Chuyên đề tìm nghiệm phức của phương trình bậc cao

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

CHUYÊN ĐỀ 8: TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
A – BÀI TẬP
 10iz 2017  10iz  11  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 3�
�
z �� ; �
z � 2;3
z � 1; 2 
z � 0;1
2 2�
�
A.
B.
C.
D.
4
2
Câu 2. Cho phương trình 3x  2 x  1  0 trên tập số phức, khẳng định nào sau đây đúng:
A. Phương trình có 3 nghiệm phức.
B. Phương trình chỉ có 2 nghiệm phức.
C. Phương trình này có 2 nghiệm thực.
D. Phương trình này không có nghiệm
phức.
3
2
M  z1  z2  z3
Câu 3. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z  z  5 z  7  0 . Tính

.
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn 11z

2018

A. M  3 .
B. M  1  7 2 .
C. M  2  7 .
D. M  1  2 7 .
4
2
Câu 4. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z  3z  4  0 trên tập số phức. Tính
2
2
2
2
T  z1  z2  z3  z4
giá trị của biểu thức
A. T  2
B. T  6
C. T  4
D. T  8
2
z
z
Câu 5. Kí hiệu 1 và 2 là các nghiệm của phức của phương trình z  4 z  5  0 và A , B lần lượt là
�
z
z
các điểm biểu diễn của 1 và 2 . Tính cos AOB .

2
3
4
A. 3 .
B. 1 .
C. 5 .
D. 5 .

z 3  2  1  i  z 2   9  4i  z  18i  0
Câu 6. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình
, trong đó z1 là
M  z1
nghiệm có phần ảo âm. Tính
.
A. M  2 2 .
B. M  2 3 .
C. M  2 .
D. M  3 .
4
Câu 7. Trên tập số phức, tính tổng môđun bình phương tất cả các nghiệm của phương trình z  16  0 .
A. 16 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 32 .
3
z  z 2  z3
Câu 8. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z  8  0 . Giá trị của 1
bằng
A. 6 .
B. 3 .

C. 2  3 .
D. 2  2 3 .
4
2
Câu 9. Tập nghiệm của phương trình z  2 z  8  0 là:

 �2; �4i .

 � 2; �2i .

 � 2i; �2 .

 �2; �4i .
D.
2
P  z1 z2  z1  z2 
Câu 10. Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  3z  7  0 . Tính
.
P

10
P


10 .
A. P  21 .
B.
.
C. P  21 .
D.

4
2
z ,z ,z ,z
Câu 11. Kí hiệu 1 2 3 4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z  z  12  0 . Tính giá trị của
T  z1  z2  z3  z4
tổng
.
A. T  5 .
B. T  4  2 3 .
C. T  10 .
D. T  26 .
A.

B.

C.

3
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z  4 z  0 . Khi đó,.
z � 0
z � 0;1
z � 1; 2
z � 0; 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
4
3
2
z
z
z
z
Câu 13. Gọi 1 , 2 , 3 , 4 là các nghiệm của phương trình z  4 z  3z  3z  3  0 . Tính
T   z12  2 z1  2   z22  2 z2  2   z32  2 z3  2   z42  2 z4  2 
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 174


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. T  99 .

B. T  100 .

3
Câu 14. Phương trình z = 8 có bao nhiêu nghiệm phức.
3
A. 2 .
B. .

Câu 15. Kí hiệu

z1 , z2 , z3

và

z4

Số Phức
C. T  102 .

D. T  101 .

C. 0 .

D. 1 .

là bốn nghiệm phức của phương trình

M  z1  z2  z3  z4

z

2

 1  2 z 2  46
2

. Tính tổng

.
B. M  3  2 5 .

