Tài liệu ôn thi Đại học

Trường THPT Yên Thế
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG
Ch ương 1: Thể tích khối đa diện
Bài 1 :
Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là
tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một
góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho
3
3
a
AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
chóp S.BCMN
Bài 3 :
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a

, và SH là đường cao của
hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể
tích hình chóp S.ABCD
Bài 4 :
Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,AB a AC b AD c= = =
và các góc
,BAC∠

,CAD DAB∠ ∠
đều bằng
60
o
.
Bài 5 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD∠ =
o
,
( )
SA mp ABCD⊥

và
SA a=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD
cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp
S.AB’C’D’

Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI =

Tìm khoảng cách từu C đến mp(SAD).
Bài 7 :
Cho hình chóp S.ABC có
3SA a=
và
( )
.SA mp ABC⊥
ABC∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC∠ =
o
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 8 :
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 1
Trường THPT Yên Thế
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng

a
. Gọi K là trung điểm
của DD’.
Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
Bài 9 :
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh
rằng thiết
diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Bài 10 :
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60
o
.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ
số
1
2
V
V
.
Lời giải:
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là
tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a

, cạnh bên SB tạo với đáy một
góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG : Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
. .
3
ABC
V SA S
∆
=
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo
giả thiết:
( ) ( )
( )
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
α
⊥ ⇒ ∠ = =

( )
BD mp SAD BSD
β
⊥ ⇒ ∠ =
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
α

= + ⇒ = +

2 2
2 2
2
2 2
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c
β α
α α β
β
α β
= =
⇒ = +
⇒ =
+
Do đó:
3
2 2
1 sin .sin
. .tan . .
3 3 os( ) os( )

a
V a x a x
c c
α β
α
α β α β
= + =
+ −
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 2
Trường THPT Yên Thế
điểm M sao cho
3
3
a
AM
=
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
chóp S.BCMN
HDG :
Theo giả thiết :

( ) ( )
( )

, 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
⊥ ⇒ ∠ = =
⇒ = =
o
o
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
( )
SD mp BCM N⇒ ∩ =
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:

.
2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V
SM
V V V

V SA
V
SM SN SM
V V V
V SA SD SA
= = ⇒ = =
 
= = = ⇒ = =
 ÷
 
Vậy:
3
. .
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SA S a
= + = = =
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của
hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể
tích hình chóp S.ABCD
HDG : Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của
CD, và G là trực tâm ∆SCD
(1)HG CD⇒ ⊥
Mà

( )
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

và
( ) (2)SC DG SC BDG SC HG
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Vì I là trung điểm của SH nên :
( ) ( )
;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b
= = =

2
2 2
2 2 2
2
2
3
2 2
1 1 1
4 à
4
4

4
2
3 16
b
a ab
GM b v h
HG HM SH
a
b
a
V
a b
⇒ = − = + ⇒ =
−
⇒ =
−
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,AB a AC b AD c
= = =
và các góc
,BAC∠

,CAD DAB∠ ∠
đều bằng
60
o
.
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 3
Trường THPT Yên Thế
HDG : Không mất tính tổng quát ta giả sử

{ }
min , ,a a b c
=
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
= AD
1
= a, từ giả thiết suy ra
tứ diện ABC
1
D
1
là tứ diện đều cạnh a nên có
1 1
3
2
12
ABC D
V a
=
Theo công thức tỉ số thể tích:
1 1
2
1 1
.
ABC D

ABCD
V
AC AD a
V AC AD bc
= =

1 1
2
2
12
ABCD ABC D
bc abc
V V
a
⇒ = =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD∠ =
o
,
( )
SA mp ABCD⊥

và
SA a=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD
cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp
S.AB’C’D’
HDG: Gọi
, 'O AC BD I AC SO= ∩ = ∩

, suy ra
' '||B D BD
và
' 'B D
đi qua I
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên
2 ' ' 2
3 3
SI SB SD
SO SB SD
= ⇒ = =
Theo công thức tỉ số thể tích:

. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V
SB SC
V V V
V SB SC
= = = ⇒ = =
. ' '
. ' ' . .
.

' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
= = = ⇒ = =
Vậy:
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a= + = = =
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI

=

Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).
HDG: Ta có:
3
.
1 3
. .
3 6
S ABCD ABCD
a
V SI S
= =
Áp dụng pitago ta có:
2
2 2 2
5
4
a
DI AI AD= + =
,
2 2 2 2
SA SI AI a= + =
,
2 2 2 2
2SD SI DI a= + =
2 2 2
SD SA DA SAD= + ⇒ ∆ vuông tại A nên
2
1 1

.SA
2 2
SAD
S AD a
∆
= =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 4
Trường THPT Yên Thế
Vậy khoảng cách cần tìm là:
( )
( )
3 3
3
,
2 2
SACD SABCD
SAD SAD
V V
a
d C SAD
S S
∆ ∆
= = =
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
=
và
( )
.SA mp ABC
⊥

ABC∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC
∠ =
o
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HDG: Ta có:
( )
2
2
1 1
. . .sin . 2 .sin120 3
2 2
ABC
S BA BC B a a
∆
= = =
o

2 3
.
1 1
. . .3 . 3 3
3 3
S ABC ABC
V SA S a a a
∆

⇒ = = =
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
2 2 2 2
2 . .cos 12 2 3AC AB CB BA BC B a AC a
= + − = ⇒ =
Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
2 2 2 2
2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
= + = ⇒ =
= + = ⇒ =
Ta có:
2 2 2
15 4
os sin
2 .
273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
+ −
∠ = = ⇒ ∠ =

2
1
. .sin 2 3
2

SBC
S SB SC BSC a
∆
⇒ = ∠ =
Vậy khoảng cách cần tìm là:
( )
( )
.
3
1
,
2
S ABC
SBC
V
d A mp SBC a
S
∆
= =
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm
của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
' '
, ' , ' , '
3
', '
AHD
AHC D
CK AD CK mp AHD C mp AHD
V
C mp AHD
S
∆
= =
= =
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được
3
' ' ' '
1
. .
3 12
AHC D HC D
a
V AD S
∆
= =
Xét tam giác AHD có:
2 2
5
' ' ; 2
2

a
DH DC HC AD a= + = =

2 2
3
2
a
AH AD HD= + =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 5
Trường THPT Yên Thế
2
'
1 3 1 3
os ' sin ' . ' . ' .sin '
2 4
10 10
AD H
a
c AD H AD H S D A D H AD H
∆
⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ = ∠ =
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:

( ) ( )
( )
' '
3
, ' , '
3
AHD

AHC D
V
a
CK AD CK mp AHD
S
∆
= = =
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:

( )
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
∆ ∆
∆ ∆ ∆

= = = +
 
= + = = =
 ÷
 
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng
1
2
V
nên ta có đpcm.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60
o
.
3. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
4. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ
số
1
2
V
V
.
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):

( )DoAC SBD AC SD
⊥ ⇒ ⊥

.
Kẻ
( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ≡
Vậy (ACM) là thiết diện.
5. Đặt
1 .D ACM
V V
=
Ta có:
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V
V SM
V SD
V
′
= =
. Gọi N là trung điểm của CD

0
óc( ) 60HN CD SN CD g SNH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 6
Trường THPT Yên Thế

0
1

óc( ) 60 2 . à 2; 3
2
1
5 2
5
HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a
V
SC SD a CM a SM a
V
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = =
′
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =


Chương 2: Quan hệ vuông góc trong không gian
1) Các bài toán chứng minh tính vuông góc:
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
SA SB SC a
= = =
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
∆
vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a
= = =

nên
( )
SO mp ABCD
⊥
. Mà
AC BD
⊥
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
∈
Có:
( ) ( ) ( ) ( )
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
∈ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 2: Tứ diện SABC có
( )
.SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK
⊥
2. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và
( ) ( )
.SBC BHK⊥

HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết

( )
SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥
. Nên
( )
BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm
SBC BK SC∆ ⇒ ⊥
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
( )
SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥
Mà
( )
SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥
. Do đó:
( ) ( ) ( )
HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA
vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
( ) ( )
.SBD SAC⊥

