¯
Chúng ta cũng định nghĩa các hàm đếm không kể bội N

r,

nghĩa Hàm bù.
Định nghĩa 1.12. (Hàm bù) Hàm bù được định nghĩa bởi công thức

m(r, f ) = log+ |f |(r) = max{0, log |f |(r)}.
Hàm đếm và hàm bù có các tính chất sau đây:
Mệnh đề 1.2. Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, ..., k . Khi đó, với mỗi

0 < r < R, ta có
k

N

k

r,

≤

fi
i=1
k

m r,

k

N (r, fi ) ;

N

k

r,

i=1

fi

≤

i=1

N (r, fi ) ;
i=1

k

≤ max m (r, fi ) ;

fi

m r,

i∈{1,...,k}

i=1

k

≤

fi
i=1

m (r, fi ) .
i=1

Định nghĩa 1.13. (Hàm đặc trưng Nevanlinna) Cho f ∈ M(K) hoặc

f ∈ M(d(0, R− )), ta định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna (gọi tắt là hàm
đặc trưng) của f là hàm

T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ).
Các tính chất của hàm đặc trưng Nevanlinna có thể dễ dàng suy ra được
từ các tính chất của hàm đếm và hàm bù.
Mệnh đề 1.3. Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, ..., k . Khi đó, với mỗi

0 < r < R, ta có
k

T

r,

k

fi
i=1

≤

k

T (r, fi ) ;

T

i=1

r,

fi
i=1

13

k

≤

T (r, fi ) .
i=1


Hệ quả 1.3. Một hàm phân hình f trên K là hàm hữu tỷ khi và chỉ khi

T (r, f ) = O(log r) (khi r → ∞).
Hệ quả 1.4. Hàm phân hình f là hàm siêu việt nếu và chỉ nếu

T (r, f )
= +∞.
r→∞ log r
lim

1.2

Các định lý cơ bản

Trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna p-adic có hai định lý cơ bản
tương tự như trường hợp phức. Chúng tôi sẽ giới thiệu hai định lý cơ bản
đó và một số vấn đề liên quan.

1.2.1

Định lý cơ bản thứ nhất

Mệnh đề sau đây là một tính chất đơn giản của hàm đếm, thường gọi là

công thức Jensen.
Mệnh đề 1.4. (Công thức Jensen) Cho f ∈ M(d(0, r− )) là một hàm phân
hình. Khi đó,

N r,

1
f

− N (r, f ) = log |f |(r) + O(1),

hay Z (r, f ) − N (r, f ) = log |f |(r) + O(1), với O(1) là một đại lượng giới
nội.
Định lý sau đây là một hệ quả đơn giản của Công thức Jensen, tương tự
với trường hợp phức và được gọi là Định lý cơ bản thứ nhất.
Định lý 1.4. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên d(0, ρ− ). Khi đó,

m r,

1
f −a

+ N r,

1
f −a

với mọi a ∈ K.
14

= T (r, f ) + O(1),


1.2.2

Định lý cơ bản thứ hai

Mệnh đề sau đây thường được gọi là "Bổ đề đạo hàm logarit".
Mệnh đề 1.5. (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho hàm phân hình f không là
hàm hằng trên d(0, ρ−). Khi đó, với mỗi số nguyên k > 0 và với mọi r < ρ
ta có

|f (k) |(r) ≤

1
|f |(r).
rk

Với mỗi hàm phân hình f = 0, ta ký hiệu hàm giá trị phân nhánh là

NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f ) + N r,

1
f

.