A. M  6 .

C. M  2 5 .

D. M  6  2 5 .

Câu 16. Kí hiệu z1 ; z2 ; z3 là ba nghiệm của phương trình phức z + 2 z + z - 4 = 0 . Tính giá trị của biểu
T = z1 + z2 + z3
thức
.
T
=
4
+
5
A.
.
B. T = 4 .
C. T = 5 .
D. T = 4 5 .
3
S  z1  z2  z3
Câu 17. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z  1  0 . Tính
A. S  1
B. S  4
C. S  2
D. S  3
4
2

z z z z
Câu 18. Gọi 1 , 2 , 3 , 4 là các nghiệm phức của phương trình: z  2 z  3  0 . Tính giá trị của biểu
2
2
2
2
A  z1  z2  z3  z4
thức:
.
A. 0 .
B. 8 .
C. 2  2 3 .
D. 20 .
3

2

3
Câu 19. Trong �, phương trình x  1  0 có nghiệm là:

1 �i 3
2 .
B.
2 �i 3
z  1; z 
2 .
D.
z  1; z 

A. z  1 .

C.

z  1; z 

1 �i 3
2
.

4
2
z,z ,z,z
Câu 20. Kí hiệu 1 2 3 4 là bốn nghiệm của phương trình z   z   6  0. Tính tổng
T  z1  z2  z3  z4 .
.
A. T  2 3  2 2 .
B. T  2 2 .
C. T  4 3  2 2 .
D. T  3  2 2 .
4
2
z ,z ,z ,z
Câu 21. Gọi 1 2 3 4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2 z  3z  2  0 . Tổng
T  z1  z2  z3  z4
bằng?
2  2  i
A. 3 2 .
B. 2 2 .
C. 0 .
D.
.

4
2
Câu 22. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z  z  6  0 . Tính

S  z1  z2  z3  z4



�a  4
�
b5
�
�
c 1
A. �
.

2 3







S 2 2 3
B.
C. S  2 2
D. S  2 3
3

2
Câu 23. Cho phương trình z  az  bz  c  0 . Nếu z  1  i và z  2 là hai nghiệm của phương trình thì
a, b, c bằng.
A.

S 2

.

a  4
�
�
b6
�
�
c  4
B. �
.

�a  2
�
b 1
�
�
c4
C. �
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

�a  4
�
b  5
�
�
c 1
D. �
.

Trang 175


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

3
2
Câu 24. Cho a, b, c là các số thực sao cho phương trình z + az + bz + c = 0 có ba nghiệm phức lần
z = w+ 3i; z2 = w+ 9i; z3 = 2w- 4
lượt là 1
, trong đó w là một số phức nào đó. Tính giá trị
P = a +b + c .
của
.
A. P = 84 .
B. P = 36 .
C. P = 136 .
D. P = 208 .
4

2
z,z ,z
z
Câu 25. Kí hiệu 1 2 3 và 4 là nghiệm phức của phương trình z  z  6  0 . Tính tổng
S  z1  z 2  z3  z4
.
S 2 3 2
A.
.
B. S  2 2 .
C. S  1 .
D. S  2 3 .
iz 3  2 z 2   1  i  z  i  0
Câu 26. Gọi z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình
. Biết z1 là số thuần ảo.





P  z 2  z3
Đặt
, hãy chọn khẳng định đúng?
4

P

5
A.
B. 2  P  3

C. 3  P  4
D. 1  P  2
4
2
z ,z ,z
z
Câu 27. Kí hiệu 1 2 3 và 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z  2 z  63  0 . Tính tổng
T  z1  z2  z3  z4
.
A. T = 3 + 2 7 .

B. T = 6 .

C. T = 2 7 .

D. T = 6 + 2 7

.
3
Câu 28. Xét phương trình z  1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là.
� 1
3 �
S �
1,  � i �
S   1
� 2 2 �.
A.
.
B.
�1

� 1 � 3 �
3 �
S �
 � i�
S �
1,
�
2 2 �
2 �
�
�
C.
.
D.
.
3
Câu 29. Phương trình z  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm.
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .

Câu 30. Gọi

D. 4 .

z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình: z 4  z 2  6  0 . Giá trị của

T  z1  z2  z3  z 4

là:

A. 2 2  2 3 .
B. 1 .
C. 2 2  2 3 .
D. 7 .
3
2
Câu 31. Tìm các số thực a, b, c để phương trình (ẩn z ) z  az  bz  c  0 nhận z  1  i và z  2 làm
nghiệm.
A. a  4, b  6, c  4 .
B. a  4, b  6, c  4 .