GV: Ngô Ngọc Điển Trang 7
Trường THPT Yên Thế
2. Chứng minh
( )
||BD mp P

HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA
vuông góc với (ABCD) nên
( ) ( ) ( )
SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2. Từ giả thiết suy ra:
( ) ( )
P SAC⊥
, mà
( ) ( )
||BD SAC BD P⊥ ⇒
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A≠
). Qua A dựng mặt phẳng
(Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
= =
HDG: Từ giả thiết suy ra:
( )
, 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Mà
( )
'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥
. Do đó
( )
' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆:
nên:
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
= ⇒ =
Chứng minh tương tự ta được
'AD SD
⊥
và
. ' . 'SD SD SC SC
=
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt
bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a
.
a. Chứng minh:
( )SA ABCD

⊥
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần
lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các
giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR:
( )AK SBC⊥
;
( )AL SCD⊥
.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
a) Ta có:
( )
( )
( )
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
DC DA
DC SAD DC SA
DC DS
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥
 
⇒ ⊥


⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


. Ta có:
2SA a=
b) Trong (SBC) gọi:
{ } ( )SB HI K K SB HIJ∩ = ⇒ = ∩
Trong (SAD) gọi:
{ } ( )SD HJ L L SD HIJ∩ = ⇒ = ∩
.
Ta có:
(1)BC AK⊥
mà:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 8
Trường THPT Yên Thế
IJ
IJ ( ) IJ
SC ( IJ) (2)
AC IJ
SC
SA
SAC SC
H SC AK

AH
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥



⊥

Từ (1) và (2) ta có:
( )AK SBC⊥
. Tương tự cho
( )AL SCD⊥
c) Tứ giác AKHL có:
;AL KH AL LH⊥ ⊥
nên:
1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LHS = +
.
Vậy :
2
8
15
a
AKHLS =

2) Các bài toán tìm khoảng cách:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h=
và
vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD⊥
Lại có:
( )
( )
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD
⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥ ⊥


Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a=
2. Gọi
O AC BD= ∩ ⇒
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà
SA BD⊥ ⇒

( )
BD mp SAC⊥
.
Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó
OI là đường vuông góc chung của SC và BD
Ta có:
( )
2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
h a
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
+
:
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3 ,a
cạnh bên bằng
2 .a
Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC⇒ ⊥
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
∆
ABC nên
( )

SG ABC SG BC⊥ ⇒ ⊥
, từ đó suy ra
( )
BC SAG⊥
.
Trong
SAM
∆
kẻ
( )
MN SA N SA MN BC⊥ ∈ ⇒ ⊥
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung
của BC và SA. Ta có:
2
. 3 3
...
4
SAM
S
SG MA a
MN
SA SA
∆
= = = =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 9
Trường THPT Yên Thế
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.SA a
=
.

Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài
đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.
HDG:
Ta có
( )
SA BC
BC SAB
AB BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

tại B. Dựng
( )BH SM H SM
⊥ ∈
.
Ta thấy:
BH BC
⊥
. Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Ta tính BH như sau:
Vì
1 2
2
3
3 3
2
2

a
BH BM BH a
BH
a
SA SM
a
= ⇔ = = ⇒ =
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB =

Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a=
Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
HDG:
Dễ chứng minh được
( )
BD SAC⊥
(vì
,BD AC BD SO⊥ ⊥
)
Trong mp(SAC) kẻ
( )
OI SA I SA⊥ ∈ ⇒

OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA= = ⇒ = + =

2
. 3
...
3
SOA
S
SO OA a
OI
SA SA
∆
⇒ = = = =
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
HDG:
Ta thấy ngay
ABC ABD
∆ = ∆
nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay
ICD
∆
cân tại I. Nên ta có
IJ CD

⊥
.
CM tương tự ta có:
IJ AB
⊥
vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB
và CD.
Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là:

2 2 2
IJ
2
b c a+ −
=
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 10
Trường THPT Yên Thế

3) Các bài toán về góc trong hình không gian
Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC
α
∠ =
. Gọi
M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.
β
1. Chứng minh
' .C BC
β
∠ =

2. Chứng minh
tan os
2
c
α
β
=
là điều kiện cần và đủ để
'BM MC⊥
.
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC
suy ra:
1
2
BA AC AN BA CN BCN= = ⇒ = ⇒ ∆
vuông tại B nên
BN BC⊥
.
Tương tự ta có
'BN BC⊥
Dễ thấy:
( ) ( )
'BN mp MBC mp ABC= ∩
, từ trên suy ra
( ) ( )
( )
·
' , 'C BC ABC MBC
β
∠ = =

