Nghiên cứu ngưng tụ bose einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ. Các kết quả nghiên
cứu của luận án là trung thực và không trùng khớp với bất kì công trình nào của tác
giả khác.
Hà Nội, ngày

01 tháng

5 năm 2019

Tác giả luận án

Hoàng Văn Quyết

i


LỜI CẢM ƠN!
Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS. TSKH. Trần
Hữu Phát. Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động
lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm
luận án. Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc,
cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng
dẫn và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong
luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan người đã dẫn dắt
tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS. Phạm Thế Song đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng
thảo luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Vật LýTrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để
tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án.
Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, những người đã dành cho tác
giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó
khăn để hoàn thành luận án.
Hà Nội, ngày 01

tháng 5

năm 2019

Tác giả luận án

Hoàng Văn Quyết

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Danh mục từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Danh mục hình vẽ và bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii
1

Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai
thành phần phân tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose - Einstein
hai thành phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Hệ phương trình Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. Phương pháp gần đúng parabol kép(DPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.4. Phương pháp gần đúng hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ Bose-Einstein
hai thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành trong không
gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn
chế bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn
chế bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

26


Chương 3. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần
bị giới hạn bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.1.Điều kiện biên cho các thành phần ngưng tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.Trạng thái cơ bản của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3.Sức căng tại mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ
trong tập hợp chính tắc lớn(GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Chương 4. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần
bị giới hạn bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.1.Trạng thái cơ bản của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.2.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân
bố chính tắc lớn (GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân
bố chính tắc (CE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận
. . .án 80
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

81


Danh mục từ viết tắt
Ký hiệu

Tiếng Anh

Tiếng Việt

BEC

Bose-Einstein condensate

ngưng tụ Bose-Einstein

two segregated Bose-Einstein

ngưng tụ Bose-Einstein hai

condensates

thành phần phân tách

CE

Canonical ensemble

tập hợp chính tắc

GCE

Grand canonical ensemble

tập hợp chính tắc lớn

BECs

DPA
MDPA

Double-parabola

approxima-

tion
Modified double-parabola approximation

GP

Gross-Pitaevskii

GPE(s)

Gross-Pitaevskii equation(s)

TIGPEs

TPA

gần đúng parabol kép mở rộng
Gross-Pitaevskii

Time-independent

Gross-

Pitaevskii equations
Tripple-parabola

gần đúng parabol kép

(hệ)

phương

trình

Gross-

trình

Gross-

Pitaevskii
hệ

phương

Pitaevskii không phụ thuộc
thời gian

approxima-

tion

gần đúng ba parabol

MFA

Mean-field approximation

gần đúng trường trung bình

HDA

Hydrodynamic approach

gần đúng hsydrodynamic

v


Danh sách hình vẽ
1

Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet). . . . . . . . 2

1.1

Thế tương tác theo tham số trật tự φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1

Cấu trúc hình học hệ BEC trong không gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h. . . . . . . . 22

2.3
3.1

Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h2 , z = h1 . . . 26

Cấu hình hệ BEC hai thành phần bị giam giữ bởi một tường cứng, tường cứng đặt
tại z = −h′ . LAj là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) trong
miền ngưng tự j ′ (j ′ = 2, 1) = j.

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản ứng với điều kiện biên
√
Robin (c = 1/ 2) với h = 0. Đường nét liền ứng với nghiệm trong gần
đúng DPA, đường nét đứt ứng với nghiệm giải số hệ phương trình GP. . . 39

3.3

Sự phụ thuộc của ℓ = f (K, ξ) theo 1/K tại ξ = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4

Hàm sóng của thành phần 2 trong miền −h ≤ ̺ ≤ ℓ tại K = 3, ξ = 1 và đường nét
chấm ứng với c = 0 (điều kiện biên Neumann), đường nét gạch ứng với c = 1(điều
kiện biên Robin), đường nét liền ứng với c = ∞ (điều kiện biên Dirichlet).