C. a  4, b  5, c  4 .
D. a  4, b  6, c  3 .
4
2
z ,z ,z ,z
Câu 32. Gọi 1 2 3 4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2 z  3 z  2  0 .Tổng
2
2
2
2
T  z1  z2  z3  z4
bằng.
A. 5 .
B. 5 2 .
C. 2 .
D. 3 2 .
4
2

Câu 33. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z  mz  n  0 không có
nghiệm thực.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 176


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

�m2  4n �0
�
.
�m 0
�
n 0
A. �

Số Phức

�m2  4n �0
�
�m 0
�
n 0
2
m

4
n


0
B.
hoặc �
.
2
�m  4n  0
�
�m 0
�
n 0
2
D. m  4n  0 hoặc �
.

2
C. m  4n  0.

4
2
S  z1  z2  z3  z4 .
Câu 34. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z  4 z  77  0 Tính tổng
.

B. S  2 7  2 11 .

A. S  2 11 .

C. S  2 7 .

D.

S  2 7  2 11 .
4
2
z ,z ,z ,z
Câu 35. Gọi 1 2 3 4 là các nghiệm phức của phương trình 2 z  3z  2  0 . Tính tổng
S  z1  z2  z3  z4
.
A. S  2 .
B. S  5 .
C. S  3 2 .
D. S  5 2 .
4
2
Câu 36. Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là các nghiệm phức của phương trình z  5 z  36  0 . Tính tổng

T  z1  z2  z3  z4
A. T  10 .

.

B. T  8 .
C. T  4 .
D. T  6 .
Câu 37. Cho phương trình z  az  bz  c  0 nhận z  2 và z  1  i làm các nghiệm của phương trình.
Khi đó a  b  c là:
A. 5 .
B. 3 .
C. 0 .

D. 14 .
3
2
 b, c, d �� ,
Câu 38. Biết z1 , z2  5  4i và z3 là ba nghiệm của phương trình z  bz  cz  d  0
3

2

trong đó z3 là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w  z1  3 z2  2 z3 bằng
A. 8 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 12 .
4
2
Câu 39. Tập nghiệm của phương trình z  2 z  8  0 là.

 �2;
A.

�4i .

.

B.

 � 2; �2i .

C.

 � 2i; �2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

 �2;

�4i

.

Trang 177


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

B - HƯỚNG DẪN GIẢI
 10iz 2017  10iz  11  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 3�
�
z �� ; �
z � 1; 2 
z � 0;1
2 2�
�
B.

C.
D.
Hướng dẫn giải

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn 11z
A.

z � 2;3

2018

Chọn B
Đặt z  x  yi .
11z 2018  10iz 2017  10iz  11  0
11  10iz
11  10iz
2017
� z 2017 
�z

11z  10i
11z  10i
� z

2017



100  x 2  y 2   121  220 y

121 x 2  y 2   100  220 y

z  1 � x2  y 2  1
TH1:
� 100 x 2  y 2  121  220 y  121 x 2  y 2  100  220 y



� z  1 sai 







z  1 � x2  y 2  1
TH2:
� 100 x 2  y 2  121  220 y  121 x 2  y 2  100  220 y



� z  1 sai 

TH2:
Vậy



z  1 � x2  y 2  1

z 1





. Thay vào thấy đúng.

.

4
2
Câu 2. Cho phương trình 3x  2 x  1  0 trên tập số phức, khẳng định nào sau đây đúng:
A. Phương trình có 3 nghiệm phức.
B. Phương trình chỉ có 2 nghiệm phức.
C. Phương trình này có 2 nghiệm thực.
D. Phương trình này không có nghiệm
phức.
Hướng dẫn giải
Chọn C
x  �1
�
t 1
�
2
3t  2t  1  0 � � 1 � �
i 3
�
�
t

x�
2
�
3
�
3 .
Đặt t  x phương trình thành
3
2
M  z1  z2  z3
Câu 3. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z  z  5 z  7  0 . Tính
.
A. M  3 .
B. M  1  7 2 .
C. M  2  7 .
D. M  1  2 7 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
z 1
�
�
z 3  z 2  5 z  7  0 �  z  1  z 2  2 z  7   0 � �
z  1  i 6
�
z  1  i 6
�
Ta có:
.
M  z1  z2  z3  1  1  i 6  1  i 6  1  2 7
Suy ra:

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 178


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

4
2
Câu 4. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z  3z  4  0 trên tập số phức. Tính
2
2
2
2
T  z1  z2  z3  z4
giá trị của biểu thức
A. T  2
B. T  6
C. T  4
D. T  8
Hướng dẫn giải
Chọn D
�2
3
7
z   i

 1
�
2
2
��
�2
3
7
z   i
 2
�
4
2
�
2
2
Ta có z  3z  4  0 �
.

