Cac bai hinh hoc trong de tuyen sinh lop 10 nam 2019

1

100 BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO THPT

Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và
y
CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại
A
tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
x
N
D
E
a) Chứng minh: BEDC nội tiếp.
M
b) Chứng minh: DEA ACB .
c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến
O
tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
B
C
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
Chứng minh: AO là phân giác của MAN
e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB.
GIẢI
a) Chứng minh: BEDC nội tiếp.
̂ =𝐵𝐷𝐸
̂ = 900 Do hai điểm D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc 900 Nên BEDC là
CM 𝐵𝐸𝐶
tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: DEA ACB .

̂ +𝐵𝐸𝐷
̂ = 1800
Do tứ giác BEDC mội tiếp nên → 𝐴𝐶𝐵
̂ + 𝐵𝐸𝐷
̂ = 1800 ( Hai góc kề bù)
Tại điểm E ta có : 𝐴𝐸𝐷
→ DEA ACB .
c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
̂ =𝐴𝐶𝐵
̂ (Cùng chắn cung AB)
Kẻ xy là tiếp tuyến với (O) tại A Suy ra 𝑥𝐴𝐵
̂ =𝐴𝐸𝐷
̂ (cmb)
Mặt khác 𝐴𝐶𝐵
̂ =𝐴𝐸𝐷
̂ Mà 2 góc này ở vị trí là 2 góc slt → xy//ED
→ 𝑥𝐴𝐵
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Chứng minh: AO là phân giác của MAN
Do xy là tiếp tuyến của (O) nên ta có xy  AO Mà xy //ED(cm ở câu c) → ED  AO →
MN  AO Mà OA=R →OA là trung trực MN →AM=AN →∆ AMN cân tại A →
̂
AO là phân giác 𝑀𝐴𝑁
e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB.
̂ =𝐴𝑀𝐸
̂
Do AM=AN (cmt) → AM  AN → 𝑀𝐵𝐴
̂ =𝐴𝑀𝐸
̂ ; 𝑀𝐴𝐸
̂ =𝑀𝐴𝐵
̂ →∆ AME ∽ ∆ ABM →

Xét ∆ AME và ∆ AMB ta có : 𝑀𝐵𝐴
𝐴𝑀 𝐴𝐵
=
→AM.AM=AB.AE → 𝐴𝑀2 =AB.AE
𝐴𝐸

𝐴𝑀

Tuấn Đỗ Ngọc

1
0389956418


2

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 2: Cho(O) đường kính AC. Trên đoạn
D
OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’,
đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn
I
AB. Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;
DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
A
C
a) Tứ giác ADBE là hình gì?
M
O B O'

b) Chứng minh: DMBI nội tiếp.
c) Chứng minh: B, I, C thẳng hàng và
MI = MD.
d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC
E
d) Chứng minh: MI là tiếp tuyến của (O’)
GIẢI
a). Tứ giác ADBE là hình gì?
Do MA=MB và ABDE tại M nên ta có DM=ME.
ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE là hình thoi.
b )C/m DMBI nội tiếp.
̂ =1v.Mà 𝐷𝑀𝐵
̂ =1v(gt)𝐵𝐼𝐷
̂ +𝐷𝑀𝐵
̂ =2vđpcm.
BC là đường kính,I(O’) nên 𝐵𝐼𝐷
c)C/m B;I;E thẳng hàng.
Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường
̂ =1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI
tròn)BEDC; CMDE(gt).Do 𝐵𝐼𝐶
và BE cùng vuông góc với DC → B;I;E thẳng hàng.
C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung tuyến của
tam giác vuông DEI MI=MD.
d) C/m MC.DB=MI.DC.
̂ =𝐼𝑀𝐵
̂ cùng chắn cung MI do DMBI nội
Hãy chứng minh MCI∽ DCB (𝐶̂ chung ; 𝐵𝐷𝐼
tiếp)
e)C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

̂ = 𝑂’𝐶𝐼.
̂ Tứ giác MBID nội tiếp 𝑀𝐼𝐵
̂ =𝑀𝐷𝐵
̂ (cùng chắn
-Ta có O’IC cân 𝑂’𝐼𝐶
̂ (cùng chắn
̂ =𝑀𝐸𝐵
̂ Do MECI nội tiếp 𝑀𝐸𝐵
̂ =𝑀𝐶𝐼
cung MB) BDE cân ở B 𝑀𝐷𝐵
cung MI)
̂ = 𝑀𝐼𝐵
̂ =𝑂’𝐼𝐶
̂ +𝐵𝐼𝑂’
̂ =1v
̂  𝑀𝐼𝐵
̂ +𝐵𝐼𝑂’
Từ đó suy ra 𝑂’𝐼𝐶
Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’).

Tuấn Đỗ Ngọc

2
0389956418


3

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 3: Cho ABC có A 90 0 . Trên AC lấy
điểm M sao cho AMO đường kính CM; đường thẳng BM cắt (O)
tại D; AD kéo dài cắt (O) tại S.
a) Chứng minh: BADC nội tiếp.
b) BC cắt (O) ở E. Chứng minh rằng: ME là
phân giác của AED .
c) Chứng minh: CA là phân giác của BCS .

A

S

D
M

O
B

C

E

GIẢI
a) Chứng minh: BADC nội tiếp.
C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông. →đpcm.
b) BC cắt (O) ở E. Chứng minh rằng: ME là phân giác của AED .
Hãy c/m AMEB nội tiếp.
Cm
̂ Cùng chắn cung AM)

̂ =𝐴𝐸𝑀(
𝐴𝐵𝑀
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂ ( Cùng chắn cung MD)
𝐴𝐵𝑀
̂ =𝐷𝑀𝐸
̂ ( Cùng chắn cung MD)
𝐴𝐶𝐷
̂ =𝑀𝐸𝐷
̂ →ME là phân giác AED →đpcm.
→ 𝐴𝐸𝑀
c) Chứng minh: CA là phân giác của BCS .
̂ (Cùng chắn cung AB)
-̂
𝐴𝐶𝐵= 𝐴𝐷𝐵
̂ =𝐷𝑀𝑆
̂ +𝐷𝑆𝑀
̂ (Góc ngoài tam giác MDS)
-𝐴𝐷𝐵
̂ = 𝐷𝐶𝑀
̂ (Cùng chắn cung MD)
-Mà 𝐷𝑆𝑀
̂ = 𝐷𝐶𝑆
̂(Cùng chắn cung DS)
𝐷𝑀𝑆
̂ +𝐷𝑆𝑀
̂ =̂
̂ → 𝑀𝐷𝑆
̂ +𝐷𝑆𝑀
̂ =𝑆𝐶𝐴.

