Bài tập nghiên cứu khoa học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
===============
BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
DẠY HỌC DỰ ĐOÁN TRONG GIẢI TOÁN TÌM TẬP HỢP
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Người thực hiện: Nguyễn Xuân Nam
Lớp: Toán K4 – Bắc Giang
Giáo viên hướng dẫn: Th.S NGUYỄN VĂN HÀ
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I) Vai trò, ý nghĩa của dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông
Củng cố các kiến thức cơ bản trong hình học cho học sinh:
- Toán tìm tập hợp là một dạng toán tổng hợp, có nội dung phong phú chứa
đựng nhiều nội dung kiến thức cơ bản của hình học. Khi giải dạng toán này đòi
hỏi học sinh phải nắm rất vững các kiến thức cơ bản có liên quan đến bài toán và
phải biết cách vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy qua việc giải
các bài toán tìm tập hợp sẽ củng cố nhiều kiến thức cơ bản toán học cho học sinh.
- Ví dụ:
Xét bài toán: ‘‘ Cho một đường tròn (O, R) và một số l > 0. Tìm tập hợp các
trung điểm M của các dây cung AB có độ dài bằng l của đường tròn’’
Khi giải bài toán trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản
sau đây:
+ Khái niệm về đường tròn, đường kính và dây cung
+ Tính chất về mối quan hệ giữa đường kính và dây cung của một đường
tròn
+ Định lý Pi-ta-go về tam giác vuông
Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh:
- Qua những bài toán tìm tập hợp giúp học sinh nắm vững các loại mệnh đề
thuận, mệnh đề đảo, mệnh đề phản và mệnh đề phản đảo. Đối với những bài toán
có mệnh đề thuận phức tạp đòi hỏi học sinh phải hiểu được cấu trúc lôgic của
mệnh đề này mới có thể thành lập được mệnh đề đảo của nó. Đồng thời khi

chứng minh mệnh đề thuận hoặc mệnh đề đảo của bài toán tìm tập hợp đòi hỏi
học sinh phải biết cách sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát hóa, … vào việc tìm đường lối chứng minh toán học. Do vậy qua
dạng toán tìm tập hợp rèn luyện và phát triển tư duy lôgic cho học sinh.
- Toán tìm tập hợp là dạng toán tìm kiếm, trong đó yêu cầu phải chứng minh
không thể hiện ở trong kết luận của đề toán. Để giải dạng toán này học sinh phải
có khả năng độc lập, sáng tạo: Học sinh cần phải biết vận dụng các phép suy luận
nghe có lý như đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, …. vào việc dự đoán tập
hợp cần tìm hoặc mở rộng bài toán từ phẳng ra không gian.
Rèn luyện và phát triển kĩ năng vận dụng cho học sinh:
Toán tìm tập hợp là dạng toán tổng hợp, trong đó bao gồm cả toán tính toán,
toán dựng hình và toán chứng minh. Trong toán tìm tập hợp luôn phải chứng
minh hai mệnh đề thuận, đảo hoặc cặp mệnh đề khác tương đương; đồng thời
phải biết xác định được hình dạng của tập hợp cần tìm, tức là dựng được nó. Do
vậy qua toán tìm tập hợp các dạng toán điển hình trong hình học của học sinh
được rèn luyện, củng cố và phát triển
Bồi dưỡng quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh:
Qua dạng toán tìm tập hợp bồi dưỡng cho học sinh quan điểm động, nhờ đó
học sinh có “ con mắt hình học’’ khi quan sát, nghiên cứu các hiện tượng trong
đời sống hàng ngày. Họ sẽ nhận thức được rằng mọi sự vật, hiện tượng trong
thực tiễn đều biến đổi theo một quy luật nào đó. Họ sẽ nhìn nhận và suy nghĩ các
vấn đề một cách sinh động, phù hợp với điều kiện từng nơi, từng lúc.
Toán tìm tập hợp là dạng toán khó trong hình học. Qua việc giải dạng toán
này sẽ rèn luyện cho học sinh nhiều phẩm chất, đức tính cần thiết của người lao
động mới

II) Nội dung của toán tìm tập hợp ở trường phổ thông
Triển khai nội dung về các bài toán tìm tập hợp cơ bản: (Các qũy tích
cơ bản)
Lớp 7:

- Qũy tích đường phân giác của một góc: Tập hợp những điểm cách đều hai
cạnh của một góc
- Qũy tích đường đường trung trực của một đoạn thẳng: Tập hợp những
điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng
Lớp 8:
- Qũy tích đường thẳng song song cách đều: Tập hợp những điểm cách đều
một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước
Lớp 9:
- Qũy tích đường tròn:
Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho
trước, hoặc tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định
cho trước dưới một góc vuông
- Quỹ tích cung chứa góc: Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một
đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc không đổi.
Lớp 10:
- Qũy tích tổng, hiệu bình phương: MA
2
 MB
2
= k
2

- Một số bài tập liên quan đến quỹ tích trục đẳng phương của hai đường
tròn, liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác, hoặc liên quan đến hệ thức
lượng trong đường tròn
Lớp 11:
- Bao gồm một số qũy tích cơ bản: Mặt phẳng trung trực của một đoạn
thẳng; Mặt phẳng phân giác của một nhị diện; Mặt cầu
- Một số bài tập tìm tập hợp liên quan đến các phép biến hình trong hình học
phẳng

Nhận xét:
- Toán tìm tập hợp là dạng toán quan trọng trong chương trình toán phổ
thông. Tuy nhiên, đây là dạng toán khó đối với đa số học sinh, do đó trong
chương trình còn chưa chú ý nhiều:
+ Trong hình học phẳng: Bao gồm những bài toán tìm tập hợp cơ bản nhất
và một số rất ít các bài toán vận dụng các bài toán cơ bản này. Khi giải các bài
toán tìm tập hợp không có yêu cầu chứng minh phần đảo
+ Trong hình học không gian: Không có điều kiện để nghiên cứu sâu dạng
toán quỹ tích như trong hình học phẳng, mà chỉ giới thiệu một vài bài toán quỹ
tích cơ bản nhất mở rộng tương tự với hình học phẳng
- Những khó khăn đặt ra trước học sinh khi giải các bài toán dạng này:
+ Trước đây học sinh chỉ quen với các yếu tố cố định, yếu tố không đổi và
chưa quen nghiên cứu các bài toán hình học có yếu tố thay đổi, biến thiên
+ Học sinh thường có tư tưởng sợ loại toán này: Không biết cách dự đoán
tập hợp càn tìm, không biết thành lập mệnh đề đảo của bài toán quỹ tích có mệnh
đề thuận phức tạp
III) Dạy cho học sinh dự đoán tập hợp cần tìm:
Ý nghĩa, vai trò của việc dự đoán tập hợp cần tìm:
Việc dự đoán tập hợp cần tìm không yêu cầu phải có trong lời giải của bài
toán tìm tập hợp, nhưng nó lại đóng vai trò rất quan trọng trong việc tiếp cận để
tìm ra lời giải của nó.
Muốn giải được bài toán tìm tập hợp thì yêu cầu cơ bản trước tiên là học
sinh phải đề ra được dự kiến chứng minh tập hợp H là tập hợp cần tìm, tức là
dự đoán tập hợp cần tìm.
Do vậy học sinh cần phải có kinh nghiệm trong việc dự đoán và biết cách dự
đoán một cách nhanh chóng, chính xác được tập hợp cần tìm thì từ đó có thể tiếp
tục bước tiếp theo là chứng minh thuận đảo và kết luận tập cần tìm là hình H
Một số phương pháp dự đoán tập hợp cần tìm:
a) Dự đoán dựa vào thực nghiệm:
+ Ta theo dõi các phần tử chuyển động sinh ra tập hợp cần tìm. Thông

thường ta chú ý đến các vị trí đặc biệt của phần tử chuyển động trong bài toán
tìm tập hợp.
Các vị trí đặc biệt ở đây thường là các vị trí biên của hình gốc, các vị trí xác
định trên hình gốc (Hình gốc là hình tạo bởi các yếu tố cố định trong bài toán tìm
tập hợp)
+ Trong dự đoán bằng thực nghiệm cần chú ý tìm ra ba điểm thuộc tập hợp
cần tìm:
Nếu ba điểm tìm được đó thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc
loại thẳng có thể là đường thẳng hoặc đoạn thẳng
Nếu ba điểm tìm được đó không thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là
thuộc loại tròn có thể là đường tròn hoặc cung tròn
Ví dụ:
‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường
tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp
trung điểm I của dây cung AB.”
Ví dụ:
‘‘Cho góc
µ
xOy
cố định. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong góc
µ
xOy
sao
cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.”
b) Dự đoán dựa vào điểm vô tận:
+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó
trong hình gốc có thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận thuộc
tập hợp cần tìm. Khi tập hợp cần tìm chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp
cần tìm thuộc loại thẳng
+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó

trong hình gốc không thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận
không thuộc tập hợp cần tìm. Khi tập hợp cần tìm không chứa điểm vô tận thì có
thể dự đoán tập hợp cần tìm thuộc loại tròn
Ví dụ:
‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập
hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA
2
+ MB
2
= k
2
’’
Hd:
Dễ thấy với mọi M hai khoảng cách MA, MB  k
2
. Do đó điểm vô tận
không thuộc tập hợp cần tìm, nên dự đoán tập hợp cần tìm là loại tròn
c) Dự đoán dựa vào tính đối xứng của hình gốc:
Từ một điểm nào đó thuộc tập cần tìm và dựa vào tính đối xứng của hình
gốc ta có thể suy ra những điểm khác thuộc tập hợp cần tìm. Nhờ đó giúp học
sinh củng cố niềm tin vào việc dự đoán đúng tập hợp cần tìm
Ví dụ:
Hd:
Cát tuyến đi qua tâm O: Tâm O
thuộc tập cần tìm
Cát tuyến ở vị trí tiếp tuyến:
Tiếp điểm T, T’ thuộc tập cần tìm
Dễ thấy ba điểm T, O, T’ không
thẳng hàng nên có thể dự đoán tập
cần tìm là cung tròn đường kính PO

Hd:
M Ox: M  A  Ox sao cho
khoảng cách từ A tới Oy là k.
M Oy: M  B  Oy sao cho
khoảng cách từ B tới Ox là k.
Dễ thấy ba điểm A, M, B thẳng
hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm
là đoạn thẳng AB
O
y
A
B
x
M
P
Q
T’
P
A
B
T
I
O
‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập
hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA
2
+ MB
2
= k
2

’’
d) Dự đoán dựa vào phép suy luận nghe có lý:
Để có dự đoán đúng, nhiều khi ta sử dụng các phép suy luận nghe có lý để
đưa bài toán tìm tập hợp đã cho về bài toán đặc biệt hoặc bài toán tương tự đơn
giản hơn đã biết cách giải. Từ kết quả của bài toán có liên quan ta có thể nhanh
chóng đưa ra dự đoán về tập hợp cần tìm của bài toán đã cho.
Ví dụ:
‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập
hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA
2
+ MB
2
= k
2
’’
Hd:
Đặc biệt hóa khi k
2
= AB
2
thì ta có ngay kết quả quen thuộc tập hợp này là
đường tròn đường kính AB
Do đó có thể dự đoán bài toán đã cho có tập hợp cần tìm là đường tròn tâm
nằm trên AB và tâm là trung điểm của AB.
Lưu ý sư phạm:
Trong dự đoán tập hợp cần tìm của bài toán tìm tập hợp, chúng ta cần chú ý
kết hợp nhiều phương pháp dự đoán khác nhau để có thể có kết quả dự đoán
nhanh chóng và chính xác tập hợp cần tìm.
IV) Dạy cho học sinh nắm được bản chất của dạng toán tìm tập hợp:
Bài toán:‘‘Tìm tập hợp các phần tử M có tinh chất


nào đó - M(

)”
- Làm cho học sinh thấy được tính chất đa dạng phong phú của các phần tử
chuyển động hoặc tập hợp cần tìm trong các bài toán tìm tập hợp:
+ Phần tử chuyển động có thể là điểm chuyển động, đoạn thẳng chuyển
động, đường thẳng chuyển động, cung tròn hoặc đường tròn chuyển động
Ví dụ:
‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường
tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp
trung điểm I của dây cung AB”
+ Tập hợp cần tìm có thể là tập rỗng, có thể là tập hữu hạn các phần tử, có
thể là tập vô hạn các phần tử, có thể là một đường liên tục hoặc một đường rời
rạc
Ví dụ:
O
P
A
B
N
M
Q
Hd:
Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB,
ta thấy điểm O cũng cố định
Dễ thấy nếu M thuộc tập cần tìm thì suy ra: N
đối xứng của M qua trung trực của AB; P đối xứng
của M qua O; Q đối xứng của M qua AB cũng
thuộc tập hợp cần tìm

Ta thấy M, N, P, Q không thẳng hàng nên có
thể dự đoán tập cần tìm là loại tròn có tâm là trung
điểm của đoạn thẳng AB