VẬN DỤNG LÍ THUYẾT REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

HS
GV
RME
SGK
SGV
NXB
OTCN
THPT
GDNN - GDTX

Học sinh
Giáo viên
Realistic Mathematics Education
Sách giáo khoa
Sách giáo viên
Nhà xuất bản
Ôn tập cuối năm
Trung học phổ thông
Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục
thường xuyên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI.................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
1.2. Những câu hỏi đặt ra cần phải trả lời khi nghiên cứu................................3
2. TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU...........................................3
3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU..............................................4

3.1. Mục tiêu của đề tài:....................................................................................4
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................5
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU..............................................5
4.1. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................5
4.2. Phạm vi nghiên cứu....................................................................................5
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.........................................................................5
6. CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU...........................5
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận................................................................5
6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn...................................................6
6.3. Phương pháp thực nghiệm..........................................................................6
6.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán..........................................6
7. BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN.........................................................................6
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...............................................7
1.1. Sơ lược về lí thuyết giáo dục toán học gắn với thực tiễn (RME)...............7
1.2. Quy trình mô hình hóa.............................................................................15
1.3. Năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn............................................22
1.4. Khảo sát sách giáo khoa môn Toán về các bài toán thực tiễn..................24
1.5. Khảo sát thực trạng dạy học môn Toán gắn với thực tiễn trong các nhà
trường phổ thông.............................................................................................27
Kết luận chương 1...........................................................................................37


Chương 2. DẠY HỌC MỘT SỐ NỘI DUNG Ở CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
11 THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN................38
2.1. Một số định hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy
học...................................................................................................................38
2.2. Khai thác thực tiễn trong dạy học môn Toán lớp 11................................38
2.2.1. Khai thác thực tiễn trong gợi động cơ dạy học.....................................38
2.2.2. Khai thác bài toán có nội dung thực tiễn để học sinh vận dụng các kiến
thức đã học......................................................................................................43

Kết luận chương 2...........................................................................................74
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................75
3.1. Mục đích thực nghiệm.............................................................................75
3.2. Nội dung thực nghiệm.............................................................................75
3.3. Tổ chức thực nghiệm................................................................................80
3.4. Kết quả thực nghiệm...............................................................................80
3.4.1. Phân tích định tính.................................................................................80
3.4.2. Phân tích định lượng.............................................................................83
Kết luận chương 3...........................................................................................84
KẾT LUẬN.....................................................................................................85
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ..............................................................86
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................87


MỞ ĐẦU
1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nước ta trong giai đoạn hiện nay, thời
đại của công nghiệp hóa và hiện đại hóa rất cần có nguồn nhân lực có đủ khả
năng, trình độ làm chủ công cụ lao động trong nền sản xuất tự động hóa.
Công cuộc đổi mới đất nước luôn đề cao sự đổi mới về giáo dục. Đòi hỏi
chúng ta phải thay đổi nội dung và đổi mới căn bản về phương pháp dạy học.
Trong thời gian gần đây với những tư tưởng chủ đạo như:” Phát huy tích
cực”, “Phương pháp dạy học tích cực”…. tuy là những phát biểu khác nhau
nhưng mục đích chung là đảm bảo vai trò chủ thể tích cực hoạt động của
học sinh trong quá trình học tập.
Luật giáo dục của nước Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam (Năm
2005) quy định: “ phương pháp giáo dục phổ thong phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng

kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem niềm vui hứng thú học
tập cho học sinh”. Đặc biệt đối với học sinh Trung học phổ thong là lứa tuổi
đang dần trưởng thành, chuẩn bị trực tiếp tham gia vào lao động sản xuất,
phát triển xã hội, bắt buộc chính các em sẽ phải sẽ phải thích nghi với cuộc
sống hiện đại đa chiều và đầy biến động.Do vậy các kiến thức học sinh được
học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không
ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã
hội.
Chắc hẳn ai trong mỗi chúng ta đều cảm nhận được đối với các môn tự
nhiên và các môn xã hội thì môn học xã hội các ứng dụng thực tế là rất dễ
thấy. Chẳng hạn học môn địa lý thì các em có thể hiểu vì sao có các hiện


tượng ngày, đêm, mưa , gió... rất dễ lôi cuốn sự hứng thú của học sinh. Ngược
lại môn toán thì sao? Có lẽ ai đã từng hoc toán, đang học toán đều có suy
nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản như cộng , trừ nhân
chia ...thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh.
Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh. Họ nghĩ
rằng toán học là mơ hồ xa xôi, học chỉ là học mà thôi. Học sinh học toán chỉ
có một mục đích duy nhất đó là thi cử. Hình như ngoài điều đó ra các em
không biết học toán để làm gì.Vì vậy họ có quyền nghi ngờ rằng liệu toán học
có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?
Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất
rõ trong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà
thôi. Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với
cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức
toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để
giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế.
Giáo dục toán học gắn với thực tiễn (Realistic Mathematics Education –
RME) ban đầu là một ý tưởng của các nhà nghiên cứu, có thể nói xuất phát từ

