Đường thẳng song song với mặt phẳng phần 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO)

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P  :


d và  P  có 2 điểm chung  d   P 



d và  P  không có điểm chung  d //  P 



d và  P  có 1 điểm chung  d và  P  cắt nhau

2. Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng


d / / a

d   P   d   P  (*)

a   P 

 Hai đường thẳng a và b chéo nhau trong không gian thì tồn tại một mặt phẳng  P  đi qua a và

 P  // b

d / /  P 

 d / /
Chú ý: Từ (*) ta có tính chất d / /  Q 

 Q    P   

3. Các ví dụ và bài tập điển hình
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm của tam giác ABD . Lấy điểm M trên đoạn BC sao cho

MB  2MC . Lấy điểm K trên đoạn BD sao cho BK  3KD . Chứng minh rằng:
a) MG //  ACD 
b) CK //  AMG 
Lời giải:
a) Lấy điểm N là trung điểm đoạn AD . Do G là trọng tâm
tam giác ABD nên B , G và N thẳng hàng và
Ta có:

BG 2
 .
BN 3

BG BM 2

 .
BN BC 3

Theo định lý Thales ta được MG // CN . (1)
Ta nhận thấy CN   ACD  (2) và MG   ACD . (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MG //  ACD  .

b) Lấy điểm L là trung điểm của đoạn BD .
Do Do G là trọng tâm tam giác ABD nên A , G và L thẳng hàng hay điểm L nằm trong mặt phẳng

 AMG  .
Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: />
Trang 1


ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO)

Từ đó suy ra ML   AMG  . (1)
Dễ thấy:


CK   AMG  . (2)



BL BM 2

 , từ đây theo định lý Thales
BK BC 3

ta được ML // KC . (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra KC //  AMG  .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi M , N nằm trên đoạn SA sao cho

SM  MN  NA . A ' là điểm đối xứng của A qua G . Chứng minh rằng:
a) MG //  SBC 
b) NG //  CA ' M 
Lời giải:
a) Lấy điểm D là trung điểm của đoạn BC . Dễ thấy

D  BC   SBC   SD   SBC  . (1)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A , G , D
thẳng hàng và

AN AG 2
AG 2

 . Suy ra
 .
AM AD 3
AD 3

Theo định lý Thales ta được MG // SD . (2)
Dễ thấy MG   SBC  . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MG //  SBC  .
b) Vì A ' là điểm đối xứng của A qua G nên
AN 1
AG 1
 (2) và NG   SBC  .
 . (1). Dễ thấy
AM 2
AA ' 2

(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra NG //  CA ' M  .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB

CD và SA . Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác SBC . Chứng minh rằng:
a) SB //  MNP  và SC //  MNP  .
b) G1G2 //  SAC  .
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD .
Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: />
Trang 2


TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO)

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

Ta có MP // SB và MP   MNP  .
Suy ra SB //  MNP  .
Ta có OP // SC và OP   MNP  .
Suy ra SC //  MNP  .
b) Gọi I là trung điểm của BC .

Do G1 , G2 là trọng tâm nên
và

IG1 1

IA 3

IG2 1
 .
IS 3

Suy ra

IG1 IG2 1

 hay G1G2 // SA .
IA
IS 3

Mà SA nằm trong mặt phẳng  SAC 
nên G1G2 //  SAC  .
Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khong cùng nằm trên một mặt phẳng có tâm lần lượt là O
và O ' .
a) Chứng minh rằng OO ' song song với mặt phẳng  ADF  và mặt phẳng  BCE 
b) Lấy hai điểm M , N trên cạnh AE và BD sao cho AM 

1
1
AE và BN  BD . Chứng minh
3
3

MN //  CDPE 
Lời giải:
a) Ta có: OO ' là đường trung bình của tam giác

ACE nên OO ' // EC .

