Chuyên đề hàm số liên tục

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

TOÁN 11
1D4-3

ĐT:0946798489

HÀM SỐ LIÊN TỤC
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN

Contents
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM........................................................................................................................... 3
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................ 3
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số .......................................................................................................................... 4
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................... 4
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG........................................................................................................................ 11
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 11
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 12
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 14
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 15
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM......................................................................................................................... 15
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.......................................................................................................... 15
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số ........................................................................................................................ 16
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 17
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG........................................................................................................................ 24
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 24
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 26
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 29

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1.

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 a; b  . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên  a; b  là
A. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
B. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
xa
x b
xa
x b
C. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
D. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
xa
x b
xa
x b
Câu 2.

















(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  a; b  . Tìm
mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 không có
nghiệm trong khoảng  a; b  .
B. Nếu f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a; b  .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

C. Nếu hàm số f  x  liên tục, tăng trên  a; b  và f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 không
có nghiệm trong khoảng  a; b  .
D. Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm trong khoảng  a; b  thì hàm số f  x  phải liên tục trên

 a; b  .
Câu 3.

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu f ( a ). f (b )  0 thì phương trình f ( x )  0 không có nghiệm nằm trong  a; b  .

B. Nếu f ( a ). f (b )  0 thì phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong  a; b  .
C. Nếu f ( a ). f (b )  0 thì phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong  a; b  .
D. Nếu phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong  a; b  thì f ( a ). f (b )  0 .

Câu 4.

Cho đồ thị của hàm số y  f  x  như hình vẽ sau:
y
7
6
5
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2

Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x  0 nhưng không liên tục tại điểm x  0 .
B. Hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x  0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x  0 .
C. Hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm tại điểm x  0 .
D. Hàm số y  f  x  không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x  0 .
Câu 5.

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  1 ?

A.

.

B.

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
.

2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

.

C.
Câu 6.

D.

.

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:
1. Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại x0   a; b  sao cho
f  x0   0 .

2. Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có
nghiệm.
3. Nếu hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình
f  x   0 có nghiệm duy nhất.
A. Có đúng hai mệnh đề sai.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.

B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
D. Có đúng một mệnh đề sai.

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7.

Câu 8.

1  x3

, khi x  1
Cho hàm số y   1  x
. Hãy chọn kết luận đúng
1
, khi x  1

A. y liên tục phải tại x  1 .
B. y liên tục tại x  1 .
C. y liên tục trái tại x  1 .
D. y liên tục trên  .
 x 2  7 x  12
khi x  3

Cho hàm số y  
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x3
 1
khi x  3


A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0  3 .
B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0  3 .
C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0  3 .
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0  3 .
Câu 9.

 x2
khi x  2

Cho hàm số f  x    x  2  2
. Chọn mệnh đề đúng?
4
khi x  2

A. Hàm số liên tục tại x  2 .
B. Hàm số gián đoạn tại x  2 .
C. f  4   2 .
D. lim f  x   2 .
x 2

Câu 10.

2x 1
. Kết luận nào sau đây đúng?
x3  x
A. Hàm số liên tục tại x  1 .
B. Hàm số liên tục tại x  0 .
Cho hàm số f  x  

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

D. Hàm số liên tục tại x 

C. Hàm số liên tục tại x  1 .

1
.
2

Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x  1 :
x 2  x 1
x2  x  2
x2  x 1
x 1
A. f  x 
. B. f  x  
.
C.
f
x

. D. f  x  
.


2
x 1
x 1
x

x 1
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0  1

Câu 12.
.

A. y   x  1  x 2  2  . B. y 
Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

2x 1
.
x 1

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  2 ?
3x  4
A. y 
.
B. y  sin x .
x2

C. y 

x
.
x 1

C. y  x 4  2 x 2  1

x
gián đoạn tại điểm x0 bằng?
x 1
A. x0  2018 .
B. x0  1 .
C. x0  0

D. y 

x 1
.
x2  1

D. y  tan x .

Hàm số y 

D. x0  1 .

x 3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x2  1
A. Hàm số không liên tục tại các điểm x  1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x   .
C. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .
Cho hàm số y 

1  cos x
khi x  0

Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x    x 2
.
1
khi x  0
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f  x  có đạo hàm tại x  0 .
B. f 2  0 .

 

C. f  x  liên tục tại x  0 .

D. f  x  gián đoạn tại x  0 .

 x cos x, x  0
 2
 x
, 0  x  1 . Khẳng định nào
Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số f  x   
1  x
 x3 , x  1
sau đây đúng?
A. Hàm số f  x  liên tục tại mọi điểm x thuộc  .

B. Hàm số f  x  bị gián đoạn tại điểm x  0 .
C. Hàm số f  x  bị gián đoạn tại điểm x  1 .
D. Hàm số f  x  bị gián đoạn tại điểm x  0 và x  1 .

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

x 4
khi x  2

Câu 18. Tìm m để hàm số f ( x)   x  2
liên tục tại x  2
 m
khi x  2

A. m  4 .
B. m  2 .
C. m  4 .

D. m  0 .

 x3  1
khi x  1

Câu 19. Cho hàm số y  f ( x )   x  1
. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x0  1

 2 m  1 khi x  1

là:
1
A. m   .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0 .
2

 x 2  3 x  2 khi
Câu 20. Để hàm số y  
khi
4 x  a
A. 4 .
B. 4.

x  1
x  1

liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a là
C. 1.

 x3  x 2  2 x  2

Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f  x   
x 1
3 x  m

A. m  0 .

B. m  6 .
C. m  4 .

D. 1 .
khi x  1

liên tục tại x  1 .

khi x  1

D. m  2 .


x 2016  x  2
khi x  1

Cho hàm số f  x    2018 x  1  x  2018
. Tìm k để hàm số f  x  liên tục tại x  1
k
khi x  1


Câu 22.
.