Định lý 1.5 sau đây được gọi là Định lý cơ bản thứ hai.
Định lý 1.5. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên d(0, ρ− ). Với các
số phân biệt a1 , ..., aq ∈ K, ta đặt

δ = min{1, |ai − aj |},
i=j

A = max{1, |ai |}.
i

Khi đó, với mỗi 0 < r < ρ, ta có
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

N r,

1
f − aj

− NRam (r, f ) − log r + Sf

¯ r,
N

1
f − aj

− log r + Sf ,

j=1
q

¯ (r, f ) +
≤N
j=1

trong đó,
q

log |f − aj |(ρ0 ) − log |f |(ρ0 ) + (q − 1) log

Sf =
j=1

A
.
δ

Sf
= 0.
r→∞ T (r, f )

Chú ý 1.1. Do đại lượng Sf bị chặn nên lim

Tiếp theo là một số bất đẳng thức dạng Định lý cơ bản thứ hai.
15


Định lý 1.6. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên K. Ký hiệu

a1 , a2 , a3 là các hàm phân hình phân biệt trên K. Khi đó,
3

¯ (r, f ) +
T (r, f ) ≤ N

¯ r,
N
j=1

1
f − aj

− log r + S(r),

trong đó S(r) = 4T (r, a1 ) + 4T (r, a2 ) + 5T (r, a3 ) + O(1).
Ký hiệu 1.12. (Hàm nhỏ) Cho hàm phân hình f khác hằng số trên K. Ta
ký hiệu Mf (K) (tương ứng Af (K)) là tập hợp các hàm phân hình (tương
ứng hàm nguyên) α trên K thỏa mãn

T (r, α)
= 0.
r→+∞ T (r, f )
lim

Tương tự chúng ta cũng ký hiệu Mf (d(0, R− )) (tương ứng Af (d(0, R− )))
là tập hợp các hàm phân hình (tương ứng hàm nguyên) α thỏa mãn

T (r, α)
= 0,.
r→R T (r, f )
lim

Ta gọi hàm α là hàm nhỏ đối với f .
Từ Định lý 1.6 chúng ta có được hệ quả sau.
Hệ quả 1.5. Cho hàm phân hình f khác 0 trên K, không có không điểm
và cực điểm tại 0 và α ∈ M(K) là một hàm nhỏ đối với f không có không
điểm tại 0. Khi đó, với r > 0 ta có

¯ r,
T (r, f ) ≤ N

1
f

¯ r,
+N

1
f −α

¯ (r, f ) + Sf (r),
+N

trong đó Sf (r) = o(T (r, f )).
Định lý 1.7 là một dạng Định lý cơ bản thứ hai cho hàm nhỏ.
Định lý 1.7. Cho hàm phân hình f hàm khác hằng trên K, f (0) = 0 và

u1 , u2 ∈ A(K) là các hàm nhỏ đối với f và không có không điểm tại 0. Khi
đó

¯ r,

T (r, f ) ≤ N

1
f − u1

¯ r,
+N
16

1
f − u2

+ S(r),


trong đó, S(r) = 2T (r, u1 ) + 3T (r, u2 ) − log r + O(1).
Ta định nghĩa hàm giá trị phân nhánh bậc 2 bởi công thức

N2,Ram (r, f ) = 3N (r, f ) − N (r, f ) + N r,

1
f

.

Định lý 1.8 là một dạng của Định lý cơ bản thứ hai kiểu phân nhánh bậc 2.
Định lý 1.8. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên K và các số phân
biệt a1 , a2 , ..., aq ∈ K. Ta đặt

δ = min{1, |ai − aj |},

A = max{1, |ai |}.
i

i=j

Khi đó,
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ 2N (r, f ) +

N r,
j=1

1
f − aj

− N2,Ram (r, f ) − 2 log r + Sf ,

với mỗi 0 < r < ρ và
q

log |f − aj |(ρ0 ) − log |f |(ρ0 ) + (q − 1) log

Sf =
j=1

A
.
δ

Tương tự Định lý 1.8 chúng ta cũng thu được một dạng của Định lý cơ
bản thứ hai kiểu phân nhánh bậc k .
Định lý 1.9. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên K. Với các số
phân biệt a1 , a2 , ..., aq ∈ K, ta đặt