̂ → 𝐴𝐷𝐵
̂ = 𝑆𝐶𝐴
̂ Vậy 𝐴𝐶𝐵
̂ = 𝑆𝐴𝐶
̂ →
𝑀𝐷𝑆
𝑆𝐷𝐶 +𝐷𝐶𝑀
̂ →đpcm.
AC là phân giác 𝐵𝐶𝑆
Bài 4: Cho ABC có A 90 0 .Trên cạnh AC
lấy điểm M sao cho AM >MC. Dựng đường
tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này
cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D
và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
a) Chứng minh: ADCB nội tiếp.
b) Chứng minh: ME là phân giác của AED .
c) Chứng minh: ASM ACD .
d) Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD
đồng quy.
GIẢI

Tuấn Đỗ Ngọc

A
S
M
B

O

E

D

C

3
0389956418


4

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

a) Chứng minh: ADCB nội tiếp.
Hãy chứng minh:
̂ =̂
𝑀𝐷𝐶
𝐵𝐷𝐶 =1v
Từ đó suy ra A và D nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông…
b) Chứng minh: ME là phân giác của AED .
Do ABCD nội tiếp nên
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂ (Cùng chắn cung AD)
𝐴𝐵𝐷
̂ =𝑀𝐸𝐷
̂ (Cùng chắn cung MD)
Do MECD nội tiếp nên 𝑀𝐶𝐷
̂ =1v𝑀𝐸𝐵

̂ =𝐴𝐵𝐷.
̂
̂ =1v ABEM nội tiếp𝑀𝐸𝐴
Do MC là đường kính;E(O)𝑀𝐸𝐶
̂ =𝑀𝐸𝐷
̂ →đpcm
̂ ME là phân giác 𝐴𝐸𝐷
𝑀𝐸𝐴
c) Chứng minh: ASM ACD .
̂ +𝑆𝐷𝑀
̂ (Góc ngoài tam giác SMD)
Ta có 𝐴̂
𝑆𝑀=𝑆𝑀𝐷
̂ =𝑆𝐶𝐷
̂ (Cùng chắn cung SD)
Mà 𝑆𝑀𝐷
̂ =𝑆𝐶𝑀
̂ (Cùng chắn cung SM)𝑆𝑀𝐷
̂ +𝑆𝐷𝑀
̂ =𝑆𝐶𝐷
̂ +𝑆𝐶𝑀
̂ =𝑀𝐶𝐷
̂ →
𝑆𝐷𝑀
̂
𝐴 𝑆𝑀= ̂
𝐴𝐶𝐷 →đpcm
d) Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
Tự CM như câu b bài số 2
e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy.

Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác
KBCKM là đường cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng
đpcm.
Bài 5: Cho ABC có 3 góc nhọn và AB <
A
AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ
đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E, F
theo thứ tự là chân đường vng góc kẻ từ B
I
E
N
và C xuống đường kính AA’.
a) Chứng minh: AEDB nội tiếp.
D
b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C
C
B
M
c) Chứng minh: DE  AC.
F
d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:
A'
MD = ME = MF.
GIẢI
a) Chứng minh: AEDB nội tiếp.
.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…)
b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C
Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng.
c) Chứng minh: DE  AC.

Tuấn Đỗ Ngọc

4
0389956418


5

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc
BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc
ACA’=1v nên DEAC.
d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:MD = ME = MF.
Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là
trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung
trực của DE ME=MD.
̂ =𝐴’𝐴𝐶
̂ (Cùng chắn
 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)𝐴’𝐵𝐶
̂ =𝐹𝐷𝐶
̂ =𝐹𝐷𝐶
̂ (Cùng chắn cung FC) 𝐴’𝐵𝐶
̂ hay
cung A’C). Do ADFC nội tiếp 𝐹𝐴𝐶
̂ =1vMIDF. (Đường kính MIdây cung DF)MI là đường trung
DF//BA’ Mà 𝐴𝐵𝐴’
trực của DFMD=MF. Vậy MD=ME=MF.
Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp

trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt
là chân các đường vng góc kẻ từ M đến BC
và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm
FE.
a) Chứng minh: MFEC nội tiếp.
b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM
c) Chứng minh: AMP ∽ FMQ.
d) Chứng minh: PQM 90 0 .

M
A

P

E
O Q

B

F

C

GIẢI
a)C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)
b)C/m BM.EF=BA.EM
C/m:EFM∽ABM:
̂ =𝐴𝐶𝑀

̂ (Vì cùng chắn cung AM)
Ta có 𝐴𝐵𝑀
̂ =𝐹𝐸𝑀
̂ (Cùng chắn cung FM).
Do MFEC nội tiếp nên 𝐴𝐶𝑀
̂ =𝐹𝐸𝑀
̂ .(1)
𝐴𝐵𝑀
̂ =𝐴𝐶𝐵
̂ (Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên 𝐹𝑀𝐸
̂
̂ =𝐹𝐶𝑀
Ta lại có 𝐴𝑀𝐵
̂ =𝐹𝑀𝐸
̂ .(2)
(Cùng chắn cung FE).𝐴𝑀𝐵
Từ (1)và(2) suy ra :EFM∽ABM đpcm.
c)C/m AMP∽FMQ.

Tuấn Đỗ Ngọc

5
0389956418


6

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên)

2 AP AM
AP AM



2 FQ MF
FQ FM

AB AM

FE MF

m AM=2AP;FE=2FQ (gt) 

̂ =𝑀𝐹𝑄
̂ (suy ra từ EFM∽ABM)
và 𝑃𝐴𝑀

Vậy: AMP∽FMQ.
d)C/m góc:PQM=90o.
̂ =𝐹𝑀𝑄
̂ 𝑃𝑀𝑄
̂ =𝐴𝑀𝐹
̂ PQM∽AFM 𝑀𝑄𝑃
̂ =𝐴𝐹𝑀
̂
Do 𝐴𝑀𝑃
̂ =1v𝑀𝑄𝑃
̂ =1v(đpcm).
Mà 𝐴𝐹𝑀

Bài 7: Cho (O) đường kính BC, điểm A nằm
trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho
A
AB = AD. Dựng hình vng ABED; AE cắt
(O) tại điểm thứ hai F; Tiếp tuyến tại B cắt
đường thẳng DE tại G.
B
C
a) Chứng minh BGDC nội tiếp. Xác định tâm
O
D
I của đường tròn này.
F
b) Chứng minhBFC vng cân và F là tâm
I
đường tròn ngoại tiếp BCD.
E
c) Chứng minh: GEFB nội tiếp.
c) Chứng tỏ:C, F, G thẳng hàng và G cũng
G
nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Có
nhận xét gì về I và F
GIẢI
a)C/m BGEC nội tiếp:
-Sử dụng tổng hai góc đối…
-I là trung điểm GC.
b)C/mBFC vuông cân:
̂
̂ (Cùng chắn cung BF) mà 𝐹𝐵𝐴
̂ =45o (tính chất hình vuông)𝐵𝐶𝐹

̂ =45o.
𝐵𝐶𝐹=𝐹𝐵𝐴
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆ BFC vuông cân tại F →đpcm.
𝐵𝐹𝐶
C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.Ta đi c/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do BFC vuông cân nên BC=FC. Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
̂𝐹 =𝐹𝐸𝐷
̂ =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).BFE=E FD (c-g𝐵𝐸
c)BF=FDBF=FC=FD.đpcm.
c)C/m GE FB nội tiếp:
Do BFC vuông cân ở F Cung BF=FC=90o.
o

o

 sđg GBF= 1 Sđ cung BF= 1
2

2

.90 =45 .(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
̂ =45o.ta lại có 𝐹𝐸𝐷
̂
̂ =45o(tính chất hình vuông)𝐹𝐸𝐷
̂ =𝐺𝐵𝐹
̂ +̂
Mà 𝐹𝐸𝐷
𝐹𝐸𝐺 =2v𝐺𝐵𝐹
̂ =2v  Tứ giác GEFB nội tiếp.
+𝐹𝐸𝐺

d)C/m C;F;G thẳng hàng:
̂ =𝐵𝐸𝐺
̂
Do tứ giác GEFB nội tiếp 𝐵𝐹𝐺
Tuấn Đỗ Ngọc

6
0389956418


7

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

̂ =1v𝐵𝐹𝐺
̂ =1v.Do BFG vuông cân ở F𝐵𝐹𝐶
̂ =1v.𝐵𝐹𝐺
̂
mà 𝐵𝐸𝐺
̂ =2vG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên… :Do 𝐺𝐵𝐶
̂= ̂
+𝐶𝐹𝐵
𝐺𝐷𝐶 =1vTâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại tiếp BCD.
Dễ dàng c/m được I F.
Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong
A
(O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt
F
nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song

với AB, đường này cắt đường tròn ở E và F,
O
cắt AC ở I (E nằm trên cung nhỏ BC).
I
a) Chứng minhBDCO nội tiếp.
C
b) Chứng minh: DC2 = DE.DF.
B
c) Chứng minh:DOIC nội tiếp.
E
d) Chứng tỏ I là trung đ iểm FE.
D