A. k  2 2019 .

B. k 

2017. 2018

.
2

C. k  1 .

D. k 

20016
2019 .
2017

 x 1
khi x  1

Câu 23. Cho hàm số f  x    x  1
. Tìm a để hàm số liên tục tại x0  1 .
a
khi x  1

1
1
A. a  0 .
B. a   .
C. a  .
D. a  1 .
2
2
3x  b khi x  1
Biết hàm số f x   
liên tục tại x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x  a khi x  1

A. a  b  2 .
B. a  2  b .
C. a  2  b .
D. a  b  2 .
 3 x
khi x  3

Câu 25. Cho hàm số f  x    x  1  2
. Hàm số đã cho liên tục tại x  3 khi m  ?
m
khi x=3

A. 1 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 4 .
Câu 24.

Câu 26.

ax 2  bx  5 khi
Biết hàm số f  x   
khi
 2ax  3b
P  a  4b .
A. P  4 .
B. P  5 .

x 1
liên tục tại x  1 Tính giá trị của biểu thức
x 1

C. P  5 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. P  4 .
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

Câu 27.

x  x
khi x  1

Tìm m để hàm số f ( x)   x  1
liên tục tại x  1
m  1 khi x  1


A. m  0 .

B. m  1 .

D. m  2 .

C. m  1

 x 2  3x  2

Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số f  x    x  1
m 2  m  1

A. 0.
B. 3 .
C. 2 .

 x2 2

Câu 29. Tìm a để hàm số f  x    x  2
2 x  a

15
15
A.
.
B.  .
4
4

khi x  2

khi x  1

liên tục tại điểm x  1 ?

khi x  1
D. 1.

liên tục tại x  2 ?

khi x  2
C.

1
.
4

D. 1 .



x2  3x  2

khi x  2

Câu 30. Cho hàm số f  x  
, m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm
 x  2 2


2



m x  4m  6 khi x  2
số đã cho liên tục tại x  2 ?
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1
 3x 2  2 x  1  2

, x 1
Câu 31. Cho hàm số f  x   
. Hàm số f  x  liên tục tại x0  1 khi
x2 1
4  m
x 1

A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  7 .
D. m  7 .
Câu 32.

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số
 x 2  3x  2
khi x   1

liên tục tại x  1 .
f  x    x2  1
 mx  2
khi x   1


A. m 

3
.
2

B. m 

5
.
2

 x2  4  2

x2
Câu 33. Cho hàm số f ( x)  
2a  5

4
liên tục tại x  0 .
3
4
A. a   .
B. a  .
4
3

Câu 34.

3

2

C. m  .

m

để hàm số

5
2

D. m  .

khi x  0

. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x )
khi x  0

4
C. a   .
3

D. a 

3
.
4

 x 2  2 x  3 khi x  1
Cho hàm số f  x   

. Tìm m để hàm số liên tục tại x0  1 .
3 x  m  1 khi x  1
A. m  1 .
B. m  3 .
C. m  0 .
D. m  2 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

2

 x  3x  2
khi x  2

Câu 35. Cho hàm số f ( x)   x  2
. Hàm số liên tục tại x  2 khi a bằng
a
khi x  2

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .

 3 x
khi x  3

Câu 36. Cho hàm số f  x    x  1  2
. Hàm số liên tục tại điểm x  3 khi m bằng:
mx  2
khi x  3

A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .
 x 2  16
khi x  4

Câu 37. Tìm m để hàm số f  x    x  4
liên tục tại điểm x  4 .
mx  1 khi x  4

7
7
A. m  .
B. m  8 .
C. m   .
D. m  8 .
4
4

Câu 38.

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
liên tục tại x  2 .
B. m  2 .

A. m  3 .

C. m   2 .

D. Không tồn tại m .



 x  3  m khi x  1
. Để hàm số liên tục
Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số f x   
 x 1


n
khi x  1



tại x 0  1 thì giá trị của biểu thức m  n  tương ứng bằng:
A.

Câu 40.

3
.

4

B. 1.

9
.
4

B. m  2 .

C. m  3 .

D. m  0 .

cos3x  cos 7 x
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x  3 ?
x 0
x2
B. 0 .
C. 4 .
D. 20 .

Giới hạn lim
A. 40 .

Câu 42.

D.

 x3  6 x 2  11x  6

khi x  3

Cho hàm số f  x   
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x  3
x 3
m
khi x  3

?
A. m  1 .

Câu 41.

1
C.  .
2

 x2  x  2
khi x  1

Tìm m để hàm số f ( x)   x  1
liên tục tại x  1.
2
mx  2m khi x  1


 3
A. m  1;   .
 2

B. m  1 .

 3
C. m    .
 2

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
 3
D. m  1;  . .
 2

7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

 x  3x  2
khi x  2

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f  x    x 2  2 x
liên tục tại điểm x  2
mx  m  1 khi x  2


Câu 43.
.

1
A. m  .
6

1
B. m   .
6

1
C. m   .
2

1
D. m  .
2

 x2  4  2
khi x  0

x2
Câu 44. Cho hàm số f  x   
. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f  x 
5
2a  khi x  0

4
liên tục tại x  0 .
3
4
3

4
A. a   .
B. a  .
C. a   .
D. a  .
4
3
4
3

 ax 2  1  bx  2
1
khi x 

3
2 ,  a, b, c    . Biết hàm số liên tục tại x  1 .
Câu 45. Cho hàm số f  x    4 x  3 x  1
2
1
c
khi x 
 2
2
Tính S  abc .
A. S  36 .
B. S  18 .
C. S  36 .
D. S  18 .
 x2  1
khi x  1


Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số f  x    x  1
liên tục tại
a
khi x  1

điểm x0  1 .
A. a  1 .
B. a  0 .
C. a  2 .
D. a  1 .
Câu 47.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
 x2  x  2
khi x  2

liên tục tại x=2.
f ( x)   x  2
m
khi x=2

A. m  3.
B. m  1.
C. m  2.
D. m  0.

 2 x 2  3x  1
khi x  1


Câu 48. Để hàm số f  x    2  x  1
liên tục tại x  1 thì giá trị m bằng
m
khi x  1

A. 0,5 .
B. 1,5 .
C. 1.
D. 2 .
 x2  x  2
khi x  1

Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x    x  1
. Tìm
3m
khi x  1

tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x  1.
A. m  2.
B. m  1.
C. m  2.
D. m  3.

