Nghiên cứu ngưng tụ bose einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế

L˝I CAM

OAN

Tæi xin cam oan lu“n ¡n n y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi d÷îi sü h÷îng d¤n
cıa GS. TSKH. Trƒn Hœu Ph¡t v PGS. TS. Nguy„n V«n Thö. C¡c k‚t qu£ nghi¶n
cøu cıa lu“n ¡n l trung thüc v khæng tròng khîp vîi b§t k… cæng tr…nh n o cıa t¡c
gi£ kh¡c.
H Nºi, ng y

01 th¡ng

5 n«m 2019

T¡c gi£ lu“n ¡n

Ho ng V«n Quy‚t

i


LI C M èN!
Trữợc tiản, tĂc giÊ lun Ăn xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc

i vợi GS. TSKH. Trn

Hu PhĂt. Sỹ hữợng dÔn tn tửy v nhng ng viản khch lằ ca thy l nguỗn ng
lỹc to lợn cho tĂc giÊ trong sut quĂ trnh ho n th nh chữỡng trnh o to v l m lun
Ăn. Thy mÂi l tĐm gữỡng sĂng v o ức, v tinh thn l m viằc nghiảm túc, cng hin
ht mnh v khoa hồc tĂc giÊ hồc tp v noi theo.
TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn PGS. TS. Nguyn Vôn Thử, thy  tn tnh hữợng

dÔn v cũng thÊo lun giúp ù tĂc giÊ ho n th nh cĂc tnh toĂn quan trồng nhĐt trong
lun Ăn.
TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn PGS. TS. Nguyn Th H
tĂc giÊ n vợi con

Loan ngữới

 dÔn dt

ữớng nghiản cứu khoa hồc.

TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn TS. Phm Th Song
thÊo lun v lun Ăn v cĂc vĐn

 nhiằt tnh giúp ù, cũng

nghiản cứu liản quan.

TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban GiĂm Hiằu, Phặng sau i hồc, Khoa Vt LỵTrữớng i Hồc Sữ Phm H Ni 2 Â giúp ù v to mồi iu kiằn thun lổi nhĐt tĂc giÊ ho n
th nh chữỡng trnh o to, ho n th nh lun Ăn.
Lới cÊm ỡn sau cũng, xin d nh cho gia nh tĂc giÊ, nhng ngữới  d nh cho tĂc
giÊ tnh yảu thữỡng trồn vàn, tng ng y chia sã, ng viản tĂc giÊ vữổt qua mồi khõ
khôn ho n th nh lun Ăn.
H Ni, ng y 01

thĂng 5

nôm 2019

TĂc giÊ lun Ăn

Ho ng Vôn Quyt

ii


Möc löc
Líi cam

oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Danh möc tł vi‚t t›t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Danh möc h…nh v‡ v b£ng bi”u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Mð

ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ch÷ìng 1. TŒng quan v cì sð lþ thuy‚t v• h» ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn
ph¥n t¡ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.TŒng quan c¡c
nghi¶n cøu lþ thuy‚t v• h» ng÷ng tö Bose - Einstein hai th nh phƒn. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Cì sð lþ thuy‚t v ph÷ìng ph¡p
dòng nghi¶n cøu h» ng÷ng tö Bose - Einstein
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii (GPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1.2.2. H» ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. Ph÷ìng ph¡p gƒn óng parabol k†p(DPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4. Ph÷ìng ph¡p gƒn óng hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Ch÷ìng 2. H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh
phƒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.H» thøc t¡n s›c
t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh trong khæng gian væ h⁄n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.H» thøc t¡n
s›c t⁄i m°t ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh phƒn bà h⁄n ch‚ bði mºt t÷íng cøng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.H» thøc t¡n s›c t⁄i m°t
ph¥n c¡ch cıa h» BEC hai th nh phƒn bà h⁄n ch‚ bði hai t÷íng cøng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


iii


Ch÷ìng 3. C¡c hi»u øng k‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n
bði mºt t÷íng cøng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. i•u ki»n bi¶n cho c¡c
th nh phƒn ng÷ng tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.Tr⁄ng th¡i cì b£n cıa h». . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.Søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch v hi»n t÷æng chuy”n pha ÷ît cıa h» trong t“p hæp ch
‰nh t›c lîn(GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ch÷ìng 4. C¡c hi»u øng k
‰ch th÷îc hœu h⁄n trong h» BEC hai th nh phƒn bà giîi h⁄n bði hai t÷íng cøng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.Tr⁄ng th¡i cì b£n cıa
h». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.Søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch v mºt sŁ hi»u øng k‰ch th÷îc trong ph¥n bŁ ch
‰nh t›c lîn (GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.Søc

c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch v mºt sŁ hi»u øng k‰ch th÷îc trong ph¥n bŁ ch‰nh t›c
(CE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 K‚t lu“n v ki‚n
nghà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Danh s¡ch c¡c
cæng tr…nh cæng bŁ k‚t qıa nghi¶n cøu cıa lu“n.. .¡n 80 T i li»u tham kh£o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

iv


Danh möc tł vi‚t t›t
Kþ hi»u

Ti‚ng Anh

Ti‚ng Vi»t

BEC

Bose-Einstein condensate

ng÷ng tö Bose-Einstein

BECs

two segregated Bose-Einstein ng÷ng tö Bose-Einstein hai
condensates
th nh phƒn ph¥n t¡ch

CE

Canonical ensemble

t“p hæp ch‰nh t›c

GCE

Grand canonical ensemble

t“p hæp ch‰nh t›c lîn

DPA

Double-parabola
tion

MDPA

Modified double-parabola approximation

gƒn óng parabol k†p mð rºng

GP

Gross-Pitaevskii

Gross-Pitaevskii

GPE(s)

Gross-Pitaevskii equation(s)