2. Vì BM là trung tuyến của
'BC N∆
nên:
' 'BM MC NBC⊥ ⇔ ∆
cân đỉnh B
. os
2
' os tan
os 2
sin sin
2 2
BC c
BC BH
BC BN c
c
α
α
β
α α
β
⇔ = ⇔ = = ⇔ =
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM).
Tính
osc

α
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2
a a
EF AE F ME MF MC CB BF= + = = = + + =
Gọi
I EF AC MI EF= ∩ ⇒ ⊥
. Mà
( ) ( )
,MI EF AC MEF ABCD EF⊥ ⊥ ∩ =
nên:góc giữa hai
mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là
MIC
α
∠ =
Do đó:
2 2
3
3 11
4
os ..
11
IF
AC
IC
c
IM

MF
α
= = = =
−

Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P)
tại A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
, .BM u DN v
= =
Chứng minh
rằng:

( )
2
3 3a u v uv a
+ + =
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30
o
.
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 11
Trường THPT Yên Thế
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2 2
;AM a u AN a v= + = +

( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2MN a u a v a u v a u v

= − + − = + + − +
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc
MAN
α
∠ =
Do đó:
2 2 2
30 os os30
2 .
AM AN MN
c c
AM AN
α α
+ −
= ⇔ = =
o o

( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
2 2
2
3
2
.
3

3 3
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a
+
⇔ =
+ +
⇔ − = +
⇔ + + =
Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a,
OB=b, OC=c. Gọi α, β,
γ
là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR:
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
b) CMR:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ABC OBC OCA OAB
S S S S
∆ ∆ ∆ ∆
= + +
HDG:
a) Kẽ
.CH AB OH AB OHC
γ

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∠ =
Ta có:
2
2
2
os os
OH OH
CH CH
c c
γ γ
⇔= =
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
os
a b b c c a a b
CH OC OH c
a b a b b c c a
γ
+ +
= + = ⇒ =
+ + +
Tương tự và ta tính được:
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
2 2 2 2
cos

cos ( ) ( ) ( ) ( )
cos
ABC OBC OCA OAB
OBC ABC
OCA ABC
OAB ABC
S
S S
S S
S
S S S S
α
β
γ
∆ ∆ ∆ ∆

=

= ∆ ⇒ = + +


=

∆
∆
∆ ∆
∆

Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và
CD. Đặt CM=x, CN=y. Lấy

( )S At P
∈ ⊥
. Tìm hệ thức giữa x, y để:
a)
( )
0
( ),( ) 45SAM SAN
∠ =

b)
( ) ( )SAM SMN
⊥
HDG:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 12
Trường THPT Yên Thế
a)
( )
( ),( )SAM SAN MAN
∠ = ∠

Ta có:
2 2 2
2 . cosMN MA NA MA NA MAN
= + − ∠
Ta tính được:
2 2 2
2 2 2 0 2 2 3 4
2 2 2
( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )
( )

MN x y
MA a a x MAN x y a x y a axy x y
NA a a y

= +

= + − ⇒ ∠ = ⇔ + + = + −


= + −

b) Giả sử
( ) ( )SAM SMN
⊥
Kẽ
' ' ( ) 'NM SM NM SMA NM SA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Nhưng
SA MN
⊥
nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )a a y a a x x y x a x y
⇒ + − = + − + + ⇔ = −
Chương 3 : Các bài toán về tọa độ của điểm, vecto
trong không gian
1) Các bài toán về góc và khoảng cách giửa hai đường
thẳng
Bài 1: ( Đề thi TS ĐH Hùng Vương) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

BD=?
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung diểm của CD. Tính theo a khoảng cách
từ điểm S đến đường thẳng BE=?
Bài 3:
Trong không gian cho tứ diện OABC với
(0;0; 3), ( ;0;0)A a B a
và
(0; 3;0); 0C a a >
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM=?
Bài 4:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bằng a và
đường chéo
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 13
Trường THPT Yên Thế
BD=a. Cạnh
6
2
a
SC
=
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
CMR: Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau.
Bài 5:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’=?
Bài 6: ( Đề thi TSĐH 2003 – Khối A)
Cho hình lập phương

