Xây dựng hệ thống bài tập chương trường hấp dẫn

VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trường hấp dẫn là một mô hình để giải thích sự ảnh hưởng của một vật thể
khối lượng lớn lên không gian xung quanh nó, tạo ra lực tác dụng lên một vật
thể có khối lượng khác, chuyển động của các hành tinh v.v… Trong Vật Lý, hệ
thông bài tập trong chương Trường hấp dẫn rất đa dạng và nhiều bài tập khó. Vì
vậy, để giúp sinh viên học tốt chương Trường hấp dẫn em xin chon đề tài “ Xây
dựng hệ thống bài tập chương Trường hấp dẫn ” nhằm hệ thống hóa cơ sở lý
thuyết của chương, giúp sinh viên nắm được bản chất, tính chất, đặc điểm của
Trường hấp dẫn. Nắm được cách giải các dạng bài tập liên quan đến lực hấp
dẫn, chuyển động của các hành tinh v.v…
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết của chương “ Trường hấp dẫn ’’.
- Xây dựng hệ thống bài tập minh họa .
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu cơ sở, nội dung cơ bản và các đặc trưng của Trường hấp dẫn .
- Hiểu rõ hơn về bản chất của Trường hấp dẫn, định luật hấp dẫn của Newton
để giải một số bài toán cơ bản.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Chương “ Trường hấp dẫn ”.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
1


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1

GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

B. NỘI DUNG
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN CỦA NEWTON
1. Nội dung định luật
Phát biểu: Mọi hạt trong vũ trụ hút các hạt khác với môt lực tỷ lệ thuận với
khối lương và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Lực này
có phương dọc theo đường nối tâm hai hạt. Cường độ của lực hấp dẫn có thể
được viết là
( I.1 )
Trong đó
là khối lượng của hai hạt, r là khoảng cách giữa chúng và G
là hằng số hấp dẫn được đo bằng thực nghiệm. Giá trị của G phải rất nhỏ, vì
chúng ta không nhận thức được lực hấp dẫn nào giữa các vật có kích thước
thông thường.
2. Vecto lực hấp dẫn
Chúng ta có thể viết định luật hấp dẫn của
Newton dưới dạng vecto như sau:
Như ta thấy trên hình I – 1 Hạt m 2 hút hạt
m
( I.2 )
với một lực hấp dẫn

1

hướng về phía hạt m2.

Và hạt m1 hút hạt m2 với một lực hấp dẫn
hướng về m1. Hai cặp lực và

làm thành
một cặp tác dụng – phản tác dụng và ngược chiều nhau, nhưng có cường độ
bằng nhau. Chúng phụ thuộc khoảng cách giữa hai hạt nhưng không phụ thuộc
vị trí của cả hai.
II. TRƯỜNG HẤP DẪN
1.Khái niệm trường hấp dẫn
Mọi tương tác đều thực hiện không phải một cách trực tiếp mà phải thông
qua một đối tượng trung gian truyền tương tác đó là trường. Trong trường hợp
lực hấp dẫn thì các vật tương tác với nhau nhờ trường hấp dẫn. Trường hấp dẫn
lan truyền trong không gian thực hiện các tương tác hấp dẫn.
2. Đặc điểm của trường hấp dẫn
Trường hấp dẫn có những đặc điểm sau đây:
- Là một dạng của vật chất và cũng có năng lượng.
- Lan truyền với một vận tốc hữu hạn v ≤ c, c là vận tốc ánh sáng trong chân
không.
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
2


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

- Là một thực thể độc lập.
- Tuân theo nguyên lý chồng chất: trường hấp dẫn tổng hợp bằng tổng các
trường hấp dẫn thành phần.
3. Các đại lượng đặc trưng của trường hấp dẫn
3.1. Thế năng hấp dẫn
Xét một quả bóng khối lượng m bắt đầu chuyển
động từ một điểm ở rất xa Trái Đất khối lượng M, và
rơi về phía điểm P, như trên hình II – 1. Thế năng của

hệ bóng – Trái Đất khi quả bóng tới điểm P là giá trị
âm của công do lực hấp dẫn thực hiện khi quả bóng
chuyển từ vị trí ở rất xa, tới điểm P.
Giới hạn tích phân là khoảng cách ban đầu của quả
bóng, mà ta đã cho là lớn vô hạn, và khoảng cách cuối
cùng x của nó.
( II.1 )
Vecto

trong phương trình ( II.1 ) hướng xuyên tâm vào trong, về phía

tâm Trái Đất trên hình II – 1 và vecto

hướng xuyên tâm ra ngoài, góc ϕ

giữa chúng là 1800. Như vậy
( II.2 )

(
3)

II.

