khoảng cách trong không gian phần 2

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của AD , DC , A ' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ACC ') .
a 3
.
3
a 2
D.
.
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: ( MNP ) // ( ACA′ )

A.

B.

a
.
4

C.

a
.

3

1
a 2
.
⇒ d ( ( MNP ) ; ( ACA′ ) ) = d ( P; ( ACA′ ) ) = OD′ =
2
4

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60° ,
đáy ABC là tam giác đều và A′ cách đều A , B , C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
2a
a 3
A. a .
B. a 2 .
C.
.
D.
.
3
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Vì VABC đều và AA′ = A′B = A′C ⇒ A′ABC là hình chóp đều.
Gọi A′H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm VABC ,
)
A′AH = 60° .
a 3
A′H = AH .tan 60° =
3 = a.

3

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với
.
mặt đáy góc 60o. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( A1B1C1 ) là trung điểm của BC
1 1
Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
a
a
3
2
A. a
B. .
C. a
D. .
.
.
3
2
2
2
Hướng dẫn giải:
· ' AH = 60o.
Ta có: A 'H ⊥ ( ABC ) → A

(

)

d ( A' B 'C ') ,( ABC ) = A'H = A ' A.cos60o = a

3
.
2

Chọn đáp án A.

Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 30° . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) thuộc đường thẳng B′C ′ . Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
a
a
a 3
a 2
A. .
B.
C. .
D.
.
.
3
2
2
2
Hướng dẫn giải:

 Do hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều
bằng a suy ra
a 3
a
AB′ = AC ′ ⇒ B′H = HC ′ ⇒ A′H =
⇒ AH = .
2
2
Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a. Khoảng cách giữa ( AB′C ) và ( A′DC ′ ) bằng :
A. a 3 .

B. a 2 .

C.

a
.
3

D.

Hướng dẫn giải:
Ta có
d ( ( AB′C ) , ( A′DC ′ ) ) = d ( B′, ( A′DC ′ ) ) = d ( D′, ( A′DC ′ ) )
Gọi O′ là tâm của hình vuông A′B′C ′D′ . Gọi I là hình
Chiếu của D′ trên O′D , suy ra I là hình chiếu của D′
trên ( A′DC ′ ) .

B

D′I =

D′O′.D′D
D′O′2 + D′D 2

=

2

a 2
2

÷ +a
 2 

C

A

d ( AB′C ) , ( A′DC ′ )  = d  D′, ( A′DC ′ )  =
a 2
.a
2

a 3
.
3

D
B′

C′

I
=

a 3
.
3

O′

A′

D′

Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N , P   lần lượt là
trung điểm của AD, DC , A′D′.  Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ACC ′ ) .
a
a 2
.
B.
.
3
4
Hướng dẫn giải:

Nhận xét ( ACC ′) ≡ ( ACC ′A′)
Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD
Khi đó, OI ⊥ AC , OI ⊥ AA′ ⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′)

A.

C.

Trang 2

a 3
.
3

D.

a
.
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Suy ra d ( ( MNP ), ( ACC ′) ) = OI =

Quan hệ vuông góc – HH 11

1
a 2
AC =

4
4

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( ACD ′) và ( BA′ C ′) bằng
A. khoảng cách từ điểm D ′ đến đường thẳng A′ C ′ .
B. khoảng cách giữa hai điểm B và D ′ .
C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A′C ′ .
D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD ′ và BA′ C ′
Hướng dẫn giải:
Ta có ( ACD′) / /( BA′C ′) .
DB′ ⊥ ( ACD′)
(đã chứng minh trong SGK)
DB′ ⊥ ( BA′C ′)
Đáp án D.

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt
phẳng (CB ′D ′) và ( BDA′) bằng
a 2
a 3
.
B.
.
2
3
Hướng dẫn giải:
Vì ( A ' BD ) / /( B ' CD ') nên ta có:

A.

C.

2a 3
.
3

D.

a 6
.
3

d ( ( A ' BD ) , ( B ' CD ') ) = d ( C ; ( A ' BD ) ) = d ( A; ( A ' BD ) ) .

Vì AB = AD = AA ' = a và A ' B = A ' D = BD = a 2 nên
A. A ' BD là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm A ' B, G là trọng tâm tam giác A ' BD .
Khi đó ta có: d ( A; ( A ' BD ) ) = AG
3 a 6
.
=
2
2
2
a 6
Theo tính chất trọng tâm ta có: DG = DI =
.
3

3
Trong tam giác vuông AGD có:

Vì tam giác A ' BD đều nên DI = a 2.

6a 2 a 3
. Chọn B
=
9
3
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh a. Khoảng cách giữa ( ACB ′ ) và ( DA′ C ′ ) bằng
a
a 3
A. a 3 .
B. a 2 .
C.
.
D. .
3
3
AG = AD 2 − DG 2 = a 2 −

Trang 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải:

Vì ( ACB ') / /( DA ' C ') nên ta có:

d ( ( ACB ') , ( DA ' C ') ) = d ( D; ( ACB ' ) ) = d ( B; ( ACB ' ) ) .