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 50.

ĐT:0946798489

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m
 1 x  1 x
khi x  0

x
để hàm số f  x   
liên tục tại x  0 .
m  1  x
khi x  0
1 x

A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0 .

 eax  1
khi x  0

Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f  x    x
. Tìm giá trị
1

khi x  0
 2
của a để hàm số liên tục tại x0  0 .
1

1
A. a  1 .
B. a  .
C. a  1 .
D. a   .
2
2

 ax 2  (a  2) x  2
khi x  1

Câu 52. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số f ( x)  
. Có tất cả
x32
8  a 2
khi x  1

bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x  1 ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 53.

Câu 54.

Câu 55.

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số
 x2 2

khi x  2

y  f  x   x  2
liên tục tại x  2 .
a  2 x
khi x  2

1
15
A. .
B. 1 .
C.  .
D. 4 .
4
4
 x 2  1 khi x  1
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số f  x   
liên tục tại điểm
 x  m khi x  1
x0  1 khi m nhận giá trị
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  1 .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 2x  1  x  5
khi x  4

f  x  

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên
x4
a  2
khi x  4

tục tại x0  4 .
5
A. a  .
2

Câu 56.

B. a  

11
.
6

C. a  3 .

D. a  2 .

(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số y  f  x 

 x 2  x  12
khi x  4

liên tục tại điểm x0  4 .
 x4
 mx  1

khi x  4

A. m  4 .
B. m  3 .
C. m  2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. m  5 .
9


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 57.

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
 3x  1  2
khi x  1

f  x   x 1
liên tục tại điểm x0  1 .
m
khi x  1

3
1
A. m  3 .
B. m  1 .
C. m  .

D. m  .
4
2

Câu 58.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 x32
khi  x  1

x

1
f  x  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f  x 
m2  m  1
khi  x  1

4
liên tục tại x  1 .
A. m  0;1 .
B. m  0; 1 .
C. m  1 .
D. m  0 .

Câu 59. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên  :
khi x  1
2 x  a
 3
f  x    x  x2  2 x  2

khi x  1.

x 1

A. a  2 .
B. a  1 .
C. a  2 .
D. a  1 .
Câu 60.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
 x2  x  2
khi x  2

f  x   x  2
liên tục tại x  2 .
2
m
khi x  2

A. m  3 .

B. m  1 .

C. m   3 .

D. m  1 .

 x2  4 x  3
khi x  1


Câu 61. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số f ( x)   x  1
mx  2
khi x  1

liên tục tại điểm x  1 .
A. m  2 .
B. m  0 .
C. m  4 .
D. m  4 .
 x3  8
khi x  2

Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x    x  2
. Tìm
2m  1 khi x  2

m để hàm số liên tục tại điểm x0  2 .
3
11
13
1
A. m  .
B. m  .
C. m  .
D. m   .
2
2
2
2

CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số
 x 2  2 x  8
khi x  2

f ( x)  
x2
 m   . Biết hàm số f  x  liên tục tại x0  2 . Số giá trị
2
2
m x  5mx khi x  2

nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1.
D. 0 .

Câu 63. (THPT

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
10


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số
Câu 64.

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ?
A. y  x3  x .

Câu 65.

A. 1 .

Câu 67.

2x 1
.
x 1

D. y  x 2  1 .

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số f1  x   2 x3  3 x  1 ,

f2  x  

Câu 66.

C. y 

B. y  cot x .

3x  1
, f3  x   cos x  3 và f 4  x   log 3 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập  ?
x2
B. 3 .

C. 4 .
D. 2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ?
x2  3
A. f  x   tan x  5 .
B. f  x  
.
C. f  x   x  6 .
5 x

D. f  x  

x5
.
x2  4

 x 2  x  3 khi x  2
Cho hàm số y  
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
5
x

2
khi
x

2

A. Hàm số liên tục tại x0  1 .

B. Hàm số liên tục trên  .
C. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;2 ,  2;   .

D. Hàm số gián đoạn tại x0  2 .
Câu 68.

Hàm số nào sau đây liên tục trên  ?
A. f  x   x .

4

2

B. f  x   x  4 x .

C. f  x  

x4  4 x2
x4  4 x2
. D. f  x  
.
x 1
x 1

 x2
khi x  1, x  0

 x
Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x   0
. Khẳng

khi x  0

 x khi x  1

định nào đúng
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn  0;1 .

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  0 .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc  .
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1 .
Câu 70.

sin  x khi x  1
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số f  x   
. Mệnh
 x  1 khi x  1
đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên  .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng  ; 1 và  1;   .
C. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;1 và 1;   .
D. Hàm số gián đoạn tại x  1 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
?
x
x
A. y  x .
B. y 
.
C. y  sin x .
D. y 
.
x 1
x 1
sin x neu cos x  0
Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số f  x   
. Hỏi hàm
1  cos x neu cos x  0
số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng  0; 2018  ?
A. 2018 .
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số

Câu 73.