Đối với
trong phương trình ( II.2 ), bây giờ ta thế phương trình định luật
hấp dẫn của Newton vào ( II.2 ) ta được
Thay kết quả của phương trình ( I.3 ) và phương trình ( I.1 ) ta được

( II. 4)
Phương trình ( II.4 ) chính là biểu thức thế năng hấp dẫn của một hệ hai hạt

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
3


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

3.2. Cường độ trường hấp dẫn
3.2.1. Gia tốc hấp dẫn
Giả sử rằng Trài Đất là một khối cầu đồng tính, không quay. Cường đồ lực hấp dẫn tác dụng vào
một hạt khối lượng m, ở ngoài Trái Đất, cách tâm Trái Đất một khoảng r là

( II. 5)
Nếu hạt được buông ra, thì lực hấp dẫn này làm cho nó rơi về phía tâm Trái
Đất với một gia tốc, mà ta sẽ gọi là gia tốc hấp dẫn ag.
Áp dụng định luật Newton thứ hai, dọc theo đường đi của hạt đang rơi, ta được

( II. 6)
Thay F từ phương trình ( II.6 ) vào phương trình ( II.5 ), giải theo ag ta được
( II. 7)
Gia tốc hấp dẫn ag thực sự là do lực hấp dẫn mà Trái Đất tác dụng vào hạt. Nó
khác với gia tốc rơi tự do g mà chúng ta đã đo, đối với một vật rơi, vì Trái Đất
thật lại không đồng tính, cũng không phải hình cầu và vì Trái Đất thật còn tự
quay.
Ta xét một cái thùng được đặt trên một bàn cân,
ở xích đạo ( Hình II – 2 )
Gia tốc hướng tâm của cái thùng hướng vào
tâm đường tròn mà nó đi theo, tâm này trùng với
tâm của Trái Đất. Trái Đất tác dụng vào thùng một

lực hấp dẫn có cường độ mag . Cái cân tác dụng
vào thùng một phản lực pháp tuyến , hướng lên.
Áp dụng định luật Newton thứ hai cho cái thùng, với chiều
dương là chiều hướng xuống, vào tâm Trái Đất ta được:

Cường độ của

là số chỉ của cân, và như vậy, là bằng

trọng lượng mg của thùng. Thế mg vào N trong phương trình
( II.8 ), ta được

Nó cho thấy rằng trọng lượng

( II. 9)
của cái thùng khác với cường độ hấp dẫn

. Chia phương trình ( II.9 ) cho m, thì thấy rằng
Đối với gia tốc hướng tâm

( II. 8)
Hình II – 2. Một cái thùng
đặt
lên bàn cần trên Trái Đất đang
quay. Nhìn theo trục quay của
Trái Đất, từ cực Bắc nhìn xuống.

, có giá trị bằng

cũng khác

.

, trong đó

là tốc độ góc

của sự tự quay của Trái Đất và R là bán kính Trái Đất. Nếu xét một chu kỳ
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
4


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

, gần đúng thời gian của một vòng tự quay của Trái Đất. Khi thế các giá
trị này là chia cho m trong phương trình ( II.9 ), ta được

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
5


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

(II. 10)
Như vậy, gia rơi tự do g (
) đo được ở xích đạo của Trái Đất thực,
đang quay thì hơi nhỏ hơn gia tốc hấp dẫn a g, do riêng lực hấp dẫn gây ra. Độ
chênh lệch giữa g và ag trở nên nhỏ dần, khi cái thùng chuyển động dần tới các

vĩ độ cao hơn. Trong nhiều bài toán thực tế chúng ta có thể coi gần đúng gia tốc
rơi tự do g chính là gia tốc hấp dẫn ag.
3.2.2. Cường độ trường hấp dẫn
Lực hấp dẫn do hạt khối lượng M tác dụng lên hạt khối lượng m là:

(II. 11)

Trong đó là vecto nối M đến m
Vecto gia tốc hấp dẫn có biểu thức:

(II. 12)
Vecto gia tốc hấp dẫn

còn được gọi là vecto cường độ trường hấp dẫn đặc

trưng cho độ mạnh yếu của trường hấp dẫn về phương diện tác dụng lực.
Độ lớn của
được gọi là cường độ trường hấp dẫn do hạt khối lượng M gây ra tại vị trí cách
nó một khoảng r.