Vì BA = BB ' = BC = a và AB ' = AC = CB ' = a 2 nên
B. ACB ' là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm AC , G là trọng tâm tam giác ACB ' .
Khi đó ta có: d ( B; ( ACB ' ) ) = BG
3 a 6
.
=
2
2
2
a 6
Theo tính chất trọng tâm ta có: B ' G = B ' I =
.
3
3
Trong tam giác vuông BGB ' có:

Vì tam giác ACB ' đều nên B ' I = a 2.

6a 2 a 3
. Chọn C.
=
9
3
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 4, AD = 3. Mặt phẳng ( ACD ') tạo với
mặt đáy một góc 60o. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

BG = BB '2 − B ' G 2 = a 2 −

6 3
12 3
.
B.
.
5
5
Hướng dẫn giải:
Gọi O là hình chiếu của D lên AC .
 ( ACD ') ∩ ( ABCD ) = AC

Ta có  AC ⊥ DO

 AC ⊥ D ' O ( AC ⊥ ( ODD ') ⊃ OD ' )
· ' OD = 600
⇒ (·
D ' AC ) , ( ABCD ) = D

A.

(

C.

4 3
.
5

)

AC = 32 + 4 2 = 5 ; DO =

AD.DC 12
=
AC
5

Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD ' = DO.tan 600 =

12 3
5

Chọn đáp án B.

Trang 4

D.

5 3
.
3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
 Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó
d ( a, b ) = MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1
Chọn mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆ ' . Khi đó d(D, D ') = d(D ',(a))

Phương pháp 2
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó
là khoảng cách cần tìm.

Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆ ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) chứa ∆ ' và vuông góc với ∆ tại I .
Bước 2: Trong mặt phẳng (α ) kẻ IJ ⊥ ∆ ' .
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆ ') = IJ .

Trường hợp 2: ∆ và ∆ ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) chứa ∆ ' và song song với ∆ .
Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống (α ) bằng cách lấy điểm M ∈ ∆ dựng đoạn
MN ⊥ ( α ) , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆ .
Bước 3: Gọi H = d ∩ ∆ ' , dựng HK PMN
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d ( ∆, ∆ ') = HK = MN .

Trang 5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) ⊥ ∆ tại I .
Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆ ' xuống mặt phẳng (α ) .
Bước 3: Trong mặt phẳng (α ) , dựng IJ ⊥ d , từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆ ' tại H ,
từ H dựng HM P IJ .
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d (∆ , ∆ ') = HM = IJ .

 Sử dụng phương pháp vec tơ

uuuu
r
uuur
 AM = x AB
uuur
 uuur
CN = yCD
r uuu
r
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi  uuuu
 MN . AB = 0
r uuur
 uuuu
 MN .CD = 0
ur uu
r
b) Nếu trong ( α ) có hai vec tơ không cùng phương u1 , u2 thì OH = d ( O, ( α ) )

uuur ur
OH .u1 = 0

 uuur uu
r
⇔ OH .u2 = 0 .
H ∈ α
( )


uuur ur
OH ⊥ u1
 uuur uu
r
⇔ OH ⊥ u2
H ∈ α
( )


Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy
( ABCD ) . Gọi K , H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
Trang 6


Quan hệ vuông góc – HH 11
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai.
Hướng dẫn giải:
Nếu AK ⊥ AC , do AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ ( ABC )
⇒ AK ≡ SA (vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ∆SAD có 2 góc vuông (vô
lý).
Theo tính chất của hình vuông CD ⊥/ AC .

Nếu AC ⊥ OH , do AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD ) ⇒ AC ⊥ SO ⇒ ∆SOA có 2
góc vuông (vô lý)
Như vậy AC ⊥/ AK , AC ⊥/ CD, AC ⊥/ OH
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB và CD .
a 3
a 2
a 2
a 3
A.
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a 3
Khi đó NA = NB =
nên tam giác ANB cân, suy ra
2
NM ⊥ AB . Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC , nên
d ( AB; CD ) = MN .
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Ta có: S ABN =

p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN ) (p là nửa chu vi).

a+a 3 a+a 3 a a
2a
.
.
. . =
2
2
2 2
4
1
1
2a
Mặt khác: S ABN = AB.MN = a.MN ⇒ MN =
.
2
2
2
=

3a 2 a 2 a 2
.
−
=
4
4

2
Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 và
BC = a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC .
3a
2a
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
4
3
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: BC // ( SAD )
Cách khác. Tính MN = AN 2 − AM 2 =

⇒ d ( BC ; SD ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) .

 AB ⊥ AD
⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B; ( SAD ) ) = AB .
Mà 
 AB ⊥ SA
Ta có: AB = AC 2 − BC 2 = 5a 2 − 2a 2 = 3a .
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng:
a

a
a 2
a 3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
2
3
2
3

Trang 7


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( ACC ' A′ ) ) =

1
a 2
.
DB =
2

2

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng 1 (đvdt).
Khoảng cách giữa AA ' và BD ' bằng:
3
2
2 2
A.
.
B.
.
C.
.
3
2
5
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: d ( AA′; BD′ ) = d ( BB ′; ( DBB ′D′ ) ) =

D.