Hà Lan. Sau đó, các nhà giáo dục toán học theo lí thuyết này đã nghiên cứu,
xây dựng thành một hệ thống lí thuyết và triển khai vào chương trình và sách
giáo khoa môn Toán. Trong đó có thể kể tới Hà Lan, Mỹ, Singapore,
Indoneisia,… Các nhà nghiên cứu cho rằng, toán học trong nhà trường cần
phải được gắn kết, kết nối hay liên hệ với thực tiễn. Bởi lẽ, toán học có nguồn
gốc từ thực tiễn và cơ bản, nó nảy sinh, hình thành và phát triển nhằm phục
vụ thực tiễn sinh động. Họ cũng phát hiện ra rằng, tại thời điểm nghiên cứu,
những khoảng nửa sau của thế kỉ XIX, chương trình và nội dung toán học
trong nhà trường đang bị tách biệt khá lớn với thực tiễn. Điều này làm cho
học sinh không hiểu được ý nghĩa thực tiễn của các tri thức toán học, họ thiếu


hứng thú trong quá trình học toán và do đó môn toán trở nên khó hơn, khó
học hơn, ít hấp dẫn hơn đối với nhiều học sinh.
Bối cảnh chương trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện nay dù có nhiều
tiến bộ nhưng vẫn cần những nghiên cứu về lí thuyết này. Hiện nay chúng ta
đang tiến hành tổ chức viết sách giáo khoa theo “Chương trình giáo dục phổ
thông mới” (2018), trong đó có “Chương trình giáo dục phổ thông môn
Toán”, nên việc nghiên cứu các lí thuyết giáo dục học trong đó có lí thuyết
RME là cần thiết.
Chính vì lẽ đó để đi sâu vào vấn đề tôi xin chọn môn Toán lớp 11 làm
đại diện cho mục đích nghiên cứu của tôi, với đề tài “ VẬN DỤNG LÍ
THUYẾT REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) TRONG
DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11.
1.2. Những câu hỏi đặt ra cần phải trả lời khi nghiên cứu
+ Cơ sở lí luận, các yếu tố và nguyên tắn cơ bản, những quan điểm về
dạy học và học bộ môn toán của lí thuyết này như thế nào? Quy trình toán
học hóa theo tư tưởng RME gồm những bước như thế nào?
+ Có thể vận dụng các kết quả nghiên cứu của lí thuyết RME trong việc
đổi mới chương trình lớp học như thế nào?

+ Hứng thú và chất lượng học môn Toán sẽ thay đổi như thế nào trong
lớp học có sử dụng các kết quả nghiên cứu vận dụng lí thuyết RME trong dạy
học?
2. TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
Toán học là ngành khoa học có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn
phổ dụng. Môn Toán ra đời phát triển từ yêu cầu của thực tiễn, để từ đó quay
lại giải quyết những vấn đề của thực tiễn và định hướng cho khoa học công
nghệ. Sự đổi mới từ nội dung tới phương pháp dạy và học môn Toán ở các
cấp học theo định hướng gắn với thực tiễn là rất cần thiết.