(II. 13)
Vậy, khối lượng M đã sinh ra trong không gian xung quanh nó một trường
hấp dẫn
( làm biến đổi không gian xung quanh nó ). Một khối lượng m nào
đó đặt trong không gian ấy sẽ chịu tác dụng lực của trường hấp dẫn do M gây ra
có biểu thức xác định bời (II.13). Trường hấp dẫn do M gây ra tồn tại một cách
độc lập không phụ thuộc trong không gian có mặt hay không có mặt khối lượng m.
3.3. Nguyên lý chồng chất
Trường hấp dẫn tuân theo nguyên lý chồng chất: Trường tổng hợp của nhiều
khối lượng bằng tổng vecto của các trường do từng khối lượng riêng lẻ sinh ra.

Nói cách khác, tương tác hấp dẫn giữa 2 khối lượng không phụ thuộc sự có mặt
của khối lượng thứ 3, và trường của nhiều khối lượng chỉ cộng vào nhau một
cách đơn giản, chứ không tương tác lẫn nhau. Nếu trong không gian có các khối
lượng m1, m2…,mn thì trường chung của chúng là:
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
6


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

(II. 14)
Trong đó

lần lượt là các trường do từng khối lương riêng

lẻ m1, m2…,mn gây ra.
3.4. Thế hấp dẫn

(II. 15)
Cũng giống như đối với lực và trường, ta có thẻ viết thế năng của một khối
lương m như sau:
Trong đó là một đại lượng chỉ phụ thuộc M và khoảng cách từ M tới m,
biểu diễn thế năng của một đơn vị khối lượng và gọi là thế hấp dẫn do M gây ra
tại vị trí m.
Vậy thế hấp dẫn do khối lượng M gây ra tại vị trí cách nó một khoảng r là:

(II. 16)
Nếu có nhiều khối lượng thì thế tổng hợp của chúng tại một điểm P, theo
nguyên lý chông chất, sẽ là:

(II. 17)
Trong đó
là thế hấp dẫn do mỗi khối lượng M 1, M2,…, Mn
riêng lẻ gây ra tại điểm P và ri là khoảng cách từ khối lượng Mi tới điểm P.

(II. 18)
tới điểm có thế

Khi hạt khối lượng m chuyển dời từ một điểm có thế
thì công của lực hấp dẫn tạo ra sẽ là:
Giữa trường hấp dẫn và thế hấp dẫn cũng có mối liên hệ như giữa lực và
thế năng
Vì lực hấp dẫn có biểu thức

(II. 19)
Do đó
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
7


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

(II. 20)
=>
III. TRƯỜNG HẤP DẪN CỦA KHỐI CẦU
1. Thông lương vecto, vecto diện tích
Vecto diện tích nguyền tố
là một vecto có độ
lớn bằng diện tích mặt nguyên tố dS, có chiều là

chiều của vecto pháp tuyến của mặt.
Thông lượng của vecto

gửi qua mặt dS là:
(III. 1)

Ở đây

là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với .

Thông lượng của vecto

gửi qua cả mặt S là:

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
8


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

(III. 2)
Thông lượng có thể dương hay âm tùy thuộc vào góc , nghĩa là tùy thuộc
vào chiều của

. Nếu mặt S là một mặt kín thì người ta quy ước vecto

tại

mỗi điểm trên mặt có chiều hướng ta khỏi mặt. Khi đó thông lượng vecto

qua mặt kín S là:

gửi

(III. 3)
2. Định lý Gauss cho trường hấp dẫn
Xét trường hấp dẫn. Khi đó

là thông

lượng của vecto gửi qua mặt dS hay thông lượng
của trường hấp dẫn gửi qua mặt dS.
(III. 4)

