HE THUC VI ET VÀ UNG DUNG

Trờng THCS Đồng Cốc Giáo án: Đại số 9
Ngày soạn: 12/3/2010
Ngày giảng: 17/3/2010
Tiết 58: hệ thức vi-ét và ứng dụng
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- HS nắm đợc mối liên hệ giữa 2 nghiệm với các hệ số của phơng trình bậc hai qua
định lí Vi-ét.
- Nắm đợc 2 trờng hợp: a + b + c = 0; a b +c = 0 khi giải phơng trình bậc hai và tr-
ờng hợp mà tổng, tích hai nghiệm là những số nguyên có giá trị không quá lớn.
2. Kĩ năng:
- Có kĩ năng vận dụng định lí Vi-ét vào tìm tổng, tích hai nghiệm và nhẩm nghiệm các
phơng trình đơn giản.
3. Thái độ:
- Giáo dục tính tích cực trong học tập. Có thái độ yêu thích môn học.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Máy chiếu giấy trong hoặc bảng phụ.
- Học sinh: Bảng phụ nhóm, ôn tập công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.
III. Tiến trình bài dạy:
1. ổ n định lớp. (1)
2. Kiểm tra bài cũ. (6)
- Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a
có nghiệm, em hãy viết dạng hai
nghiệm và tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình.
Đáp án: Hai nghiệm là:
1 1
;

2 2
b b
x x
a a
+
= =
. Khi đó:
1 2
( ) 2
2 2 2 2
b b b b b b
x x
a a a a a
+ + +
+ = + = = =
( ) ( )
2
1 2
2 2
4
2 2 2 2 4 4
b b
b b b ac c
x x
a a a a a a a
+ ì
+
ì = ì = = = =
ì
3. Bài mới.

Hoạt động của giáo viên và học sinh TG Nội dung
Hoạt động 1: Giáo viên đặt vấn đề.
Hoạt động 2: 1. Hệ thức Vi-ét
GV: Đa định lí Vi-ét lên bảng phụ và phát
biểu định lí Vi-ét.
HS: Nghe giảng và ghi bài.
GV: Giới thiệu về nhà toán học Phrăng-xoa
Vi-ét.
HS: Nghe giảng.
GV: Nhờ định lí Vi-ét, nếu ta đã biết một
2
25
1. Hệ thức Vi-ét.
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a
thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c

x x
a


+ =




ì =


Giáo viên: Nguyễn Văn Công Năm học: 2009 - 2010
Trờng THCS Đồng Cốc Giáo án: Đại số 9
nghiệm của phơng trình bậc hai thì có thể
suy ra nghiệm kia.
GV: Đa ra ví dụ.
HS: Đọc bài.
GV: Yêu cầu xác định hệ số a, b, c.
HS: Xác định hệ số.
HS: Tính tổng và tích hai nghiệm.
HS lớp nhận xét.
GV: Cho x
1
là một nghiệm của PT tính
nghiệm x
2
?
HS: Tính nghiệm x
2

.
GV: Chúng ta tính đợc x
2
theo mấy cách?
HS: 2 cách.
HS tính theo hai cách.
HS lớp nhận xét.
GV: Nhận xét sửa sai.
GV: Nhờ có định lí Vi-ét ta có thể tìm
nghiệm của phơng trình khi phơng trình
biết một nghiệm, ta đi vào một số trờng hợp
đặc biệt:
GV: Cho HS làm ?2; ?3 theo nhóm. Đề bài
GV đa lên bảng phụ hoặc giấy trong.
HS: Đọc bài.
Nhóm 1; 2: Làm ?2.
Nhóm 3; 4: Làm ?3.
(thời gian hoạt động 4)
GV: Bao quát, hớng dẫn HS làm bài theo
nhóm.
GV: Gọi đại diện 2 nhóm lên bảng làm.
2HS: Lên bảng trình bày.
VD: Cho PT sau có nghiệm, không giải
phơng trình hãy tính tổng và tích của các
nghiệm của PT.
x
2
- 6x + 5 = 0
Giải
a = 1; b = -6; c = 5

( )
1 2
1 2
6
6
1
5
5
1
x x
x x


+ = =




ì = =


x
1
= 1 là nghiệm theo định lí Vi-ét có:
1 2 2 1
6 6 6 1 5x x x x
+ = = = =
hoặc
1 2 2
1

5 5
5 5
1
x x x
x
ì = = = =
?2
2x
2
- 5x + 3 = 0
a, Ta có: a = 2; b = -5; c = 3.
a + b + c = 2 +(-5) + 3 = 0
b, Thay x
1
= 1 vào vế trái của phơng
trình có:
VT = 2.1
2
5.1 + 3 = 0 = VP
Vậy x
1
= 1 là một nghiệm của PT.
c, Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
c
x x
a
ì =
mà x
1

= 1 =>
2
3
2
c
x
a
= =

?3
3x
2
+ 7x + 4 = 0
a, Ta có: a = 3; b = 7; c = 4.
a - b + c = 2 - 7 + 3 = 0
b, Thay x
1
= -1 vào vế trái của phơng
trình có:
VT = 4.(-1)
2
7.(-)1 + 3 = 0 = VP
Giáo viên: Nguyễn Văn Công Năm học: 2009 - 2010
Trờng THCS Đồng Cốc Giáo án: Đại số 9
GV: Gọi HS nhận xét.
HS lớp nhận xét.
GV: Nhận xét, sửa sai.
GV: Với PT tổng quát nếu PT có một
nghiệm x
1