3.5

. . . . . . . 44

Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong GEC theo 1/K tại ξ = 1.
Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin
và Dirichlet.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6

Làm ướt một phần, 0 < θ < π/2, (a, b...). Làm ướt hoàn toàn, θ = 0, (c)

. . . . . . . 47

3.7

Đường chuyển pha ướt, đường nét liền (nét đứt) tương ứng với điều kiện
biên Dirichlet (Robin). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vi


4.1

˜ 1 , z = −h
˜ 2 , mặt phân cách z = L,và thành phần ngưng tụ
Hai tường cứng tại z = h
1(2) chiếm vùng z > L(z < L). LAj là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng
tụ j(j = 1, 2) trong miền ngưng tự j ′ (j ′ = 2, 1) = j.

4.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Trạng thái cơ bản của hệ với c1 = −1, c2 = 1, h1 = h2 = 10 đường màu

xanh ứng với thành phần 2, màu đỏ ứng với thành phần 1, nét liền (nét
đứt) ứng với nghiệm DPA (giải số hệ phương trình GP). . . . . . . . . . . 60
4.3

Sự phụ thuộc của γ˜12 vào kích thước của hệ d = 2h tại K = 3 and ξ = 1. Đường
nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng tương ứng với điều kiện biên Neumann,
Robin(c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) và Dirichlet.

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Sự phụ thuộc vào d = 2h của lực FGCE tại K = 1, 2, ξ = 1. Đường nét chấm, nét
gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5)
và Dirichlet.

4.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Lực FGCE phụ thuộc vào 1/K tại h = 5, ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét
liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) và Dirichlet.

4.6

. 68

Hàm sóng của thành phần ngưng tụ 2 trong khoảng −h ≤ ̺ ≤ ℓ và của thành phần
1 trong khoảng ℓ ≤ ̺ ≤ h tại h = 10, K = 3, ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét
liền tương ứng với các điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −1, c2 = 1) và Dirichlet.

4.7

Sự phụ thuộc sức căng tại mặt phân cách trong GCE theo 1/K tại ξ = 1. Đường nét
chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet.

4.8

. 70
71

Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE theo 1/K
tại ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện
biên Neumann, Robin và Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9

Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE ứng với
điều kiện biên Neumann theo kích thước của hệ d = 2h tại ξ = 1, K = 3. . 74

4.10 Sự phụ thuộc của lực Casimir - like FCE trong CE theo d tại ξ = 1, K = 1, 1. . . . . . 75

vii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là một trạng thái lượng tử vĩ mô, ở đó
một số lượng lớn các hạt vi mô tập trung trong cùng một trạng thái lượng
tử duy nhất như một đơn hạt khi nhiệt độ của hệ thấp hơn Tc nào đó. Hiện

tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 [23] cho các nguyên
tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý
tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose [16]
trước đó một năm. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt
vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến
nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái
lượng tử ứng với năng lượng thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới
của vật chất gọi là BEC.
Năm 1995 nhóm các nhà thực nghiệm ở đại học Colorado và viện công
nghệ Massachusetts đã thành công khi tạo ra BEC của các nguyên tử
(87 Rb, 23 Na, 7 Li) [1, 2, 17, 21, 42, 44]. Những kết quả thí nghiệm xác nhận
sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel Vật lý năm 2001
trao cho E. A. Conell, C. E. Wieman và W. Ketterle [21]. Những nghiên
cứu về lĩnh vực này thực sự bùng nổ sau khi các nhà thực nghiệm thành
công trong việc tạo ra ngưng tụ BEC hai thành phần không trộn lẫn
(BECs) [40, 57].
BEC là dạng vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính quan
trọng của laser, đó là tính kết hợp. Mặt khác phương pháp cộng hưởng
Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng
1


(a)

(b)

Hình 1: Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet).

hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng
thái bất kỳ theo ý muốn [32]. Do đó BEC(s) là môi trường lý tưởng trong

phòng thí nghiệm để có thể:

•Mô phỏng các tính chất của hệ môi trường đông đặc mà chúng ta rất
khó nghiên cứu được trong các vật liệu thực tế.
•Kiểm chứng nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn như
sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn (domain wall) giữa hai
thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực từ (monopole) [3, 6, 12, 20,
25, 26, 33, 41, 49, 58]. Trên hình 1 là ảnh mô phỏng cho hai ứng dụng quan
trọng của BECs: tạo ra siêu photon (a) và đơn cực từ (b).
•Nghiên cứu các hiện tượng lượng tử tương tự với các hiện tượng trong
thủy động học cổ điển, chẳng hạn các hiện tượng không ổn định KenvinHelmholtz [51], không ổn định Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov
[7]...
Ngoài ra các nghiên cứu về BEC đã đưa ra những ứng dụng rất quan
trọng trong thực tế, ví dụ chế tạo ra Laser có bước sóng rất nhỏ cỡ 10−11 m,
chíp điện tử cỡ nguyên tử, chế tạo một số loại xăng đặc biệt cho một số
máy bay quân sự.. . .
Chính vì những lí do trên, sự phát hiện ra BEC đã mở ra một giai đoạn
phát triển như vũ bão cả lĩnh vực lý thuyết và thực nghiệm trong việc
2


nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Việc nghiên cứu BEC hai thành phần
là một vấn đề rất thời sự, hứa hẹn sẽ đưa ra một số tính chất vật lý mới,
từ đó sẽ mở ra những hướng nghiên cứu mới trong vật lý lý thuyết, vật lý
các môi trường đậm đặc và trong công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử.
Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu về BECs mới chỉ diễn ra với hệ thống
BECs trong không gian vô hạn và hệ BECs trong không gian hữu hạn
với điều kiện biên Dirichlet, trong khi các thực nghiệm và các ứng dụng
thực tế lại tiến hành trong không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biên
khác nhau. Chính vì những lí do trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài

của luận án là "Nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong
không gian bị hạn chế ". Trong luận án này, trong khuôn khổ lý thuyết
Gross-Pitaevskii (GP) chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng parabol
kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu
hệ BEC hai thành phần trong không gian bị hạn chế với các điều kiện biên
khác nhau nhằm mục đích sẽ tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo
sát sự ảnh hưởng của các điều kiện biên đến sự ổn định của hệ.

2. Mục đích nghiên cứu
• Khảo sát ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật
lý của hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi các tường cứng song song
với mặt phân cách, ở trạng thái cân bằng với các điều kiện biên khác nhau.
Từ đây tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định và một số hiệu ứng vật
lý mới.
• Tìm ra hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành
phần bị giam giữ bởi các tường cứng song song với mặt phân cách.

3


3. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận án chúng tôi thực hiện nghiên cứu trên đối tượng là hệ BEC
hai thành phần. Các nghiên cứu của chúng tôi giới hạn trong phạm vi sau:
- Hệ BECs trong không gian nửa vô hạn, tức là hệ bị giới hạn bởi một
tường cứng.
- Hệ BECs trong không gian hữu hạn tạo nên bởi hai tường cứng đặt
cách nhau một khoảng nhất định.

3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản thoả mãn các điều
kiện biên khác nhau tại các tường cứng bằng phương pháp gần đúng DPA
và sau đó so sánh kết quả tìm được với kết quả tính số.
- Xác định sức căng tại mặt phân cách giữa hai thành phần với các điều
kiện biên khác nhau.
- Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên tại tường cứng đến các tính
chất vật lý hệ từ đó tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định.
- Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng.
- Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng.
- Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính chất vật
lý của hệ.
- Nghiên cứu các kích thích bề mặt trên mặt phân cách của hệ BEC hai
thành phần, trong đó tập trung vào việc tìm ra hệ thức tán sắc của sóng
mao dẫn tại mặt phân cách.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu về BEC(s) được thực hiện trong gần đúng trường trung
bình. Trên cơ sở này, các nghiên cứu lý thuyết về BEC(s) được thực hiện
4


dựa vào
- Hệ phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian.
- Hệ phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian.
Do tính chất liên kết và phi tuyến của hệ các phương trình vi phân
bậc hai mà chúng ta không có lời giải giải tích cho trường hợp tổng quát.
Để khắc phục khó khăn này, trong luận án chúng tôi chủ yếu sử dụng hai
phương pháp gần đúng cơ bản. Đó là
- Phương pháp gần đúng parabol kép.
- Phương pháp gần đúng hydrodynamics.