Từ nửa sau thế kỉ XX, một số nền giáo dục hiện đại tiên tiến trên thế giới
(Mỹ, Anh, Đức, Pháp, Australia, Hà Lan, Phần Lan,...) đã vận hành dựa trên
những lí thuyết dạy học mới và có nhiều tiến bộ như lí thuyết kiến tạo, lí
thuyết tình huống (TsD : Théorie des Situations) ở Pháp, Giáo dục toán học
gắn với thực tiễn (RME - Realistic Mathematics Education) ở Hà Lan, thuyết
Đa trí tuệ (Multiple Intelligences) ở Mỹ,.... Trong đó, chúng tôi cho rằng, lí
thuyết RME có nhiều điểm gần gũi và khả thi với giáo dục Toán học Việt
Nam.
Ban đầu chủ yếu nghiên cứu về dạy toán tiểu học, ngày nay lí thuyết
RME được nâng cấp dần cho trung học và những bậc học cao hơn: Kindt
(2010) cho thấy cách thực hành các kĩ năng đại số không chỉ những động tác
được lặp lại mà còn có tác dụng to lớn trong kích thích tư tưởng. Goddijn et al.
(2004) cung cấp tài nguyên phong phú cho Dạy hình học gắn với thực tiễn
(Realistic Geometry Education), ở đó ứng dụng và phép chứng minh song
hành cùng nhau.
Qua gần 50 năm phát triển, RME đã trở thành nền tảng chính cho giáo
dục toán học ở Hà Lan: từ 95% sách giáo khoa toán tiểu học chịu ảnh hưởng
bởi tiếp cận cơ khí (mechanistic teaching approach) vào năm 1980, những bộ
sách này gần như hoàn toàn biến mất năm 2004, thay vào đó là 100% các bộ

sách viết theo tư tưởng của RME. Ở Mỹ, RME là cơ sở lí luận cho toán học
trong ngữ cảnh (Mathematics in Context), một trong những bộ sách giáo
khoa toán bán chạy nhất. Tiếp đó, RME được du nhập vào Anh và góp
phần hình thành Dạy toán bằng tái hoàn cảnh hóa (Recontextualization in
Mathematics Education), hay đóng góp ý tưởng cho Nghiên cứu bài học
(Lesson Study) tại Nhật.
RME được giới thiệu tại Việt Nam bởi Lê Tuấn Anh (2004) [1], [26],
Nguyễn Thanh Thuỷ và một số nhà nghiên cứu khác.
3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU


3.1. Mục tiêu của đề tài:
Nghiên cứu và vận dụng thuyết RME nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
chương trình sách giáo khoa toán lớp 11 bậc THPT.

3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí thuyết giáo dục toán học gắn với thực tiễn (RME) và đề
xuất một số cách thức hay biện pháp vận dụng vào phát triển chương trình lớp
học môn Toán
- Thực nghiệm và đánh giá các kế hoạch bài học đã được phát triển dựa
trên sụ vận dụng lí thuyết RME về vấn đề hứng thú học tập của học sinh và
hiệu quả học tập môn Toán (chương trình môn Toán lớp 11 Trung học phổ
thông).
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của nghiên cứu này là quá trình dạy học môn
Toán lớp 11 Trung học phổ thông.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Việc vận dụng công cụ toán học hóa của RME nhằm giải quyết các bài
tập có bối cảnh thực, đồng thời liên quan đến một số nội dung chương trình

toán 11 và giáo viên trường Trung tâm GDNN-GDTX Tân sơn trên địa bàn
huyện Tân Sơn.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu vận dụng lí thuyết giáo dục gắn với thực tiễn (Realistic Mathematic
Education – RME) thì có thể đổi mới chương trình lớp học nhằm nâng cao
hứng thú và hiệu quả học tập môn Toán (lớp 11 Trung học Phổ thông) bởi vì
toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và phục vụ thực tiễn.


6. CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu toán học, phương pháp dạy học môn
Toán và các tài liệu khác liên quan đến đề tài.

6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn.
Sử dụng phiếu khảo sát để lấy thông tin về thái độ của giáo viên và học
sinh đối với RME trong nội dung Toán 11
Phân tích dữ liệu bằng Excel, kết quả được tóm tắt trong biểu đồ và bảng
6.3. Phương pháp thực nghiệm.
Tổ chức thực nghiệm sư phậm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc
tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học toán 11
6.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán.
Phân tích số liệu khảo sát và thực nghiệm giảng dạy bằng Excel nhằm rút
ra những kết quả định tính và định lượng về thái độ cũng như hiệu quả của
giáo án theo định hướng RME.
7. BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần :Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
được trình bày trong 3 chương.