C. 642 .

D. 321 .

 2 3 x  x 1
,x 1

Tìm m để hàm số y   x  1

liên tục trên  .
mx  1
,x  1


4
3

A. m   .
Câu 74.

B. 1009 .

1
3

4
3

B. m   .

2
3

C. m  .

D. m  .

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số
 3 4x  2

, x2

f ( x)   x  2
. Xác định a để hàm số liên tục trên .
 ax  3
, x2

1
4
4
A. a  1 .
B. a  .
C. a  .
D. a   .
6
3
3

 x2  1
khi x  1

Câu 75. Cho hàm số f  x    x  1
. Tìm m để hàm số f  x  liên tục trên  .
m  2 khi x  1

A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  4 .
D. m  4 .
Câu 76.

(LƯƠNG

TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019)
2
 x  2 x  2 khi x  2
liên tục trên  ?
y  f  x  
2
khi x  2
5 x  5m  m
A. m  2; m  3 .
B. m  2; m  3 .
C. m  1; m  6 .

Tìm

m

để

hàm

số

D. m  1; m  6 .

 3x  a  1 khi x  0

Câu 77. Cho hàm số f  x    1  2 x  1

. Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên
khi x  0

x

tục trên  .
A. a  1 .
B. a  3 .
C. a  4 .
D. a  2 .

Câu 78.

 x 3  3x 2  2 x
 x x2




a
Cho biết hàm số f  x   

b



khi x  x  2   0
khi

x0

khi

x2

liên tục trên  . Tính T  a 2  b 2 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. T  2 .
Câu 79.

B. T  122 .

ĐT:0946798489

C. T  101 .

D. T  145 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên

 x 1
khi x  1

f  x    ln x

m.e x 1  1  2mx 2 khi x  1

1
A. m  1 .
B. m  1 .
C. m  .
D. m  0 .
2

Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm
 m 2 x 2
khi x  2
số f  x   
liên tục trên  ?
1  m  x khi x  2
A. 0 .
Câu 81.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

 x  m
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f  x   
mx  1
tất cả các giá trị của m để f  x  liên tục trên .
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  1 .

khi x  0
khi x  0

. Tìm

D. m  2 .

 x2  4 x  3
khi x  1

Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số y   x  1
liên tục trên 
6 Px  3
khi x  1

.
5
1
1
1
A. P  .
B. P  .
C. P  .
D. P  .
6
2

6
3
Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

ax  b  1, khi x  0
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số f ( x)  
liên
a cos x  b sin x, khi x  0
tục trên  khi và chỉ khi
A. a  b  1 .
B. a  b  1 .
C. a  b  1
D. a  b  1
3 x  1 khi x  1
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y  
, m là tham số. Tìm m
 x  m khi x  1
để hàm số liên tục trên  .
A. m  5 .
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m  3 .
(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
 x 1 1
khi  x  0


liên tục trên  .
f ( x)  
x
 2
 x  1  m khi x  0
3
1
1
A. m  .
B. m  .
C. m  2 .
D. m   .
2
2
2

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 x 2  16  5

khi x  3
Câu 86. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y  f  x   
. Tập
x3

a
khi x  3

các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên  là:
2
1 
3
A.   .
B.   .
C. 0 .
D.   .
5 
5 
5 

Câu 87.

Câu 88.

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
 x 2  16
khi x  4

liên tục trên  .
f  x   x  4
mx  1 khi x  4

7
7
A. m  8 hoặc m   . B. m  .

4
4
7
7
C. m   .
D. m  8 hoặc m  .
4
4

 x 2  ax  b khi x  5

(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số f  x    x  17
khi  5  x  10
ax  b  10 khi x  10


liên tục trên  thì a  b bằng
A. 1 .
B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Câu 89.

Cho phương trình 2 x 4  5 x 2  x  1  0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  2;1 .
B. Phương trình 1 vô nghiệm.

C. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  0; 2  .
D. Phương trình 1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 .

Câu 90.

Câu 91.

(THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong
khoảng  0;1
5

A. 2 x 2  3 x  4  0 .

B.  x  1  x 7  2  0 .

C. 3 x 4  4 x 2  5  0 .

D. 3 x 2017  8 x  4  0 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
4 x 4  2 x 2  x  3  0 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình 1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 .
B. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;1 .
C. Phương trình 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;1 .
D. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  1;1 .

Câu 92.

Phương trình 3x5  5 x3  10  0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
A.  2; 1 .

B.  10; 2  .
C.  0;1 .
D.  1;0  .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
14


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 93.

ĐT:0946798489

3

Cho phương trình 2 x  8 x  1  0 1 . Khẳng định nào sai?
A. Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3 .
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 .
D. Phương trình có nghiệm trong khoảng  5; 1 .

Câu 94.

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và thỏa mãn f  a   b , f  b   a với a, b  0 ,
a  b . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng  a; b  .

A. f  x   0 .
Câu 95.

B. f  x   x .

Câu 1.

D. f  x   a .

8  4a  2b  c  0
Cho số thực a , b , c thỏa mãn 
. Số giao điểm của đồ thị hàm số
8  4a  2b  c  0
y  x3  ax 2  bx  c và trục Ox là
A. 2 .
B. 0 .

Câu 96.

C. f  x    x .

D. 1 .

C. 3 .

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn
a  c  b  1
. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  x3  ax 2  bx  c và trục Ox .

a  b  c  1  0
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .

D. 3 .
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Chọn: lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
xa

Câu 2.

x b

Vì f  a  f  b   0 nên f  a  và f  b  cùng dương hoặc cùng âm. Mà f  x  liên tục, tăng trên

 a; b  nên đồ thị hàm f  x  nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên  a; b  hay phương trình
f  x   0 không có nghiệm trong khoảng  a; b  .
Câu 3.
Câu 4.

Chọn B
Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.
Chọn B
Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x  0 nên nó liên tục tại điểm x  0 nhưng
không có đạo hàm tại điểm x  0 .

Câu 5.

Chọn D
Vì lim y  lim y nên hàm số không liên tục tại x  1 .

Câu 6.