(h») ph÷ìng
Pitaevskii

approxima- gƒn óng parabol k†p

Time-independent
TIGPEs

tr…nh Gross-

Gross- h» ph÷ìng tr…nh GrossPitaevskii khæng phö thuºc

Pitaevskii equations

thíi gian

TPA

Tripple-parabola
tion

approxima- gƒn óng ba parabol

MFA

Mean-field approximation

gƒn óng tr÷íng trung b…nh

HDA

Hydrodynamic approach

gƒn óng hsydrodynamic

v


Danh sĂch hnh v
1

Hnh v mổ phọng hai ứng dửng ca BECs (nguỗn: inetrnet). . . . . . . . 2

1.1 Th tữỡng tĂc theo tham s trt tỹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 CĐu trúc hnh hồc hằ BEC trong khổng gian vổ hn . . . . . . . . . . . . .
18
2.2 Mt phƠn cĂch ữổc t ti z = z0 v
tữớng cứng ti z =
h. . . . . . . . 22
2.3 Mt phƠn cĂch ữổc t ti z = z0 v

tữớng cứng ti z =

h2, z = h1 . . . 26

3.1 CĐu hnh hằ BEC hai th nh phn b giam gi bi mt tữớng cứng, tữớng cứng t
0

chiu d i xƠm nhp ca th nh phn ngững tử j(j = 1; 2) trong

ti z = h . LAj l
min ngững tỹ j0(j

0

= 2; 1) = j.

........................... 31

6

3.2 H m sõng ca hằ ngững tử trng thĂi cỡ bÊn ứng vợi iu kiằn biản
Robin (c = 1=

p

2) vợi h = 0. ữớng nt lin ứng vợi nghiằm trong gn

úng DPA, ữớng nt ứt ứng vợi nghiằm giÊi s hằ phữỡng trnh GP. . .
3.3 Sỹ phử thuc ca = f (K; ) theo 1=K ti = 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
40

3.4 H m sõng ca th nh phn 2 trong min h % ti K = 3, = 1 v ữớng nt
chĐm ứng vợi c = 0 ( iu kiằn biản Neumann), ữớng nt gch ứng vợi c = 1( iu
kiằn biản Robin), ữớng nt lin ứng vợi c = 1 ( iu kiằn biản Dirichlet). . . . . . . .

44

3.5 Sỹ phử thuc ca sức công mt ti mt phƠn cĂch trong GEC theo 1=K ti = 1.
ữớng nt chĐm, nt gch v nt lin tữỡng ứng vợi iu kiằn biản Neumann, Robin
v Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 L m ữợt mt phn, 0 < < =2, (a, b...). L m ữợt ho n to n, = 0, (c) . . . . . . .

45
47

3.7 ữớng chuyn pha ữợt, ữớng nt lin (nt ứt) tữỡng ứng vợi iu kiằn
biản Dirichlet (Robin). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

48


4.1

~
~
th nh phƒn ng÷ng tö
Hai t÷íng cøng t⁄i z = h1; z = h2; m°t ph¥n c¡ch z = L,v
1(2) chi‚m vòng z > L(z < L). LAj l chi•u d i x¥m nh“p cıa th nh phƒn ng÷ng
0 0
tö j(j = 1; 2) trong mi•n ng÷ng tü j (j
= 2; 1) = j.
.................
6

52

4.2 Tr⁄ng th¡i cì b£n cıa h» vîi c1 =
1; c2 = 1; h1 = h2 = 10 ֒ng m u
xanh øng vîi th nh phƒn 2, m u ä øng vîi th nh phƒn 1, n†t li•n (n†t
øt) øng vîi nghi»m DPA (gi£i sŁ h» ph÷ìng tr…nh GP). . . . . . . . . . .

60

4.3 Sü phö thuºc cıa ~12 v o k‰ch th÷îc cıa h» d = 2h t⁄i K = 3 and = 1. ÷íng
n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann,
Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Robin(c1 = 0; 5; c2 = 0; 5) v

67

4.4 Sü phö thuºc v o d = 2h cıa lüc FGCE t⁄i K = 1; 2; = 1. ÷íng n†t ch§m, n†t
g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c 1 =

0; 5; c2 = 0; 5)

68

v Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Lüc FGCE phö thuºc v o 1=K t⁄i h = 5; = 1. ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t
li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c1 = 0; 5; c2 = 0; 5) v Dirichlet. .

4.6 H m sâng cıa th nh phƒn ng÷ng tö 2 trong kho£ng

h % ‘v

68

cıa th nh phƒn

1 trong kho£ng ‘ % h t⁄i h = 10; K = 3, = 1. ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t

4.7

li•n t÷ìng øng vîi c¡c i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin (c 1 =
1; c2 = 1) v Dirichlet. . 70
Sü phö thuºc søc c«ng t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong GCE theo 1=K t⁄i = 1. ÷íng n†t
ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n bi¶n Neumann, Robin v Dirichlet.

71

4.8 Sü phö thuºc cıa søc c«ng m°t t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong CE theo 1=K
t⁄i = 1. ÷íng n†t ch§m, n†t g⁄ch v n†t li•n t÷ìng øng vîi i•u ki»n
bi¶n Neumann, Robin v

Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Sü phö thuºc cıa søc c«ng m°t t⁄i m°t ph¥n c¡ch trong CE øng vîi
i•u ki»n bi¶n Neumann theo k‰ch th÷îc cıa h» d = 2h t⁄i = 1; K = 3. .
4.10 Sü phö thuºc cıa lüc Casimir - like FCE trong CE theo d t⁄i = 1; K = 1; 1. . . . . .