GIẢI
a)C/m:BDCO nội tiếp
(Dùng tổng hai góc đối)
b)C/m:DC2=DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung.
1
2

SđgócECD= sđ cung EC(Góc giữa tiếp tuyến và một dây)
1
̂ =𝐷𝐹𝐶.
̂ DCE ∽DFCđpcm.
Sđ góc E FC= sđ cung EC(Góc nội tiếp)𝐸𝐶𝐷
2

c)C/m DOIC nội tiếp:
1

2

Ta có: sđgóc BAC= sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)
Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt
̂ 2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc
nhau);OD chungBOD=COD ̂
𝐵𝑂𝐷 =𝐶𝑂𝐷
1
2

DOC= sđcungBC (2)
̂ =𝐵𝐴𝐶.
̂
Từ (1)và (2)𝐷𝑂𝐶
̂ =𝐷𝐼𝐶
̂ (Đồng vò) 𝐷𝑂𝐶
̂ =̂
Do DF//AB𝐵𝐴𝐶
𝐷𝐼𝐶
 Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau…Tứ giác DOIC
nội tiếp → đpcm
d)Chứng tỏ I là trung điểm EF:
̂ =̂
Do DOIC nội tiếp  𝑂𝐼𝐷
𝑂𝐶𝐷(cùng chắn cung OD)
̂ =1v(tính chất tiếp tuyến)𝑂𝐼𝐷
̂ =1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông
Mà 𝑂𝐶𝐷
góc với dây cung EFI là trung điểmEF.

Tuấn Đỗ Ngọc

7
0389956418


8

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 9: Cho (O), dây cung AB. Từ điểm M bất
M
kỳ trên cung AB(M  A và M  B), kẻ dây cung
P
MN vng góc với AB tại H. Gọi MQ là đường
A
B
cao của MAN.
H
I
a) Chứng minh4 điểm A, M, H, Q cùng nằm
Q
trên một đường tròn.
O
b) Chứng minh: NQ.NA =NH.NM
c) Chứng minh: MN là phân giác của BMQ .
d) Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN; Xác
định vị trí của M trên cung AB để
N
MQ.AN + MP.BN có GTLN

GIẢI
a) C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.
Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:-Cùng nhìn đoạn thẳng …một góc vuông.
-Tổng hai góc đối.
b)C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xét hai vuông NQM và NAH đồng dạng.
c)C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai cách:
 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M
̂
̂ =𝑁𝐴𝐻
̂ (Cùng phụ với 𝐴𝑁𝐻)
Cách 2: 𝑄𝑀𝑁
̂ =𝑁𝑀𝐵
̂ (Cùng chắn cung NB)đpcm
𝑁𝐴𝐻
d) Xác đònh vò trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trò lớn nhất.
Ta có
2SMAN=MQ.AN
2SMBN=MP.BN.
2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN
Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2.

AB  MN
2

=AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính
M là điểm chính giữa cung AB.

Tuấn Đỗ Ngọc

8
0389956418


9

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngồi tại
B
A (R > r). Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC
E
C
(B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên
đư ờng tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp
F
N
tuyến tại A của hai đường tròn ở E.
a) Chứng minh tam giác ABC vng ở A.
A
I
O
b) O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F. Chứng
minh N, E, F, A cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng tỏ : BC2 = 4Rr
d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r
GIẢI

1/C/m ABC vuông: Do BE và AE là hai tiếp tuyến cắt nhau nênAE=BE; Tương tự
1
2

AE=ECAE=EB=EC= BC.ABC vuông ở A.
2/C/m A;E;N;F cùng nằm trên…
-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì EO là phân giác của tam giác cân
̂ =1v
AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay 𝐸𝑁𝐴
̂ =1vTổng hai góc đối……4 điểm…
Tương tự 𝐸𝐹𝐴
3/C/m BC2=4Rr.
Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ở E và
EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
AH2=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu)
Mà AH=

BC
và
2

OA=R;AI=r

BC 2
 RrBC2=Rr
4

4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO=

S=

OB  IC
 BC
2

( r  R ) rR
2

Tuấn Đỗ Ngọc

9
0389956418


10

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai
điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường
thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn
OB). Từ B hạ đường vng góc với AM tại H,
cắt AO kéo dài tại I.
a) Chứng minhOMHI nội tiếp.
b) Tính góc OMI.
c) Từ O vẽ đường vng góc với BI tại K.
Chứng minh: OK = KH
d) Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên
OB.

x
A

M
O
H

O
I

B

y

K

GIẢI
1/C/m OMHI nội tiếp:
Sử dụng tổng hai góc đối.
̂ =?
2/Tính 𝑂𝑀𝐼
Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M
Nên M là trực tâm của tam giác ABI
IM là đường cao thứ 3 IMAB
̂ =𝐴𝐵𝑂
̂ (Góc có cạnh tương ứng vuông góc)
𝑂𝐼𝑀
̂ =45o𝑂𝑀𝐼
̂ =45o
Mà  vuông OAB có OA=OB OAB vuông cân ở O 𝑂𝐵𝐴

3/C/m OK=KH
̂ =𝐻𝑂𝐵
̂ + 𝐻𝐵𝑂
̂ (Góc ngoài OHB)
Ta có 𝑂𝐻𝐾
̂ =𝐴𝐻𝐵
̂ =1v) 𝐻𝑂𝐵
̂ =𝐻𝐴𝐵
̂ (Cùng chắn cung HB) và 𝑂𝐵𝐻
̂
Do AOHB nội tiếp(Vì 𝐴𝑂𝐵
̂ (Cùng chắn cung OH) 𝑂𝐻𝐾
̂=̂
̂ =𝑂𝐴𝐵
̂ =45o.
= 𝑂𝐴𝐻
𝐻𝐴𝐵+𝐻𝐴𝑂
OKH vuông cân ở KOH=KH
4/Tập hợp các điểm K…
Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường tròn đường
kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là
đường tròn đường kính OB.

Tuấn Đỗ Ngọc

10
0389956418

1

4


11

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD
C
vng góc với AB tại F. Trên cung BC lấy
M
điểm M.Nối A với M cắt CD tại E.
N
a) Chứng minh: AM là phân giác của góc
E
CMD.
A
B
b) Chứng minh: EFBM nội tiếp.
F
O
I
2
c) Chứng tỏ: AC = AE.AM
d) Gọi giao điểm CB với AM là N; MD với AB
là I. Chứng minh: NI //CD
e) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp
D
CIM
GIẢI

1/C/m AM là phân giác của góc CMD
̂ =𝐴𝑂𝐷
̂
Do ABCD AB là phân giác của tam giác cân COD. 𝐶𝑂𝐴
̂ = 𝐴𝑂𝐷
̂ nên các cung bò chắn bằng nhau  cung AC= cung
Các góc ở tâm là 𝐴𝑂𝐶
̂ =𝐴𝑀𝐷
̂
ADcác góc nội tiếp chắn các cung này bằng nhau.Vậy 𝐶𝑀𝐴
2/C/m EFBM nội tiếp.
̂ = 1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có 𝐴𝑀𝐵
̂ = 1v(Do ABEF)
𝐸𝐹𝐵
̂ +𝐸𝐹𝐵
̂ =2vđpcm.
𝐴𝑀𝐵
3/C/m AC2=AE.AM
̂ = 𝐴𝑀𝐷
̂ cùng chắn cung AD và 𝐴𝑀𝐷
̂ = 𝐶𝑀𝐴
̂
C/m hai ACE∽AMC (𝐴̂ chung;𝐴𝐶𝐷
̂ =𝐴𝑀𝐶
̂ )…
cmt 𝐴𝐶𝐸
4/C/m NI//CD.
̂ =𝐴𝑀𝐷
̂