Nếu ta vẽ mặt cầu có bán kính r tâm tại O và chứa mặt nguyên tố dS g thì góc khối
( góc trong không gian) nhìn từ tâm O của mặt cầu xuống diện tích dSg là:
(III. 5)
Vậy
Bây giờ ta xét hạt có khối lương M. Bao quanh khối lượng M đó bằng một mặt kín bất kỳ gọi là mẳ
Gauss. Ta tính thông lượng trường hấp dẫn gửi qua mặt Gauss đó:

(III.
6)
Bây giờ nếu đặt mặt Gauss có nhiều hat với các khối
lượng lần lượt là M1, M2,… với các vecto tương ứng là
thì:

Với
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
9

VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY
Vậy ta luôn có:

(III. 7)
Phương trình (III.7) là biểu thức của định lý Gauss cho trường hấp dẫn, phát
biểu như sau: Trông lượng trường hấp dẫn gửi qua mặt kín bất kỳ chia cho
lượng
bằng tổng các khối lượng chứa trong mặt kín đó.
Kết quả trên không phụ thuộc vào các khối lượng bên ngoài mặt Gauss vì
thông lượng của trường hấp dẫn do các khối lượng bên ngoài mặt Gauss gửi qua
mặt Gauss thì bằng 0.
3. Trường hấp dẫn của khối cầu
3.1. Nguyên lý đối xứng
Để tính trường hấp dẫn của khối cầu ta dùng nguyên lý đối xứng. Khi một bài
toán có các tính chất ( điều kiện ) đối xứng thì nghiệm của nó cũng phải có đặc
tính đối xứng. Nếu một vật có khối lượng phân bố đối xứng thì trường hấp dẫn
do nó sinh ra cũng có đặc tính đối xứng.
Vì vậy, trong định lý Gauss để tính toán thuận lợi ta phải chọn mặt Gauss sao
cho sử dụng được các đặc tính đối xứng của bài toán.
3.2. Trường hấp dẫn bên ngoài khối cầu
Ta sẽ tính tại điểm A bất kỳ bên ngoài quả cầu. Vì khối lượng phân bố đối
xứng cầu nên g cũng có tính chất đối xứng cầu.
Ta vẽ qua A một mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r = OA. Do tính đối
xứng nên có phương bán kính, chiều hướng vào tâm O ( vì đây là lực hút )
Vậy :
Mặt khác theo định lý Gauss:

(III. 8)
Vậy: Trường hấp dẫn do khối cầu gây ra tại một điểm bên ngoài khối cầu
giống với trường hấp dẫn của hạt đặt tại tâm khối cầu và mang toàn bộ khối
lượng của khối cầu.
3.3 Trường hấp dẫn bên trong khối cầu
Xét điểm A bất kỳ bên trong khối cầu. Vẽ qua A
một mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r = OA.
Do tính chất đối xứng, g phải như nhau trên mặt
Gauss và cũng có phương bán kính hướng vào O.
Mặc khác theo định lý
Gauss:
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
10


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

(III. 9)
(III.10)

Với mật độ khối
lượng của quả cầu:
Từ phương trình
(III.9) và (III.10)

ta rút ra được:

Từ đây ta có

(III.11)

Từ phương trình (III.11) ta có thể thấy lực hấp dẫn bên trong quả cầu tỷ lệ
nghịc với bán kính r. Càng đi sâu vào trong quả cầu, lực hấp dẫn càng giảm.
IV. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN XUYÊN TÂM
1. Chuyển động trong trường hấp dẫn của Trái Đất. Các vận tốc vũ trụ
1.1. Chuyển động tròn của vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất
Xét một vệ tinh có khối lượng m rất bé so với khối lượng của Trái Đất, vệ tinh
chuyển động quanh Trái Đất dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất.
Vệ tinh chuyển động với quỹ đạo tròn nên
Từ đó ta có vận tốc của vệ tinh là:

(IV.1)
1.2. Các vân tốc vũ trụ
1.2.1 Vận tốc vũ trụ cấp 1
Vận tốc vũ trụ cấp 1 là vận tốc phóng vật từ mặt đất theo phương ngang sao
cho vật trở thành vệ tinh của Trái Đất trên một quỹ đạo tròn sát mặt đất.
Áp dụng công thức ( IV.1 ) cho chuyển động của vệ tinh nhân tạo quay gần
mặt đất, ta có thể xem bán kinh quỹ đạo r bằng bán kính R của Trái Đất.
(IV.2)
Vận tốc này chính là vận tốc vũ trụ cấp 1
1.2.2. Vận tốc vũ trụ cấp 2
Vận tốc vũ trụ cấp 2 là vận tốc phòng vật từ mặt đất theo phương ngang sao
cho động năng của nó vừa đủ đề thắng công cản của lực hấp dẫn. Khi đó vật
thoát khỏi sức hút của Trái Đất, chuyển động ra xa vô cực.
Công của lực hấp dẫn bằng thế năng hấp dẫn nên