vii

74
75


M

u

1. Lỵ do chồn

ti

Ngững tử Bose-Einstein (BEC) l mt trng thĂi lữổng tò vắ mổ, õ
mt s lữổng lợn cĂc ht vi mổ tp trung trong cũng mt trng thĂi lữổng
tò duy nhĐt nhữ mt ỡn ht khi nhiằt ca hằ thĐp hỡn T c n o õ. Hiằn
tữổng n y ữổc dỹ oĂn bi Einstein v o nôm 1925 [23] cho cĂc nguyản
tò vợi spin to n phn cõ nhng giĂ tr nguyản. Dỹ oĂn n y dỹa trản ỵ
tững v mt phƠn b lữổng tò cho cĂc photon ữổc ữa ra bi Bose [16]
trữợc õ mt nôm. Einstein sau õ m rng ỵ tững ca Bose cho hằ ht vt
chĐt v chứng minh ữổc rng khi l m lnh cĂc nguyản tò boson n nhiằt
rĐt thĐp th hằ n y tch tử li (hay ngững tử) trong trng thĂi lữổng tò
ứng vợi nông lữổng thĐp nhĐt cõ th v to nản trng thĂi mợi ca vt chĐt
gồi l BEC.
Nôm 1995 nhõm cĂc nh thỹc nghiằm i hồc Colorado v viằn cổng
nghằ Massachusetts  th nh cổng khi to ra BEC ca cĂc nguyản tò
87

23

7

( Rb, Na, Li) [1, 2, 17, 21, 42, 44]. Nhng kt quÊ th nghiằm xĂc
nhn sỹ tỗn ti ca BEC Â ữổc ghi nhn bng giÊi Nobel Vt lỵ nôm 2001
trao cho E. A. Conell, C. E. Wieman v W. Ketterle [21]. Nhng nghiản
cứu v lắnh vỹc n y thỹc sỹ bũng n sau khi cĂc nh thỹc nghiằm th nh
cổng trong viằc to ra ngững tử BEC hai th nh phn khổng trn lÔn
(BECs) [40,57].
BEC l dng vt chĐt lữổng tò, sõng vt chĐt lữổng tò cõ c tnh quan
trồng ca laser, õ l tnh kt hổp. Mt khĂc phữỡng phĂp cng hững
Feshbach cho php iu khin ữổc hu ht cĂc tham s quan trồng, chflng
1


(a)

(b)

Hnh 1: Hnh v mổ phọng hai ứng dửng ca BECs (nguỗn: inetrnet).

hn nhữ cữớng tữỡng tĂc gia hai th nh phn, nhm to ra nhng trng
thĂi bĐt ký theo ỵ mun [32]. Do õ BEC(s) l mổi trữớng lỵ tững trong
phặng th nghiằm cõ th:
Mổ phọng cĂc tnh chĐt ca hằ mổi trữớng ổng c m chúng ta rĐt
khõ nghiản cứu ữổc trong cĂc vt liằu thỹc t.
Kim chứng nhiu hiằn tữổng lữổng tò khĂc nhau, chflng hn nhữ
sỹ hnh th nh cĂc xoĂy Abrikosov, cĂc vĂch ngôn (domain wall) gia
hai th nh phn, cĂc trng thĂi soliton, cĂc ỡn cỹc t (monopole) [3,6,12,20,
25,26,33,41,49,58]. Trản hnh 1 l Ênh mổ phọng cho hai ứng dửng
quan trồng ca BECs: to ra siảu photon (a) v ỡn cỹc t (b).

Nghiản cứu cĂc hiằn tữổng lữổng tò tữỡng tỹ vợi cĂc hiằn tữổng
trong thy ng hồc c in, chflng hn cĂc hiằn tữổng khổng n nh
Kenvin-Helmholtz [51], khổng n nh Rayleigh-Taylor [47],
Richtmayer-Meshkov [7]...
Ngo i ra cĂc nghiản cứu v BEC Â ữa ra nhng ứng dửng rĐt quan
trồng trong thỹc t, v dử ch to ra Laser cõ bữợc sõng rĐt nhọ cù 10
11

m, chp iằn tò cù nguyản tò, ch to mt s loi xông c biằt cho mt
s mĂy bay quƠn sỹ.. . .
Chnh v nhng l do trản, sỹ phĂt hiằn ra BEC Â m ra mt giai
on phĂt trin nhữ vụ bÂo cÊ lắnh vỹc lỵ thuyt v thỹc nghiằm trong viằc
2


nghiản cứu cĂc hiằu ứng lữổng tò. Viằc nghiản cứu BEC hai th nh phn

l mt vĐn rĐt thới sỹ, hứa hàn s ữa ra mt s tnh chĐt vt lỵ mợi, t
õ s m ra nhng hữợng nghiản cứu mợi trong vt lỵ lỵ thuyt, vt lỵ cĂc
mổi trữớng m c v trong cổng nghằ ch to cĂc linh kiằn iằn tò. Tuy
nhiản, hu ht cĂc nghiản cứu v BECs mợi ch din ra vợi hằ thng
BECs trong khổng gian vổ hn v hằ BECs trong khổng gian hu hn
vợi iu kiằn biản Dirichlet, trong khi cĂc thỹc nghiằm v cĂc ứng dửng thỹc
t li tin h nh trong khổng gian b giợi hn vợi nhiu iu kiằn biản khĂc
nhau. Chnh v nhng l do trản, chúng tổi  quyt nh chồn t i
ca lun Ăn l "Nghiản cứu ngững tử Bose-Einstein hai th nh phn trong
khổng gian b hn ch ". Trong lun Ăn n y, trong khuổn kh lỵ thuyt
Gross-Pitaevskii (GP) chúng tổi sò dửng phữỡng phĂp gn úng parabol
kp (DPA), phữỡng phĂp gn úng hydrodynamics (HDA) nghiản cứu
hằ BEC hai th nh phn trong khổng gian b hn ch vợi cĂc iu kiằn biản

khĂc nhau nhm mửc ch s tm ra mt s hiằu ứng giợi hn mợi, khÊo
sĂt sỹ Ênh hững ca cĂc iu kiằn biản n sỹ n nh ca hằ.