Chương 1.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Sơ lược về lí thuyết giáo dục toán học gắn với thực tiễn (RME)
Giáo dục toán học gắn với thực tiễn (Realistic Mathematic Education –
RME) là một quan điểm giáo dục toán học, đã được triển khai thành chương
trình do Viện Freudenthal phát triển có thể hiểu là giáo dục toán học trong thế
giới thực (“real-world mathematics education”) (Van den Heuvel-Panhuizen,
M., 2000, tr. 4) [32]. Lí thuyết RME nhằm mục đích cho phép học sinh áp
dụng/vận dụng/kết nối toán học trong với thực tiễn. Trong RME, mối liên hệ
toán học với thực tiễn không chỉ có thể nhận ra khi kết thúc quá trình học của
học sinh chẳng hạn như khi áp dụng hay rèn luyện các kĩ năng vận dụng toán
học, giải toán mà thực tiễn có vai trò như một nguồn cung cấp cho quá trình
dạy và học toán. Lí thuyết RME đã được nghiên cứu, triển khai ở nhiều nước
như Hà Lan, Anh, Đức, Đan Mạch, Tây Ban Nha, Bồ Đào Nha, Nam Phi,
Braxin, Mỹ, Nhật, Malaixia, Inđônêxia, ...[19]. Ở mỗi nước có những cách
tiếp cận và phát triển chương trình khác nhau. Chẳng hạn, ở Mỹ, họ tiếp cận
dạy học toán dựa trên bối cảnh (teaching in context) hay nghiên cứu toán học
trong bối cảnh (mathematics in context); ở Inđônêxia thì họ đã phát triển
chương trình giáo dục toán học riêng mang ”màu sắc” Inđônêxia và họ đặt
tên là IRME (Indonesian Realistic Mathematic Education). Cũng bởi vậy, khi
nói tới RME có thể có hai cách tiếp cận: RME là một lí thuyết giáo dục toán
học hoặc RME là chương trình giáo dục toán học gắn với thực tiễn.
Do vậy, trong quá trình cải cách chương trình giáo dục phổ thông,
chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cũng cần được đổi mới theo
hướng phát triển năng lực của người học. Mặc dù, văn bản chương trình giáo
dục phổ thông môn Toán đã được ban hành nhưng việc triển khai nó thành
thực tiễn (sách giáo khoa, chương trình dạy học trong các nhà trường, chương


trình lớp học) vẫn cần một chặng đường dài nghiên cứu sâu sắc và đa chiều,

nhằm hướng tới mục tiêu mà chương trình giáo dục phổ thông, chương trình
giáo dục phổ thông môn Toán đã đặt ra. Theo chúng tôi, việc triển khai
chương trình giáo dục môn Toán thành các chương trình địa phương, chương
trình nhà trường, chương trình lớp học (ở đây chúng tôi tập trung từ bước nhỏ
hơn là chương trình nhà trường và chương trình lớp học) là rất cần thiết và
đáng xem xét, nghiên cứu cả về lí luận và thực tiễn.
Việc triển khai chương trình giáo dục Toán học theo tiếp cận RME trong
nhà trường phù hợp với định hướng đổi mới giáo dục toán học tại Việt Nam.
Tuy nhiên, nội dung, cách thức, từng bước triển khai cần phải được nghiên
cứu, làm rõ tính quy luật, cho phù hợp với điều kiện nhà trường, điều kiện học
sinh, giáo viên và rộng hơn là điều kiện văn hoá, xã hội. Nghĩa là cần có những
nghiên cứu đủ chất và lượng về vấn đề này để giúp đề xuất những ý tưởng
quan trọng cho việc phát triển chương trình giáo dục môn Toán ở Việt Nam
theo hướng gắn với cuộc sống hơn nữa.
Theo Freudenthal, toán học không phải là khối lượng lớn các kiến thức
toán học, mà là hoạt động giải quyết vấn đề và tìm kiếm các vấn đề, và nói
chung, hoạt động tổ chức vật chất hình thành thực tế hoặc vấn đề toán học được gọi là toán học hóa (mathematization) (Freudenthal, 1968) [20]. Và ông
cũng chỉ rõ rằng: “Không có toán học mà không có toán học hóa”
(Freudenthal, 1973, tr. 134) [21]. Vì vậy, giáo viên cần tìm ra, khai thác, tạo
bối cảnh (context) hỗ trợ học sinh thực hiện các hoạt động toán học hoá, từ
đó kiến tạo tri thức toán học. Công việc của giáo viên là tưởng tượng và đưa
ra các tình huống học tập mà trong đó họ có thể “sống” và kiến thức sẽ xuất
hiện như một giải pháp tối ưu và có thể khám phá cho các vấn đề được đặt ra.
Hiểu một cách đơn giản, giáo viên cần khai thác, thiết kế các tình huống, bối
cảnh thực để uỷ thác, tổ chức cho học sinh hoạt động, đối mặt, giải quyết... và


từ đó học sinh sẽ kiến tạo tri thức, hình thành kĩ năng, phát triển các phẩm
chất, năng lực.
Một số khái niệm quan trọng trong lí thuyết RME:

“Toán học hóa” (mathematization) là một đặc trưng cơ bản của hoạt
động toán học, là một quá trình mà ở đó học sinh được xây dựng giả thuyết,
kiểm chứng và đối chiếu bài toán với thực tế. Khái niệm toán học hóa theo
chiều

ngang

(horizontal

mathematization)

và

chiều

dọc

(vertical

mathematization) được sử dụng để giải thích sự khác nhau giữa biến một
“vấn đề sang bài toán” và “quá trình giải quyết trong nội bộ toán học”. Có thể
tóm lược như sau:
+) Toán học hoá ngang bao gồm các hoạt động: Khái quát các quy luật;
Khám phá các mối quan hệ; Hình dung vấn đề theo những cách khác nhau;
Chuyển vấn đề thực tế sang mô hình toán học; Nhận ra những nội dung toán
trong tình huống đã cho;
+) Toán học hoá dọc bao gồm: Phát biểu một khái niệm toán học mới;
Chứng minh các quy tắc; Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức;
Sử dụng các phương pháp giải khác nhau; Điều chỉnh, cải tiến các phương
pháp giải; Khái quát hóa. (hình 1).

“Bối cảnh” là rất quan trọng trong RME bởi lẽ, bối cảnh là nguồn gốc và
chứa đựng hoạt động của học sinh. Hayley Barnes và Elsie Venter (2008)
[24] đã đưa ra quan điểm dạy toán trong bối cảnh và bắt đầu từ bối cảnh
(“Teaching in and from context”). Nghiên cứu của Hayley Barnes and Elsie
Venter (2008) gợi nhớ tới quan niệm của Nguyễn Bá Kim (2015) [8] ở Việt
Nam mà hầu hết các công trình của ông đều hướng tới, làm rõ đó là quan
điểm hoạt động trong dạy học môn Toán: học bằng hoạt động và trong hoạt
động. Nghiên cứu của Bonoto (2008) [19] đã chỉ ra rằng việc giải quyết vấn
đề theo ngữ cảnh diễn ra trong IRME khiến học sinh tích cực tìm hiểu, phát
triển các ý tưởng và khái niệm toán học. Nghiên cứu này cho thấy việc triển


khai IRME đã tạo cơ hội cho học sinh tích cực xây dựng sự hiểu biết của
riêng họ.
Có một số gợi ý cho giáo viên tìm và tạo bối cảnh hay tình huống cho
việc dạy toán như: bối cảnh trong lịch sử toán học; bối cảnh trong cuộc sống
thực (trò chơi, mua sắm, tiết kiệm và sử dụng tiền, phim ảnh, ...; các vấn đề
xã hội: giao thông, dự báo thời tiết, xổ số, ...); giáo dục tích hợp hoặc giáo
dục STEM (toán học về Vật lí, Hóa học, Công nghệ Tin học, v.v.)...
Để “dạy toán trong bối cảnh” theo quan niệm của RME, một sự thay đổi
phương pháp là cần thiết, để thách thức người học, làm cho họ trở nên độc
lập hơn, suy nghĩ nhiều hơn và từ đó giải quyết vấn đề tốt hơn “như là các
nhà toán học”. Lí thuyết RME khuyến khích một cách tiếp cận mới, rằng hãy
“đối xử” với “mỗi cá nhân học sinh” trong lớp học toán “như một nhà toán
học” với năng lực toán học hoá bối cảnh thành toán học những vấn đề (trong
thực tiễn) có thể được giải quyết (Freudenthal, 1983) [25].
Các nhà nghiên cứu về RME cũng có nhiều cách phân chia bối cảnh
khác nhau, cũng như có những gợi ý cho việc khai thác, tìm kiếm các bối
cảnh.
Với những trình bày trên, lí thuyết RME cho rằng việc dạy học Toán có

mục tiêu và cần thiết phải giúp (hay trao cơ hội) cho người học:
+) Phát triển nhận thức về các thực tiễn lịch sử, văn hóa và xã hội đa
dạng của toán học;
+) Nhận ra rằng toán học là một phần sáng tạo trong hoạt động của con
người;
+) Phát triển những hiểu biết sâu sắc để có ý nghĩa của toán học;
+) Có được kiến thức và kĩ năng cụ thể, cần thiết cho việc ứng dụng toán
học vào giải quyết các vấn đề của cuộc sống và nghiên cứu sâu hơn về toán
học.