Do cung AC=AD 𝐶𝐵𝐴
̂ M và B cùng làm với hai đầu
(Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) hay ̂
𝑁𝑀𝐼=𝑁𝐵𝐼
̂ +𝑁𝐼𝑀
̂ =2v. mà 𝑁𝑀𝐵
̂
đoạn thẳng NI những góc bằng nhauMNIB nội tiếp 𝑁𝑀𝐵
̂ =1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.
=1v(cmt) 𝑁𝐼𝐵
5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM.
Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM.
 Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI
̂ (cùng chắn cung MN)
Do MNIB nội tiếp(cmt)  ̂
𝑁𝐼𝑀 = 𝑁𝐵𝑀
̂ = 𝑀𝐴𝐶
̂ (cùng chắn cung CM)
𝑀𝐵𝐶
̂ =1v(góc nội tiếp 𝐴𝐶𝐵
̂ =1v); 𝑁𝐼𝐴
̂ =1v(vì 𝑁𝐼𝐵
̂ =1v)ACNI nội tiếp
Ta lại có 𝐶𝐴𝑁
̂
𝐶𝐴𝑁
̂= ̂
=̂
𝐶𝐼𝑁 (cùng chắn cung CN) 𝐶𝐼𝑁
𝑁𝐼𝑀IN là phân giác CIM

Vậy N là tâm đường tròn……

Tuấn Đỗ Ngọc

11
0389956418


12

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường
tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến
ADE. Gọi H là trung điểm DE.
a) Chứng minh: A, B, H, O, C cùng nằm trên
1 đường tròn.
b) Chứng minh: HA là phân giác của BHC .
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng
minh: AB2 = AI.AH.
d) BH cắt (O) ở K.Chứng minh: AE // CK.

B

E

H

I

D
A

O
K
C

GIẢI
1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EBOHED(đường
̂ =1v. Mà 𝑂𝐵𝐴
̂ =𝑂𝐶𝐴
̂ =1v (Tính chất tiếp tuyến)
kính đi qua trung điểm của dây …)𝐴𝐻𝑂
A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.
̂
2/C/m HA là phân giác của 𝐵𝐻𝐶.
̂ =𝑂𝐴𝐶
̂ và AB=AC
Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau 𝐵𝐴𝑂
̂ = 𝐵𝑂𝐴
̂ (Cùng chắn
cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà 𝐵𝐻𝐴
̂ = 𝐶𝐻𝐴
̂ (cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC  𝐶𝑂𝐴
̂ = 𝐵𝑂𝐻
̂
cung AB) và 𝐶𝑂𝐴
̂ = 𝐴𝐻𝐵
̂ đpcm.
𝐶𝐻𝐴

̂ = 𝐵𝐻𝐴
̂
3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và 𝐶𝐵𝐴
hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ABH∽AIBđpcm.
4/C/m AE//CK.
̂ =𝐵𝐶𝐴
̂ (cùng chắn cung AB) và sđ 𝐵𝐾𝐶
̂ = 1 Sđ cungBC(góc nội tiếp)
Do 𝐵𝐻𝐴
Sđ
̂ =𝐵𝐾𝐶
̂ CK//AB
𝐵𝐻𝐴

2
1
̂ = sđ
𝐵𝐶𝐴
2

Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R, xy là
tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính
bất kỳ. Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo
thứ tự là M, N.
a) Cmr: MCDN nội tiếp.
b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
MCDN và H là trung điểm MN. Cmr: AOIH
là hình bình hành.
d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm

O thì I di động trên đường nào?
GIẢI
1/ C/m MCDN nội tiếp:
Tuấn Đỗ Ngọc

cung BC(góc giữa tt và 1 dây)

A

D
C

x

M

O

B

H

N y

I

12
0389956418

13

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

̂ =𝐶𝐴𝑂;
̂ 𝐶𝐴𝑂
̂ =𝐴𝑁𝐵
̂ (cùng phụ với 𝐴𝑀𝐵
̂ ) 𝐴𝐶𝐷
̂ =𝐴𝑁𝑀.
̂
AOC cân ở O𝑂𝐶𝐴
̂ +𝐷𝐶𝑀
̂ =2v𝐷𝐶𝑀
̂ +𝐷𝑁𝑀
̂ =2v DCMB nội tiếp.
Mà 𝐴𝐶𝐷

2/C/m: AC.AM=AD.AN
Hãy c/m ACD∽ANM.
3/C/m AOIH là hình bình hành.
 Xác đònh I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI là giao điểm dường
trung trực của CD vàMNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậy
cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng
đường vuông góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I.
̂
Do H là trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông AMN𝐴𝑁𝑀
̂ Mà 𝐴𝑁𝑀
̂ =𝐵𝐴𝑀
̂ =𝐴𝐶𝐷

̂ (cmt)𝐷𝐴𝐻
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂
=𝑁𝐴𝐻
̂ +𝐴𝐶𝐷
̂ =1v𝐷𝐴𝐾
̂ +𝐴𝐷𝐾
̂ =1v hay AKD vuông
Gọi K là giao điểm AH và DO do 𝐴𝐷𝐶
ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.
4/Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổiCD quay xung quanh O thì I nằm
trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung
A
nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vng góc
H
với các cạnh AB, BC, AC. Gọi H là hình chiếu
x
của D lên tiếp tuyến Ax của (O).
a) Chứng minh: AHED nội tiếp
Q P
O
G
b) Gọi giao điểm của AE với HD và HB với
F
(O) là P và Q, ED cắt (O) tại M.
C
B

Chứng minh: HA.DP = PA.DE
E
c) Chứng minh: QM = AB
M
d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH
D
e) Chứng minh: E, F, G thẳng hàng (đường
thẳng Sim sơn)
GIẢI
1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng
AD…)
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xét ∆ HAP và ∆ EPD có :
̂ =𝑃𝐸𝐷
̂ = 900
𝐴𝐻𝑃
̂ = 𝐸𝑃𝐷
̂ ( đối đỉnh )
𝐻𝑃𝐴
→∆ HAP ∆ EDP → Tỷ số →đpcm

Tuấn Đỗ Ngọc

13
0389956418


14

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

3/C/m QM=AB:
̂ =𝐻𝐷𝑀
̂
Do HPA∽EDP𝐻𝐴𝐵
̂ = 1 sđ cung AB
Mà sđ 𝐻𝐴𝐵
Sđ

2
̂=1
𝐻𝐷𝑀
2

sđ cung QM

 AM  QM AB=QM → (đpcm)

4/C/m: DE.DG=DF.DH .
Xét hai tam giác DEH và DFG có:
̂ =𝐻𝐷𝐸
̂ (cùng chắn cung HE)(1)
Do tứ giác EHAD nội tiếp 𝐻𝐴𝐸
̂ (cùng chắn cung ED)(2)
̂ =𝐸𝐴𝐷
Và 𝐸𝐻𝐷
̂ =𝐹𝐶𝐺
̂ (cùng chắn cung FG)(3)
Vì ̂𝐹 =𝐺̂ = 900 DFGC nội tiếp𝐹𝐷𝐺
̂= ̂

𝐹𝐺𝐷
𝐹𝐶𝐷(cùng chắn cung FD)(4)
̂ =𝐵𝐶𝐴
̂ =𝐻𝐴𝐵
̂ (5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Nhưng 𝐹𝐶𝐺
̂ =𝐵𝐴𝐷
̂ (cùng chắn cungBD) 𝐸𝐻𝐷
̂ (7)
̂ =𝐹𝐺𝐷
Từ (2);(4) và 𝐵𝐶𝐷
Từ (6)và (7)EDH∽FDG

ED DH

DF DG

đpcm.