2. Mửc ch nghiản cứu
KhÊo sĂt Ênh hững ca sỹ giợi hn khổng gian tợi cĂc tnh chĐt vt
lỵ ca hằ BEC hai th nh phn b giợi hn bi cĂc tữớng cứng song song
vợi mt phƠn cĂch, trng thĂi cƠn bng vợi cĂc iu kiằn biản khĂc nhau. T
Ơy tm ra iu kiằn biản khin cho hằ n nh v mt s hiằu ứng vt lỵ
mợi.
Tm ra hằ thức tĂn sc ti mt phƠn cĂch ca hằ BEC hai th nh
phn b giam gi bi cĂc tữớng cứng song song vợi mt phƠn cĂch.

3


3.
3.1.

i tữổng, nhiằm vử, phm vi nghiản cứu
i tữổng v phm vi nghiản cứu

Trong lun Ăn chúng tổi thỹc hiằn nghiản cứu trản i tữổng l hằ BEC
hai th nh phn. CĂc nghiản cứu ca chúng tổi giợi hn trong phm vi sau:

- Hằ BECs trong khổng gian nòa vổ hn, tức l hằ b giợi hn bi mt
tữớng cứng.
- Hằ BECs trong khổng gian hu hn to nản bi hai tữớng cứng t
cĂch nhau mt khoÊng nhĐt nh.

3.2. Nhiằm vử nghiản cứu

- Tm h m sõng ca hằ ngững tử trng thĂi cỡ bÊn thoÊ mÂn cĂc iu
kiằn biản khĂc nhau ti cĂc tữớng cứng bng phữỡng phĂp gn úng DPA v
sau õ so sĂnh kt quÊ tm ữổc vợi kt quÊ tnh s.
- XĂc nh sức công ti mt phƠn cĂch gia hai th nh phn vợi cĂc iu
kiằn biản khĂc nhau.
- KhÊo sĂt Ênh hững ca iu kiằn biản ti tữớng cứng n cĂc tnh chĐt
vt lỵ hằ t õ tm ra iu kiằn biản khin cho hằ n nh.
- XĂc nh sức công b mt ca ngững tử ti tữớng cứng.
- V giÊn ỗ chuyn pha ữợt ca ngững tử trản b mt tữớng cứng.
- Ch ra Ênh hững ca sỹ giợi hn khổng gian i vợi cĂc tnh chĐt
vt lỵ ca hằ.
- Nghiản cứu cĂc kch thch b mt trản mt phƠn cĂch ca hằ BEC
hai th nh phn, trong õ tp trung v o viằc tm ra hằ thức tĂn sc ca
sõng mao dÔn ti mt phƠn cĂch.

4. Phữỡng phĂp nghiản cứu
Nghiản cứu v BEC(s) ữổc thỹc hiằn trong gn úng trữớng trung b
nh. Trản cỡ s n y, cĂc nghiản cứu lỵ thuyt v BEC(s) ữổc thỹc hiằn
4


dỹa v o
- Hằ phữỡng trnh Gross-Pitaevskii phử thuc thới gian.
- Hằ phữỡng trnh Gross-Pitaevskii khổng phử thuc thới gian.
Do tnh chĐt liản kt v phi tuyn ca hằ cĂc phữỡng trnh vi phƠn bc
hai m chúng ta khổng cõ lới giÊi giÊi tch cho trữớng hổp tng quĂt.
khc phửc khõ khôn n y, trong lun Ăn chúng tổi ch yu sò dửng hai
phữỡng phĂp gn úng cỡ bÊn. õ l
- Phữỡng phĂp gn úng parabol kp.
- Phữỡng phĂp gn úng hydrodynamics.

5. õng gõp ca lun Ăn
Lun Ăn õng gõp nhng kt quÊ nghiản cứu mợi v tnh chĐt vt lỵ
ca hằ BECs b giợi hn bi cĂc tữớng cứng, nhng õng gõp chnh
ữổc trnh b y trong phn Kt lun ca lun Ăn.

6. CĐu trúc ca lun Ăn
Ngo i phn m u, kt lun, danh mửc cĂc cổng trnh liản quan n
lun Ăn  cổng b v t i liằu tham khÊo, phn ni dung ca lun Ăn gỗm
bn chữỡng.
Chữỡng 1. Tng quan v cỡ s lỵ thuyt v hằ ngững tử Bose-Einstein
hai th nh phn phƠn tĂch.
Chữỡng 2. Hằ thức tĂn sc ti mt phƠn cĂch ca hằ ngững tử BoseEinstein hai th nh phn.
Chữỡng 3. CĂc hiằu ứng kch thữợc hu hn trong hằ BEC hai th nh
phn b giợi hn bi mt tữớng cứng.
Chữỡng 4. CĂc hiằu ứng kch thữợc hu hn trong hằ BEC hai th nh
phn b giợi hn bi hai tữớng cứng.

5


Ch֓ng 1
TŒng quan v cì sð lþ thuy‚t v• h»
ng÷ng tö Bose-Einstein hai th nh phƒn
ph¥n t¡ch
Ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y tr…nh b y tŒng quan c¡c nghi¶n cøu v• h»
BEC hai th nh phƒn ph¥n t¡ch trong nhœng n«m vła qua ð trong n÷îc v
tr¶n th‚ giîi; tr…nh b y cì sð lþ thuy‚t v ph÷ìng ph¡p dòng nghi¶n cøu h»
BEC hai th nh phƒn ph¥n t¡ch.

6


1.1.