3 5
.
7

1
2
.
AC =

2
2

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng
a
a
a 2
a 3
A.
.
B.
.
C. .
D. .
2
3
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a 3
Khi đó NA = NB =
nên tam giác ANB cân, suy ra
2
NM ⊥ AB . Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC , nên
d ( AB; CD ) = MN .
Ta có: S ABN =

p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN ) (p là nửa chu vi).

a+a 3 a+a 3 a a
2a
.
.
. . =
2
2
2 2
4
1
1
2a
Mặt khác: S ABN = AB.MN = a.MN ⇒ MN =
.
2
2
2
Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B 'C 'D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau AD và A'C ' là :
=

A. AA'.
D. DD '.
Hướng dẫn giải:

B. BB '.

C. DA'.

Trang 8


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

 AA ' ⊥ ( A ' B ' C ' D ' )
→ AA ' ⊥ A ' C '

 A ' C ' ⊂ ( A ' B ' C ' D ')
 AA ' ⊥ ( ABCD )
→ AA ' ⊥ AD

 AD ⊂ ( ABCD
Chọn đáp án A.

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị
sau?
A. a.
B. a 2.
C. a 3.
D. 2a.
Hướng dẫn giải:
Ta có: d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = AD = a.
Chọn phương án A.

Câu 9: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi
một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC

bằng bao nhiêu?
a
a
a 3
A. a
B.
C.
D.
2
5
2
Hướng dẫn giải:
Gọi J là trung điểm OB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H .
Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao
A
a
a.
OA.OJ
a
2
OH =
=
=
2
5
OA2 + OJ 2
a
2
a + ÷
2

H
Ta có: OC //IJ nên OC // ( AIJ )
C
Do đó:
O
d ( AI , OC ) = d ( OC , ( AIJ ) ) = d ( O , ( AIJ ) ) = OH =

a 5
.
5

J

I

Chọn đáp án B.
B
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại
A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB
và CD.
a
a 2
a 3
a 2
A.
.
B. .
C.
.
D.

.
2
4
3
2
Hướng dẫ giải:

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi
H
là
trung
điểm
AD
ta
có:
d(CD;SB) = d(D; (SBH)) = d(A;(SBH))
Mà
1
1
1
1
3
a 3

=
+
+
= 2 → d(CD;SB) =
2
2
2
2
d (A;(SBH)) AS AB AH
a
3
Chọn đáp án C

Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau
và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
a 21
a 21
a 15
a 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
7
5

3
Hướng dẫn giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC . Ta có:
AD, BC ⊥ (SFE) , suy ra SF là hình chiếu của SB lên
mặt phẳng (SEF)
Nên

d(AD;SB) = d(E;SF) =

SE.FE
SE 2 + FE 2

=

a

3
a
2

3 2
a + a2
4

=

21
a
7

Chọn đáp án B
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 = 2a, AD = 4a . Gọi M là trung điểm AD.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B1 và C1M bằng bao nhiêu?
A. 3a.
B. 2a 2.
C. a 2.
D. 2a.
B

Hướng dẫn giải:
Ta có A1 B1 //C1 D1 suy ra

d ( A1 B1 , C1M ) = d ( A1 B1 , ( C1D1M ) ) = d ( A1 , ( C1D1M ) )

A

A1

Chọn đáp án B.

Trang 10

M

D

B1

Vì AA1 = 2a, AD = 4a và M là trung điểm AD nên A1M ⊥ D1M ,
suy ra A1M ⊥ ( C1D1M )

⇒ d ( A1 , ( C1 D1M ) ) = A1M = 2a 2 .

C

C1
D1


Quan hệ vuông góc – HH 11
a
.
′
′
′
′
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh bằng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD ′ và A′ B ′ bằng bao nhiêu ?
a 2
a 3
a 3
A. a 2 .
B.
.
C.
.
D.
.
2
3

2
Hướng dẫn giải:
 A' B ' ⊥ A' A
⇒ A ' B ' ⊥ ( ADD ' A ') .
Ta có 
 A' B ' ⊥ A' D '
Gọi H là giao điểm của AD ' với A ' D .
⇒ A ' H ⊥ AD '
 A ' H ⊥ AD '
a 2
⇒ d ( A ' B '; AD ' ) = A ' H =
.

2
A' H ⊥ A' B '
Chọn B.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB ′ và AC bằng
a
a
a 2
a 3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
2

3
2
3
Hướng dẫn giải:
B
C
( AA′C ′C ) ⊃ AC
Vì 
nên d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( AA′C ′C ) ) .
 ( AA′C ′C ) //BB′
I
Gọi I = AC ∩ BD . Vì ABCD. A′B′C ′D′ là hình
A
D
lập phương nên BI ⊥ ( AA′C ′C ) .
Suy ra d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( AA′C ′C ) )

B′

a 2
.
= IB =
2

Chọn đáp án C.

C′

A′

D′

Câu 15: Hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có AB = 3, AD = 4, AA′ = 5. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và B ′D ′ bằng bao nhiêu ?
A. 34 .
B. 41 .
C. 5 .
D. 8 .
B
C
Hướng dẫn giải:

( ABCD ) // ( A′B′C ′D′)

Ta có 

 AC ⊂ ( ABCD ) ; B′D′ ⊂ ( A′B′C ′D′ )
A

⇒ d ( AC ; B′D′ ) = d ( ( ABCD ) ; ( A′B′C ′D′ ) ) = AA′ = 5

D

B′

Chọn đáp án C.

C′

A′

D′

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.
A.

ah

.

B.

ah

.

3a 2 + h 2
a2 + h2
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC ∩ BD . Gọi H là hình chiếu của O lên

Trang 11

C.

ah
2a 2 + h 2

.