Điều này cũng rất thống nhất với quan niệm về năng lực toán học của
PISA : “Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức
(formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều
ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương
pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng. Nó
giúp cho con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán
đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm”.
Ba luận điểm cơ bản của RME
Có thể chỉ ra một số luận điểm cơ bản trong lí thuyết RME như sau:
- Toán học như một hoạt động sống
Trong xã hội loài người, toán học không chỉ để tồn tại mà còn được nâng
lên thành một sản phẩm trừu tượng, một ngành khoa học cơ bản được nghiên
cứu trong một hệ thống lí thuyết: không chỉ xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn
mà còn tự thân phát triển nhờ những nhu cầu từ nội bộ môn toán. Tuy nhiên,
đối với đa số người lao động, với tư cách là người thụ hưởng, người dùng
cuối cùng các sản phẩm vật chất, tinh thần của nền văn minh, hầu hết những
kiến thức toán học, càng sâu sắc thì càng ít liên quan đến hoạt động sống của
họ: không cần biết có bao nhiêu bằng phát minh sáng chế, bao nhiêu lí thuyết
toán học, bao nhiêu mô hình tính toán giúp vận hành chiếc máy điện thoại, đa

số chỉ cần biết nhập các chữ và các số, sắp xếp danh bạ, truy tìm từ khóa ...
Đối với nhiều người, nhu cầu học và nghiên cứu toán – với tư cách một khoa
học thuần túy lí thuyết – hoàn toàn không có, hoặc chỉ là nhu cầu thứ yếu. Vì
vậy, nội dung đưa vào giáo dục toán học trong nhà trường, dành cho đa số, ở
trình độ phổ thông, không nhất thiết, không cần thiết là thứ toán để học, để
nghiên cứu mà nên thiên về thứ toán để làm, toán như hoạt động sống: tính,
đếm, đo đạc, so sánh, phân tích, thống kê, chia trường hợp, đánh giá, dự
đoán, ra quyết định,...


Toán học phải được kết nối với thực tế, với vùng phát triển gần nhất của
học sinh và cần có tính thời đại thông qua các mối liên kết đến xã hội. Thay
vì nhìn toán học như một chủ đề cần được truyền đạt, RME nhấn mạnh ý
tưởng toán học như một hoạt động của con người. Các bài học nên cung cấp
cho học sinh cơ hội có hướng dẫn để phát minh lại toán học bằng cách thực
hiện nó.
- Dạy toán là hướng dẫn học sinh “phát minh lại” tri thức
Con đường mà toán học được tìm ra có khi kéo dài hàng nghìn năm đầy
khúc khuỷu quanh co, đầy chông gai khó nhọc ngay cả với những bộ óc vĩ
đại của nhân loại. Đương nhiên, không thể được tái hiện những con đường
nói trên một cách hoàn toàn trung thực trong môi trường lớp học: realistic
khác với và không thể là authentic. Nhưng những quá trình đó, phần nhiều có
thể được mô phỏng như những thí nghiệm, phù hợp với con đường nhận thức
tự nhiên của người học, vừa có ý nghĩa giáo dục, vừa có ý nghĩa thực tiễn.
Học sinh không thể lặp lại quá trình phát minh của các nhà toán học, tuy
nhiên, họ cần được trao cơ hội tái phát minh toán học dưới sự hướng dẫn của
giáo viên và tài liệu học tập. Có như vậy học sinh mới thấy vấn đề gần gũi,
do chính mình tạo ra, chính mình giải quyết và đáng để tiếp thu.
Như vậy chuẩn bị cho mỗi nội dung kiến thức, giáo viên trước hết phải
tự trang bị cho mình một tầm hiểu biết sâu rộng: - Về lịch sử toán – khoa học

luận: nguồn gốc của kiến thức? Hoàn cảnh ra đời (xuất phát từ thực tiễn hoặc
từ nội bộ toán học), con đường hình thành kiến thức, những khó khăn, những
công cụ được sử dụng để khám phá ra kiến thức,…; - Về tính thực tiễn và xã
hội: kiến thức có vị trí vai trò gì? Phản ánh ý nghĩa nào, có những dạng biểu
diễn nào, có những mô hình nào, là mô hình của hay mô hình cho vấn đề thực
tiễn nào? Có liên hệ với những kiến thức khác như thế nào? Có ứng dụng vào
vấn đề nào của thực tiễn?
- Toán học dưới góc độ sư phạm