Chọn D

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn  a; b  .

x 1

x 1

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số
Câu 7.
Chọn A
Ta có: y 1  1 .





1  x  1  x  x 2
1  x3
Ta có: lim y  1 ; lim y  lim
 lim
 lim 1  x  x 2  4
x 1
x 1
x 1 1  x
x 1
x 1
1 x
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />




15


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Nhận thấy: lim y  y 1 . Suy ra y liên tục phải tại x  1 .
x 1

Câu 8.

Câu 9.

Chọn D
x 2  7 x  12
lim
 lim  x  4   1  y  3 nên hàm số liên tục tại x0  3 .
x 3
x 3
x3
x 2  7 x  12    32  7.3  12 
x 2  7 x  12 


lim
 lim
 lim  x  4   1  y '  3  1 .

x 3
x 3
x 3
x3
x3
Chọn A
Tập xác định: D  
lim f  x   lim
x 2

x 2





 x  2 x  2  2
x2
 lim
 lim
x2
x2
x  2  2 x 2





x2 2  4

f  2  4

 lim f  x   f  2 
x 2

Vậy hàm số liên tục tại x  2 .
Câu 10. Chọn D
1
2x 1
1
Tại x  , ta có: lim f  x   lim 3
 0  f   . Vậy hàm số liên tục tại x  2 .
1
1
2
x
x x  1
2
2
2
Câu 11.

x 2  x 1
x 1
lim f  x   suy ra f  x không liên tục tại x  1 .
A) f  x 

x1

x2  x  2

x 2 1
x2
lim f  x   lim
  suy ra f  x không liên tục tại x  1 .
x1
x 1 x 1
x 2  x 1
C) f  x 
x
x 2  x 1
lim f  x   lim
 3  f 1 suy ra f  x liên tục tại x  1 .
x 1
x 1
x
x 1
D) f  x  
x 1
x 1
lim f  x   lim
  suy ra f  x không liên tục tại x  1 .
x1
x1 x 1
B) f  x  

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
2x 1
Câu 12. Ta có y 
không xác định tại x0  1 nên gián đoạn tại x0  1 .
x 1

Câu 13. Chọn A
3x  4
Ta có: y 
có tập xác định: D   \ 2 , do đó gián đoạn tại x  2 .
x2
Câu 14. Chọn D
x
Vì hàm số y 
có TXĐ: D   \ 1 nên hàm số gián đoạn tại điểm x0  1 .
x 1
Câu 15. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

x 3
có tập xác định  \ 1 . Do đó hàm số không liên tục tại các điểm x  1 .
x2  1
Câu 16. Hàm số xác định trên 
x
2sin 2
1  cos x
2 1
 lim
Ta có f  0   1 và lim f  x   lim
2

2
x 0
x 0
x 0
x
2
 x
4.  
2
Vì f  0   lim f  x  nên f  x  gián đoạn tại x  0 . Do đó f  x  không có đạo hàm tại x  0 .
Hàm số y 

x 0

1  cos x
 0 nên f 2  0. VậyA, B,C sai.
x2
Câu 17. * f  x  liên tục tại x  0 và x  1 .
* Tại x  0
x2
lim f  x   lim   x cos x   0 , lim f  x   lim
 0 , f 0  0 .
x 0
x 0
x 0
x 0 1  x
Suy ra lim f  x   lim f  x   f  0  . Hàm số liên tục tại x  0 .

 

x  0 f  x  

x 0

x 0

* Tại x  1
x2
1
 , lim f  x   lim x3  1 .
x 1
x 1
x 1 1  x
2 x 1
Suy ra lim f  x   lim f  x  . Hàm số gián đoạn tại x  1 .
lim f  x   lim
x 1

x 1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số
Câu 18. Chọn A

 x2  4 
Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi lim 
  lim m  m  m  4
x 2
 x  2  x2
Câu 19. Chọn C
Ta có f (1)  2 m  1

x3  1
 lim( x 2  x  1)  3
x 1
x 1 x  1
x 1
Để hàm số liên tục tại điểm x0  1 thì f (1)  lim y  2 m  1  3  m  1 .
lim y  lim

x 1

Câu 20.

Chọn B
Hàm số liên tục tại x  1 khi và chỉ khi lim y  lim y  y  1
x 1

x 1

 lim  4 x  a   lim  x  3x  2   y  1  a  4  0  a  4 .
2

x 1

Câu 21.

x 1

Chọn A
Ta có: f 1  m  3 .

 x  1  x 2  2 
x3  x 2  2 x  2
lim f  x   lim
 lim
 lim  x 2  2   3 .
x 1
x 1
x

1
x 1
x 1
x 1
Để hàm số f  x  liên tục tại x  1 thì lim f  x   f 1  3  m  3  m  0 .
x 1

Câu 22.

Chọn A

x
x 2016  x  2
 lim
Ta có: lim
x 1
2018 x  1  x  2018 x 1

2016

 1  x  1



2018 x  1  x  2018



2017 x  2017

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 lim

 x  1  x

2015

x

2014

ĐT:0946798489

 ...  x  1  1



2018 x  1  x  2018

2017  x  1

x 1

 2

2019

Để hàm số liên tục tại x  1  lim f  x   f 1  k  2 2019 .
x 1

Câu 23.

Chọn C
Ta có lim f  x   lim
x 1

x 1

x 1
 lim
x 1
x 1

x 1





x 1



1
1
 .
x 1 2

 lim
x 1

x 1

Để hàm số liên tục tại x0  1 khi lim f  x   f 1  a 
x 1

1
.
2

Câu 24. Chọn A
lim f x   f 1  b  3 ; lim f x   a  1 . Để liên tục tại x=-1 ta có b  3  a  1  a  b  2
x  1

Câu 25.

x  1

Chọn D
f  3  m
lim f  x   lim

3 x

 lim

3  x 

x 1  2

x3
x  1  2 x3
Để hàm số liên tục tại x  3 thì lim f  x   f  3
x3

x 3







 lim  x  1  2  4
x 3

x 3

Câu 26.