5. Đóng góp của luận án
Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lý
của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính được
trình bày trong phần Kết luận của luận án.

6. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến
luận án đã công bố và tài liệu tham khảo, phần nội dung của luận án gồm
bốn chương.
Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein
hai thành phần phân tách.
Chương 2. Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần.
Chương 3. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành
phần bị giới hạn bởi một tường cứng.
Chương 4. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành
phần bị giới hạn bởi hai tường cứng.

5


Chương 1
Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ
ngưng tụ Bose-Einstein hai thành
phần phân tách
Chương này sẽ trình bày trình bày tổng quan các nghiên cứu về hệ BEC
hai thành phần phân tách trong những năm vừa qua ở trong nước và trên
thế giới; trình bày cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ BEC
hai thành phần phân tách.

6


1.1.

Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng
tụ Bose - Einstein hai thành phần

Ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose
và Einstein cách đây hơn 90 năm [16]. Thí nghiệm về BEC của khí boson
siêu lạnh (87 Rb, 23 Na, 7 Li) được tạo ra sau đó 70 năm [1, 2, 17, 21, 42, 44].
Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận
bằng giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho E. A. Conell , C. E. Wieman
và W. Ketterle vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí
loãng của các nguyên tử kiềm [21]. Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm về
khí siêu lạnh phát triển rất mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từ
hai thành phần khí khác nhau. Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho
phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng hạn như
cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng thái
bất kỳ theo ý muốn [32]. Nhờ đó, nhiều hiện tượng lượng tử trong hệ
BECs như các bất ổn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn
(domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực
(monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58] đã được kiểm chứng bằng thực
nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên cứu về loại
vật chất đặc biệt này.
Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC
được đánh dấu bởi thành công của Gross và Pitaevskii trong việc thiết lập
hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GPEs) dựa trên gần đúng trường trung
bình (MFA) [22,42,44]. GPE(s) cho thấy hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các
phương trình thủy động lực học [42, 44]. Thực nghiệm cũng đã xác nhận

BEC có những tính chất tương tự với chất lỏng lượng tử (4 He). Từ đây
mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng đó là nghiên cứu các hiện
tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện tượng đã biết trong thủy
động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề mặt và chuyển pha ướt.
Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên
là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời
7


giải của GPEs. Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phi
tuyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫn
còn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặc
biệt [30], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương pháp
gần đúng [4, 5, 30, 59].
Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặt
phân cách, Ao và Chui đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs cho hệ
BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt xác định
bị giam trong một giếng thế hữu hạn [4].
Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh của
BECs, Barankov đã tìm được lời giải cho GPEs và xác định được sức căng
mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng tụ [5].
Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (optical
wall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu và
Schaeybroeck đề cập trong [30], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên các
tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck [48],
các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [31].
Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao và Chui [4],
Indekeu và các cộng sự đã xây dựng thành công phương pháp DPA [28],
sau đó được mở rộng thành gần đúng ba parabol (TPA) [59], nhờ đó tìm
được nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. Từ đây, các tác giả đã tính

toán một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của
ngưng tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển
pha ướt. So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết
GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha
ướt trong DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái
phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh
(strong segregation) [28, 59].
Để các nghiên cứu lý thuyết về BECs tiến gần với thực tế, các nhà
khoa học đã đi nghiên cứu hệ BECs hai thành phần trong không gian bán
vô hạn và hữu hạn [53–55] và đã thu được rất nhiều kết quả quan trọng
8