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:
̂ =𝐵𝐷𝐸
̂ (cmt)và ̂
Ta có 𝐵𝐹𝐸
𝐺𝐹𝐶 = ̂
𝐶𝐷𝐺 (cmt)
̂
̂
̂+ ̂
̂
Do ABCD nội tiếp𝐵𝐴𝐶 +𝐵𝑀𝐶 =2v;Do GDEA nội tiếp 𝐸𝐷𝐺

𝐸𝐴𝐺 =2v. 𝐸𝐷𝐺
̂ mà 𝐸𝐷𝐺
̂ =𝐸𝐷𝐵
̂
̂ +𝐵𝐷𝐺
=𝐵𝐷𝐶
̂ =𝐵𝐷𝐺
̂ +𝐶𝐷𝐺
̂ 𝐸𝐷𝐵
̂ ̂
̂ =𝐶𝐷𝐺
và 𝐵𝐶𝐷
𝐺𝐹𝐶 = ̂
𝐵𝐸𝐹 E;F;G thẳng hàng.
Bài 16: Cho tam giác ABC có A 90 0 , AB <
N
AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK  BC
(K nằm trên BC). Trên tia đối của tia AC lấy
M
K
điểm M sao cho MA = AK.
a) Chứng minh: ABIK nội tiếp được trong
A
đường tròn tâm I.
b) Chứng minh: BMC = 2ACB
c) Chứng tỏ BC2 = 2AC.KC
C
d) AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.
B
I

Chứng minh AC = BN
GIẢI
1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)
̂ =2𝐴𝐶𝐵
̂
2/C/m 𝐵𝑀𝐶
̂ =𝐴𝐾𝐵
̂
Do ABMK và MA=AK(gt)BMK cân ở B𝐵𝑀𝐴
̂ =𝐾𝐵𝐶
̂ +𝐾𝐶𝐵
̂ (Góc ngoài tam giac KBC).
Mà 𝐴𝐾𝐵
Do I là trung điểm BC và KIBC(gt) KBC cân ở K
̂ =𝐾𝐶𝐵
̂
𝐾𝐵𝐶
̂ =2 𝐴𝐶𝐵
̂
Vậy 𝐵𝑀𝐶
Tuấn Đỗ Ngọc

14
0389956418


15

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT
2

3/C/m BC =2AC.KC
Xét 2  vuông ACB và ICK có 𝐶̂ chungACB∽ICK

 AC
IC



CB
CK

IC= BC  AC
2

BC
2



BC
CK

đpcm

4/C/m AC=BN
̂ =𝐼𝐴𝐶
̂ +̂
̂ =𝐼𝐶𝐴
̂  𝐴𝐼𝐵

̂ =2 𝐼𝐴𝐶
̂
Do 𝐴𝐼𝐵
𝐼𝐶𝐴 (góc ngoài IAC) và IAC Cân ở I𝐼𝐴𝐶
̂ (Cùng chắn cung AB-Tứ giác AKIB nội tiếp)
̂ = 𝐵𝑀𝐾
̂ và 𝐵𝐾𝑀
̂ = 𝐴𝐼𝐵
(1). Ta lại có 𝐵𝐾𝑀
̂ =𝐵𝑀𝐾
̂ +𝑀𝐴𝑁
̂ (Góc ngoài ∆ MNA) Do MNA cân ở
̂ (2) Mà 𝐵𝑀𝐾
̂ =𝑀𝑁𝐴
𝐴𝐼𝐵
̂ =𝑀𝑁𝐴
̂ BMK=2MNA(3)
M(gt)𝑀𝐴𝑁
̂ =𝑀𝑁𝐴
̂ và 𝑀𝐴𝑁
̂ =𝐼𝐴𝐶
̂ (đ đ)…
Từ (1);(2);(3)𝐼𝐴𝐶
5/C/m NMIC nội tiếp:
̂ =̂
̂  hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)
̂ =𝑀𝐶𝐼
Do 𝑀𝑁𝐴
𝐴𝐶𝐼 hay 𝑀𝑁𝐼
Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm

C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác
C
của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu
H
của M lên AC và BC.
O
A
B
a) Chứng minh:MOBK nội tiếp.
I
b) Tứ giác CKMH là hình vng.
Q
c) Chứng minhH;O;K thẳng hàng.
P
K
d) Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động
M
trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường
nào?
GIẢI
1/C/m:BOMK nội tiếp:
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có 𝐵𝐶𝐴
̂ 𝐴𝐶𝑀
̂ =𝑀𝐶𝐵
̂ =45o.
CM là tia phân giác của 𝐵𝐶𝐴
cungAM= cung MB=90o.
̂ = 𝐵𝐾𝑀
̂ =1v

dây AM= dây MB có O là trung điểm AB OMAB hay 𝐵𝑂𝑀
BOMK nội tiếp.
2/C/m CHMK là hình vuông:
Do  vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên CHM vuông cân ở H HC=HM, tương tự
̂ =𝐾
̂ =1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
CK=MK Do ̂𝐶 =𝐻
CHMK là hình vuông.
3/C/m H,O,K thẳng hàng:
Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tại trung điểm I của
MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một dây…)
Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng.
̂ =1v;OM cố đònhI nằm trên đường tròn đường kính OM.
4/Do 𝑂𝐼𝑀
Tuấn Đỗ Ngọc

15
0389956418


16

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

-Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O)
thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM.
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a,
BC = a. Kẻ tia phân giác của ACD , từ A hạ
AH vng góc với đường phân giác nói trên.
a) Chứng minh: AHDC nội tiếp trong ( O) mà

A
B
ta phải định rõ tâm và bán kính theo a.
M
b) HB cắt AD tại I và cắt AC tại M; HC cắt
I
J
H
O
DB tại N. Chứng tỏ HB = HC. Và AB.AC =
N
BH.BI
K
C
D
c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại
H của (O)
d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;
đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng
minh HOKD nội tiếp.
GIẢI
̂ = 𝐴𝐶𝐻
̂ (Cùng chắn cung AH)
Xét hai HCAABI có 𝐴̂=̂
𝐻=1v và 𝐴𝐵𝐻

 HCA∽ABI  HC
AB



AC
BI

mà HB=HC đpcm

3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx.
̂ =𝐻𝑂𝐷
̂
DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HOD 𝐴𝑂𝐻
màAOD cân ở OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)
̂ =𝐴𝐶𝐻
̂ =𝐻𝐵𝐷
̂ hay 𝑀𝐵𝑁
̂
̂ 𝐻𝐵𝐷
̂ =𝐴𝐶𝐻
̂ =𝑀𝐶𝑁
Do cung AH=HD  𝐴𝐵𝐻
hay 2 điểm B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội
̂ =𝑁𝐵𝐶
̂ (cùng chắn cung NC) mà ̂
̂ (cùng chắn cung DC) 𝑁𝑀𝐶
̂
tiếp𝑁𝑀𝐶
𝐷𝐵𝐶 =𝐷𝐴𝐶
̂ MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx.
=𝐷𝐴𝐶
4/C/m HOKD nội tiếp:
̂ =𝐵𝐷𝐽

̂ (so le)cung BJ=HD=AH= AD mà cung AD=BCcung
Do DJ//BH𝐻𝐵𝐷
2

̂ (cùng chắn 2
̂ = 1v . 𝐻𝐽𝐷
̂ =𝐴𝐶𝐻
BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính  𝐻𝐷𝐽
̂ = 𝑂𝐶𝐾
̂ CJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng
cung bằng nhau) 𝑂𝐽𝐾
̂= ̂
̂ =𝐷𝐴𝐶
̂ (cùng chắn cung
nhauOKCJ nội tiếp 𝐾𝑂𝐶
𝐾𝐽𝐶 (cùng chắn cung KC);𝐾𝐽𝐶
̂ =𝐷𝐴𝐶
̂ OK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp.
DC)𝐾𝑂𝐶