Suy ra, m  4 .
Chọn B
Ta có: lim f  x   lim  ax 2  bx  5   a  b  5  f 1 .
x 1

x 1

lim f  x   lim  2ax  3b   2a  3b .

x 1

x 1

Do hàm số liên tục tại x  1 nên a  b  5  2a  3b  a  4b  5 .
Chọn D
TXĐ: D  R
x2  x
Ta có lim f ( x)  lim
 lim x  1
x 1
x 1 x  1
x 1
Và f (1)  m  1 .
Hàm số liên tục tại x  1  m  1  1  m  2
Câu 28. Chọn D
 x  1 x  2   lim x  2  1 .

x 2  3x  2
lim
 lim


x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Để hàm số f  x  liên tục tại điểm x  1 cần: lim f  x   f 1
Câu 27.

x 1

2

 m  m  1  1
 m  0 (TM)
 m2  m  0  
.
 m  1 (L)

Câu 29.

Chọn B
Ta có f  2   4  a .
Ta tính được lim f  x   lim
x 2

x2

x24

 x  2 

x2 2



 lim
x2

1
1
 .
x2 2 4

Hàm số đã cho liên tục tại x  2 khi và chỉ khi f  2   lim f  x   4  a 
x 2

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
15
a .
4
4
18

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Vậy hàm số liên tục tại x  2 khi a  
Câu 30.

15
.
4

Chọn D
Ta có



x2



 x  2  x  1 x  2  2
x 2  3x  2
 lim
 lim  x  1
x 2
x2
x  2  2 x 2

lim f ( x)  lim
x2







x2 2  4



lim f ( x)  lim m 2 x  4m  6  2m 2  4m  6

x  2

x2

f (2)  2m 2  4m  6
Để hàm số liên tục tại x  2 thì
lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  2m2  4m  6  4  2m2  4m  2  0  m  1
x2

x 2

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại x  2 .
Câu 31. Chọn A
Tập xác định D   , x0  1  .
Ta có f 1  4  m .
lim f  x   lim
x 1

x 1



3x  5

 lim

 x  1 
Hàm số f  x 
x 1

Câu 32.

 x  1 3x  5
3x 2  2 x  1  2
 lim
x 1
 x  1 x  1
 x  1 x  1 3x 2  2 x  1  2
3x 2  2 x  1  2





1

liên tục tại x0  1 khi và chỉ khi lim  x   f 1  4  m  1  m  3 .

x 1

Chọn D
- Ta có:
+ f  1  m  2 .
+ lim  f  x  m  2 .
x 1

+ lim  f  x   lim 
x  1

x  1

x 2  3x  2
 x  1 x  2   lim x  2  1 .
 lim
2
x   1  x  1 x  1
x   1 x  1
x 1
2




1
5
- Hàm số liên tục tại x  1  f  1  lim  f  x  lim  f  x   m  2 
m .
x 1

x 1

2

2

Câu 33.

.

Chọn D
Tập xác định: D   .
x2  4  2
lim f ( x)  lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x2

 lim
x 0

x2  4  4
2

2

x ( x  4  2)

5
f (0)  2a  .
4

 lim
x 0



x2  4  2
x2

1
2

x 42






x2  4  2

x2  4  2





1
.
4

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Hàm số f ( x ) liên tục tại x  0  lim f ( x)  f (0)  2a 
x 0

Vậy a 
Câu 34.

5 1
3
 a .
4 4
4

3
.
4

Chọn C
TXĐ D  

Ta có f 1  2  m .
lim f  x   lim  x 2  2 x  3  2 .
x 1

x 1

Hàm số liên tục tại x0  1  lim f  x   f 1  2  m  2  m  0 .
x 1

Câu 35.

Chọn A
Hàm số liên tục tại x  2  lim f ( x)  f (2) .
x 2

Ta có f (2)  a, lim f ( x)  lim
x2

Câu 36.

x2

x 2  3x  2
 lim( x  1)  1 . Do đó a  1
x2
x2

Chọn A
Tập xác định D   .
3 x

 lim   x  1  2   4 .

x 3
x 3
x  1  2 x 3 
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x  3  lim f  x   f  3  3m  2  4  m  2 .



Ta có f  3  3m  2 và lim f  x   lim



x 3

Câu 37.

Chọn A
Ta có lim f  x   f  4   4m  1 ; lim f  x   lim
x 4

x4

x4

x 2  16
 lim  x  4   8 .
x 4
x4

Hàm số liên tục tại điểm x  4  lim f  x   lim f  x   f  4   4m  1  8  m 
x 4

Câu 38.

x 4

7
.
4

Chọn A
x  x  2
x2  2 x
 lim
 lim x  2 .
x2
x2
x2
x2
x2
x2
lim f  x   lim  mx  4  2m  4

Ta có lim f  x   lim
x 2

x 2

Hàm số liên tục tại x  2 khi lim f  x   lim f  x   2m  4  2  m  3 .

x 2

Câu 39.

x 2

Chọn D
Ta có: f 1  n.

lim f x   lim
x 1

x 1

x  3  m2

x  1

x 3 m



.

Hàm số liên tục tại x  1  lim f x   f 1  n  lim
x 1

x 1

x  3  m2

x  1

x 3 m



(1).

m  2
lim f x  tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: 1  3  m  0  
.
x 1
m  2
x 1
1
1
+ Khi m  2 thì 1  n  lim
 n  lim
n  .
x 1
x 1
4
x 3 2
x  1 x  3  2
2





Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

+ Khi m  2 thì 1  n  lim
x 1

Vậy m  n  2 
Câu 40.

x 3

x 3

suy ra không tồn tại n.