1 1 1 1
.ABCD A B C D
.
Tính số đo của góc phẳng nhị diện :
[ ]
1
, ,B AC D
=?
Lời giải:
Trước hết chúng tôi xin có một lưu ý nhỏ khi giải các bài toán loại này như
sau:
Với loại bài tập này xin khẳng định việc tính toán hoàn toàn không khó, song
các bạn cần chọn góc tam diện cho phù hợp. Để thuận lợi cho việc này
chúng tôi đưa ra cho các bạn 2 nguyên tắc như sau:
 Có 3 tia chung gốc, không đồng phẳng, đôi một vuông
góc với nhau.
 Nếu ta đứng thẳng theo chiều dương của trục Oz, mắt
hướng theo chiều dương của trục Oy thì khi giơ tay
phải vuông góc với thân người ngón tay sẽ chỉ chều
dương của trục Ox
Bài 1: Chọn góc tam diện là: (A,AB,AD,AS) ta có:

3
2 2 2
4 4 4
.
6
( , ) ; . ( ; ;2 ) ( , )
6
2

.
SC BD BC
a a
d SC BD SC BD a a a d SC BD
a a a
SC BD
 
 
 
= = ⇒ = =
 
 
+ +
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài 2: Chọn góc tam diện là: (O;OB;OC;OA)

4
4 4
2
2 2
2
2
.
3 5
4
( ) ; . ( ; ; ) ( )
2 5

4
a
a a
SB BE
a a
d S BE SB BE a a d S BE
BE
a
a
+ +
 
 
 
→ = = − − − ⇒ → = =
 
+
uur uuur
uur uuur
uuur
Bài 3: Chọn góc tam diện là: (O,OB,OC,OA).
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 14
Trường THPT Yên Thế
3
2 2 2
2 2
3
.
3 3 3 15
2
( , ) ; . ( ; ; ) ( , )

2 2 2 5
9 3
.
4 2
a
AB OM OA
a a a a
d AB OM AB OM d AB OM
a a
AB OM
 
 
 
= = − ⇒ = =
 
 
 
+
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
Bài 4: Gọi K là trung điểm của SA. Chọn góc tam diện là: (I;ID;IA;IK)

2 2 2
2 2 2
3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
3 2 6 3

. ( ; ; )
( )
4 4 2
( ) ( )
2 2 2
18 6 3
0
16 16 4
.
a a a
SA SB
SAB
a a a
SA SD
SAD
SAB SAD
a a a
n
n
n n
 
= −
 
− −
 
= −
 
⇒ = − − =
=
=

uur uur
uur uuur
r
r
r r
Vậy :
( ) ( )SAB SAD
⊥
Bài 5: Chọn góc tam diện (A,AB,AD, AA’)


2 2 2
3
4 4 4
'. '
( ', ') ; '. ' ( ; 2 ; )
'. '
6
( ', ')
6
4
AB BC AB
d AB BC AB BC a a a
AB BC
a a
d AB BC
a a a
 
 
 

= = − −
 
 
 
⇒ = =
+ +
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
Bài 6: Chọn tam diện (A,AB,AD, AA1)

( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
0
0 0 0
1 1 1
. ( ;0; )
( )
1
. (0; ; )
( )
1
1
( ) ( )
os 60
( ) ( ) ( ) ( )
2

( ) ( )
; ; ( ),( ) 180 60 120
.
. .
.
A B AC a a
A BC
A D AC a a
A DC
SAB SAD
c
SAB SAD SAB SAD
SAB SAD
B AC D A BC A DC
n
n
n n
n n n n
n n
 
=
 
 
=
 
   
⇒ = ⇒ ∠ =
 ÷  ÷
   
⇒ ∠ = − =

=
=
=
uur uuur
uur uuur
r
r
r r
r r r r
r r
2) Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tọa độ
không gian
Bài 1: ( Đề thi ĐHCĐ khối A-2007)
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 15
Trường THPT Yên Thế
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên (SAD) là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi M,N,P lần lượt
là các trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích tứ diện CMNP=?
Bài 2:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h.
Tính thể tích tứ diện BDD’C’=?
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a,
cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ. Trên cạnh
SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM
=