có ý nghĩa vật lý như: tại tường cứng sẽ xảy chuyển pha ướt từ dính ướt
một phần sang dính ướt hoàn toàn, khi hệ bị giam giữ bởi hai tường cứng
thì xuất hiện của lực Casimir-like và tùy thuộc vào khoảng cách giữa các
tường mà lực này có thể là lực hút hoặc lực đẩy, sức căng mặt phân cách
trong tập hợp chính tắc lớn (GCE) và tập hợp chính tắc (CE) không còn
liên hệ với nhau như đối với hệ vô hạn.
Bên cạnh những tính chất tĩnh nêu trên thì các tính chất động lực
học, đặc biệt là động lực học mặt phân cách được chú ý đặc biệt bởi tính
ứng dụng cao của nó trong các công nghệ hiện đại. Chỉ xét trường hợp
hai thành phần hoàn toàn đối xứng, Mazet [37] chỉ ra rằng các sóng kích
thích bề mặt có hai khả năng: sóng mao dẫn, ở đó năng lượng sóng tỉ lệ với
vecto sóng dưới dạng ω ∝ k 3/2 hoặc một dạng kích thích khác với ω ∝ k 1/2 .
Tương tự như vậy, Brankov [5] cũng chứng minh được rằng hệ thức tán

sắc cho kích thích bề mặt của hệ BECs cũng có hai khả năng như trên,
tức là tồn tại cả ω ∝ k 3/2 và ω ∝ k 1/2 . Gần đây nhất là công trình nghiên

cứu Takahashi và cộng sự [50] đối với hệ BECs có kích thước tùy ý, hệ

thức tán sắc khi kích thước hệ trở nên đủ lớn cũng có dạng của sóng mao
dẫn...Bên cạnh hiệu ứng của sóng mao dẫn, các nghiên cứu cũng khảo
sát các hiệu ứng khác như Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47],
Richtmayer-Meshkov [7]...
Trên đây chúng tôi đã trình bày tổng quan những nghiên cứu lý thuyết
về BECs trong và ngoài nước. Từ đây chúng tôi nhận thấy rằng có hai vấn
đề rất thú vị mà chưa được nghiên cứu:

• Khi hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng thì với các điều kiện khác
nhau tại tường sẽ ảnh hưởng thế nào đến các tính chất vật lý của hệ, điều
kiện biên nào tại tường sẽ khiến cho hệ ổn định.
• Các nghiên cứu về tính chất động tại mặt phân cách mới chủ yếu diễn
ra với hệ vô hạn trong khi tất cả các thực nghiệm, ứng dụng thực tế lại
tiến hành trong không gian bị giới hạn.
Vì vậy trong luận án này chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng
parabol kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) trong
9


khuôn khổ lý thuyết GP để đi nghiên cứu hệ BEC hai thành phần trong
không gian bị hạn chế với các điều kiện biên khác nhau với mục tiêu sẽ
tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát sự ảnh hưởng của các điều
kiện biên đến sự ổn định của hệ và tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn
định.

1.2.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên

cứu hệ ngưng tụ Bose - Einstein

1.2.1.

Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE)

Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE
trong gần đúng trường trung bình (MFA) từ Lagrangian L =
V

Ldr

[42, 44]. Ở đây,

L=

i
Ψ∗ ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ∗ − Hb ,
2

(1.1)

√
với Ψ = Ψ(r, t) = N ϕ(r, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(r, t) là hàm sóng
đơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa,
2

G 4
|Ψ| ,
(1.2)

2m
2
là mật độ Hamiltonian, U (x) là mật độ thế ngoài, G = 4π 2 a/m là cường
độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering
length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy,
a < 0 ứng với tương tác hút).
Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi
trường Ψ → Ψ + δΨ, tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS . Các biến đổi
δS
này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ
= 0, biến đổi của tác
dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0. Từ đây ta có phương
trình Euler-Lagrange
Hb = −

Ψ∗ ∇2 Ψ + U (x)|Ψ|2 +

∂L
∂L
= 0,
− ∂ν
∂Ψ
∂(∂ν Ψ)
10

(1.3)


với ν = (x, y, z, t). Sử dụng (1.3) tìm được phương trình
2

i ∂t Ψ = −

2m

∇2 Ψ + U (x)Ψ + G|Ψ|2 Ψ

(1.4)

gọi là GPE phụ thuộc thời gian.
Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng Ψ = ψ(r)e−iµt/ , ψ(r) là
hàm thực, thì (1.4) trở thành
2

−

2m

∇2 ψ(r) + U (r)ψ(r) + G|ψ(r)|2 ψ(r) = µψ(r).