δ = min{1, |ai − aj |},

A = max{1, |ai |}.
i

i=j

Khi đó,
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ kN (r, f ) +

N r,
j=1

1
f − aj

− Nk,Ram (r, f ) − k log r + Sf ,

với mỗi 0 < r < ρ và
q

log |f − aj |(ρ0 ) − log |f (k) |(ρ0 ) + (q − 1) log

Sf =
j=1

17

A
.
δ


Định lý 1.10 là một dạng Định lý cơ bản thứ hai cho hàm đếm tại các
không điểm phân biệt có thể xem xét đến yêu tố bội.
Định lý 1.10. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên K và các số
phân biệt a1 , a2 , ..., aq ∈ K ∪ {∞}. Khi đó, với các số nguyên dương kj ∈
Z+ ∪ {∞}, j = 1, 2, ..., q ta có


q
kj

− 2 T (r, f ) ≤
k
+
1
j=1 j

q

j=1

kj ¯
1
Nkj r,
kj + 1
f − aj

18

− log r + O(1).


Chương 2

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM
VÀ ĐA THỨC VI PHÂN
2.1

Không điểm của đạo hàm

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bổ đề dùng cho chứng
minh các kết quả chính trong phần sau.

2.1.1

Một số bổ đề cơ sở

g
∈ M(K) với g, h ∈ A(K) không có không điểm
h

chung. Cho b ∈ K∗ và a ∈ K là một không điểm của g h − gh + bg 2 mà

Bổ đề 2.1. Cho f =

không là không điểm của f + bf 2 . Khi đó a là một cực điểm đơn của f và
1
thặng dư của f tại a là resa (f ) = .
b
Chứng minh. Ta có

f + bf 2 =

g h − gh + bg 2
.
h2

Giả sử g (a)h(a) − g(a)h (a) + bg 2 (a) = 0 và f (a) + bf 2 (a) = 0. Khi đó,

h(a) = 0. Vì g và h không có không điểm chung nên g(a) = 0, vì thế mà
g (a)h(a) − g(a)h (a) + bg 2 (a) = 0 ⇔ h (a) − bg(a) = 0.
19


Vì h (a) = bg(a) nên h (a) = 0 với mọi b = 0. Vậy a là một cực điểm
g(a)
1
g(a)
1
đơn của f sao cho
= và resa (f ) =

= .
h (a)
b
h (a)
b
Chú ý 2.1. Cho hàm nguyên f khác hằng số trên K, khi đó ta biểu diễn

f (z) = az

m
zj ∈Ω,zj =0

z
1−
zj

kj

,

ở đó a ∈ K∗ , Ω là tập khác không điểm phân biệt của f và m = 0 nếu 0
không là không điểm của f . Ta đặt

f¯(z) = z m0

1−
zj ∈Ω,zj =0

z
zj

,

với m0 = 0 nếu 0 không là không điểm và m0 = 1 trong các trường hợp còn
lại. Khi đó, f¯ là hàm nguyên nhận các không điểm phân biệt của f làm các
không điểm, tất cả với bội 1.
Ta đặt f = f¯f˜ thì f˜ sẽ là một hàm nguyên nhận các không điểm bội q

(q ≥ 2) của f làm các không điểm, mỗi không điểm của hàm f˜ sẽ có bội
q − 1. Như vậy, mọi không điểm của f˜ đều là không điểm của f¯. Đặc biệt,
nếu f là hàm hằng, ta đặt f¯ = 1 và f˜ = f .
Ta cũng có thể đặt f = f˜g . Nếu a là một không điểm bội k + 1 của f
thì a là không điểm bội k của f và không là không điểm của g . Thật vậy,
nếu chúng ta giả sử a là không điểm bội k + 1 của f thì khi đó ta có thể
biểu diễn

f (z) = (z − a)k+1 .f1 (z),
ở đó f1 (a) = 0. Khi đó,

f (z) = (k + 1)(z − a)k .f1 (z) + (z − a)k+1 .f1 (z)
= (z − a)k [(k + 1).f1 (z) + (z − a).f1 (z)] ,
rõ ràng a là không điểm bội k của hàm f .
20