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tìm
thể tích khối chóp S.BCNM=?
Bài 4: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006)
Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung điểm I của cạnh
AB dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy điểm S sao
cho:
3
2
a
SI
=
.
a) Tính thể tích hình chóp S.ACD=?
b) Tìm khoảng cách từ C đến (SAD)=?
Lời giải:
Bài 1: Gọi O là trung điểm của AD . Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
(O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS).
Ta có:

3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
4 2 4 2 2
3
( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
2 2 2 2 2
(
a a a a a
N a P
a a a a
A B a C a D S a

M
− −
−
Vì:
1
. .
6
CMNP CM CN CPV
 
=
 
uuuuruuuur uuur
với
2 2
3
. (0; ; )
8 4
a a
CM CN
 
=
 
uuuuruuuur
và
( ; ;0)
4 2
a a
CP
= −
uuur

Vậy:
3
3
96
a
CMNPV =
Bài 2: Chọn góc tam diện là (A, AB, AD, AA’) ta có:

( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )BD a a BD a a h BC a h
= − = − =
uuur uuuur uuuur
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 16
Trường THPT Yên Thế
Mà :
1
DD' ' . ' '
6
B C BD BD BC
V
 
=
 
uuur uuuur uuuur
với
. ' ( ; ;0)BD BD ah ah
 
=
 
uuur uuuur
Vậy :

2
DD' '
6
ha
B C
V
=

Bài 3: Gọi S(a;0;x)
( ;0; )SB a x
⇒ = −
uur

( )
0 0 0
60 ,( ) 90 , , 30
( ) ( )
SB ABCD SB SB
ABCD ABCD
n n
   
= ∠ = − ∠ ⇒ ∠ =
 ÷  ÷
   
uuur uuur
r r

0
2 2
.

os30 3
.
SB n x
c x a
SB n
x a
= = ⇒ =
+
uuurr
uuur r
Vì:

1 1
. . .
6 6
S BCMN SM SC SB SM SC SNV
   
= +
   
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Chọn góc tam diện là (A,AB,AD,AS)
Ta có:
( )
. (1;0; 3) : 3 3 0
( )
BC MN BCM x z a
BCM
n
 
= ⇒ − − =

 
=
ur
uuur uuuur
Tìm giao của (BCM) với (SD) trong đó :

0
2 3
( ) : (0; ; )
3 3
3
x
a a
SD y a at N
z a t

=

= + ⇒ −


= −

Ta có:

2 2
2 2 3
2 3 2 3
. ; ;0
3 3

1 2 3 4 3 10 3
.
6 3 9 27
a a
SM SC
a a a
S BCMN
V
 
 
= −
 ÷
 
 ÷
 
 
⇒ = + =
 
 
uuur uuur
Bài 4:
a) Gọi O là trung điểm của AB; M là trung điểm của CD
Chọn góc tam diện là: (O;OB;OM;OS)
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 17
Trường THPT Yên Thế

2
2
3 3
1 3

. ; . (0; ; )
6 2
1 3 3
6 2 12
a
SACD SC SD SA SC SD a
a a
SACD
V
V
   
= =
   
−
⇒ = =
uuur uuur uur uuur uuur
b)
3
. ( 3;0; 1) ( ): 3 0
2
a
SA SD SAD x z
 
= − ⇒ − + =
 
uur uuur

( )
3
( )

2
a
d C SAD
⇒ → =
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian
1. Bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc
bằng
0
30
.
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 
+ − = − − − =

 

Lập phương trình mặt phẳng đi qua
1
( )d
và song song với
2
( )d
.
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
5 2
7 0
( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
= +

+ + − =


= −
 
+ + − =



= −

Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
( ) à ( )d v d
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 18
Trường THPT Yên Thế
Lời giải:
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Giải:

( )
) ( ) ê (1;1;1;)
P
a Do OG P n n n OG
⊥ = =
uuur uuur
( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 ( ) : 3 0P x y z hay P x y z
⇒ − + − + − = + + − =

0
) ì Ox : (3;0;0)
0
y
b V A

z
=

⇒

=

Tương tự :
(0;3;0) à (0;3;0)B v C
Ta có:
AB=BC=CA=3 2 ABC
⇒ ∆
là tam giác đều
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng
0
30
.