Tng quan cĂc nghiản cứu lỵ thuyt v hằ ngững
tử Bose - Einstein hai th nh phn

Ngững tử Bose - Einstein (BEC) ữổc tiản oĂn bng lỵ thuyt bi Bose
v Einstein cĂch Ơy hỡn 90 nôm [16]. Th nghiằm v BEC ca kh boson
87

23

7

siảu lnh ( Rb, Na, Li) ữổc to ra sau õ 70 nôm [1, 2,17,21,42, 44].
Nhng kt quÊ th nghiằm xĂc nhn sỹ tỗn ti ca BEC Â ữổc ghi nhn
bng giÊi Nobel vt lỵ nôm 2001 trao cho E. A. Conell , C. E. Wieman
v W. Ketterle v nhng th nh tỹu nghiản cứu thỹc nghiằm ngững tử

kh loÂng ca cĂc nguyản tò kim [21]. K t õ, k thut thỹc nghiằm v
kh siảu lnh phĂt trin rĐt mnh m, ngữới ta  to ra ữổc BEC t hai th
nh phn kh khĂc nhau. Phữỡng phĂp cng hững Feshbach cho php
iu khin ữổc hu ht cĂc tham s quan trồng, chflng hn nhữ cữớng
tữỡng tĂc gia hai th nh phn, nhm to ra nhng trng thĂi bĐt ký theo ỵ
mun [32]. Nhớ õ, nhiu hiằn tữổng lữổng tò trong hằ BECs nhữ cĂc
bĐt n nh, sỹ hnh th nh cĂc xoĂy (votex), cĂc vĂch ngôn (domain
wall) gia hai th nh phn, cĂc trng thĂi soliton, cĂc ỡn cỹc (monopole)
[3,6,12,20,25,26,33,41,49,58] Â ữổc kim chứng bng thỹc nghiằm, to

ng lỹc mnh m cho cĂc nh khoa hồc nghiản cứu v loi vt chĐt c biằt
n y.
Bữợc phĂt trin cỹc ký quan trồng ca nghiản cứu lỵ thuyt v BEC ữổc
Ănh dĐu bi th nh cổng ca Gross v Pitaevskii trong viằc thit lp hằ
phữỡng trnh Gross-Pitaevskii (GPEs) dỹa trản gn úng trữớng trung b
nh (MFA) [22,42,44]. GPE(s) cho thĐy h m sõng ngững tử thọa mÂn cĂc
phữỡng trnh thy ng lỹc hồc [42, 44]. Thỹc nghiằm cụng  xĂc nhn BEC
4

cõ nhng tnh chĐt tữỡng tỹ vợi chĐt lọng lữổng tò ( He). T Ơy m ra
mt hữợng nghiản cứu mợi y trin vồng õ l nghiản cứu cĂc hiằn tữổng
lữổng tò ca BEC tữỡng tỹ vợi cĂc hiằn tữổng  bit trong thy ng lỹc hồc
c in, trong õ cõ sức công b mt v chuyn pha ữợt.

nghiản cứu c tnh vt lỵ ca hằ BECs, viằc quan trồng u tiản l
phÊi tm ữổc h m sõng ca hằ ht trng thĂi ngững tử thổng qua lới
7


giÊi ca GPEs. Tuy nhiản, GPEs l hằ phữỡng trnh vi phƠn bc hai phi
tuyn tnh liản kt nản viằc tm ữổc lới giÊi chnh xĂc cho tợi nay vÔn
cặn l mt thĂch thức, ta ch giÊi quyt ữổc trong mt s trữớng hổp c
biằt [30], ch yu vÔn phÊi dỹa v o tnh s kt hổp vợi cĂc phữỡng phĂp
gn úng [4,5,30,59].
Bng giÊi phĂp tuyn tnh hõa cĂc tham s trt tỹ mỉi pha ca
mt phƠn cĂch, Ao v Chui  tm ữổc nghiằm gn úng ca GPEs cho
hằ BECs, t õ tnh ữổc sức công mt phƠn cĂch ca hằ cõ s ht xĂc
nh b giam trong mt ging th hu hn [4].
Trản cỡ s xem xt cĂc giợi hn phƠn tĂch yu v phƠn tĂch mnh ca
BECs, Barankov  tm ữổc lới giÊi cho GPEs v xĂc nh ữổc sức công

mt phƠn cĂch ca hằ theo h m sõng ngững tử [5].
Hiằn tữổng ngững tử b hĐp thử bi mt bức tữớng quang hồc
(optical wall), hay cặn gồi l chuyn pha ữợt trong hằ BECs, ữổc
Indekeu v Schaeybroeck cp trong [30], sau õ tip tửc phĂt trin dỹa
trản cĂc tnh toĂn v sức công b mt trong lỵ thuyt GP ca
Schaeybroeck [48], cĂc nghiản cứu n y  ữổc ho n thiằn trong [31].
PhĂt trin ỵ tững tuyn tnh hõa cĂc tham s trt tỹ ca Ao v Chui
[4], Indekeu v cĂc cng sỹ Â xƠy dỹng th nh cổng phữỡng phĂp DPA
[28], sau õ ữổc m rng th nh gn úng ba parabol (TPA) [59], nhớ õ t
m ữổc nghiằm giÊi tch gn úng ca GPEs. T Ơy, cĂc tĂc giÊ Â tnh
toĂn mt cĂch chi tit v sức công mt phƠn cĂch, sức công b mt ca
ngững tử ti tữớng cứng, dỹa trản qui tc Antonov v giÊn ỗ chuyn pha
ữợt. So sĂnh vợi kt quÊ thu ữổc t cĂc tnh toĂn bng lỵ thuyt GP cho
thĐy cĐu hnh ngững tử, sức công mt phƠn cĂch, giÊn ỗ pha ữợt trong
DPA v TPA rĐt tiằm cn vợi kt quÊ tnh s mồi trng thĂi phƠn tĂch ca
hằ t phƠn tĂch yu (weak segregation) tợi phƠn tĂch mnh (strong
segregation) [28,59].
cĂc nghiản cứu lỵ thuyt v BECs tin gn vợi thỹc t, cĂc nh
khoa hồc  i nghiản cứu hằ BECs hai th nh phn trong khổng gian bĂn
vổ hn v hu hn [53 55] v
 thu ữổc rĐt nhiu kt quÊ quan trồng