Tuấn Đỗ Ngọc

16
0389956418


17

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính
AB, bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên
cung BC. Kẻ đường cao CH của ACM.
a) Chứng minh AOHC nội tiếp.
b) Chứng tỏ CHM vng cân và OH là
phân giác của COM .
c) Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt
(O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân.
d) BM cắt OH tại N.
A
Chứng minh: BNI ∽ AMC, từ đó suy ra:
BN.MC = IN.MA.
GIẢI
1/C/m AOHC nội tiếp:
(học sinh tự chứng minh)
2/C/mCHM vuông cân:
Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90o.
Ta lại có:

N

C
D
I

M

H

O

B

1
2

Sđ CMA= sđcung AC=45o.CHM vuông cân ở M.
̂ :Do CHM vuông cân ở HCH=HM; CO=OB(bán
C/m OH là phân giác của 𝐶𝑂𝑀
̂ = 𝐻𝑂𝑀
̂ đpcm.
kính);OH chungCHO=HOM𝐶𝑂𝐻

3/C/m:CDBM là thang cân:
Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà
̂ mà 𝐼𝐶𝑀
̂ =𝑀𝐷𝐵
̂ (cùng chắn cung BM)
IOHICM cân ở I ̂
𝐼𝐶𝑀= 𝐼𝑀𝐶
̂
̂
𝐼𝑀𝐶 = ̂
𝐼𝐷𝐵 hay CM//DB.Do IDB cân ở I ̂
𝐼𝐷𝐵=𝐼𝐵𝐷
̂ = 𝑀𝐷𝐶
̂ (cùng chắn cungCM) nên 𝐶𝐷𝐵
̂ =𝑀𝐵𝐷
̂ CDBM là thang cân.
và 𝑀𝐵𝐶

4/C/m BNI và AMC đồng dạng:
Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM.
̂
Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có 𝐶𝑀𝐻
̂
̂ =45oMNH vuông cân ở M vậy CHMN là hình vuông  ̂
=45o 𝑁𝐻𝑀
𝐼𝑁𝐵=𝐶𝑀𝐴
=45o.
Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…
và CAM=CBM(cùng chắn cung CM)
INB=CMA đpcm

Tuấn Đỗ Ngọc

17
0389956418


18

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 20: Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R).
Trên AB và AC lấy hai điểm M; N sao cho
BM = AN.
a) Chứng tỏ OMN cân.
b) Chứng minh: OMAN nội tiếp.
c) BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.
Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2.

d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp
tuyến tại A của (O) cắt FC tại I; AO kéo dài
cắt BC tại J. Chứng minh: BI đi qua trung
điểm của AJ.

F

A

I

M

E

D
K

O
B

J

N
C

GIẢI
1/C/m OMN cân:
Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)AO và BO là phân giác của ABC
̂ =𝑂𝐵𝑀

̂ =30o; OA=OB=R và BM=AN(gt)OMB=ONA
𝑂𝐴𝑁
OM=ON OMN cân ở O.
2/C/m OMAN nội tiếp:
̂ =𝐴𝑁𝑂
̂
do OBM=ONA(cmt)𝐵𝑀𝑂
̂ + 𝐴𝑀𝑂
̂ =2v𝐴𝑁𝑂
̂ +𝐴𝑀𝑂
̂ =2v.
mà 𝐵𝑀𝑂
AMON nội tiếp.
3/C/m BC2+DC2=3R2.
Do BO là phân giác của đều BOAC hay BOD vuông ở D.p dụng hệ thức Pitago
ta có:
BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2=
=BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)
̂ =30o. 𝐴𝑂𝐶
̂ =120o𝐴𝑂𝐸
̂ =60o AOE là tam giác
Mà OB=R.AOC cân ở O có 𝑂𝐴𝐶
đều có ADOEOD=ED=

R
2

p dụng Pitago ta có:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)
Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R.

R
2

+CD2-CD2=3R2.

4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ.
̂ =30o.
Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có 𝐵̂ =60o𝐵𝐹𝐶

BC= 1 BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung
2

điểm BFI là trung điểm CF. Hay FI=IC.

Tuấn Đỗ Ngọc

18
0389956418


19

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT
AK BK

EI
BI
KJ
BK
có:


CJ
BI

Do AK//FI.p dụng hệ quả Talét trong BFI có:
Do KJ//CI.p dụng hệ quả Talét trong BIC



AK KJ

FI
CI

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)
Bài 21: Cho ABC ( A  90 0 )nội tiếp trong
đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm
A
cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC
D
M
cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.
I
a) Chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp và
CN.AB = AC.MN.
B
C
O N
b) Chứng tỏ B, M, D thẳng hàng và OM là tiếp
tuyến của (I).

E
c) Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. Chứng
minh BMOE là hình bình hành.
d) Chứng minh NM là phân giác của AND .
GIẢI
1/
C/m ABNM nội tiếp:
(dùng tổng hai góc đối)
C/m CN.AB=AC.MN
Chứng minh tam giác vuông ABC và tam giác vuông NMC đồng dạng.
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I)
2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có 𝑀𝐷𝐶
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)
hay MD  DC. 𝐵𝐷𝐶
Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vuông góc với
DCB;M;D thẳng hàng.
C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì M;O là
trung điểm của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO
là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung
điểm BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là hình
bình hành.
4/C/m MN là phân giác của góc AND:
̂ =𝑀𝑁𝐴
̂ (cùng chắn cung AM)
Do ABNM nội tiếp 𝑀𝐵𝐴
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂ (cùng chắn cung AD)
𝑀𝐵𝐴
̂ =𝑀𝑁𝐷

̂ (cùng chắn cung MD)
Do MNCD nội tiếp 𝐴𝐶𝐷
̂ =𝑀𝑁𝐷
̂ đpcm.
 𝐴𝑁𝑀

Tuấn Đỗ Ngọc

19
0389956418


20

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 22: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng
a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.
A
M
D
Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;
BC, các đường này cắt AB; BC; CD; DA lần
lượt ở P; Q; N; M
F
a) Chứng minh INCQ là hình vng.
E
b) Chứng tỏ NQ // DB.
I
c) BI kéo dài cắt MN tại E; MP cắt AC tại F.

P
N
Chứng minh MFIN nội tiếp được trong đường
tròn. Xác định tâm.
d) Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích
C
B
Q
của nó theo a.
e) Chứng minh: MFIE nội tiếp.
GIẢI
1/C/m INCQ là hình vuông:
MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN
̂ =45o(Tính chất đường chéo hình vuông)NIC
NC=IQ=PD NIC vuông ở N có 𝐼𝐶𝑁
vuông cân ở NINCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:
Do ABCD là hình vuông DBAC
Do IQCN là hình vuông NQIC
Hay NQACNQ//DB.
̂ =1v;𝑀𝐼𝑁
̂ =1v(gt)
3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vuông)𝑀𝐹𝐼
hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp.
Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:
Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m
thang cân nội tiếp.
1
2

1
2

1
2

1
2

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= SAMIP+ SMDNI+ SNIQC+ SPIQB
1
2

1
2

= SABCD= a2.
5/C/m MFIE nội tiếp:
Ta có tam giác vuông BPI= tam giác vuông IMN(do PI=IM;PB=IN; 𝑃̂= ̂𝐼 =1v.
̂ mà 𝑃𝐵𝐼
̂ =𝐸𝐼𝑁
̂ (đ đ) 𝐼𝑀𝑁
̂ =𝐸𝐼𝑁
̂
̂
𝑃𝐼𝐵=𝐼𝑀𝑁
̂ +𝐸𝑁𝐼
̂ =1v𝐸𝐼𝑁
̂ +̂