(1.5)

Phương trình (1.5) có dạng của phương trình Schr¨odinger dừng, trong đó
mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (x) và
thành phần phi tuyến G|ψ(r)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời
gian. Lời giải của (1.5) cho chúng ta hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ
hạt boson.

1.2.2.

Hệ phương trình Gross-Pitaevskii

Bằng cách tương tự, ta có thể xây dựng hệ phương trình Gross-Pitaevskii
cho hệ BEC hai thành phần. Hệ ngưng tụ BEC hai thành phần được mô
tả bởi Lagrangian L và hàm tác dụng S dưới dạng [42],

S(Ψ1 , Ψ2 ) =

dtL =

dtdrL,

(1.6)

với hàm mật độ Lagrange trong gần đúng trường trung bình có dạng

L(Ψ1 , Ψ2 ) =

i
(Ψ∗j ∂t Ψj − Ψj ∂t Ψ∗j ) − E(Ψ1 , Ψ2 ).
2
j=1,2

(1.7)

Đại lượng E trong (1.7) được gọi là mật độ Hamilton, nó có dạng
2

E = (Ψ1 , Ψ2 ) =

j=1,2

2mj

|∇Ψj |2 +

gjj
|Ψj |4 g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 ,
2

(1.8)

ở đây, với thành phần j , Ψj = Ψj (r, t) là hàm sóng, đóng vai trò của tham
số trật tự; mj là khối lượng nguyên tử; gjj ′ = 2π 2 ajj ′ (1/mj + 1/mj ′ ) > 0
11


là hằng số tương tác, chúng được xác định qua ajj ′ là độ dài tán xạ sóng

s.
Bằng cách thực hiện phép biến thiên Ψ∗j → Ψ∗j + δΨ∗j và cực tiểu hóa
tác dụng S theo điều kiện δS/δΨ∗j ta thu được hệ phương trình GP phụ
thuộc thời gian
2

i ∂ t Ψ1 = −

2m1
2

i ∂ t Ψ2 = −

2m2

∇2 + g11 |Ψ1 |2 + g12 |Ψ2 |2 Ψ1 ,

(1.9a)

∇2 + g22 |Ψ2 |2 + g12 |Ψ1 |2 Ψ2 .

(1.9b)

Bây giờ ta viết hàm sóng dưới dạng

Ψj (r, t) = ψj (r)e−iµj t/ .

(1.10)

Thay (1.10) vào hệ (1.9) ta sẽ thu được hệ phương trình GP không phụ
thuộc thời gian
2

−

2m1
2

−

2m2

∇2 ψ1 − µ1 ψ1 + g11 |ψ1 |2 ψ1 + g12 |ψ2 |2 ψ1 = 0,

(1.11a)

∇2 ψ2 − µ2 ψ2 + g22 |ψ2 |2 ψ2 + g12 |ψ1 |2 ψ2 = 0.

(1.11b)

Lúc này thế năng tương tác của hệ có dạng

VGP =
j=1,2

−µj |ψj |2 +

gjj
|ψj |4 + g12 |ψ1 |2 |ψ2 |2 .
2

(1.12)

Khi các thành phần ngưng tụ được phân bố dọc theo phương Oz và có
tính chất đối xứng tịnh tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.11) được viết
lại như sau
2

−

2m1

2

−

2m2

∂z2 ψ1 − µ1 ψ1 + g11 |ψ1 |2 ψ1 + g12 |ψ2 |2 ψ1 = 0,

(1.13a)

∂z2 ψ2 − µ2 ψ2 + g22 |ψ2 |2 ψ2 + g12 |ψ1 |2 ψ2 = 0.

(1.13b)

12


Bây giờ chúng ta sẽ đưa các phương trình trên về dạng không thứ
nguyên bằng cách đưa ra một số đại lượng sau:
- Độ dài đặc trưng

ξj =

2mj gjj nj0

.