8


cõ ỵ nghắa vt lỵ nhữ: ti tữớng cứng s xÊy chuyn pha ữợt t dnh ữợt
mt phn sang dnh ữợt ho n to n, khi hằ b giam gi bi hai tữớng
cứng th xuĐt hiằn ca lỹc Casimir-like v tũy thuc v o khoÊng cĂch
gia cĂc tữớng m lỹc n y cõ th l lỹc hút hoc lỹc 'y, sức công mt phƠn
cĂch trong tp hổp chnh tc lợn (GCE) v tp hổp chnh tc (CE)

khổng cặn liản hằ vợi nhau nhữ i vợi hằ vổ hn.
Bản cnh nhng tnh chĐt tắnh nảu trản th cĂc tnh chĐt ng
lỹc hồc, c biằt l ng lỹc hồc mt phƠn cĂch ữổc chú ỵ c biằt bi tnh
ứng dửng cao ca nõ trong cĂc cổng nghằ hiằn i. Ch xt trữớng hổp
hai th nh phn ho n to n i xứng, Mazet [37] ch ra rng cĂc sõng kch
thch b mt cõ hai khÊ nông: sõng mao dÔn, õ nông lữổng sõng t
lằ vợi vecto sõng dữợi dng ! / k

3=2

hoc mt dng kch thch khĂc vợi ! /

1=2

k . Tữỡng tỹ nhữ vy, Brankov [5] cụng chứng minh ữổc rng hằ thức
tĂn sc cho kch thch b mt ca hằ BECs cụng cõ hai khÊ nông nhữ
3=2

1=2

trản, tức l tỗn ti cÊ ! / k
v ! / k . Gn Ơy nhĐt l cổng trnh nghiản
cứu Takahashi v cng sỹ [50] i vợi hằ BECs cõ kch thữợc tũy ỵ, hằ
thức tĂn sc khi kch thữợc hằ tr nản lợn cụng cõ dng ca sõng mao
dÔn...Bản cnh hiằu ứng ca sõng mao dÔn, cĂc nghiản cứu cụng khÊo
sĂt cĂc hiằu ứng khĂc nhữ Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47],
Richtmayer-Meshkov [7]...
Trản Ơy chúng tổi  trnh b y tng quan nhng nghiản cứu lỵ
thuyt v BECs trong v ngo i nữợc. T Ơy chúng tổi nhn thĐy rng cõ hai
vĐn rĐt thú v m chữa ữổc nghiản cứu:

Khi hằ BECs b giợi hn bi cĂc tữớng cứng th vợi cĂc iu kiằn khĂc
nhau ti tữớng s Ênh hững th n o n cĂc tnh chĐt vt lỵ ca hằ, iu
kiằn biản n o ti tữớng s khin cho hằ n nh.
CĂc nghiản cứu v tnh chĐt ng ti mt phƠn cĂch mợi ch yu din
ra vợi hằ vổ hn trong khi tĐt cÊ cĂc thỹc nghiằm, ứng dửng thỹc t li tin
h nh trong khổng gian b giợi hn.
V vy trong lun Ăn n y chúng tổi sò dửng phữỡng phĂp gn úng
parabol kp (DPA), phữỡng phĂp gn úng hydrodynamics (HDA) trong

9


khuổn kh lỵ thuyt GP i nghiản cứu hằ BEC hai th nh phn trong
khổng gian b hn ch vợi cĂc iu kiằn biản khĂc nhau vợi mửc tiảu s t
m ra mt s hiằu ứng giợi hn mợi, khÊo sĂt sỹ Ênh hững ca cĂc iu kiằn
biản n sỹ n nh ca hằ v tm ra iu kiằn biản khin cho hằ n nh.

1.2.

Cỡ s lỵ thuyt v phữỡng phĂp dũng nghiản
cứu hằ ngững tử Bose - Einstein

1.2.1.

Phữỡng trnh Gross-Pitaevskii (GPE)

mổ tÊ trng thĂi ngững tử ca hằ N ht boson, ta thit lp GPE
trong gn úng trữớng trung bnh (MFA) t Lagrangian L =

R

Ld~r
V

[42,44]. Ơy,

L = i~

@t

@t

(1.1)

H b;

2
vợi = (~r; t) =
N (~r; t) l h m sõng ca hằ ht, (~r; t) l h m sõng
ỡn ht thọa mÂn iu kiằn chu'n hõa,
2
2
(1.2)
U ~x 2 G
~
4;
H =
+
( )j j + 2 j j
b

2m r
2
l mt Hamiltonian, U(~x) l mt th ngo i, G = 4 ~ a=m l cữớng tữỡng
tĂc gia cĂc ht, a l d i tĂn x sõng s (s-wave scattering length) xĂc nh
kiu tữỡng tĂc gia cĂc ht (a > 0 ứng vợi tữỡng tĂc 'y,
a < 0 ứng vợi tữỡng tĂc hút).
TĂc dửng S ca hằ ữổc xĂc nh bi S =
L dt: Trong php bin i
i S
S
S. CĂc bin i
trữớng !
R
! +

p

+ , tĂc dửng S cụng bin

S

n y phÊi tuƠn theo nguyản lỵ tĂc dửng ti thiu = 0, bin i ca tĂc
dửng S gƠy nản bi sỹ bin i ca trữớng bng 0. T Ơy ta cõ phữỡng tr
nh Euler-Lagrange
@ @
= 0;
@
(1.3)
@(@ )
@

L

L

10


vîi

= (x; y; z; t). Sß döng (1.3) t…m ÷æc ph÷ìng tr…nh
2

i~@t =

2

~
2m r

2

(1.4)

+ U(~x) + Gj j

gåi l GPE phö thuºc thíi gian.
N‚u bi”u di„n h m sâng cıa h» h⁄t d÷îi d⁄ng = (~r)e
thüc, th… (1.4) trð th nh

~2

2

r (~r) + U(~r) (~r) + Gj (~r)j

2

i t=~

(~r) =

,hm

(~r):

2m

(~r) l

(1.5)

Ph÷ìng tr…nh (1.5) câ d⁄ng cıa ph÷ìng tr…nh Schrodinger dłng, trong â
m“t º th‚ t¡c döng l¶n c¡c h⁄t l tŒng cıa m“t º th‚ ngo i U(~x) v th nh phƒn
2

phi tuy‚n Gj (~r)j , ÷æc gåi l GPE khæng phö thuºc thíi gian. Líi gi£i cıa
(1.5) cho chóng ta h m sâng ð tr⁄ng th¡i cì b£n cıa h» h⁄t boson.