Mà

EC nằm trong mặt phẳng

 BCE 

nên

OO ' //  BCE  .
Tương tự, OO ' // DF nên OO ' //  ADF  .

b) Trong mặt phẳng  ABCD  , AN cắt CD tại G .
Ta có:

AB // DG 
Mặt khác

NB NA 1

 . (1)
ND NG 3

AM 1
 . (giả thiết) (2)
ME 3

Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: />
Trang 3

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO)

Từ (1) và (2) suy ra

NA AM
nên MN // EG .

NE ME

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Đáy lớn AD  2BC . Gọi G là trọng tâm tam giác

SCD , O là giao điểm của AC và BD . M là trung điểm của SD . Lấy I trên đoạn SC sao cho SI 

2
SC .
3

Chứng minh:
a) OG //  SBC  .
b) MC //  SAB  .
c) SA //  BID .
Lời giải:
a) Gọi H điểm của SC . Ta có:
Do BC // AD nên

DG 2
 . (1)
DH 3

OD AD
OD 2

 . (2)
 2  OD  2OB 
OB BC
BD 3

Từ (1) và (2) suy ra

DG OD 2

 .
DH BD 3

Theo định lý Thales ta được

OG // BH ,

mà

BH   SBC 

nên OG //  SBC  .
b) Gọi N là trung điểm SA .
Ta có: NM  BC 

1
AD . Vậy NMCB là hình bình hành.

2

Suy ra CM // BN .
Mà BN   SAB  nên CM //  SAB  .
c) Ta có: SI 

BC // AD 

CI 1
2
 . (3)
SC 
CS 3
3

CO BC 1
CO 1

 . (4)
 
OA AD 2
CA 3

Từ (3) và (4) suy ra

CO CI 1

 .
CA CS 3

Theo định lý Thales ta được OI // SA . Mà OI   BID  nên SA //  BID .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD và  SBC  .
b) Tim giao điểm của SB và mặt phẳng  MDC  .
Lời giải:
a) Hai mặt phẳng  SAD và  SBC  đã có chung điểm S .
Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: />
Trang 4


ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO)

Ta có: BC // AD mà AD   SAD  .
Suy ra BC //  SAD . Mặt phẳng  SBC  chứa BC .
Vậy mặt phẳng

 SAD

cắt mặt phẳng

 SBC 

theo giao tuyến

St // AD // BC .
b) Ta có: AB // CD .
Suy ra AB //  MDC  .
Mặt phẳng

 SAB

chứa

AB sẽ cắt mặt phẳng  MDC  theo giao tuyến Mx // AB // CD .
Trong mặt phẳng  SAB  gọi N là giao điểm của Mx và SB thì

N là giao điểm của SB và mặt phẳng  MDC  .
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy điểm M trên SD .
Tìm giao điểm N của SC và  ABM  .
Gọi K là giao điểm của AM và BN . Chứng minh khi M thay đổi trên SD thì SK luôn luôn song song với
mặt phẳng cố định.
Lời giải:
a) Ta có CD // AB mà AB   ABM  . Suy ra CD //  ABM  .
Mặt phẳng  SCD  chứa CD . Mặt phẳng  SCD  và mặt phẳng

 MAB  có điểm chung là

M.

Vậy  SCD   MAB   Mt // AB .
Trong mặt phẳng  SCD  , N  Mt  SC thì N  SC   ABM  .
b) Hiển nhiên S   SAD   SBC  . (1)
Mặt khác: K  AM  K   SAD . (2)
Và K  BN  K   SBC  . (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra SK   SAD   SBC  .
Hai mặt phẳng  SAD và  SBC  chứa hai đường thẳng

AD // BC nên giao tuyến SK // AD // BC .

Do SK // AD mà AD   ABCD  nên SK song song mặt
phẳng cố định  ABCD 
Vậy điểm K di động trên đường thẳng cố định đi qua S và
song song với mặt phẳng  ABCD  .
----------------------------- Còn nữa ----------------------------Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: />
Trang 5