 1 và z3 , z4 là nghiệm của  2  .
Không mất tính tổng quát giả sử z1 , z2 là nghiệm của
2

2

z1  z2

2

2

9 7
� 3� � 7 �
 �
 � �


 2
�
�
�
4 4
� 2� � 2 �
.
2

2

z3  z4

2

2
9 7
� 3� � 7 �
 �
 � �

 2
�
�

�
4 4
� 2 � �2 �

Tương tự
.
Vậy T  8 .
2
z
z
Câu 5. Kí hiệu 1 và 2 là các nghiệm của phức của phương trình z  4 z  5  0 và A , B lần lượt là
�
z
z
các điểm biểu diễn của 1 và 2 . Tính cos AOB .
2
3
4
A. 3 .
B. 1 .
C. 5 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
z  2i
�
z 2  4 z  5  0 � �1
z2  2  i
�
Phương trình

.
A  2;1 B  2; 1
z
z
Vậy tọa độ hai điểm biểu diễn 1 và 2 là :
,
.
uuu
r uuu
r
OA.OB 2.2  1.1 3
cos �
AOB 


OA
.
OB
5.
5.
5
Ta có:

z 3  2  1  i  z 2   9  4i  z  18i  0
z
z
z
1
2
3

Câu 6. Gọi , ,
là ba nghiệm của phương trình
, trong đó z1 là
M  z1
nghiệm có phần ảo âm. Tính
.
A. M  2 2 .
B. M  2 3 .
C. M  2 .
D. M  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
z  2i
�
�
z 3  2  1  i  z 2   9  4i  z  18i  0 �  z  2i   z 2  2 z  9   0 � �
z  1  2 2i
�
z  1  2 2i
�
Ta có:
.
z  1  2 2i � z1  3
Do z1 là nghiệm có phần ảo âm nên 1
.
4
Câu 7. Trên tập số phức, tính tổng môđun bình phương tất cả các nghiệm của phương trình z  16  0 .
A. 16 .
B. 8 .
C. 4 .

D. 32 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 179


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

Hướng dẫn giải
Chọn A
�
z2  4
z 4  16  0 �  z 2  4   z 2  4   0 � �2
� z1  2 �z2  2 �z3  2i �z4  2i
z  4
�

Ta có:
2
2
2
2
� z1  z2  z3  z4  16

.

.

3
z  z 2  z3
Câu 8. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z  8  0 . Giá trị của 1
bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 2  3 .
D. 2  2 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
z1  2
�
�
��
z2  1  3i
�
z1  1  3i � z1  z2  z3  6
�
z3  8  0
.
4
2
Câu 9. Tập nghiệm của phương trình z  2 z  8  0 là:

A.

 �2; �4i .

B.

 � 2; �2i .

 � 2i; �2 .

C.
Hướng dẫn giải

D.

 �2; �4i .

Chọn C
�
z 2  2
z  2 z  8  0 � �2
�
z 4
�
4

2

�
z  � 2i
�
z  �2
�
.

2

P  z1 z2  z1  z2 
Câu 10. Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  3z  7  0 . Tính
.
A. P  21 .
B. P  10 .
C. P  21 .
D. P  10 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
b
�
z

z


 3
1
2
�
�
a
�
�z z  c  7
1 2
a
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: �
.

Vậy

P  z1 z2  z1  z2   21

.

4
2
z ,z ,z ,z
Câu 11. Kí hiệu 1 2 3 4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z  z  12  0 . Tính giá trị của
T  z1  z2  z3  z4
tổng
.
A. T  5 .
B. T  4  2 3 .
C. T  10 .
D. T  26 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
�
z  �i 3
z 4  z 2  12  0 �  z 2  3  z 2  4   0 � �
z  �2
�
.
Vậy T  10 .
3
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z  4 z  0 . Khi đó,.

A.

z � 0

.

B.

z � 0;1

.

z � 1; 2
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

z � 0; 2

.

Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 180


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

�
z 0� z 0
z

0
�
�
z 3  4 z  0 � z  z 2  4   0 � �2
��
z  2i � z  2
z 40
�
�
z  2i � z  2
�
Ta có
.
z � 0; 2
Do đó,
.
4
3
2
z
z
z
Câu 13. Gọi 1 , 2 , 3 , z4 là các nghiệm của phương trình z  4 z  3z  3z  3  0 . Tính
T   z12  2 z1  2   z22  2 z2  2   z32  2 z3  2   z42  2 z4  2 
.

T

99
T

100
T

102 .
A.
.
B.
.
C.
D. T  101 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
f z  z 4  4 z 3  3 z 2  3 z  3 � f  z    z  z1   z  z2   z  z3   z  z4 
Đặt  
.
2
z  2 z1  2   z1  1  i   z1  1  i 
Do 1
nên
2
2
2
T   z1  2 z1  2   z2  2 z2  2   z3  2 z3  2   z42  2 z4  2   f  1  i  f  1  i 

  10  i   10  i   101

.

3
Câu 14. Phương trình z = 8 có bao nhiêu nghiệm phức.
3
A. 2 .
C. 0 .
B. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có.
�
z =- 2
�
z =- 2
z 3 + 8 = 0 � ( z + 2) ( z 2 - 2 z + 4) = 0 � �2
��
2
�
�
z - 2z + 4 = 0 �
( z - 1) =- 3
�
�
�
z =- 2
z =- 2
�
�
��

z - 1= i 3 � �
z =1+ i 3
�
�
�
�
z - 1 =- i 3 �
z = 1- i 3
�
�
�
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức.

Câu 15. Kí hiệu

z1 , z2 , z3

và

z4

M  z1  z2  z3  z4
A. M  6 .

là bốn nghiệm phức của phương trình

z

2

D. 1 .

 1  2 z 2  46
2

. Tính tổng

.
B. M  3  2 5 .
C. M  2 5 .
Hướng dẫn giải

D. M  6  2 5 .

Chọn D
�
z2  9
2
2
2
4
2
z

1

2
z


46
�
z

4
z

45

0
�
�


�2
z


5
�

z  �3
�
�
z  � 5i
�

.
Câu 16. Kí hiệu z1 ; z2 ; z3 là ba nghiệm của phương trình phức z + 2 z + z - 4 = 0 . Tính giá trị của biểu
T = z1 + z2 + z3

thức
.
A. T = 4 + 5 .
B. T = 4 .
C. T = 5 .
D. T = 4 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
3

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 181


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

z 1
�
z 1
�
�
� ( z  1)( z  3z  4)  0 � �2
�
3
7

�
z  3z  4  0
z � i
�
�
2 2 .
Phương trình
2

2

2

2
2
�3 � � 7 � �3 � � 7 �
T  1  0  � � �


�
�
� �
� �
�
� 5
2
2
2
�2 � �
�

�
� �
�
�
Do đó
.
3
S  z1  z2  z3
Câu 17. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z  1  0 . Tính
A. S  1
B. S  4
C. S  2
D. S  3
Hướng dẫn giải
Chọn D
�
�
z 1
�
1
3
z3 1  0 � �
z

i
� 2
2
�
1
3

1
3
1
3
�
S 1

i

i 3
z


i
�
2
2
2
2
�
2
2
Ta có:
. Do đó:
.
4
2
z z z z
Câu 18. Gọi 1 , 2 , 3 , 4 là các nghiệm phức của phương trình: z  2 z  3  0 . Tính giá trị của biểu
2

2
2
2
A  z1  z2  z3  z4
thức:
.
A. 0 .
B. 8 .
C. 2  2 3 .
D. 20 .
2

2

Hướng dẫn giải
Chọn B

z  �i
�
z 2  1 �
z 4  2 z 2  3  0 � �2
��
z �3 � A8
z 3
�
�
Ta có:
.
3
�

,
Câu 19. Trong
phương trình x  1  0 có nghiệm là:
A. z  1 .
C.

z  1; z 

1 �i 3
2 .
B.
2 �i 3
z  1; z 
2 .
D.
Hướng dẫn giải
z  1; z 

1 �i 3
2
.