1.2.2.

H» ph÷ìng tr…nh Gross-Pitaevskii

B‹ng c¡ch t÷ìng tü, ta câ th” x¥y düng h» ph÷ìng tr…nh GrossPitaevskii cho h» BEC hai th nh phƒn. H» ng÷ng tö BEC hai th nh phƒn
÷æc mæ t£ bði Lagrangian L v h m t¡c döng S d÷îi d⁄ng [42],
(1.6)
Z
Z dtd~rL;
S( 1;
dtL =
2)=
vîi h m m“t º Lagrange trong gƒn óng tr÷íng trung b…nh câ d⁄ng
i ~ j @t
L( 1;
jX
j@t j ) E ( 1; 2):
2)

=

2

=1;2

(

⁄i l÷æng E trong (1.7) ÷æc gåi l

E=( 1;

2)

=

~

j=1;2
2mj

X

ð ¥y, vîi th nh phƒn j,

sŁ tr“t tü; mj l

j

(1.7)

j

m“t º Hamilton, nâ câ d⁄ng

2

jj

g

2

jr

(1.8)

jj

+ 2 j jj4 g 12j 1j2j 2j2;

=

j(~r;

t) l h m sâng, âng vai trÆ cıa tham
2

khŁi l÷æng nguy¶n tß; gjj0 = 2 ~ ajj0(1=mj + 1=mj0) > 0
11


l h‹ng sŁ t÷ìng t¡c, chóng ÷æc x¡c ành qua ajj0 l
s.
B‹ng c¡ch thüc hi»n ph†p bi‚n thi¶n
+v
j

t¡c döng S theo i•u ki»n S=
thuºc thíi gian

j

j

!

cüc ti”u hâa

j

ta thu ÷æc h» ph÷ìng tr…nh GP phö

i~@t

1

= ~2 r 2 + g j
11

i~@t

2

=

2m1

º d i t¡n x⁄ sâng

2

~2 r + g22j

2m2

1j

2

+ g12j

2
2j

1;

(1.9a)

2j

2

+ g12j

2
1j

2:

(1.9b)

B¥y gií ta vi‚t h m sâng d÷îi d⁄ng
j(~r;

t) = j(~r)e

i t=~

(1.10)

:

j

Thay (1.10) v o h» (1.9) ta s‡ thu ÷æc h» ph÷ìng tr…nh GP khæng
phö thuºc thíi gian

~

2

2

2

2m1 r
~2

1

1

1

+g j
11

j

1

2

1

+g j
12

2

j

2
2

2

2m2 r

2

2

+ g22j

2

j

1

= 0; (1.11a)

2

= 0: (1.11b)

2

2

+ g12j

j

1

Lóc n y th‚ n«ng t÷ìng t¡c cıa h» câ d⁄ng
VGP =
4
2
2
g

h
j=1;2
jj i+ g12j 1j j 2j :
jj
2
jj jj

X

(1.12)

+2j

Khi c¡c th nh phƒn ng÷ng tö ÷æc ph¥n bŁ dåc theo ph÷ìng Oz v câ t
‰nh ch§t Łi xøng tành ti‚n theo c¡c ph÷ìng Ox; Oy th… (1.11) ÷æc vi‚t
l⁄i nh÷ sau

~

2

1

2

2m1 @z
~

2

1

2

1j

2

1

+ g12j 2j

2

1

2

2m2 @z

+ g11j

2

2

+g

22j

12

2j 2
2

+g

12j

1j 2

1

= 0; (1.13a)

2

= 0: (1.13b)


BƠy giớ chúng ta s ữa cĂc phữỡng trnh trản v dng khổng thứ
nguyản bng cĂch ữa ra mt s i lữổng sau:
- d i c trững
~
j

=

p

2m g n

:

j jj j0

- Thới gian c trững tj = ~= j.
- Hng s tữỡng tĂc

g

K=
p

:

12

g g

11 22

Sò dửng cĂc bin khổng thứ nguyản l tồa %j = z= j, thới gian j = t=tj,

h m sõng rút gồn j =
th hằ (1.13) cõ dng
2

j=

pn

j0

vợi nj0 l
2

mt khi ca th nh phn j
2

= 0;

(1.14a)

2 = 0;
+ j 2j
+ Kj 1j
v th nông tữỡng tĂc (1.12) ữổc vit th nh
V~ =
2 2
j4
+ Kj 1j j 2j :
GP j=1;2

(1.14b)

@

1
1

%1

2

@

%2

2

X

+ j 1j

2

2

j

j2 +

j

2

1

+ Kj 2j

2

2

1

(1.15)

j

Tũy thuc v o giĂ tr ca K m cõ th xÊy ra 2 khÊ nông khĂc nhau: nu K
> 1 th cĂc th nh phn khổng th trn lÔn v o nhau v ngữổc li.
Lữu ỵ rng, thỹc hiằn cĂc php bin i trản chúng ta  giợi hn khÊo
sĂt hằ trng thĂi cƠn bng pha, tức l Ăp suĐt ca hai th nh phn bng
2

nhau P1 = P1 vợi Pj = gjjn j0=2. Mt khĂc chúng ta cụng ang xt hằ trong
thng kả chnh tc lợn, tức l cĂc th nh phn ngững tử ữổc ni vợi mt b
nhiằt chúng cõ th trao i ht vợi nhau, khi õ th hõa ca cĂc th nh phn
ngững tử nhn giĂ tr khổng i j = gjjnj0.
Tng quĂt, ta khổng th tm ữổc nghiằm giÊi tch ca hằ (1.14).
Tuy nhiản cõ ba trữớng hổp c biằt sau Ơy th cõ th tm ữổc
nghiằm giÊi tch ca hằ (1.14):
13