D.

ah
a 2 + 2h 2

.


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

S

SA . Vì S . ABCD là hình chóp đều nên
BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH . Suy ra OH
là đoạn vuông góc chung của BD, SA.
OH =

OS .OA
OS + OA
2

2

=

a 2.h
2h + a

2
2
2

2

ah

=

H

2h 2 + a 2 .
A

D

Chọn đáp án D.
O
B

C

Câu 17: Cho hai tam giác đều ABC và ABD cạnh x nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
x 6
x 3
x 3
x 6
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
3
2
Hướng dẫn giải:
C
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD .

( ABC ) ⊥ ( ABD )
AB ⊥ ( CDI ) và

và hai tam giác ABC và ABD đều nên

J

CI = DI suy ra IJ là đoạn vuông góc

chung
Của hai đường thẳng AB, CD .
Vì tam giác CDI vuông tại I và J là trung điểm của CD
2

D

A

x 3
2. 
÷
I
Nên
CD
2CI 2
x 6.
 2 
IJ =
=
=
=
B
2
2
2
4
Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ( ABCD)
và SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa SB và CD.
a 2
a 3
A. a 2 .
B. a .
C.
.

D.
.
2
2
Hướng dẫn giải:
S
Ta có
d ( SB; CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) ) = DA = a .
Chọn đáp án B.

A

B

D
C

Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA
vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a.

Trang 12


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

a 3
.
B. a 2 .
2
Hướng dẫn giải:

Vì SA ⊥ ( ABCD ) tại A và BD ⊂ ( ABCD ) nên

A.

d ( SA; BD ) = d ( A; BD ) =

AB. AD
AB 2 + AD 2

2a 2

=

5a 2

C.

2a
.
3

Quan hệ vuông góc – HH 11
2a
D.
.
5
S

=

2a 5
.
5

Chọn đáp án D.
A

D

B

C

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
a
a 2
a 3
a 2
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
2
4
3
2

Hướng dẫn giải:
S
Vì AD ⊥ ( SAB ) tại A và SB ⊂ ( SAB ) nên
d ( AD; SB ) = d ( A; SB ) =

AS . AB
AS + AB
2

2

=

a 2
.
2

H

Chọn đáp án D.

A
B

D
C

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên ( SAB ) và
( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa AD và SB là
a 2

a 6
a 3
A. a .
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
4
Hướng dẫn giải:
Vì hai mặt bên ( SAB) và ( SAD ) cùng vuông góc
S
với mặt phẳng đáy nên SA ⊥ ( ABCD ) .
Vì AD ⊥ ( SAB ) tại A và SB ⊂ ( SAB ) nên
d ( AD; SB ) = d ( A; SB ) = AH =

AS . AB
AS + AB
2

2

=

a 6
.
3

H

Chọn đáp án C.

A

D

B

C

Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên
( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa SO và AB là
A. a .

B.

a 2
.
3

C.

Trang 13

a 6
.
3

D.

a 3
.
4


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải:
Gọi E là trung điểm của AD khi đó
d ( SO; AB ) = d ( AB; ( SOE ) ) = AH , với H là hình
chiếu của A lên SE .
a
a 2.
EA.ES
2 =a 2
=
Ta có AH =
2
2
3 .
EA + ES
a2
2
2a +
4

Chọn đáp án B.
B

S

H
E

A

D

O
C

Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên
( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa BD và SC là
A. độ dài của đoạn thẳng OA .
B. độ dài của đoạn thẳng BC .
C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC .
D. khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD .
Hướng dẫn giải:
S
Vì hai mặt bên ( SAB) và ( SAD ) cùng vuông
góc với mặt phẳng đáy nên SA ⊥ ( ABCD ) .
Suy ra BD ⊥ ( SAC ) tại O , mà SC ⊂ ( SAC ) nên
Khoảng cách giữa BD và SC bằng
khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC .
Chọn đáp án C.

A

D
O

B

C

Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 và
BC = a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
3a
2a
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
4
3
2
Hướng dẫn giải:
Dễ thấy BA ⊥ ( SAD )

(

)

BC / / AD ⇒ BC / / ( SAD ) ⇒ d ( BC , SD ) = d BC ,( SAD ) = BA

Xét tam giác vuông ABC có AB = 5a2 − 2a2 = a 3
Đáp án D

Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng
a 6
A.
.
B. a 6 .
C.
a 3.
6
D. a .
Hướng dẫn giải:
Dựng Cx / / BD , ( α ) = ( SC,Cx)

Trang 14


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

(

⇒ BD / / ( α ) ⇒ d ( BD, SC ) = d BD,( α )

(

)

(

)

(

)

)

1
d BD,( α ) = d O,( α ) = d A,( α )
2
Dựng AK ⊥ SC . Dễ thấy AK ⊥ ( α ) ⇒ d A,( α ) = AK

(

)

1
1
1
1
1
1
a 6

= 2+
⇔
= 2 + 2 ⇒ AK =
2
2
2
3
AK
SA AC
AK
a 2a

(

)

Vậy d O,( α ) =

a 6
6

Đáp án A.
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD bằng
A. a .
B. a 2 .
C. a 3 .
D. a 6 .
Hướng dẫn giải:
Dễ thấy AD ⊥ ( SAD )

(

)

CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB) ⇒ d ( SB, DC ) = d CD,( SAB) = AD = a

Xét tam giác vuông ABC có AB = 5a2 − 2a2 = a 3
Đáp án A

Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính khoảng
cách giữa AB và CC1.
a 2
a 3
.
B.
.
2
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB
CC1 / AA 1 ⇒ CC1 / ( ABB1A 1 ) ⇒ d ( AB,CC1 )

A.