1
9
 .
4
4

x3  6 x 2  11x  6
 lim  x 2  3x  2   2 .
x 3

x 3

Chọn B
Ta có: lim
x 0

Câu 42.

x  3 2

Chọn B
Ta có: f  3  m .

lim f  x   lim
Câu 41.

1

cos3x  cos 7 x
2sin 5 x sin 2 x
 2.5.2  20 .
 lim
2
x

0
x
x2

Chọn A

Tập xác định D  R .
* f (1)  m  2m2
* lim f ( x )  lim (mx  2m 2 )   m  2m 2 .
x 1

x 1

( x  1)( x  2)
x2  x  2
 lim
 lim ( x  2)  3.
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Hàm số liên tục tại x  1 khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)
* lim f ( x)  lim

x 1

x 1

m  1
.
 m  2m  3  2m  m  3  0  
m   3

2

 3
Vậy các giá trị của m là m  1;   .
 2
Câu 43. Chọn B
 x  2  x  1  lim x  1  1
x 2  3x  2
 lim
Ta có: lim 2
.
x2
x2
x2
x  2x
x  x  2
x
2
2

2

f  2   3m  1 .

Để hàm số liên tục tại điểm x  2  3m  1 
Câu 44.

1
1
m .
2
6

Chọn D
+ Ta có f  0   2a 
+ lim f  x   lim
x 0

x 0

5
.
4

x2  4  2
 lim
x 0 2
x2
x

x2




 1
1
 lim 
 .
2
x 0
2

x

4

2
x 42

 4



Hàm số f  x  liên tục tại x  0 khi lim f  x   f  0   2a 
x 0

Câu 45.

5 1
3
 a .
4 4
4

Chọn A
2

Ta có



2




ax 2  1   bx  2 

ax  1  bx  2

2
4 x3  3x  1
 2 x  1  x  1

2

ax 2  1  bx  2

a  b  x
2





 2 x  1  x  1 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2

2

 4bx  3
ax 2  1  bx  2



.

21


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
2

 a  b  x  4bx  3  m  2 x  1
 m  3

1

Để hàm số liên tục tại x   
 b   3 .
a
b
2

1   2  0

 a  3
2

 4
2

ax 2  1  bx  2
12 x 2  12 x  3

lim
2
1
4 x3  3x  1
x   2 x  1  x  1
3 x 2  1  3x  2

Khi đó lim1
x

 lim
x

1
2

2

2



2

3

 x  1 

3x 2  1  3x  2







3
c
 2   c  4 .
3
2
2

Vậy S  abc  3  3 4   36 .
Câu 46.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D  R .
f 1  a .
x2 1
 lim  x  1  2 .
x 1
x 1 x  1
x 1

f  x  liên tục tại x0  1 khi và chỉ khi lim f  x   f 1  a  2 .

lim f  x   lim

x 1

Câu 47.

Chọn A
Ta có: lim
x 2

x2  x  2
( x  2)( x  1)
 lim
 lim( x  1)  3.
x 2
x 2
x2
x2

f ( x)  f (2)  m  3.
Hàm số liên tục tại x=2  lim
x 2
Câu 48. Chọn A
f 1  m .

 x  1 2 x  1  lim 2 x  1  1 .
2 x 2  3x  1
 lim

x 1
x 1
x 1
2  x  1
2  x  1
2
2

lim f  x   lim
x 1

Để hàm số f  x  liên tục tại x  1 thì lim f  x   f 1  m 
x 1

Câu 49.

Tập xác định của hàm số là .
Hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   f 1  lim
x 1

 lim
x 1

Câu 50.

1
.
2

 x 1 x  2  3m  lim

x 1

x 1

x 1

x2  x  2
 3m
x 1

 x  2   3m  3  3m  m  1.

Ta có

1 x 

lim f  x   lim  m 
  m 1.
x 0
x 0 
1 x 
 1 x  1 x 
lim f  x   lim 
  xlim

x 0
x 0
x

 0 x

2 x



1 x  1 x



 lim
x 0

2



1 x  1 x



 1 .

f 0  m  1

Để hàm liên tục tại x  0 thì lim f  x   lim f  x   f  0   m  1  1  m  2 .
x 0

x 0

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />

22


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Tập xác định: D   .
eax  1
e ax  1
lim f  x   lim
 lim
.a  a .
x 0
x 0
x 0
x
ax
1
1
f  0   ; hàm số liên tục tại x0  0 khi và chỉ khi: lim f  x   f  0   a  .
x 0
2
2
D


3;



Câu 52. Tập xác định:
.

Câu 51.

lim f  x   lim
x 1

ax 2   a  2  x  2
x3 2

x 1

 lim

 x  1 ax  2  

x 1

 lim  ax  2 
x 1



x3 2

.

.

x 1
x  3  2  4  a  2 .



f 1  8  a 2 .

a  0
Hàm số đã cho liên tục tại x  1 khi lim f  x   f 1  4  a  2   8  a 2  
.
x 1
a

4

Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x  1 .
x2 2
x2
1
1
 lim
 lim
 .
Câu 53. Ta có: lim f  x   lim
x2
x 2
x2
x2
 x  2  x  2  2 x2 x  2  2 4





1
15
a .
x2
4
4
2
Ta có lim f  x   lim  x  1  2 ; lim f  x   lim  x  m   1  m . Để hàm số liên tục tại x0  1

Hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   f  2   a  4 
Câu 54.

x 1

x 1

x 1

x 1

thì lim f  x   lim f  x   2  m  1  m  1 .
x 1

x 1

Câu 55.

lim f  x   lim
x4

x4

2x  1  x  5
 lim
x4
x4
 x  4

Lời giải
x4



2x 1  x  5



 lim
x 4

1
1

2x 1  x  5 6

f  4  a  2 .
Hàm số liên tục tại x0  4 khi: lim f  x   f  4  

x4

Câu 56.