Giải:
Giả sử mặt phẳng cần có dạng :

( ) ( )
0
( )
( ) ( )
( ) : 1( , , 0)
( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
1 1 . 3 2

( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30
3 2
.
( ) : 1
3 1
3 2
2
xOy
xOy
xOy
x y z
a b c
a b c
x y z
Do I c v do K a
b
n n
n v n c b
b
n n
x y z
α
α
α
α α α
α
α
+ + = ≠
∈ ⇒ = ∈ ⇒ = ⇒ + + =
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±

⇒ ± + =
r r
r r
r r

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 19
Trường THPT Yên Thế

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 
+ − = − − − =
 

Lập phương trình mặt phẳng đi qua
1
( )d
và song song với
2
( )d
.
Giải:

1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(1; 1; 1); (1; 2;2) . ( 4; 3; 1)
(4;3;1)
d d Q d d
Q
Do u u n u u
Hay n
 
= − − = − ⇒ = = − − −
 
=
r r r r r
r
Mặt khác:

1 2
(2; 1;0) ; (0; 25;11)
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
I d J d
Q x y z hay Q x y z
− ∈ − ∈
⇒ − + + + = + + − =
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
5 2
7 0

( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
= +

+ + − =


= −
 
+ + − =


= −

Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
( ) à ( )d v d


Giải:

Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:

1

1 2
( ) ( )
(5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5)
à . (0;1; 5) ( ) :3( 5) 5( 1) 5 0
( ) : 3 5 25 0
Q d
M d N d MN
v n u MN Q x y z
hay Q x y z
∈ ∈ ⇒ = −
 
= = − ⇒ − + − + − =
 
+ + − =
uuuur
r r uuuur
2) Bài toán thiết lập phương trình đường thẳng
Bài 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : 7 0P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =



− + =

GV: Ngô Ngọc Điển Trang 20
Trường THPT Yên Thế
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).
Bài 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0
và 2 đường thẳng:

1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
− + − −
= = = =
−

a) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong (P) cắt cả
1 2
( ) à ( )d v d

.
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =

+
= =

+ − =

a) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả
1 2
( ),( )d d
và song song với

4 7 3
( ) :
1 4 2
x y z
− − −
∆ = =
−
Bài 4:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng
1 2
( ),( )d d
và mặt
phẳng (P) có phương trình:

1 2
1 1 2 2 2
( ) : à ( ) :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d v d
+ − − − +
= = = =
−

( ) : 2 5 1 0P x y z
− − + =
a) CM:.
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.

b) Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với (P), cắt cả
1 2
( ),( )d d
.
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 21
Trường THPT Yên Thế
Lời giải:
Bài 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : 7 0P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =


− + =

Giải:
Đường thẳng
( )d
′

cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)
chứa (d) và có VTCP là
( )P
n
r


( ) ( ) ( ). ( )
ó : (1; 4;2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)
( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0
6 5 7 0
ình hình chiê u ( ) :
7 0
d Q d P
Ta c u v n u n
Q x y z hay x y z
x y z
H d
x y z
 
= − ∈ ⇒ = = − −
 
⇒ + − − + = − − + =
− − + =

′ ′
⇒

+ + − =


r r r r
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0
và 2 đường thẳng:

1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
− + − −
= = = =
−

c) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong (P) cắt cả
1 2
( ) à ( )d v d
.
Giải:

( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2

( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : ( 1;2;3) (1;1;2) à (0;3; 1) ; (4;0;3)
(4; 3;4) . . 23 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= − = − ∈ ∈
 
⇒ = − ⇒ = − ≠ ⇒
 
r r
uuuuuur r r uuuuuur

GV: Ngô Ngọc Điển Trang 22
Trường THPT Yên Thế

1 2
) ( ) ( 2;7;5) à ( ) (3; 1;1)
2 7 5
: ( ) :
5 8 4
b GS d P A A v d P B B
x y z
KQ AB
∩ = ⇒ − ∩ = ⇒ −
+ − −

