DS 8 chuong 2 CD 6 phep tru cac phan thuc dai so

PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

§6.

PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Phân
thức đối của phân thức

A
−A
là phân thức
B
B

- Muốn trừ phân thức
của

A
C
A
cho phân thức , ta cộng
với phân thức đối
B
D
B

C A C A  C
: − = +− 
D B D B  D

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a.

c.

y
15 y − 25 x
− 2
2
xy − 5 x
y − 25 x 2
3x + 2
6
3x − 2
− 2
− 2
2
x − 2x + 1 x −1 x + 2x + 1

b.

5
4 − 3x2
−
−3
2 x2 + 6 x x2 − 9

d.

x 2 + 3xy + 2 y 2
x 2 − 5 xy + 4 y 2
−
5 x 2 − 7 xy + 12 y 2 −2 x 2 + 4 xy − 2 y 2

Hướng dẫn giải:
a.

y
15 y − 25 x
y
15 y − 25 x
− 2
=
+
2
2
2
xy − 5 x
y − 25 x
xy − 5 x
25 x 2 − y 2
=

y
15 y − 25 x
−y
15 y − 25 x
+

=
+
x ( y − 5 x ) ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y ) ( 5 x − y )( 5 x + y )

MTC = x ( 5 x − y )( 5 x + y )

− y ( 5x + y )
(15 y − 25 x ) x
−y
15 y − 25 x
+
=
+
x ( 5 x − y ) ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y )

(

− 25 x 2 − 10 xy + y 2
−5 xy − y 2
15 xy − 25 x 2
=
+
=
x ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y )
x ( 5 x − y )( 5 x + y )
=

− (5x − y )

2

x ( 5 x − y )( 5 x + y )

=

)

y − 5x
.
x (5x + y )

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 82


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

b.

5
4 − 3x 2
5
3x 2 − 4
−
−
3
=
+
+ ( −3 )

2 x2 + 6x x2 − 9
2 x ( x + 3) ( x − 3 )( x + 3)

MTC = 2 x ( x + 3)( x − 3) .
5
3x 2 − 4
+
+ ( −3)
2 x ( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
5 ( x − 3)

(

)

=

( −3) .2 x ( x + 3)( x − 3)
2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3)
2 x ( x + 3)( x − 3)

=

5 x − 15
6 x3 − 8 x
−6 x 2 + 54 x
+
+
2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3 )

2 x 3x 2 − 4

+

+

6 x 3 − 6 x 2 + 59 x − 15
=
2 x ( x + 3)( x − 3)

c.

− ( 3x − 2 )
3x + 2
6
3x − 2
3x + 2
−6
− 2
− 2
=
+
+
2
x − 2 x + 1 x − 1 x + 2 x + 1 ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2
2

MTC : ( x + 1) ( x − 1)
2

3x + 2

+

2

− ( 3x − 2 )
−6
+
( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2

( x − 1)
2
2
3 x + 2 )( x + 1) −6 ( x − 1)( x + 1) − ( 3 x − 2 )( x − 1)
(
=
+
+
2
2
2
2
2
2
( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
( x + 1) ( x − 1)
−6 ( x 2 − 1)
− ( 3 x − 2 ) ( x 2 − 2 x + 1)
( 3x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 1)

=
+
+
2
2
2
2
2
2
( x − 1) ( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)
( x + 1) ( x − 1)
2

=
=

3x 2 + 8 x 2 + 7 x + 2

( x − 1) ( x + 1)
2

2

+

−6 x 2 + 6

( x − 1) ( x + 1)
2

2

+

−3 x 3 + 8 x 2 + x + 2

( x − 1) ( x + 1)
2

2

10 x 2 + 8 x + 4

( x − 1) ( x + 1)
2

2

d. Ta cần rút gọn phân thức:
x 2 + 3 xy + 2 y 2 ( x + y )( x + 2 y ) x + 2 y
=
=
5 x 2 + 4 xy − y 2 ( x + y )( 5 x − y ) 5 x − y

( x − y )( x − 4 y ) = x − 4 y
x 2 − 5 xy + 4 y 2
=
2
2

2
−2 x + 4 xy − 2 y
−2 ( x − y )
−2 ( x − y )

Vậy:

x 2 + 3 xy + 2 y 2
x 2 − 5 xy + 4 y 2
x + 2y
x − 4y
−
=
−
2
2
2
2
5 x − 7 xy + 12 y
−2 x + 4 xy − 2 y
5 x − y −2 ( x − y )