1
11
a2  a  .
6
6

Tập xác định: D   .
Ta có:
 x  3 x  4   lim x  3  7 .
x 2  x  12
+ lim f  x   lim
 lim


x 4
x 4
x 4
x 4
x4
x4
+ f  4   4m  1 .
Hàm số f  x  liên tục tại điểm x0  4 khi và chỉ khi lim f  x   f  4   4m  1  7
x 4

 m  2.

Câu 57.

Ta có lim
x 1

3x  1  2
3x  1  22
3
3
 lim
 lim
 .
x 1
x 1
 x  1 3 x  1  2 x 1 3x  1  2 4





Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
23


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Với f 1  m ta suy ra hàm số liện tục tại x  1 khi m 
Câu 58.

Câu 59.

3
.
4

1
1
1
 ; f 1  lim f  x   m2  m  .
x 1
x 1
x 1
4
x3 2 4
 m  1
1 1
Để hàm số f  x  liên tục tại x  1 thì m 2  m    
.
4 4
m  0
Ta có lim f  x   lim

x32
 lim
x 1
x 1

 Khi x  1 thì f  x   2 x  a là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng  ;1 .

x3  x2  2 x  2
là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng 1;    nên
x 1
liên tục trên khoảng 1;    .
 Khi x  1 thì f  x  

 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  1 , ta có:
+ f 1  2  a .
+ lim f  x   lim  2 x  a   2  a .
x 1

x 1

 x  1  x 2  2 
x3  x 2  2 x  2
+ lim f  x   lim
 lim
 lim  x 2  2   3 .
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 Hàm số f  x  liên tục trên   hàm số f  x  liên tục tại x  1
 lim f  x   lim f  x   f 1  2a  1  3  a  1 .
x 1

Câu 60.
Câu 61.

x 1

x2  x  2
 m2  3  m2  m   3 .
x2
x2
x2
2
 x  1 x  3
x  4x  3
 lim 
Ta có: lim  f  x   lim 
 lim   x  3  2 .
x  1
x  1
x  1
x  1
x 1
x 1
lim  f  x   lim   mx  2    m  2 .
Hàm số f  x  liên tục tại  lim f  x   f  2   lim

x  1

x  1

f  1   m  2 .

Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x  1 thì lim  f  x   lim  f  x   f  1  2   m  2

x  1

Câu 62.

x  1

 m 0.
f  2   2m  1 .

 x  2   x2  2 x  4 
x3  8
lim f  x   lim
 lim
 lim  x 2  2 x  4   12 .
x2
x 2 x  2
x2
x 2
x2
11
Hàm số liên tục tại x0  2  f  2   lim f  x   2m  1  12  m  .
x2
2
2
 x  2x  8
Câu 63. TXĐ: D   ; có: lim f ( x )  lim
 6, f  2   4m 2  10m .
x 2
x 2
x2

m  3
Hàm số liên tục tại x0  2 khi và chỉ khi 4m 2  10m  6  4m 2  10m  6  0  
m   1

2
Mà m là số nguyên nên m  3 .

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số
Câu 64. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Vì y  x  x là đa thức nên nó liên tục trên  .
3x  1
Câu 65. * Ta có hai hàm số f 2  x  
và f 4  x   log 3 x có tập xác định không phải là tập  nên
x2
không thỏa yêu cầu.
* Cả hai hàm số f1  x   2 x 3  3 x  1 và f3  x   cos x  3 đều có tập xác định là  đồng thời liên
tục trên  .
Câu 66. Chọn D
x5
x5
Hàm số f  x   2

là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là D   do đó hàm số f  x   2
x 4
x 4
liên tục trên  .
Câu 67. Chọn B
+ Với x  2 , ta có f  x    x 2  x  3 là hàm đa thức
3

 hàm số f  x  liên tục trên khoảng  2;    .
+ Với x  2 , ta có f  x   5 x  2 là hàm đa thức
 hàm số f  x  liên tục trên khoảng  ; 2  .
+ Tại x  2
lim f  x   lim   x 2  x  3  1
x2

x2

lim f  x   lim  5 x  2   12
x 2

x2

 lim f  x   lim f  x   không tồn tại lim f  x   hàm số gián đoạn tại x0  2 .
x2

x 2

x 2

 Hàm số không liên tục trên  .

Câu 68. Chọn B
Vì hàm số f  x   x 4  4 x 2 có dạng đa thức với TXĐ: D   nên hàm số này liên tục trên 
Câu 69.

Tập xác định D   .
 Nếu x  0 , x  1 thì hàm số y  f  x  liên tục trên mỗi khoảng  ;0  ,  0;1 và 1;   .
 Nếu x  0 thì f  0   0 và lim f  x   lim
x 0

x 0

x2
x2
 lim x  0; lim f  x   lim
 lim x  0 .
x 0
x 0 x
x 0
x x  0

Suy ra: lim f  x   0  f  0  .
x 0

Do đó, hàm số y  f  x  liên tục tại x  0 .

x2
lim
f
x


lim
 lim x  1


 
x 1 x
x 1
 Nếu x  1 thì f 1  1 và  x 1
 lim f  x   1  f 1 .
x 1
 lim f  x   lim x  1


 x 1
x 1
Do đó, hàm số y  f  x  liên tục tại x  1 .
Vậy hàm số y  f  x  liên tục trên  .
Câu 70.

Ta có: lim  x  1  2 và lim sin  x  0  lim f  x   lim f  x  do đó hàm số gián đoạn tại
x 1

x 1

x 1

x 1

x 1.
Tương tự: lim   x  1  0 và lim  sin  x  0

x  1

x  1

 lim  f  x   lim  f  x   lim f  x   f  1 do đó hàm số liên tục tại x  1 .
x  1

x  1

x 1

Với x  1 thì hàm số liên tục trên tập xác định.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25