Chọn C
z  1
�
�
z  1  0 �  z  1  z  z  1  0 �
1
3
�

z � i
�
2 2 .
3

2

4
2
z,z ,z,z
Câu 20. Kí hiệu 1 2 3 4 là bốn nghiệm của phương trình z   z   6  0. Tính tổng
T  z1  z2  z3  z4 .
.
A. T  2 3  2 2 .
B. T  2 2 .
C. T  4 3  2 2 .
D. T  3  2 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
z 2  2   z 2  3  0

Phương trình tương đương với
.
Vậy z1  i 2, z2  i 2, z3   3, z4  3 . T  2 3  2 2. .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 182

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

z ,z ,z ,z
Câu 21. Gọi 1 2 3 4 là bốn nghiệm phức của phương trình
T  z1  z2  z3  z4
bằng?
A. 3 2 .

Số Phức
2 z 4  3z 2  2  0 . Tổng

C. 0 .
Hướng dẫn giải

B. 2 2 .

2  2  i

D.

.

Chọn A
�
z�2
�
z2  2
�
4
2

�
2 z  3z  2  0 � 2
1��
2
�
z 
z

�
i
�
�
2
�
2 .
Ta có:
2
2
2
2
T  z1  z2  z3  z4  2   2 
i
i  2 2

3 2
2
2
2
2
z1 ,

z2 ,

Câu 22. Kí hiệu
S  z1  z2  z3  z4
A.

S 2



2 3



z3 ,

z4

là bốn nghiệm của phương trình

.
B.

S 2



2 3

.
z  z  6  0 . Tính
4



C. S  2 2
Hướng dẫn giải

2

D. S  2 3

Chọn A
�
z�2
�
z2  2
��
� �2
4
2
z  3
z  �i 3
�
�
Ta có: z  z  6  0
.
Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình, ta có:

S  z1  z2  z3  z4  2



2 3

.

3
2
Câu 23. Cho phương trình z  az  bz  c  0 . Nếu z  1  i và z  2 là hai nghiệm của phương trình thì
a, b, c bằng.

�a  4
�
b5
�
�
c 1
A. �
.

�a  4
�
b6
�
�
c  4
B. �
.

�a  2
�
b 1
�
�
c4
C. �
.
Hướng dẫn giải

�a  4
�
b  5
�
�
c 1
D. �
.

Chọn B
3
2
Do z  2, z  1  i là nghiệm của phương trình z  az  bz  c  0 nên ta có.
8  4a  2b  c  0
�
�
�
3
2

 1  i   a  1  i   b  1  i   c  0 (1) .
�
(1) �  2  2i   2ia  b  1  i   c  0
.
� 2  b  c   2  2 a  b  i  0
.
2  b  c  0
�
��
2  2a  b  0 .
�
2  b  c  0
a  4
�
�
�
�
2  2a  b  0
��
b6
�
�
�
8  4a  2b  c  0
c  4
�
Suy ra hệ phương trình �
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 183


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

3
2
Câu 24. Cho a, b, c là các số thực sao cho phương trình z + az + bz + c = 0 có ba nghiệm phức lần
z = w+ 3i; z2 = w+ 9i; z3 = 2w- 4
lượt là 1
, trong đó w là một số phức nào đó. Tính giá trị
P = a +b + c .
của
.
A. P = 84 .
B. P = 36 .
C. P = 136 .
D. P = 208 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
z + z2 + z3 =- a � 4w +12i - 4 =- a
Ta có 1
là số thực, suy ra w có phần ảo - 3i hay
w = m - 3i .
z = m; z2 = m + 6i; z3 = 2m - 6i - 4
z;z
Khi đó 1
mà 3 2 là liên hợp của nhau nên

m = 2m - 4 � m = 4 .
z = 4; z2 = 4 + 6i; z3 = 4 - 6i
Vậy 1
.
Theo Viet ta có.
�z1 + z2 + z3 =- a
�
a =- 12
�
�
�
�
�
b = 84
�z1 z2 + z 2 z3 + z1 z3 = b � �
�
�
�
�
c =- 208
�
�
�
�z1 z2 z3 =- c
.
P = - 12 + 84 - 208 = 136
.
4
2
z,z,z

z
Câu 25. Kí hiệu 1 2 3 và 4 là nghiệm phức của phương trình z  z  6  0 . Tính tổng
S  z1  z2  z3  z4
.
S 2 3 2
A.
.
B. S  2 2 .
C. S  1 .
D. S  2 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
�
z�3
z4  z2  6  0 � z2  3 z2  2  0 � �
z  � 2i
�
Ta có:
.
� S  z1  z2  z3  z4  2 3  2
.
iz 3  2 z 2   1  i  z  i  0
Câu 26. Gọi z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình
. Biết z1 là số thuần ảo.