(

)

= d CC1,( ABB1A 1 ) = CM =

Đáp án B.

a 3
2

C.

ab 3
2

4a + 3b

2

.

D.

ab 3
3a 2 + 2b 2

.

.

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm
bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là:
a 3
a 6

a 15
a 21
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
3
3
5
7
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC ∩ BD, I là trung điểm cạnh đáy BC.
Do SA = SB = SC = SD nên SO ⊥ ( ABCD )

Trang 15


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Từ đó ta chứng minh được BC ⊥ ( SOI )
⇒ OH ⊥ ( SBC ) (với OH ⊥ BC tại SI )
 EF //( SBC )
Do 
nên d ( EF , SK ) = d ( EF , ( SBC ) ) = OH
 SK ⊂ ( SBC )
1

a 5
a 3
Thực hiện tính toán để được OC = AC =
⇒ SO =
2
2
2
SO.OI
a 21
=
Cuối cùng d ( EF , SK ) = OH =
2
2
7
SO + OI

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn đáp án D.
Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = a 2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao
nhiêu?
a
a 2
a 3
a 3
A.
B.
C.
D.

2
3
3
2
Hướng dẫn giải:
Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC. Khi đó BC //( SMN )
Nên d ( SM , BC ) = d ( B, (SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM .
Ta có thể chứng minh được MN ⊥ ( SAM ), từ đó

AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = AH =

SA. AM
2

SA + AM

2

=

a 2
3

Chọn đáp án A.

Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?
a
a

A.
B.
C. a
2
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB
Tam giác MAB cân tại M và ∆ NCD cân tại N
do đó MN ⊥ AB, MN ⊥ CD

D.

a
3

2

 a 3   a 2 a 2
⇒ d ( AB, CD ) = MN = BM − NB = 
÷
÷ − ÷ = 2
 2  2
Chọn đáp án B.
2

2

Câu 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = AA′ = a , AC = 2a . Tính khoảng cách giữa
AC ′ và CD′ :
a

a
a 2
a 3
A.
B. .
C.
D. .
.
.
3
2
2
2
Trang 16


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải:

 Ta có hình chiếu của AC ′ trên mặt phẳng ( DCC ′D′ ) là DC ′ ⊥ D′C nên

AC ′ ⊥ D ' C ⇒ ( ADC ′B ') ⊥ D ' C tại điểm H là trung điểm CD′ . Từ H ta kẻ

HK ⊥ AC ′ ⇒ d ( AC ′, D′C ) = HK .

1
1

1
5a 2
6
30
30
=
+
=
⇒d =
a=
a ⇒ HK =
a
2
2
2
4
d
3a
2a
6a
5
5
10
Chọn đáp án D.
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA′ và BD′
bằng:
2 2
3 5
3
2

A.
B.
C.
D.
5
7
3
2
Hướng dẫn giải:
AA '/ / BB ' ⇒ AA '/ /(DBB'D')
 Ta có

Ta có :

⇒ d ( AA' ) = d ( A, ( DBB ' D ') ) = AO =

2
.
2

Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là :
A. a 2 .

B. a 3 .

C. a 5 .

Hướng dẫn giải:
 Gọi M là trung điểm DC , H là hình chiếu
vuông góc của M lên AB .

 BM ⊥ CD
⇒ CD ⊥ (ABM)
 Ta có: 
 AM ⊥ CD
CD ⊥ MH
⇒ MH = d (AB, CD)
 
 AB ⊥ MH
2 S ABM a 2
=
AB
2
Chọn đáp án D.

 MH =

Trang 17

D.

a 2
.
2


Quan hệ vuông góc – HH 11
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 , BC = a 2 . Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
2a
3a

a 3
.
.
A.
B.
C.
D. a 3.
.
3
4
2
Hướng dẫn giải:
 Khoảng cách giữa SD và BC : d ( BC , SD ) = CD = a 3.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Chọn đáp án D.

Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Các cạnh bên
SA = SB = SC = SD = a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là:
a 6
a 7
a 42
a 6
A.
B.
C.
D.
2
6
7

2
Hướng dẫn giải:
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: HK .
a2 a 7
7a 2 a 2 a 6
.
=
; SO =
−
=
4
2
4
4
2
6
a
.a
SO.MH
a 42
= 2
=
.
 Có : HK =
SM
7
7
a
2
Chọn đáp án C.