- Thời gian đặc trưng tj = /µj .
- Hằng số tương tác

K=√

g12
.
g11 g22

Sử dụng các biến không thứ nguyên là tọa độ ̺j = z/ξj , thời gian τj = t/tj ,
√
hàm sóng rút gọn φj = ψj / nj0 với nj0 là mật độ khối của thành phần j
thì hệ (1.13) có dạng

−∂̺21 φ1 − φ1 + |φ1 |2 φ1 + K|φ2 |2 φ1 = 0,

−∂̺22 φ2 − φ2 + |φ2 |2 φ2 + K|φ1 |2 φ2 = 0,

(1.14a)
(1.14b)

và thế năng tương tác (1.12) được viết thành

V˜GP =

|φj |4
−|φj | +
2
2

j=1,2

+ K|φ1 |2 |φ2 |2 .

(1.15)

Tùy thuộc vào giá trị của K mà có thể xảy ra 2 khả năng khác nhau: nếu

K > 1 thì các thành phần không thể trộn lẫn vào nhau và ngược lại.
Lưu ý rằng, để thực hiện các phép biến đổi trên chúng ta đã giới hạn
khảo sát hệ ở trạng thái cân bằng pha, tức là áp suất của hai thành phần
bằng nhau P1 = P1 với Pj = gjj n2j0 /2. Mặt khác chúng ta cũng đang xét
hệ trong thống kê chính tắc lớn, tức là các thành phần ngưng tụ được nối
với một bể nhiệt để chúng có thể trao đổi hạt với nhau, khi đó thế hóa
của các thành phần ngưng tụ nhận giá trị không đổi µj = gjj nj0 .
Tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm giải tích của hệ (1.14). Tuy
nhiên có ba trường hợp đặc biệt sau đây thì có thể tìm được nghiệm giải
tích của hệ (1.14):
13


- Khi hệ đối xứng ξ1 = ξ2 và K = 3, Malomed và cộng sự [36] tìm được

φj =

̺j
1
1 + (−1)j+1 tanh √ .
2
2

(1.16)

- Khi hệ phản đối xứng ξ = ξ2 /ξ1 = 1/2, K = 3/2, Joseph và cộng
sự [28] tìm được

φj =

1
̺j
1 + (−1)j+1 tanh √ .
2
2

(1.17)

- Khi hệ phân tách mạnh, tức là K → ∞,

̺j
φj = tanh (−1)j+1 √ .
2
1.2.3.

(1.18)

Phương pháp gần đúng parabol kép(DPA)

Yêu cầu đặt ra đối với các nghiên cứu về BEC(s) là phải giải GPE(s)
(1.14). Tuy nhiên, đây là hệ các phương trình vì phân bậc hai liên kết với
nhau và tổng quát, ta không thể tìm được lời giải giải tích.
Một trong các phương án đầu tiên được áp dụng là tính số. Tuy nhiên
phương pháp này đòi hỏi hệ thống máy tính có cấu hình rất mạnh và quan
trọng là nếu chỉ đơn thuần kết quả số, chúng ta khó đưa ra được các phán

đoán vật lý. Vì lý do này mà đã có một số phương pháp gần đúng được
đề xuất, khi sử dụng các phương pháp gần đúng ta sẽ thu được nghiệm
giải tích của hàm sóng, sức căng tại mặt phân cách....từ đây chúng ta dễ
dàng có những suy luận, phán đoán có ý nghĩa vật lý. Trong luận án tôi
sử dụng gần đúng parabol kép (DPA) được đưa ra trong [4, 28] và phương
pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) [47].
Để tìm hiểu về phương pháp gần đúng DPA chúng ta hãy xét hệ BEC
một thành phần bị giới hạn bởi tường cứng (optical wall) tại vị trí z = 0.
Khi đó thế GP (1.15) được viết lại như sau

VGP

φ4
= −φ + .
2
2

14

(1.19)


Ở gần mặt phân cách tham số trật tự φ giảm dần từ 1 nên ta đặt
(1.20)

φ ≈ 1 + a,
với a là là số thực âm và nhỏ. Thay (1.20) vào (1.19) ta được

1
1

1
VGP = −(1 + a)2 + (1 + a)4 = − + 2a2 + 2a3 + a4 .
2
2
2
Giữ đến gần đúng bậc hai ta thu được

1
VDP A ≈ 2(φ − 1)2 − .
2

(1.21)

0.4

V

0.2
0.0
-0.2
-0.4
-1.5 -1.0 -0.5 0.0
ϕ

0.5

1.0

1.5

Hình 1.1: Thế tương tác theo tham số trật tự φ.