Freudenthal ([2], 1991) tin rằng cách thức mà toán học được công bố và
trình bày là khác với cách thức mà nó được phát minh.
- Các nhà toán học đưa “kiến thức vào một dạng ngôn ngữ, tách khỏi
ngữ cảnh, phi cá nhân hóa, tách rời hình thức”, tiến tới giai đoạn cuối cùng
trong lí thuyết toán học là kiến thức được chính thức hóa bằng hệ thống hóa
bằng các định nghĩa, tiên đề, định lí, quy tắc.
- Điểm cuối này là điểm khởi đầu của các thầy cô khi đưa nội dung vào
lớp học. Quá trình mà các nhà toán học đi đến kết luận của họ cần được lần
ngược lại giúp học sinh. Điều tốt nhất giáo viên có thể làm là tái tạo ngữ cảnh
và một “hình ảnh của tri thức” bằng cách cung cấp cho học sinh những tình
huống có ý nghĩa.
Sáu nguyên tắc dạy học của RME
Tiếp nối những ý tưởng chính của Freudenthal, các nhà nghiên cứu về
RME, mà khởi đầu là Treffers, đã đưa ra sáu nguyên tắc dạy học quan trọng [3]:
- Nguyên tắc hoạt động (activity principle): người học được đối xử như
những chủ thể tích cực tham gia vào quá trình dạy học, hoạt động của họ là
yếu tố quyết định hiệu quả quá trình dạy học. Và vì vậy, học toán tốt nhất là
thông qua làm toán.
- Nguyên tắc thực tiễn (reality principle), có thể hiểu theo hai nghĩa: đầu
tiên, RME nhấn mạnh mục tiêu quan trọng của giáo dục toán học là người

học phải có khả năng áp dụng toán vào giải quyết các vấn đề thực tiễn; Mặt
khác nguyên tắc cũng nhấn mạnh, giáo dục toán học cần bắt đầu từ những
tình huống thực tiễn có ý nghĩa với người học, để trao cho họ cơ hội lưu lại
những ý nghĩa đó vào cấu trúc toán học hình thành trong tâm trí họ. Như vậy,
dạy toán theo tinh thần RME, không bắt đầu bởi những khái niệm, định
nghĩa, định lí (chúng sẽ chỉ được vận dụng về sau), mà luôn khởi đầu bằng
một tình huống đòi hỏi chủ thể phải tiến hành hoạt động toán học hóa.


- Nguyên tắc cấp độ (level principle cũng được nêu bởi Gravemeijer,
1994 rồi phân tích, làm rõ hơn bởi Van den Heuvel-Panhuize), nhấn mạnh sự
thăng tiến về nhận thức qua nhiều cấp độ khác nhau trong quá trình học toán:
từ ngữ cảnh phi toán học liên quan tới tri thức, qua biểu tượng, sơ đồ, tới nội
dung toán học thuần túy của tri thức. Các mô hình là rất quan trọng làm cầu
nối giữa những kinh nghiệm không chính thức, bối cảnh toán học liên quan
và những kiến thức toán thuần túy. Để thực hiện chức năng cầu nối này, các
mô hình phải có sự chuyển biến từ mô hình của một tình huống sang mô hình
cho những dạng tình huống tương tự.
- Nguyên tắc xoắn bện (intertwinement principle): nội dung toán, dạy
theo xu hướng RME, sẽ không chú trọng tới ranh giới như toán có sẵn giữa
các phân môn đại số, hình học, lượng giác, xác suất, thống kê,... mà được tích
hợp cao độ. Sinh viên được đặt vào những tình huống đa dạng mà ở đó họ có
thể phải thực hiện nhiều kiểu nhiệm vụ khác nhau đan xen liên hoàn (suy
luận, tính toán, thống kê, tiến hành giải thuật,...), sử dụng nhiều kiến thức,
công cụ, toán học từ những phân môn khác nhau, thậm chí cả các khoa học
khác.
- Nguyên tắc tương tác (interactivity principle): học toán không chỉ là
hoạt động cá thể mà còn là hoạt động có tính xã hội. Vì vậy RME khuyến
khích sự tương tác giữa các cá nhân và hoạt động theo nhóm để tạo cơ hội
cho mỗi cá nhân chia sẻ những kĩ năng, chiến lược, khám phá, ý tưởng,... với

người học khác – ngược lại được sẽ được thụ hưởng từ người khác, để có sự
thăng tiến về nhận thức, phát triển năng lực cá nhân, thông qua cả học thầy
lẫn học bạn.
- Nguyên tắc dẫn đường (guidance principle), được chính Freudenthal đề
xuất từ ý tưởng về quá trình tái khám phá có hướng dẫn (gudes re-ivention)
trong dạy học toán, mà ở đó giáo viên là giữ vai trò người tiên phong trên con
đường những một kịch bản giàu tiềm năng hoạt động, mà việc tiến hành