P  z 2  z3
Đặt
, hãy chọn khẳng định đúng?
4

P

5
A.
B. 2  P  3
C. 3  P  4
Hướng dẫn giải
Chọn B
z1  i
�
� �2
2
3
2
iz  z  1  0  1
iz  2 z   1  i  z  i  0 �  z  i   iz  z  1  0

�
.
 1 .
Vì z1 là số thuần ảo nên z2 , z3 là nghiệm của phương trình
2
2
 z  z    z2  z3   4.z2 .z3  1  4i
Ta có: 2 3
�  z 2  z3 

D. 1  P  2

2

 1  4i  17 � P  z2  z3  4 17
.
4
2
z1 , z2 , z3
z4
Câu 27. Kí hiệu
và
là bốn nghiệm phức của phương trình z  2 z  63  0 . Tính tổng
T  z1  z2  z3  z4
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 184

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. T = 3 + 2 7 .

Số Phức
C. T = 2 7 .

B. T = 6 .

D. T = 6 + 2 7

.
Hướng dẫn giải
Chọn D

z  �3
�
�
z2  9
z  2 z  63  0 � �2
��
z  �i 7
z  7
�
�
Ta có :
.
4

2

3
Câu 28. Xét phương trình z  1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là.
� 1
3 �
S �
1,  � i �
S   1
� 2 2 �.
A.
.
B.
�1
� 1 � 3 �
3 �
S �
 � i�
S �
1,
�
2 2 �
2 �
�
�
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
3

( a + bi ) = 1

� a3 + 3a 2bi - 3ab2 - b3i = 1
�
a3 - 3ab2 = 1
�
��
�
3a 2b - b3 = 0 ( 2)
�
�
�
b = 0 � a =1 � z =1
�
( 2) � �
1
1
3
�
b = �a 3 � a =- � z =- � i.
�
2
2
2 .
�
3
Câu 29. Phương trình z  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm.
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
z2
�
�
z3  8 �  z  2 z 2  2 z  4  0 � �
z  1  3i
�
z  1  3i
�
.



Câu 30. Gọi

D. 4 .



z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình: z 4  z 2  6  0 . Giá trị của

T  z1  z2  z3  z 4

là:

A. 2 2  2 3 .

B. 1 .

C. 2 2  2 3 .
Hướng dẫn giải

D. 7 .

Chọn A
Giải phương trình

z4  z2  6  0

ta được

T  z1  z2  z3  z4  2 2  2 3

z1  2; z2   2; z3  i 3; z4  i 3 .

.

3
2
Câu 31. Tìm các số thực a, b, c để phương trình (ẩn z ) z  az  bz  c  0 nhận z  1  i và z  2 làm
nghiệm.
A. a  4, b  6, c  4 .
B. a  4, b  6, c  4 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 185

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. a  4, b  5, c  4 .

Số Phức

D. a  4, b  6, c  3 .
Hướng dẫn giải

Chọn B

 1 i  a  1 i  b  1 i  c  0 .
Ta có: z  1  i là nghiệm suy ra
Và z  2 là nghiệm suy ra 8  4a  2b  c  0 .
bc2  0
�
�a  4
�
�
2a  b  2  0
��
b6
�
�
�
4a  2b  c  8  0 �
c  4
Từ hai điều này ta có hệ �
.
z ,z ,z ,z
Câu 32. Gọi 1 2 3 4 là bốn nghiệm phức của phương trình

2
2
2
2
T  z1  z2  z3  z4
bằng.
A. 5 .
B. 5 2 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
�
z2  2
2 z 4  3z 2  2  0 � �2
1
�
z 
�
2.
Ta có
3

2
Với z  2 suy ra

2

2 z 4  3 z 2  2  0 .Tổng
D. 3 2 .