 SH = SM = 2a 2 −

a 17
. Hình chiếu vuông góc
2
H của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD.
Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a.
3a
a 3
a 21
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
5
7
5
Hướng dẫn giải:
S
Ta có: HK / / BD ⇒ HK / / ( SBD )

Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD =

⇒ d ( HK , SD ) = d ( HK , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) )

Kẻ HI ⊥ BD , HJ ⊥ SI
Khi đó: BD ⊥ HI , BD ⊥ SH ⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ BD ⊥ HJ

J A

B

Trang 18

D

O

H

Nên HJ ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HJ

K

I

C


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

5 2
1

a 2
2
2
2
2
2
2
2
và HD = HA + AD = a ⇒ SH = SD − HD = 3a
AO =
4
2
2
2
2
SH .HI
3
a 21
a 21
Do đó: HJ 2 =
. Vậy d ( SD, HK ) =
= a 2 ⇒ HJ =
2
2
SH + HI
7
7
7
Chọn đáp án C.
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AC = b và có

cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ′ và BC bằng
b 2
b 3
A. b .
B.
.
C. b 3 .
D.
.
2
3
Hướng dẫn giải:
A′
C′
Kẻ Ax / / BC ⇒ BC / / ( AB′x )

Ta có: HI =

⇒ d ( BC , AB′ ) = d ( BC , ( AB′x ) ) = d ( B, ( AB′x ) )
Kẻ BD ⊥ Ax, BK ⊥ DB′
Ta có: AD ⊥ BD, AD ⊥ BB′ ⇒ AD ⊥ ( BDB ′ )
⇒ AD ⊥ BK .
Dó
BK ⊥ ( ADB′ ) ⇒ d ( B, ( ADB ′ ) ) = BK

B′
K

đó:

A

C

b 2
D
H
2
x
BD 2 .BB′2
b 3
Nên BK 2 =
=
B
2
2
BD + BB′
3
Chọn đáp án D.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC = 60o. Hai mặt phẳng

Khi đó: BD = AH =

( SAC )

và ( SBD ) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 30o.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a bằng:
a 3
a 3
a 3

A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
2
4
3
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC ∩ BD . Kẻ OI ⊥ AB , OH ⊥ SI
Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB

·
⇒ SAO
= 300
Ta lại có:  AB ⊥ OI
 AB ⊥ SI


S

Khi đó: CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB )

H

C

B

O

⇒ d ( CD, SA ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) )

D

Ta có: AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI ) ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH
Mà OC =

1
1
a 3
·
AB = a nên ·ABC = OCD
.
= 600 ⇒ OI = OC .sin 600 =
2
2
4

Trang 19

I
A


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Do đó: OH = OI .sin 300 =

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 3
a 3
⇒ d ( CD, SA ) = 2OH =
8
4

Chọn đáp án B.
Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , AB = 2a; BD = 3 AC , mặt bên
SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung
điểm H của AI . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
a 35
2a 35
2a 7
2a 35
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
7

35
Hướng dẫn giải:
S
Ta có: CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB )

⇒ d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = 4d ( H , ( SAB ) )
Kẻ MH ⊥ AB, HK ⊥ SM
Ta có: AB ⊥ HM , AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHM ) ⇒ HK ⊥ AB

K

Khi đó: HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK
A
BI
0
D
·
·
tan
BAC
=
=
3
⇒
BAC
=
60
⇒
∆
ABC

Ta có:
đều
M
IA
H
1
1
I
⇒ AC = 2a ⇒ AH = AC = a
B
4
2
C
15a 2
a 3
Mà HM = AI .sin 600 =
và SH 2 = SA2 − AH 2 =
4
4
2
2
2
HM .SH
5a
a 35
2a 35
Do đó: HK 2 =
=
⇒ HK =
⇒ d ( CD, SB ) = 4 HK =

2
2
HM + SH
28
14
7
Chọn đáp án B.
Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 60o. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a là:
a 42
a 42
.
B.
.
8
4
Hướng dẫn giải:
Kẻ Ax / / BC , HI ⊥ Ax, HK ⊥ SI .
Ta có: BC / / Ax ⇒ BC / / ( SAx )

A.

C.

3a 42
.
8

3

d ( H , ( SAx ) )
2
Ta lại có: AI ⊥ HI , AI ⊥ SH ⇒ AI ⊥ ( SHI ) ⇒ AI ⊥ HK

D.

3a 42
.
4

⇒ d ( BC , SA ) = d ( BC , ( SAx ) ) = d ( B, ( SAx ) ) =

Nên HK ⊥ ( SAI ) ⇒ d ( H , ( SAI ) ) = HK
Gọi M là trung điểm của AB
Khi đó:
1
2
1
1
a 3
BH = a, AH = a, AM = a, HM = a , CM =
3
3
2
6
2
a 7
và HC = CM 2 − MH 2 =
3

S

K
C

B
H

x

Trang 20

I

A


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

·
Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ CH là hình chiếu của SC lên ( ABC ) nên SCH
= 600
Suy ra SH = HC.tan 600 =

a 21
3

a 3

0
·
Do ·ABC = HAI
= 600 nên HI = AH .sin 60 =
3
2
2
HI .SH
7 2
a 42
3
a 42
Khi đó: HK 2 =
=
a ⇒ HK =
⇒ d ( BC , SA ) = HK =
2
2
HI + SH
24
12
2
8
Chọn đáp án
Câu 41: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) , gọi I là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng ( ABC ) bằng
600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
4a
3a
a

a
A.
.
B.
.
C. .
D. .
3
4
4
3
S
Hướng dẫn giải:
Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ( ABC ) là
AI nên góc giữa SI và
¶ (vì tam giác SIA vuông tại A
mặt phẳng ( ABC ) là SIA
¶ nhọn). Suy ra SIA
¶ = 600 .
nên SIA
H

¶ = 600 , AI = a 3
Xét tam giác SIA vuông tại A , SIA
2
3a
nên SA =
.
2

C

A

60°
I

D
K

B

Dựng hình bình hành ACBD , tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.
Ta có AC / / BD, AC ⊄ ( SBD ) ⇒ AC / / ( SBD ) mà ( SBD ) ⊃ SB ⇒ d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBD ) ) .
a 3
Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và AK =
mà BD ⊥ SA nên
2
BD ⊥ ( SAK ) .