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 83


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

=

x + 2y
x − 4y
+
5x − y 2 ( x − y )

MTC = 2 ( x − y )( 5 x − y ) .
=

2 ( x + 2 y )( x − y ) ( x − 4 y )( 5 x − y )
x + 2y
x − 4y
+
=
+
5 x − y 2 ( x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y )

=

2 x 2 + 2 xy − 4 y 2 5 x 2 − 21xy − 4 y 2 7 x 2 − 19 xy − 8 y 2
+
=
2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y )

Nhận xét: Cũng như ở phép cộng, ta cần lưu ý đến việc Rút gọn phân thức kết
quả và các phân thức khác (nếu được).
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a.

1

x2 + 2
−
+1
x2 − x + 1 x3 + 1

với x=999

1
3y 2
y
− 4
− 3
b. 2
với x=3; y=-1
3
x − xy x − xy
x + xy 2 + x 2 y

c.

1
1
1
1
1
+
+
+
+
với x=3

x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 4 ) ( x + 4 )( x + 5 )

Hướng dẫn giải:
− ( x2 + 2)
1
x2 + 2
1
a. Ta có: 2
−
+1 = 2
+
+1
x − x + 1 x3 + 1
x − x +1
x3 + 1

(

)

− x2 + 2
1
= 2
+
+1
x − x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1

(

)

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 84


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

(

)
− ( x + 2)
1
+
+1
x − x + 1 ( x + 1) ( x − x + 1)
− ( x + 2)
( x + 1) ( x − x + 1)
1. ( x + 1)
=
+
+
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1)
− ( x + 2)
( x + 1)
x +1
=
+
+
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1)

x ( x − x + 1)
x −x +x
x
=
=
=
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x + 1
MTC = ( x + 1) x 2 − x + 1
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

Khi x=999, ta có giá trị biểu thức là:

999
.
1000

b. Ta có:
1
3y 2
y
−
− 3
2
4
3
x − xy x − xy

x + xy 2 + x 2 y
=

1
−3 y 2
−y
+
+
3
3
2
x (x − y) x x − y
x x + y 2 + xy

=

1
−3 y 2
−y
+
+
2
2
2
x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y
x x + y 2 + xy

(

)

(

(

(

MTC = x ( x − y ) x 2 + xy + y 2

)

)

)

(

1
−3 y 2
−y
+
+
2
2
2
x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y
x x + y 2 + xy

(

)

(

)

)

=

−y ( x − y)
x 2 + xy + y 2
−3 y 2
+
+
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2

)

=

x 2 + xy + y 2
− yx + y 2
−3 y 2
+
+
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2

x ( x − y ) x 2 + xy + y 2

)

(
(

)

(

)

(

x2 − y 2
x+ y
=
=
2
2
2
x ( x − y ) x + xy + y
x x + xy + y 2

(

)

)

(

)

(
(

)

Khi x=3; y=-1, Ta có gi của biểu thức là:

2
21

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 85


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

c. Ta có:

( x + 1) − x = x + 1 − x = 1 − 1
1
=
x ( x + 1)
x ( x + 1)
x ( x + 1) x ( x + 1) x x + 1

Tương tự:

1

=

( x + 1)( x + 2 )
1

( x + 2 )( x + 3)
1

( x + 3)( x + 4 )
1

( x + 4 )( x + 5 )

1
1
−
x +1 x + 2

=

1
1
−
x+2 x+3

=

1
1
−
x+3 x+4

=

1
1
−
x+4 x+5

Do đó:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 4 ) ( x + 4 )( x + 5 )
=

1
1
5

−
=
x x + 5 x ( x + 5)

Khi x=3, ta có giá trị của biểu thức là:

3
.
24

Nhận xét: Tổng quát hóa bài c:
m
m
m
m1
1 
+
+ ... +
=  −

x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2l )
 x + ( n − 1) l  ( x + nl ) l  x x + nl 

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a.

c.

1

1
1
−
+ 2
2x − 2 y 2x + 2 y y − x2
x3 + 1
3
−
−x
2
x −9 x+3

b.

d.

x2 − 1
x+3
−
2
3 x − 6 x + 3 3x + 3

3

−

2

−

1

( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 1)

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 86


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

e.

x+ z
x+ y
y+z
−
−
( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z )

Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a.

5
10
15b
−
−
3
a +1 a − a2 +1 a b + b

b.