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
11

VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Thay

ta có vận tốc vũ trụ cấp 2

Thay

ta có vận tốc vũ trụ cấp 2
( IV.3)

Khi phóng vật từ mặt đất với vận tốc ban đầu
-

thì vật rơi trở lại mặt đất.

-

thì vật chuyển động tròn sát mặt đất.

, nếu:

thì vật chuyển động
quanh Trái Đất theo quỹ đạo elip.
thì vật chuyển động ra
ngoài vùng hấp dẫn của Trái Đất nghĩa
là nó không còn là vệ tinh của Trái Đất.
2. Chuyển động của các hành tinh

Vì khối lượng của Mặt Trời quá lớn
so với các hành tinh nên ta coi Mặt
Trời đứng yên, các hành tinh quay
quanh Mặt Trời dưới tác dụng của
trường hấp dẫn của Mặt Trời.
Nếu gọi M là khối lượng của Mặt Trời, r là khoảng cách từ tâm Mặt Trời tới
các hành tinh, v và m lần lượt là vận tốc và khối lượng của của hành tinh thì cơ
năng của hành tinh là:

Vì thế năng có dạng hypebol

luôn âm và triệt tiêu ở vô cực, nên

hạt m có năng lượng dương sẽ chuyển động ra xa vô cực trên quỹ đạo hypebol.
Các mức năng lượng âm
, ứng với chuyển động giới nội.
Qua quan sát chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời, ở thế kỷ XVIII,
nhà toán học và thiên văn học Kepler đã thiết lập được bằng thực nghiệm các
định luật chuyển động cơ bản của chúng. Các chuyển động ấy gọi là chuyển
động Kepler.

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
12


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

2.1. Định luật về quỹ đạo
Phát biểu: Tất cả các hành tinh

đều quay quanh Mặt Trời theo
những quỹ đạo elip mà Mặt Trời ở
một trong hai tiêu điểm.
Hình IV – 2 trình bày một hành
tinh có khối lượng m, chuyển động
trên một quỹ đạo như thế quanh Mặt
Trời, có khối lượng M. Ta giả sử
rằng
, từ đó khối tâm của hệ
hành tinh – Mặt Trời là ở tâm Mặt
Trời.
Hình IV – 2. Một hành tinh khối lượng m
Quỹ đạo trên hình IV – 2 được chuyển động trên một quỹ đạo elip quanh Mặt
mô tả bằng các cho biết nửa trục lớn Trời khối lương M ở một tiêu điểm F của elip.
a và tâm sai e của nó, tâm sai này Tiêu điểm kia là F’. Mỗi tiêu điểm ở cách tâm
được dịnh nghĩa sao cho ea là một khoảng ea, e là tâm sai của quỹ đạọ. Nửa
khoảng cách từ tâm của elip đến tiêu trục lớn a của elip. RP là khoảng cách gần Mặt
điểm F hoặc tiêu điểm F’. Tâm sai Trời nhất và Ra là khoảng cách xa Mặt Trời
bằng không ứng với đường tròn, nhất.
trong đó cả hai tiêu điểm hòa thành một điểm duy nhất ở tâm. Tâm sai của quỹ
đạo Trái Đất chỉ có 0,0167.
2.2. Định luật diện tích.
Phát biểu: Vecto nối Mặt Trời tới hành tinh quét những diện tích bằng nhau
trong những khoảng thời gian như nhau.

Hình IV – 3 (a) Trong thời gian đường r nối Mặt Trời với hành tinh quét một góc và
quét được diện tích . (b) Động lượng của hành tinh và các thành phần của nó.