Dựng AH ⊥ SK , H ∈ SK lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ ( SBD )

Vậy d ( A, ( SBD ) ) = AH .
Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A , đường cao AH ta có
1
1
1
3a
=
+

⇒ AH =
2
2
2
4
AH
AK
AS
⇒ d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBD ) ) =

3a
.
4

Đáp án B.
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC tam giác ABC vuông tại B, BC = a, AC = 2a, tam giác SAB đều.
Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M của AC. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC là:
a 66
2a 11
2a 66
a 66
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

11
11
11
11

Trang 21


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại B, BC = a, AC = 2a suy ra AB = a 3 .
Tam giác SAM vuông tại M , SA = a 3, AM = a ⇒ SM = a 2 .
Dựng hình bình hành ABCD , gọi N là trung điểm của AD . Do ·ABC = 900 suy ra ABCD là hình chữ
nhật suy ra MN ⊥ AD. Lại có SM ⊥ AD nên AD ⊥ ( SMN ) .
Dựng MH ⊥ SD, H ∈ SN .
S
Theo trên có AD ⊥ ( SMN ) ⇒ MH ⊥ AD ⇒ MH ⊥ ( SAD ) .
Vậy d ( M , ( SAD ) ) = MH .

Ta có BC / / AD, BC ⊄ ( SAD ) ⇒ BC / / ( SAD )
Mà SA ⊂ ( SAD )

⇒ d ( SA, BC ) = d ( BC , ( SAD ) )

= d ( C , ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) ) = 2 MH .

C

B

.

M

H
Xét tam giác SMN vuông tại M , đường cao
a
A
D
N
MH , SM = a 2, MN = có
2
1
1
1
a 66
2a 66
=
+
⇒ MH =
⇒ d ( SA, BC ) =
2
2
2
11
11
MH

MN
MS
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với AB = 2a ; BC = a 2 ; BD = a 6 .
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết
SG = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là:
a
a
A. a .
B. 2a .
C. .
D. .
2
3
Hướng dẫn giải:
Ta có ABCD là hình bình hành,
S
AB = 2a, BC = a 2, BD = a 6 nên ABCD là hình chữ
nhật.
Dựng hình bình hành ACEB . Ta có
AC / / BE , AC ⊄ ( SBE ) ⇒ AC / / ( SBE ) mà ( SBE ) ⊃ SB

vậy d ( SB, AC ) = d ( AC , ( SBE ) ) = d ( G , ( SBE ) ) .

Dựng GK ⊥ BE , K ∈ BE lại có SG ⊥ BE nên BE ⊥ ( SGK ) .

A

D

H

G
B

C
K
E

Dựng GH ⊥ SK , H ∈ SK lại có GH ⊥ BE nên GH ⊥ ( SBE ) ⇒ d ( G , ( SBE ) ) = GH .
1
1
1
=
+
Ta có GK = d ( B, AC ) . Tam giác ABC vuông tại B suy ra 2
vậy
2
d ( B, AC ) BA
BC 2

GK = d ( B, AC ) =

2a
.
3
Trang 22


Quan hệ vuông góc – HH 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH , SG = 2a, GK =

2a
có
3

1
1
1
=
+
⇒ GH = a ⇒ d ( SB, AC ) = a .
2
2
GH
GK
GS 2
Đáp án A.
Câu 44: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4a; BC = 3a, gọi I là
trung điểm của AB, hai mặt phẳng ( SIC ) và ( SIB ) cùng vuông góc với ( ABC ) , góc giữa hai mặt

phẳng ( SAC ) và ( ABC ) bằng 60o. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là:
12a 3
3a 3
2a 3
.
B.
.

C.
.
5
5
5
Hướng dẫn giải:
Ta có ( SIC ) , ( SIB ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên SI ⊥ ( ABC ) .

A.

D.

5a 3
.
3

Dựng hình bình hành ACBE . Ta có AC / / BE , AC ⊄ ( SBE ) ⇒ AC / / ( SBE ) mà ( SBE ) ⊃ SB vậy
d ( SB, AC ) = d ( AC , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) )
= 2d ( I , ( SBE ) )

.

Dựng IK ⊥ BE , K ∈ BE lại có SI ⊥ BE nên BE ⊥ ( SGK ) .

Dựng IH ⊥ SK , H ∈ SK lại có IH ⊥ BE nên IH ⊥ ( SBE ) ⇒ d ( I , ( SBE ) ) = IH .
S

Kéo dài IK cắt AC tại D mà
SI ⊥ AC ⇒ ( SID ) ⊥ AC .

Lại có ( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC .

( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD
( SAD ) ∩ ( ASC ) = SD
Góc giữa ( SAC ) và ( ABC ) bằng

· suy ra SDI
·
SDI
= 600 .