= 1 thì khi ta thay vào PT ta có
đợc điều gì?
HS: a + b + c =0.
GV: Chốt lại và đa ra tổng quát 1.
HS: Đọc: Tổng quát 1.
GV: Với PT tổng quát nếu PT có một
nghiệm x
1
= -1 thì khi ta thay vào PT ta có
đợc điều gì?
HS: a - b + c =0.
GV: Chốt lại và đa ra tổng quát 2.
HS: Đọc: Tổng quát 2.
GV: Chốt lại 2 tổng quát.
GV: Yêu cầu HS làm ?4.
HS: Đọc bài.
Nửa lớp làm phần a.
Nửa lớp làm phần b.
2 HS đại diện lên bảng làm bài.
HS lớp nhận xét.
GV: Nhận xét, sửa sai.
GV: Chốt lại và giới thiệu cách kiểm tra
nhanh: Tính a+b rồi so sánh kết quả với b.
HS: Nghe giảng.
GV: Chuyển ý.
Hoạt động 3: 2. Tìm hai số biết tổng và
tích của chúng
GV: Giả sử hai số cần tìm có tổng là S và
tích là P. Nếu ta gọi một số là x thì số kia là
S x. Theo giả thiết ta có phơng trình nh

thế nào?
HS: Trả lời: x.(S x) = P
hay: x
2
Sx +P = 0
GV: Yêu cầu HS tính

8
Vậy x
1
= -1 là một nghiệm của PT.
c, Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
c
x x
a
ì =
mà x
1
= -1 =>
2
4
3
c
x
a
= =

+ Tổng quát 1: Nếu phơng trình
ax

2
+ bx + c = 0
( )
0a
có a + b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm x
1
= 1 và nghiệm kia là:
2
c
x
a
=
+ Tổng quát 2: Nếu phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a
có a - b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm x
1
=-1 và nghiệm kia là:
2
c
x
a

=
?4 Tính nhẩm nghiệm của phơng trình.

a/ -5x
2
+ 3x + 2 = 0
(a = -5; b = 3; c = 2)
Vì a + b +c = -5 + 3 + 2 = 0 nên phơng
trình có hai nghiệm là:
x
1
= 1;
2
2 2
5 5
c
x
a

= = =


b/ 2004x
2
+ 2005x + 1 = 0
(a = 2004; b = 2005; c = 1)
Vì a + b +c = 2004 2005 + 1 = 0 nên
phơng trình có hai nghiệm là:
x
1
= -1;
2
1

2004
c
x
a

= =
2. Tìm hai số biết tổng và tích của
chúng
Nếu hai số có tổng là S và tích là P, Thì
hai số là nghiệm của phơng trình:
x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số là:
2
4 0S P =
Giáo viên: Nguyễn Văn Công Năm học: 2009 - 2010
Trờng THCS Đồng Cốc Giáo án: Đại số 9
HS: Tính

.
?Phơng trình có nghiệm khi nào?
HS: Trả lời
0

GV: Hai số cần tìm chính
là hai nghiệm của phơng trình trên.
HS: Nghe giảng.
GV: Đa VD1 lên bảng phụ.
? Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình

nào?
HS: Trả lời.
HS: Giải phơng trình và kết luận
GV: Nhận xét, sửa sai.
GV: Yêu cầu HS làm ?5
HS: Đọc và làm ?5.
HS: Lên bảng trình bày.
HS lớp nhận xét.
GV: Nhận xét đánh giá.
GV: Khi hai số nguyên có giá trị nhỏ mà
biết tổng và tích thì ta có thể nhẩm nhanh
để tìm đợc hai số và đa ra VD2.
HS quan sát và ghi bài.
GV: Yêu câu HS làm bài 27a (SGK-53)
HS: Làm bài.
HS: Đứng tại chỗ trả lời.
HS lớp nhận xét.
GV: Nhận xét sửa sai.
VD1: Tìm hai số biết tổng bằng 27 và
tích bằng 180?
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phơng
trình: x
2
27x + 180 = 0
( )
2
2
1
2

4 27 4.180
729 720 9; 3
( 27) 3
15
2 2
( 27) 3
12
2 2
b ac
b
x
a
b
x
a
= = =
= = =
+ +
= = =

= = =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
?5:
Hai số cần tìm là nghiệm của phơng
trình: x
2
x + 5 = 0
( )
2
2

4 1 4.5 19 0b ac
= = = <
Vì
0
<
nên phơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1
và tích bằng 5.
VD2. SGK
Bài 27a (SGK-53)
x
2
- 7x + 12 = 0
Vì 3 + 4 = 7 Và 3.4 = 12 nên:
x
1
= 3; x
2
= 4 là hai nghiệm của phơng
trình đã cho.
4. Luyện tập - củng cố (2)
a/ Luyện tập: Kết hợp trong bài
b/ Củng cố: - GV: Chốt lại bài.
- HS nghe giảng.
5. H ớng dẫn về nhà (1)
- Học thuộc và nắm chắc hệ thức Vi-ét, các cách nhẩm nghiệm theo Vi-ét.
- Xem lại các ví dụ và bài tập đã chữa.
- BTVN: 25; 26; 27b; 28; 29; 30; 31 (sgk - 52 , 53).
Giáo viên: Nguyễn Văn Công Năm học: 2009 - 2010