Diện tích của phần bôi xám trên hình IV – 3a là diện tịch quét trong thời gian
. Diện tích

gần đúng là diện tích của tam giác có đáy

và có đường cao

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
13


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

r. Như vậy

. Biểu thức này của

trở nên chính xác hơn khi

dần tới không. Tốc độ tức thời mà diện tích được quét khi đó là:
( IV.4)
Trong đó, là tốc độ góc của đường quay, r là khoảng cách giữa Mặt Trời và
hành tinh.
Hình IV – 3b trình bày động lương của hạt cùng các thành phần của nó. Momen
động lượng của hành tinh đối với Mặt Trời được cho bởi tích của r với
( IV.5)
Từ phương trình ( IV.4 ) và ( IV.5 ) khử

ta được:

(IV.6)

Nếu

là không đổi thì phương trình ( IV.6 ) có nghĩa là momen động lượng

được bảo toàn. Như vậy, định luật thứ hai của Kepler tương đương với sự bảo
toàn momen động lượng.
2.3. Định luật về chu kì
Phát biểu: Bình phương chu kì của bất kì hành tinh nào cũng tỉ lệ với lập
phương của bán trục lớn của quỹ đạo nó.
Ta xét một quỹ đạo tròn, với bán kình r ( bán trục lớn).
Áp dụng định luật Newton thứ hai
cho hành
tinh đang quay trên hình IV – 4 ta được:
( IV.6)
Nếu ta thay bằng
động, thì ra được:

, trong đó T là chu kì chuyển
Hình IV – 4. Một hành
tinh khối lượng m
chuyển động quanh Mặt
(IV.7)
Trời, trên quỹ đạo tròn,
bán kính r.

Đại lượng trong dấu ngoặc là hằng số, giá trị của nó
chỉ phụ thuộc khối lượng của vật ở tâm.
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
14

VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
15


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

C. BÀI TẬP
Bài 1. Khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng Trái Đất 81 lần. Khoảng
cách giữa tâm Trái Đất và Mặt Trăng bằng 60 lần bán kính Trái Đất. Lực hút của
Mặt Trăng và Trái Đất tác dụng vào một vật cân băng nhau tại điểm nào trên
đường thẳng nối tâm của chúng.
Giải
Trái Đất có bán kính R,
khối lương M thì suy ra khối
lượng của Mặt Trăng là:
Khoảng cách từ Trái Đất
tới Mặt Trăng : 60R.
Gọi H là điểm mà tại đó
lực hấp dẫn của Mặt Trăng
lên điểm đó cân bằng với lực hấp dẫn của Trái Đất lên nó. Khoảng cách từ H
đến Mặt Trăng là

Giải phương trình trên ta suy ra
Bài 2. Khoảng cách giữa một hạt 5,2 kg và một hạt 2,4 kg phải là bao nhiêu
để lực hấp dẫn giữa chúng là

Giải
Biểu thức lực hấp dẫn
Suy ra

Bài 3. Một khối lượng

bị tách thành hai phần, m và

được đặt cách nhau một khoảng nào đó. Tỉ số
lực hấp dẫn giữa hai mảnh đạt cực đại ?
Giải
Lực hấp dẫn giữa hai mảnh là

, sau đó chúng

phải bằng bao nhiêu để cho

Theo bất đẳng thức cauchy thì: Tổng hai số dương
đổi thì tích

không

của chúng là lớn nhất khi chúng bằng nhau

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
16


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Điều đó có nghĩa là
khi
hay
Vậy khi tách M thành hai phần bẳng nhau thì lực hấp dẫn giữa chúng là mạnh
nhất.
Bài 4. Chứng minh rằng, ở đáy của một cái giếng thẳng đứng khoan đến tận
độ sâu D thì giá trị đo được của g sẽ là
Giải

Ta có
Tương tự: g ở độ sâu D là

Bài 5. Tính thời gian để
vật chuyển động từ A đến
B của đường hầm đào dọc
theo cát tuyến AB của Trái
Đất. Bỏ qua các lực cản và
lực ma sát. Coi bán kinh
Trái Đất
.
Giải
Ta có
và
Vậy
Gia tốc trọng trường của vật tại M là
Với
Vậy
Trọng lực tác dụng lên xe lửa là

Phân tích

thành hai thành phần :

song song với đường đi của vật và

vuông góc với đường đi của vật
Ta có
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
17


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

chi cho x ta được
Vậy

nghĩa là vật đang dao động điều hòa với chu kỳ T

Thời gian một lượt đi từ A đến B là:

Bài 6. Cho 5 khối lượng
được đặt vào 4 đỉnh và tâm của một hình
vuông cạnh a. Tìm lực hấp dẫn tổng hợp tại
tâm hình vuông đó.
Giải

và

và
Gọi hợp lực của

và

là

;

và

là

Về độ lớn ta có

Lực hấp dẫn tổng hơp tại O là
Về độ lớn

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
18


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Bài 7. Cho bốn vật hình cầu có khối
lượng lần lượt là
được
bố trí như hình 5. Viết lực hấp dẫn tổng
hợp tác dụng lên vật có khối lượng m

dưới dạng vecto.
Giải
Lực hấp dẫn tổng hợp tại vật khối
lượng m là:
Với

là lực do vật 4m tác dụng

vào vật m theo hướn của vecto ,

là

lực do vật 2m tác dụng vào vật m theo hướnng của vecto
3m tác dụng vào vật m gồm 2 thành phần

và

và

là lực do vật

.

Như vậy, vecto lực hấp dẫn tổng hợp tại m được viết lại:

Bài 8 . Cho 3 vật hình cầu có cùng khối
lượng , đặt trong không gian cách nhau
một khoảng hợp với nhau thành một tam
giác đều.
a. Tìm lực hấp dẫn tác dụng lên mỗi vật.

b. Tìm thế năng hấp dẫn của hệ trên.
Giải
a. Vecto lực hấp dẫn do 2 vật tác dụng vào
vật còn lại có biểu thức:

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
19


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Về độ lớn
Suy ra
b. Thế năng hấp dẫn của hệ 2 vật cho bởi công thức :
Với bài toán hệ 3 vật, ta áp dụng biểu thức tính thế năng cho mỗi cặp trong 3
cặp trên hình 4. Từ đó thể năng của hệ là :

Bài 9. Hai vật khối lượng M được đặt cách nhau một khoảng 2R, vật thứ 3 có
khối lượng m đặt cách trung điểm của đường nối 2 vật khối lượng M là x như
hình 1. Tìm lực hấp dẫn tác dụng vào quả cầu khối lượng m ?
Giải
Độ lớn lực hấp dẫn do 2 vật khối lượng M tác
dụng vào vật khối lượng m là:
Lưc hấp dẫn tổng hợp tại m là:
Áp dụng định lý hàm Cos, ta được:
Suy ra:

Bài 10. Một chiếc nhẫn hình tròn
khối lượng M có bán kính R. Vật khối

lượng m được được trên trục của hình
tròn, cách tâm của nó một đoạn là x
(như hình ). Tìm lực hấp dẫn của chiếc
nhẫn tác dụng lên vật khối lượng m.
Giải
Ta xét 1 khối lượng vi phân dM của
chiếc nhẫn. Từ đó ta có
V
ới

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
20


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Và
Suy ra

( 2.1 )

Bây giờ, chúng ta phải xác định khối
lượng vi phân dM, theo hình 2.2 ta được:
( 2.2 )

Từ ( 2.1 ) và ( 2.2 ) suy ra:

Xét cho cả chiếc nhẫn thì ta có lực hấp dẫn mà chiếc nhân tác dụng lên khối
lượng m sẽ là:

Bài 11. Một quả cầu khối lượng
m đặt cách một thanh đồng chất
một đoạn a trên phương kéo dài
của thanh. Thanh có chiều dài
khối lượng . Tìm lưc hút của
thanh lên quả cầu.

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
21


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Giải
Ta chia nhỏ khối lượng của thanh, xét một khối lượng vi phần dM, gọi
mật độ khối lượng của thanh trên một đơn vị độ dài. Từ đó ta được

Lực hấp dẫn do khối lượng

là

của thanh tác dụng lên vật khối lượng m là

Xét cho cả thanh khối lượng M thì lực hút của thanh tác dụng lên vật khối
lượng m lúc này là

Bài 12. Trong một quả cầu đặc động chất, bán kính R, người ta khoét một lỗ
hình cầu có bán kính 0,5R. Tìm lực tác dụng lên vật nhỏ m nằm trên đường nối

hai hình cầu và cách tâm hình cầu lớn một khoảng d, biết rằng khi chưa khoét
quả cầu có khối lượng M.
Giải
Gọi
là khối lượng của quả cầu có
bán kính 0,5R.
là lực hấp dẫn giữa quả cầu đã bị
khoét O với vật m.
là lực hấp dẫn giữa quả cầu có bán
kính 0,5R O’ với vật m.
là lực hấp dẫn giữa quả cầu đăc bán
kính R với vật m.
Về độ lớn, ta có