�
z 2
�
z 2
�

.
�
2
z
i
�
2
�
�
2
1
z
i
z2  
�
2 .
2 suy ra �
Với
2 2
 5
4 4
Do đó
.
4

2
Câu 33. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z  mz  n  0 không có
nghiệm thực.
�m2  4n �0
�m2  4n �0
�
�
.
�m 0
�m 0
�
�
n 0
n 0
2
�
m

4
n

0
A.
B.
hoặc �
.
2
�m  4n  0
�
�m 0

�
n 0
2
2
m

4
n

0.
m

4
n

0
C.
D.
hoặc �
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
4
2
Phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp:
2

2

2

2

T  z1  z2  z3  z 4  2  2 

2
TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là m  4n  0.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 186


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

TH 2: Phương trình



t4  mt2  n  0; t  z2



Số Phức

�
 �0 �
m2  4n �0
�
�

��
S 0 � �
m 0
.
�P  0 �
n 0
�
có hai nghiệm âm �

4
2
S  z1  z2  z3  z4 .
Câu 34. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z  4 z  77  0 Tính tổng
.

A. S  2 11 .

B. S  2 7  2 11 .

C. S  2 7 .

D.

S  2 7  2 11 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
� z2  7
�z�7
z 4  4 z 2  77  0 � � 2

��
�
� z  11 � z  �i 11 . � S  z1  z2  z3  z4  2 7  2 11 .
Ta có:
4
2
z ,z ,z ,z
Câu 35. Gọi 1 2 3 4 là các nghiệm phức của phương trình 2 z  3z  2  0 . Tính tổng
S  z1  z2  z3  z4
.
A. S  2 .
B. S  5 .
C. S  3 2 .
D. S  5 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
�
z 2
�
z 2
�
�
z2  2
�
1
� �2
1��
z
i
�

z 
�
2
�
2
�
1
�
z
i
�
2
Phương trình
.
1
1
S 2 2
i
i 3 2
2
2
Nên
.
4
2
Câu 36. Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là các nghiệm phức của phương trình z  5 z  36  0 . Tính tổng
T  z1  z2  z3  z4
.
A. T  10 .
B. T  8 .

C. T  4 .
D. T  6 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
�
z2  9
z  �3
�
� �2
��
4
2
z  4
z  �2i
�
�
Ta có : z  5 z  36  0
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là : z1  3 , z2  3 , z3  2i , z4  2i .

� T  z1  z2  z3  z4  10 .
3
2
Câu 37. Cho phương trình z  az  bz  c  0 nhận z  2 và z  1  i làm các nghiệm của phương trình.
Khi đó a  b  c là:
A. 5 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 14 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

Vì z  2 và z  1  i là 2 nghiệm của phương trình nên ta có hệ phương trình.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 187


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức

4a  2b  c  8
a  4
�
�
8  4a  2b  c  0
�
�
�
�
��
bc  2
��
b  6 � a  b  c  14
�
3
2
 1  i   a  1  i   b  1  i   c  0 �2a  b  2
�
�

c  4
�
�
.

3
2
 b, c, d �� ,
Câu 38. Biết z1 , z2  5  4i và z3 là ba nghiệm của phương trình z  bz  cz  d  0
trong đó z3 là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w  z1  3 z2  2 z3 bằng
A. 8 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
2
Phương trình z  bz  cz  d  0 với b , c , d �� có ba nghiệm z1 , z2  5  4i và z3 , trong
đó z3 là nghiệm có phần ảo dương nên z1 �� và z3  z2  5  4i .

Suy ra: w  z1  3z2  2 z3  z1  25  4i .
Do đó phần ảo của số phức w  z1  3z2  2 z3 bằng 4 .
4
2
Câu 39. Tập nghiệm của phương trình z  2 z  8  0 là.

 �2;
A.

�4i .

.

B.

 � 2; �2i .

C.

 � 2i; �2 .

D.

 �2;

�4i

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
�
z2
z 4  2 z 2  8  0 � �12
z2
�
Ta có

z2

�
�
z  2
�
4
z2  4
�
� �12
�
�
z i 2
 2
z2  2i 2
�
�
z  i 2
�
�

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 188