những hoạt động đó sẽ tạo ra những bước nhảy ý nghĩa về nhận thức cho
người học. Để hiện thực hóa nguyên tắc này, cần chú ý là RME ưu tiên những
dự án dạy học dài hạn, hơn là những bài học đơn lẻ theo kiểu truyền thống.
Có thể rút ra một số định hướng vận dụng lí thuyết RME trong dạy học
môn Toán như sau:
Thứ nhất, trong mỗi bài học môn Toán, dạy học môn Toán phải bắt đầu
từ thực tiễn chứ không chỉ dừng lại ở việc khai thác một số ví dụ, bài tập để
học sinh vận dụng, giải một số bài toán có nội dung thực tiễn.
Thứ hai, tăng cường tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động mô
hình hoá toán học trong quá trình học Toán.
Thứ ba, Giáo viên cần phải khai thác các tình huống trong thực tiễn, biến
các vấn đề của thực tiễn, mà ở đâu đó, con người cần giải quyết thành vấn đề
đối với học sinh. Sau đó, giáo viên hỗ trợ học sinh dùng tri thức và kinh
nghiệm của các em để nhận thức, đối mặt và giải quyết các vấn đề đó. Khi đó
tri thức toán học vừa là mục tiêu vừa là công cụ của quá trình hoạt động còn
thực tiễn, vấn đề thực tiễn vừa là nguồn gốc vừa vừa là mục đích của quá
trình dạy học. Một lưu ý nữa là cần thực hiện triệt để nhưng có mức độ khi
thực hiện dạy học theo RME. Bởi lẽ, việc tiến hành khai thác, triển khai các
bối cảnh, tình huống thực tiễn trong dạy học là rất công phu, cần nhiều thời
gian chuẩn bị cũng như thực hiện, nhiều khi cần cả không gian ngoài lớp học,
... nên cần phải được cân nhắc, tính toán chi tiết, cụ thể, cho phù hợp với điều

kiện nhà trường, lớp học và học sinh.
1.2. Quy trình mô hình hóa


Hình 1.2: Sơ đồ quá trình mô hình hóa (Pollak, 1979) (trích theo [12], tr. 27).


Tuy nhiên, chúng ta có thể mô tả quá trình mô hình hóa một sự kiện nào
đó thường xảy ra với ba giải đoạn cơ bản sau đây:
- Giai đoạn xây dựng mô hình: Đó là quá trình tìm vật đại diện thông
thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này,
vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và
trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên
cứu, thay nó bằng một “ hình mẫu”chỉ mang những tính chất, những mối
quan hệ chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ có trong óc và căn cứ vào đó, người ta xây
dựng mô hình thật (nếu như người dó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên
tưởng tới những mô hình đã sẵn có.
- Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình: Trong gia đoạn này, mô hình trở
thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lý
thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này,
kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối
chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.


Quy trình mô hình hoá được xem là khep kín vì nó được dùng để mô tả
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải
thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn, minh họa quy trình trên bằng sơ
đồ dưới đây:

Hình 1.3: Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991)
(trích theo [12], tr. 28).
Có thể mô tả quá trình mô hình hóa theo sơ đồ dưới đây:

Hình 1.3: Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991)
(trích theo [12], tr. 29).


Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, giáo
viên cần giúp học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây
trong quá trình mô hình hóa các bài toán:


Trong phần lớn các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn
tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Lei
(2006) gồm 7 bước để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ mô hình hóa
[12]. Sơ đồ này được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động mô hình hóa
và các phiên bản khác của sơ đồ hiện nay. Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự
tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực
bởi vì Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình
hóa mà mỗi học sinh ít nhiều đều phải trải qua.

Hình 1.6: Quá trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [42])
(trích theo [12], tr. 32).


Trong sơ đồ trên, ta có thể thấy:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa
vấn đề, xác định gải thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực

tế;


- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giả quyết vấn đề và quá
trình mô hình hóa;
- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống
thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó;
- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải
tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn;
- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có
độ phức tạp cao hơn;
- Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng.

Hình 1.7: Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa (trích theo [12], tr. 34).
1.3. Năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn
Các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học
sinh trung học phổ thông bao gồm (trích theo [12]):