(*)
Vì khối lượng tỷ lệ với thể tích nên

Thay vào (*) ta được
SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
22


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Bài 13. Một vật đặt ở xịch đạo Trái Đất được gia tốc
Trái Đất, vì Trái Đất tự quay,

hướng về phía tâm

về phía Mặt Trời vì Trái Đất quay quanh Mặt

Trời trên một quỹ đạo gần như tròn,

về phía tâm Thiên Hà của chúng ta. Chu

kỳ quay của Mặt Trời quanh tâm Thiên Hà là

năm và khonagr cách từ

Mặt Trời tới tâm đó là

m. Hãy tính ba gia tốc đó theo
Giải
Vật được gia tốc về phía tâm Trái Đất với gia tốc

Với

.

là vận tốc góc quay của Trái Đất

là bán kính Trái Đất

Gia tốc của vật về phía Mặt Trời là
( coi Trái Đất là một chất điểm nên
cũng chính là gia tốc của Trái Đất về phía Mặt Trời ).

Coi Trái Đất và Mặt Trời đều nằm tại một điểm đó là tâm Mặt Trời, gia tốc
của vật vê phía tâm thiên hà cũng là gia tốc của Mặt Trời về phía tâm thiên hà.

Bài 14. Một hạt bụi sao Chổi có khối lượng m cách tâm Trái Đất một khoảng
R và cách tâm Mặt Trăng một khoảng r. Nếu khối lượng Trái Đất là
và khối
lượng Mặt Trăng là

thì thế năng hấp dẫn của hạt là bao nhiêu ?
Giải
Thế năng của m trong trọng trường của Trái Đất là

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
23


VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Thế năng của

trong trọng trường của Mặt Trăng là

Thế năng hấp dẫn U của m là

Bài 15. Hai sao nơtron ở cách nhau

. Mỗi sao có khối lượng

và bán kính
m. Ban đầu, sao này đứng yên so với sao kia
a. Chúng sẽ chuyển động nhanh bao nhiêu nếu khoảng cách giữa chúng giảm

xuống còn một nửa giá trị ban đầu ?
b. Ngay trước khi va chạm với nhau, thì chúng chuyển động nhanh bao nhiêu?
Giải
Xét chuyển động của hệ theo một hệ quy chiếu quán tính.
Động lượng lúc đầu
Động lượng lúc sau
Theo định luật bảo toàn động lượng
Suy ra
Theo đề bài
Về đô lớn
Cơ năng lúc đầu của hệ
Cơ năng lúc sau của hệ
Theo định luật bảo toàn năng lượng
(*)
a. Xét trường hợp
Thay vào (*).

=

;

b. Xét trường hợp lúc trước va chạm thì

;

. Thay vào (*)

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
24

VẬT LÝ NHẬP MÔN 1
GVHD: NGUYỄN THỊ THỦY

Bài 16. Một tên lửa được bắn thẳng đứng từ bề mặt sao Hỏa với tốc độ
. Nếu 20% năng lượng ban đầu của nó bị mất do sức cản của khí quyển
sao Hỏa, tên lửa này sẽ đi từ bề mặt sao Hỏa với độ cao lớn nhất là bao nhiêu
trước khi quay trở lại. Cho khối lượng sao Hỏa
; bán kính
sao Hỏa

;

.
Giải

Động năng ban đầu của tên lửa
Thế năng hấp dẫn tại bề mặt sao Hỏa
Với m là khối lượng của tên lửa, M khối lượng của sao Hỏa, R bán kính sao
Hỏa. Từ đó, ta có năng lượng ban đầu của tên lửa là:
Gọi h là độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được.
Do 20% động năng ban đầu bị mất đi, nên tên lửa chỉ còn lại 80% động năng
để đạt đến độ cao h.
Khi tên lửa ở vị trí cao nhất, thì năng lượng của nó chỉ còn ở dạng thế năng
hấp dẫn
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
Hay

SVTH: TRƯƠNG VĂN THIỆN
25