2x +1 x − 2
−
x − x2 x2 − 1

c.

x3
x2
1
1
−
−
+
x −1 x + 1 x −1 x + 1

d.

2x + 1 1 − 2x
2
1
với x=
+
−
2
4x − 2 4x + 2 1− 4x
4

(

với a=-2; b=

)

1
2004

1
3

với x =

với x=100

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a.

2a + 3 x
6 − ax
a2 + 9
−
− 2
( a − 3)( a + 2 ) ( a+3)( x + 2 ) a − 9

b.

( x − a )( x − b ) − ( b − x )( x − c ) − ( x − c )( x − a )
( c − a )( c − b ) ( a-b )( a − c ) ( b − c )( a − b )

c.

d.

x 4 − ( x − 1)

(x

2

)

2

2

+ 1 − x2

( x − 1) − x + x ( x − 1) − 1
−
x ( x + 1) − 1 x − ( x + 1)

x3

2

2

2

y3

2

2

2

2

−

2

2

4

−

z3

( x − y )( x − z ) ( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x )

với x+y+z=1

Bài 4: Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a+b+c=2p
thì

1
1
1
1
abc
+
+
+ =
.
p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b )( p − c )

b. Nếu a+b=1 thì

2 ( 2 − ab )
a
b
+ 3
− 2 2
=0
b −1 a −1 a b + 3
3

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 87


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

Hướng dẫn giải:
Bài 1:
2 y −1
x2 − y 2

a. MTC = 2 ( x − y )( x + y ) .

ĐS:

b. MTC = 3 ( x − 1)( x + 1)

ĐS:

c. MTC = x − 9

9 x 2 − 3 x + 10
ĐS:
x2 − 9

d. MTC = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)

ĐS:

e. MTC = ( x − y )( y − z )( x − z )

ĐS: 0

a. MTC = ( a + 1) ( a 2 − a + 1) .

ĐS:

5a
−10
;
.
a − a +1 7

b. MTC = x ( x 2 − 1) .

ĐS:

−3 x 2 − x + 1
x x2 − 1

2

4

(

)

3 x2 −1

5
( x + 1)( x + 2 )( x + 3)

Bài 2:

2

(

)

c. khi x=100, ta có giá trị của biểu thức là: 10002.
d. MTC = 4 x 2 − 1

ĐS:

2
; −4
2x −1

Bài 3:
a. MTC = ( a + 3)( a − 3)( x + 2 ) . ĐS:0
b. MTC = ( a − b )( b − c )( c − a ) . ĐS:1
c. Chú ý sử dụng hằng đẳng thức: a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) để rút gọn các
phân thức.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 88


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

 x 2 − ( x − 1)   x 2 + ( x − 1) 
=
2

2
2
x 2 + 1 − x 2  x + 1 − x   x + 1 + x 

x 4 − ( x − 1)

(

2

(

)

)

(

)

 x 2 − ( x − 1)   x 2 + ( x − 1)  x 2 + x − 1
=
=
 x2 + 1 − x  x2 + 1 + x x2 + x + 1




(

)

(

)

Tương tự:

( x − 1) − x = x
x ( x + 1) − 1 x
2

2

2

Vậy:

2

2

2

x 4 − ( x − 1)

(x

2

)

2

2

+ 1 − x2

2
− x − 1 x ( x − 1) − 1 x 2 − x + 1
;
= 2
2
+ x + 1 x 4 − ( x + 1)2
x + x +1
2

2

( x − 1) − x + x ( x − 1) − 1 =1.
x ( x + 1) − 1 x − ( x + 1)
2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

d. Rút gọn phân thức với MTC = ( x − y )( y − z )( z − x ) , ta thu được kết quả là:
x + y + z =1

Bài 4:
a.

1
1
1
1  1
1   1
1
+
+
− =
+
− 
+
p −a p −b p −c p  p −a p −b   p −c p 

=

2 p − (a + b)

( p − a )( p − b )

+

c
c
c
=
+
p ( p − c ) ( p − a )( p − b ) p ( p − c )


 c  2 p 2 − p ( a + b + c ) + ab 
1
1
= c
+
=
 ( p − a )( p − b ) p ( p − c ) 
p ( p − a )( p − b )( p − c )


abc
=
p ( p − a )( p − b )( p − c )

b. Thay a=1-b; b=1-a vào tử của hai phân thức đầu để Rút gọn các phân
thức này sau đó tính toán.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 89


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo

0918.972.605
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 90


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>Đọc trước những quyển sách này tại: />
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -

Trang số 91