Trên hình 1.1 là đồ thị biểu diễn thế tương tác theo tham số trật tự φ,
trong đó đường nét liền ứng với thế GP, đường nét đứt ứng với thế DPA.
Như vậy, thế GP được thay bằng hai đường parabol nên đây được gọi là
gần đúng parabol kép (DPA).
Khi sử dụng phương pháp gần đúng DPA, hệ phương trình GP có thể được
đưa về hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể giải được như sau:

−∂̺2j φj + 2(φ − 1) = 0,
−∂̺2j′ φj ′ + β 2 φj ′ = 0,
15

(1.22)


ở đây β =

√

K − 1, các chỉ số (j, j ′ ) = (1, 2) đối với bên phải mặt phân
cách và (j, j ′ ) = (2, 1) ở phía bên trái mặt phân cách.
Như vậy hệ GPEs liên kết (1.14) được chuyển thành hai phương trình
vi phân không liên kết (1.22) và hệ phương trình (1.22) hoàn toàn có thể
giải bằng giải tích.
1.2.4.

Phương pháp gần đúng hydrodynamics

Ở phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) chúng ta coi chuyển

động của các hạt trong trạng thái ngưng tụ như là những chuyển động
của các dòng chảy chất lỏng. Mục đích của ta là cần tìm ra những phương
trình cho chuyển động của dòng như những phương trình thủy động học
có dạng tương tự cổ điển như phương trình Bernoulli, phương trình Euler,
phương trình liên tục...từ đó nghiên cứu các tính chất động học của hệ
BEC.
Để nghiên cứu các vấn đề động học của BEC chúng ta sử dụng phương
trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian
2
∂Ψ
i
=−
∇2 Ψ + V (r) Ψ + G|Ψ|2 Ψ.
∂t
2m

(1.23)

Nhân hai vế phương trình (1.23) với Ψ∗ và liên hợp phức của nó nhân với

Ψ chúng ta thu được phương trình liên tục của ngưng tụ
i
∂|Ψ|2
Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ
+∇
∂t
2m

= 0,

(1.24)

hay

∂n
+ ∇. (nv) = 0,
∂t

(1.25)

trong đó n = |Ψ|2 là mật độ hạt, vận tốc của ngưng tụ được xác định bằng

biểu thức

v=

i
Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ .
2mn
16

(1.26)


Mật độ động lượng của ngưng tụ được xác định bằng biểu thức

J=

i
2

Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ .

(1.27)

Nếu chúng ta viết hàm sóng Ψ của ngưng tụ có dạng

Ψ = Ψ0 eiφ ,

(1.28)

thì khi thay (1.28) vào hệ phương trình (1.23) rồi tách riêng phần thực và
phần ảo ta thu được hai phương trình cho biên độ và pha

∂|Ψ0 |2
= − ∇ |Ψ0 |2 ∇φ ,
∂t
m

(1.29)

1 δE
∂φ (r, t)
=−
.
∂t
δn (r)

(1.30)

và

Các phương trình (1.24), (1.29), (1.30) cho thấy có thể nghiên cứu các
hệ BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử.

Tổng kết chương 1
Như vậy chương 1 đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Trình bày tổng quan các nghiên cứu về hệ BEC hai thành phần phân
tách trong những năm vừa qua.
• Trình bày lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BEC một thành phần và
hệ BEC hai thành phần.;
• Trình bày những vấn đề cơ bản về phương pháp gần đúng parabol
kép và phương pháp gần đúng hydrodynamic.

17


Chương 2
Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách
của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai
thành phần
Trong chương này chúng tôi áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) nghiên cứu sóng mao dẫn ở mặt phân cách của hệ BEC
hai thành phần bị giới bởi một tường cứng và hai tường cứng.

2.1.

Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC
hai thành trong không gian vô hạn

Xét hệ BEC hai thành phần trong không gian vô hạn hình 2.1.

Hình 2.1: Cấu trúc hình học hệ BEC trong không gian vô hạn

18