̂ =1v mà 𝑀𝐹𝐼
̂ =1v ̂
̂ =2v
Ta lại có 𝐼𝑀𝑁
𝐸𝑁𝐼 =1v𝐼𝐸𝑁
𝐼𝐸𝑀+𝑀𝐹𝐼
Tứ giác FMEI nội tiếp

Tuấn Đỗ Ngọc

20
0389956418


21

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 23: Cho hình vng ABCD, N là trung
điểm DC; BN cắt AC tại F. Vẽ đường tròn tâm
B
A Q
O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo
dài cắt AD ở M; MN cắt (O) tại I.
E
M
a) Chứng minh MDNE nội tiếp.
H
b) Chứng tỏ BEN vng cân.
O

I
c) Chứng minh MF đi qua trực tâm H của
F
BMN
d) Chứng minh BI = BC và IE F vng.
D
C
N
e) NE cắt AB tại Q. Chứng minh MQBN là
hình thang cân
GIẢI
1/C/m MDNE nội tiếp.
̂ =1v(góc nt chắn nửa đường tròn)
Ta có 𝑁𝐸𝐵
̂ =1v;𝑀𝐷𝑁
̂ =1v(t/c hình vuông)
𝑀𝐸𝑁
̂ +𝑀𝐷𝑁
̂ =2vđpcm
𝑀𝐸𝑁
2/C/m ∆ BEN vuông cân:
̂ cùng chắn cung BE) mà ̂
̂ = 900 (cmt)Do CBNE nội tiếp𝐸𝑁𝐵
̂ =𝐵𝐶𝐸
𝑁𝐸𝐵
𝐵𝐶𝐸 =45o(t/c
̂ =45ođpcm.
hv) 𝐸𝑁𝐵
3/C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.
̂ =1v(góc nt chắn nửa đ/tròn)

Ta có 𝐵𝐼𝑁
BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của
EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.
Do H là trực tâm BMNMHBN(1)
̂ =45o(t/c hv); 𝑀𝐵𝐹
̂ =𝑀𝐵𝐹
̂ =45o(cmt)𝑀𝐴𝐹
̂ =45oMABF nội
𝑀𝐴𝐹
̂ + 𝑀𝐹𝐵
̂ =1v(gt)𝑀𝐹𝐵
̂ =2v mà 𝑀𝐴𝐵
̂ =1v hay MFBM(2)
tiếp.𝑀𝐴𝐵
Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng.
̂ =𝑁𝐸𝐶
̂
4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;𝑁𝐵𝐶
̂ =𝐹𝑀𝑁
̂ =𝑀𝐹𝑁
̂ =1vMEFN nội tiếp𝑁𝐸𝐶
̂ (cùng chắn
(cùng chắn cung NC).Do 𝑀𝐸𝑁
̂ BCN=BIN.BC=BI
̂ =𝐼𝐵𝑁
̂ (cùng phụ với 𝐼𝑁𝐵
̂ )𝐼𝐵𝑁
̂ =𝑁𝐵𝐶
cung FN); 𝐹𝑀𝑁
̂ (cùng chắn cung EB) và 𝐸𝐶𝐵

̂ =45o 𝐸𝐼𝐵
̂ =𝐸𝐶𝐵
̂ =45o
*C/m IEF vuông:Ta có 𝐸𝐼𝐵
̂ +𝐻𝐹𝑁
̂ =2vIHFN nội tiếp ̂
̂ (cùng chắn cung HF);mà 𝐻𝑁𝐹
̂
Do 𝐻𝐼𝑁
𝐻𝐼𝐹 = 𝐻𝑁𝐹
̂ =45o . Từvà 𝐸𝐼𝐹
̂ =1v đpcm
=45o(do EBN vuông cân)𝐻𝐼𝐹
5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Xét
vuông ABM và ∆ vuông BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIM
̂ =𝑀𝐵𝐼
̂ ;ABI cân ở B có BM là phân giác BM là đường trung trực của QH.
𝐴𝐵𝑀
̂ =2v(do ENBM theo cmt)
*C/m MQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có 𝐴̂ +𝑄𝐸𝑁
̂ = 𝑀𝑄𝐸
̂ (cùng chắn cung ME) mà 𝑀𝐴𝐸
̂ =45o và 𝐸𝑁𝐵
̂ =45o(cmt)
AMEQ nội tiếp𝑀𝐴𝐸
̂ =𝐵𝑁𝑄
̂ =45o MQ//BN.ta lại có 𝑀𝐵𝐼
̂
̂ =𝐸𝑁𝐼
̂ (cùng chắn cungEN) và ̂

𝑀𝑄𝑁
𝑀𝐵𝐼=𝐴𝐵𝑀
Tuấn Đỗ Ngọc

21
0389956418


22

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

̂ +𝑀𝐵𝑁
̂+45o(vì 𝑀𝐵𝑁
̂ =̂
̂ =𝐴𝐵𝑀
̂ =45o)𝑀𝑁𝐵
̂=
Và 𝐼𝐵𝑁
𝑁𝐵𝐶 (cmt) QBN=𝐴𝐵𝑀
o
̂ MQBN là thang cân.
̂ +𝐸𝑁𝐵
̂ =𝑀𝐵𝐼
̂ +45  𝑀𝑁𝐵
̂ =𝑄𝐵𝑁
𝑀𝑁𝐸
Bài 24: Cho ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Vẽ
A
đường cao AH. Từ H kẻ HK; HM lần lượt vng

góc với AB; AC. Gọi J là giao điểm của AH và
MK.
M
a) Chứng minh AMHK nội tiếp.
J
K
b) Chứng minh JA.JH = JK.JM
B
C
c) Từ C kẻ tia Cx vng góc với AC và Cx cắt
H
I
AH kéo dài ở D. Vẽ HI; HN lần lượt vng
N
góc với DB và DC. Cmr : HKM  HCN
d) Chứng minh M; N; I; K cùng nằm trên một
D
đường tròn.
GIẢI
1/C/m AMHK nội tiếp:
Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
̂ =𝐾𝐽𝐻
̂(đđ).
Xét ∆ JAM và ∆ JHK có: 𝐴𝐽𝑀
̂ = 𝐻𝐾𝑀
̂ ( cùng chắn cung HM)JAM∽JKHđpcm
Do tứ giác AKHM nt 𝐻𝐴𝑀
̂
̂ =𝐻𝐶𝑁

3/C/m 𝐻𝐾𝑀
̂ (cùng chắn cung HM)
̂ =𝐻𝐴𝑀
Vì AKHM nội tiếp 𝐻𝐾𝑀
̂ = 𝑀𝐻𝐶
̂ (cùng phụ với ̂
Mà 𝐻𝐴𝑀
𝐴𝐶𝐻).
̂ =𝑀𝐶𝑁
̂ =𝐶𝑁𝐻
̂ =1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay 𝑀𝐻𝐶
̂ =𝐻𝐶𝑁
̂
Do 𝐻𝑀𝐶
̂
̂ =𝐻𝐶𝑁.
𝐻𝐾𝑀
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
̂ =𝐵𝐻𝐼
̂ (cùng chắn cung BI);𝐵𝐻𝐼
̂ =𝐼𝐷𝐻
̂ (cùng phụ với ̂
Do BKHI nội tiếp𝐵𝐾𝐼
𝐼𝐵𝐻)
̂ =𝐼𝑁𝐻
̂ (cùng chắn cung IH) ̂
̂
Do IHND nội tiếp𝐼𝐷𝐻
𝐵𝐾𝐼=𝐻𝑁𝐼
̂ =𝐴𝐻𝑀

̂ (cùng chắn cung AM);𝐴𝐻𝑀
̂ =𝑀𝐶𝐻
̂ (cùng phụ với
Do AKHM nội tiếp𝐴𝐾𝑀
̂)
𝐻𝐴𝑀
̂ =𝑀𝑁𝐻
̂ =𝑀𝑁𝐻
̂ (cùng chắn cung MH)𝐴𝐾𝑀
̂
Do HMCN nội tiếp𝑀𝐶𝐻
̂ +𝑀𝐾𝐼
̂ =2v ̂
̂ +𝑀𝐾𝐼
̂ =2v hay ̂
̂ =2v M;N;I;K
mà ̂
𝐵𝐾𝐼+𝐴𝐾𝑀
𝐻𝑁𝐼+𝑀𝑁𝐻
𝐼𝐾𝑀+𝑀𝑁𝐼
cùng nằm trên một đường tròn.