1
Ta có ID = IK = d ( B, AC )
2
Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra
1
1
1
=
+
vậy
d 2 ( B, AC ) BA2 BC 2
ID = IK = d ( B, AC ) =

600

A

H
E

K

D

C

I
B

12a
.
5

12a ·
12a 3
, SDI = 600 suy ra SI =
.
5
5
Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có
1
1
1
6a 3
12a 3
.
= 2 + 2 ⇒ IH =
⇒ d ( SB, AC ) =
2

5
5
IH
IK
IS
Đã sửa đáp án A.
Câu 45: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi H , M lần lượt là trung điểm
các cạnh BC và SC , SH vuông góc với ( ABC ) , SA = 2a và tạo với mặt đáy góc 60o. Khoảng cách

Xét tam giác SID vuông tại I , ID =

giữa hai đường thẳng AM và BC là:

Trang 23


Quan hệ vuông góc – HH 11
a 7
D.
.
21

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

a 3
a 7
a 21
.
B.
.

C.
.
7
7
7
Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng ( ABC ) là HA . Vậy

A.

·
·
góc giữa SA và ( ABC ) là SAH
. Ta có SAH
= 600 suy ra
AH = a, SH = a 3 .
Gọi N , I lần lượt là trung điểm của SB, SI .
Ta có mặt phẳng ( AMN ) song song với BC và chứa AM . Vậy
d ( AM , BC ) = d ( BC , ( SAM ) ) = d ( H , ( SAM ) ) .
Dựng HK ⊥ AI , K ∈ AI .
Ta có BC ⊥ SH , BC ⊥ MH ⇒ BC ⊥ ( SMH ) .

S

M
I

K
N
A

C

H

⇒ BC ⊥ HK mà MN / / BC ⇒ HK ⊥ MN
Do HK ⊥ AI (cách dựng). Suy ra
HK ⊥ ( AMN ) ⇒ d ( H , ( AMN ) ) = HK .

B

Xét tam giác IAH vuông tại H , đường cao HK
1
1
1
a 21
a 21
, d ( H , ( AMN ) ) = HK =
=
+ 2 ⇒ HK =
2
2
7
7
HK
HA
HI
Đáp án C.
Câu 46: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2 2a . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA
tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 45o. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a là:

2a 22
a 22
.
B.
.
11
11
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M là trung điểm của SB .
Mặt phẳng ( ACM ) chứa AC và song song SD .
Do đó d ( SD, AC ) = d ( SD, ( ACM )) = d ( D, ( ACM )) .
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi

A.

C.

a 11
.
11

D.

đó

 2a 4 2a

A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D 0; 2 2a; 0 , S  ;

;2a ÷
÷, C a; 2 2a;0
3
 3

uuuu
r  5a 2 2a 
 5a 2 2a  uuur
M  ;
;a÷
AC
=
a
;
2
2
a
;0
,
AM
=  ;
;a ÷
.
÷
÷
3
3
 6

 6


uuur uuuu
r
⇒ AC ∧ AM = 2 2a 2 ; −a 2 ; − 2a 2
r
Mặt phẳng ( ACM ) đi qua điểm A và có vtpt n = 2 2; −1; − 2

(

)

(

(

(

2a 11
.
11

)

)

)

2 2 x − y − 2 z = 0 ⇒ d ( D;( ACM )) =

(

−2 2a
8 +1+ 2

=

2a 22
.
11

Trang 24

)

nên có phương trình là


Quan hệ vuông góc – HH 11
Câu 47: Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC , tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 .
Ngoài ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là
trung điểm của BC .
a 21
a 3
a 7
a 17
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
7
7
7
7
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi N là trung điểm BD. Ta chứng minh được CD / / ( AMN ) .
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Do đó d ( CD, AM ) = d ( CD, ( AMN ) ) = d ( C , ( AMN ) ) .
Xét tứ diện ACMN . Thể tích tứ diện này là :
1
1
VACMN = d ( C , ( AMN ) ) .S ∆AMN = d ( N , ( ACM ) ) .S ∆ACM
3
3
d ( N , ( ACM ) ) .S ∆ACM
Suy ra d ( C , ( AMN ) ) =
(*)
S∆AMN
Gọi H là trung điểm BM . Khi đó, NH / / DM suy ra
NH ⊥ ( ACM ) nên
1
1
NH = d ( N , ( ACM ) ) = DM = a.
(1)
2

2
1
a2 3
S ∆ACM = S∆ABC =
. (2)
2
4
1 2
1
2
2
2
2
Áp dụng công thức trung tuyến AN =  AB + AD − DB ÷ = a ⇒ AN = a.
2
2

1
Ta có AM = BC = a nên ∆AMN cân tại A. Gọi K là trung điểm MN thì AK ⊥ MN .
2
CD a 2
a 14
MN =
=
. Trong tam giác vuông ∆AKM , ta có AK =
.
2
2
4
1

a2 7
Suy ra S∆AMN = AK .MN =
(3)
.
2
8
a 21
a 21
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được d ( C , ( AMN ) ) =
. Vậy d ( CD, AM ) =
.
7
7
Câu 48: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu của S mặt
phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60o .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .
2 15
3
5
15
A.
B.
C.
D.
a.
a.
a.
a.
5
5

5
5
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Trang 25