⇒ = =
− −
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =

+
= =

+ − =

c) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả
1 2
( ),( )d d
và song song với

4 7 3
( ) :
1 4 2
x y z
− − −
∆ = =
−
Giải:

( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)
(0;2;1) . . 8 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ ∈
 
⇒ = ⇒ = − ≠ ⇒
 
r r
uuuuuur r r uuuuuur

( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
( )
1 2
) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )
( ;2 2 2 ;1 3 )
1 3 1
1 2 2
2; 1 2;3;2 : 1; 1;4
4 7 3
: ( ) :
1 4 2
b GS d d A A t t t v d d B B t t t
AB t t t t t t
t t t t t t
Do d song song u AB
t t A B
x y z
KQ d
∆
∩ = ⇒ − + ∩ = ⇒ − +
⇒ = − − − + −
− − − − −
∆ ⇒ ↑↑ ⇒ = =
⇒ = = ⇒ −
− − −

⇒ = =
−
uuur
r uuur
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng
1 2
( ),( )d d
và mặt phẳng (P)
có
phương trình:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 23
Trường THPT Yên Thế

1 2
1 1 2 2 2
( ) : à ( ):
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d v d
+ − − − +
= = = =
−

( ) : 2 5 1 0P x y z
− − + =
a) CM:.
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.
b) Viết phương trình đường thẳng

∆
vuông góc với (P), cắt cả
1 2
( ),( )d d
.
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0)
(3; 3; 2) . . 62 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ − ∈
 
⇒ = − − ⇒ = − ≠ ⇒
 
r r
uuuuuur r r uuuuuur

1 2
1 2
1 2

. .MN
62
ó : ( )
195
.
u u
Ta c d d d
u u
 
 
→ = =
 
 
r r uuuur
r r
1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
( )
) (2 1;3 1; 2) à
( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2)
2 3 5 3 3 2 2
( ) (2; 1; 5)
2 1 5
1 4 3
: ( ) :
2 1 5
P
b GS d A A t t t v d B
B t t t AB t t t t t t

t t t t t t
Do P n AB
x y z
KQ
∩ ∆ = ⇒ − + + ∩ ∆ =
⇒ + − − ⇒ = − − − − − − −
− − − − − − −
∆ ⊥ ⇒ − − = ↑↑ ⇒ = =
− −
− − −
⇒ ∆ = =
− −
uuur
r uuur
3) Xác định điểm và các yếu tố khác trong hình học giải
tích không gian
Bài 1:
Cho điểm A( 3;-2;5) và đường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =


+ + − =

a) Viết phương trình tham số của (d)

b) Gọi
'
A
là hình chiếu của A lên (d). Tìm tọa độ của
'
A
.
Bài 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 24
Trường THPT Yên Thế

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 
+ − = − − − =
 

và điểm A( 3;2;5).
a) Tìm tạo độ điểm
'
A
đối xứng với

A
qua
1
( )d
.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
( ) à ( )d v d
.
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M( 5;2;-3) và mặt phẳng

( ) : 2 2 1 0P x y z
+ − + =
Xác định hình chiếu của
1
M
của
M
lên (P).
Lời giải:
Bài 1:
Cho điểm A( 3;-2;5) và đường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =



+ + − =

c) Viết phương trình tham số của (d)
d) Gọi
'
A
là hình chiếu của A lên (d). Tìm tọa độ của
'
A
.
Giải:

( )
1 2
( )
) ó: . (8; 4;2) à ( 8;5;0) ( )
8 4
( ) 5 2
) ( ) ( 8 4 ;5 2 ; ) (4 11;7 2 ; 5)
à . 0 3 (4; 1;3)
d
d
a Ta c u v v m M d
x t
d y t
z t
b Do A d A t t t AA t t t
M AA d u AA t A

 
= = − − ∈
 
= − +


⇒ = −


=

′ ′ ′
∈ ⇒ − + − ⇒ = − − −
′ ′ ′
⊥ ⇒ = ⇔ = ⇔ −
r ur uur
uuur
r uuur
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 

+ − = − − − =
 

GV: Ngô Ngọc Điển Trang 25