Tuấn Đỗ Ngọc

22
0389956418


23

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 25: Cho ABC ( A  90 0 ), đường cao
A
AH. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt
E
đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E; Trung
tuyến AM của ABC cắt DE tại I.
B
a) Chứng minh D; H; E thẳng hàng.
M
C
H
b) Chứng minh BDCE nội tiếp. Xác định tâm
D
I
O của đường tròn này.
c) Chứng minh AM  DE.
O
d) Chứng minh AHOM là hình bình hành.
GIẢI
1/C/m D;H;E thẳng hàng:
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)DE là đường kính D;E;H
Do 𝐷𝐴𝐸
thẳng hàng.
2/C/m BDCE nội tiếp:
̂ =𝐻𝐴𝐷
̂
HAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H) 𝐻𝐴𝐷
̂ =𝐻𝐶𝐴

̂ (Cùng phụ với HAB)
Mà 𝐻𝐴𝐷
̂
̂ =𝐵𝐶𝐸
𝐵𝐷𝐸
Hai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…
Xác đònh tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.
3/C/m:AMDE:
BC
̂ =𝑀𝐶𝐴
̂ ;mà 𝐴𝐵𝐸
̂ =𝐴𝐶𝐵
̂
Do M là trung điểm BCAM=MC=MB=
𝑀𝐴𝐶
2

̂ =𝐴𝐷𝐸.
̂
(cmt)𝑀𝐴𝐶
̂ +𝐴𝐸𝐷
̂ =1v(vì 𝐴̂=1v)𝐶𝐴𝑀
̂ +𝐴𝐸𝐷
̂ =1v 𝐴𝐼𝐸
̂ =1v vậy AMED.
Ta lại có:𝐴𝐷𝐸
4/C/m AHOM là hình bình hành:
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECD  OM là đường trung trực của BC
OMBCOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)OHDE mà

AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.
Bài 26: Cho ABC có 3 góc nhọn, đường cao
I
AH. Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB; I
A
là điểm đối xứng của H qua AC. E; F là giao
F
điểm của KI với AB và AC.
a) Chứng minh: AICH nội tiếp.
E
M
b) Chứng minh: AI = AK
c) Chứng minh: Các điểm: A, E, H, C, I cùng
K
nằm trên một đường tròn.
d) Chứng minh: CE; BF là các đường cao của
C
B
H
ABC

Tuấn Đỗ Ngọc

23
0389956418


24

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

e) Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của
HFE chính là trực tâm của ABC.
GIẢI
1/C/m AICH nội tiếp:
Do I đx với H qua ACAC là trung trực của HIAI=AH và HC=IC;AC chung
AHC=AIC(ccc)
̂ =𝐴𝐼𝐶
̂ mà 𝐴𝐻𝐶
̂ =1v(gt)𝐴𝐼𝐶
̂ =1v
𝐴𝐻𝐶
̂ +𝐴𝐻𝐶
̂ =2v AICH nội tiếp.
𝐴𝐼𝐶
2/C/m AI=AK:
Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực
của KHAH=AK AI=AK(=AH)
3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:
̂
DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA chung;AH=AKAKE=AHE𝐴𝐾𝐸
̂ màAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI) AKI=AIK.𝐸𝐻𝐴
̂ =𝐴𝐼𝐸
̂  hai điểm I
= 𝐸𝐻𝐴
và K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là
(C)
Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’)  (C) và (C’) trùng nhau vì có
chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng)
4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC.

̂ =1vAC là đường kính.𝐴𝐸𝐶
̂ =1v
Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có 𝐴𝐼𝐶
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của ABC.Chứng minh tương tự
ta có BF là đường cao…
5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE.
̂ = 𝑀𝐵𝐸
̂ (Cùng chắn cungEM)
EBHM nt 𝑀𝐻𝐸
̂ =𝑀𝐻𝐹
̂
𝐸𝐻𝑀
̂ (Cùng chắn cung EF)
̂ = 𝐸𝐶𝐹
BEFC nt 𝐹𝐵𝐸
HA là pg…
̂ =𝐹𝑀𝐻
̂ (cùng chắn cung MF)
HMFC nt𝐹𝐶𝑀
C/m tương tự có EC là phân giác của FHE đpcm.

Tuấn Đỗ Ngọc

24
0389956418


25

100 BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO THPT

Bài 27: Cho ABC (AB =AC) nội tiếp trong
(O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.
Trên tia BM lấy MK = MC và trên tia BA lấy
AD = AC.
a) Chứng minh: BAC  2BKC
b) Chứng minh: BCKD nội tiếp. Xác định tâm
của đường tròn này.
c) Gọi giao điểm của DC với (O) là I. Chứng
minh: B; O; I thẳng hàng.
d) Chứng minh: DI = BI.

D

A
I

B

K

M

O

C

GIẢI
1/Chứng tỏ: BAC  2BKC
̂ = 𝐵𝑀𝐶

̂ (cùng chắn cung BC)
𝐵𝐴𝐶
̂ =𝑀𝐾𝐶
̂ +𝑀𝐶𝐾
̂ (góc ngoài MKC)
𝐵𝑀𝐶
̂ =𝑀𝐶𝐾
̂ 𝐵𝑀𝐶
̂ =2𝐵𝐾𝐶
̂ .𝐵𝐴𝐶
̂ =2𝐵𝐾𝐶.
̂
Mà MK=MC(gt)MKC cân ở M𝑀𝐾𝐶
2/C/mBCKD nội tiếp:
̂ =𝐴𝐷𝐶
̂ +𝐴𝐶𝐷
̂ (góc ngoài ADC) mà AD=AC(gt)ADC cân ở A𝐴𝐷𝐶
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂
Ta có 𝐵𝐴𝐶
̂ =2𝐵𝐷𝐶
̂ Nhưng ta lại có:𝐵𝐴𝐶
̂ =2𝐵𝐾𝐶
̂ (cmt)𝐵𝐷𝐶
̂ =𝐵𝐾𝐶
̂ BCKD nội tiếp.
𝐵𝐴𝐶

Xác đònh tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến CA= 1 BDBCD
2

vuông ở C
̂ (cùng chắn cungBD).Mà 𝐵𝐶𝐷
̂ =1v𝐵𝐾𝐷
̂ =𝐷𝐶𝐵
̂ =1vBKD
.Do BCKD nội tiếp 𝐷𝐾𝐵
1
2

vuông ở K có trung tuyến KAKA= BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường tròn…
̂ =1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng
3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do 𝐵𝐶𝐼
hàng.
4/C/mBI=DI:
̂ =1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AIDB,có A là trung
Cách 1: Ta có 𝐵𝐴𝐼
điểmAI là đường trung trực của BDIBD cân ở IID=BI
̂ =𝐴𝐵𝐼
̂ (cùng chắn cung AI)ADC cân ởD𝐴𝐶𝐼
̂ =𝐴𝐷𝐼
̂ 𝐵𝐷𝐶
̂ =𝐴𝐶𝐷
̂
Cách 2: 𝐴𝐶𝐼
̂ =𝐼𝐵𝐷
̂ BID cân ở Iđpcm.
𝐼𝐷𝐵

Tuấn Đỗ Ngọc

25
0389956418