- Khi hằ i xứng 1 = 2 v K = 3, Malomed v cng sỹ [36] tm ữổc
=
j 2

1 + ( 1)j+1 tanh pj2
:
(1.16)
1
%
- Khi hằ phÊn i xứng = 2= 1 = 1=2; K = 3=2, Joseph v cng sỹ [28]
tm ữổc
%

1
j

s

= 2 1+(

1)

j+1

(1.17)

:

j

tanh p 2

- Khi hằ phƠn tĂch mnh, tức l K!1,

%j

1) p 2 :
= tanh (
1.2.3. Phữỡng phĂp gn úng parabol kp(DPA)
j+1

j

Yảu cu t ra i vợi cĂc nghiản cứu v BEC(s) l

(1.18)

phÊi giÊi GPE(s)

(1.14). Tuy nhiản, Ơy l hằ cĂc phữỡng trnh v phƠn bc hai liản kt vợi
nhau v tng quĂt, ta khổng th tm ữổc lới giÊi giÊi tch.
Mt trong cĂc phữỡng Ăn u tiản ữổc Ăp dửng l tnh s. Tuy nhiản
phữỡng phĂp n y ặi họi hằ thng mĂy tnh cõ cĐu hnh rĐt mnh v
quan trồng l nu ch ỡn thun kt quÊ s, chúng ta khõ ữa ra ữổc cĂc
phĂn oĂn vt lỵ. V lỵ do n y m  cõ mt s phữỡng phĂp gn úng ữổc
xuĐt, khi sò dửng cĂc phữỡng phĂp gn úng ta s thu ữổc nghiằm giÊi t
ch ca h m sõng, sức công ti mt phƠn cĂch....t Ơy chúng ta d
d ng cõ nhng suy lun, phĂn oĂn cõ ỵ nghắa vt lỵ. Trong lun Ăn tổi
sò dửng gn úng parabol kp (DPA) ữổc ữa ra trong [4,28] v phữỡng
phĂp gn úng hydrodynamics (HDA) [47].
tm hiu v phữỡng phĂp gn úng DPA chúng ta hÂy xt hằ BEC
mt th nh phn b giợi hn bi tữớng cứng (optical wall) ti v tr z = 0.
Khi õ th GP (1.15) ữổc vit li nhữ sau

VGP=

4

2

+

14

2

:

(1.19)


gn mt phƠn cĂch tham s trt tỹ

giÊm dn t 1 nản ta

t
(1.20)

1 + a;
vợi a l l s thỹc Ơm v nhọ. Thay (1.20) v o (1.19) ta
2

4

1

+ (1 + a)

VGP = (1 + a)

2
Gi n gn úng bc hai ta thu

=

1
2

2
+ 2a

ữổc
3

+ 2a

+

14
2

a:

ữổc

VDPA

2(

2

1)

1

(1.21)

2:
0.4

V

0.2
0.0
-0.2
-0.4
-1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

Hnh 1.1: Th tữỡng tĂc theo tham s trt tỹ .

Trản hnh 1.1 l ỗ th biu din th tữỡng tĂc theo tham s trt tỹ , trong õ
ữớng nt lin ứng vợi th GP, ữớng nt ứt ứng vợi th DPA. Nhữ vy, th GP
ữổc thay bng hai ữớng parabol nản Ơy ữổc gồi l gn úng parabol kp
(DPA).
Khi sò dửng phữỡng phĂp gn úng DPA, hằ phữỡng trnh GP cõ th ữổc
ữa v hằ phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh cõ th giÊi ữổc nhữ sau:
@2

j

+ 2( 1) = 0;

%j

2

@

%j0

2

+ j0

j0
15

= 0;

(1.22)


p
0
Ơy = K 1, cĂc ch s (j; j ) = (1; 2) i vợi bản phÊi mt phƠn cĂch v (j;
0

j ) = (2; 1) pha bản trĂi mt phƠn cĂch.
Nhữ vy hằ GPEs liản kt (1.14) ữổc chuyn th nh hai phữỡng trnh
vi phƠn khổng liản kt (1.22) v hằ phữỡng trnh (1.22) ho n to n cõ th
giÊi bng giÊi tch.

1.2.4.

Phữỡng phĂp gn

úng hydrodynamics

phữỡng phĂp gn úng hydrodynamics (HDA) chúng ta coi chuyn
ng ca cĂc ht trong trng thĂi ngững tử nhữ l nhng chuyn ng ca cĂc
dặng chÊy chĐt lọng. Mửc ch ca ta l cn tm ra nhng phữỡng
trnh cho chuyn ng ca dặng nhữ nhng phữỡng trnh thy ng
hồc cõ dng tữỡng tỹ c in nhữ phữỡng trnh Bernoulli, phữỡng trnh
Euler, phữỡng trnh liản tửc...t õ nghiản cứu cĂc tnh chĐt ng hồc ca
hằ BEC.
nghiản cứu cĂc vĐn ng hồc ca BEC chúng ta sò dửng phữỡng
trnh Gross-Pitaevskii phử thuc thới gian

@

2

2

2

~
(1.23)
:
+ V (~r)
i~ @t = 2m r
+ Gj j
NhƠn hai v phữỡng trnh (1.23) vợi
liản hổp phức ca nõ nhƠn vợi

v

chúng ta thu ữổc phữỡng trnh liản tửc ca ngững tử
@
2
2m ~
= 0;
j@t j + r~
r
r~

(1.24)

i~

hay

@n

~
(1.25)

@t + r: (n~v) = 0;
2

trong õ n = j j l
biu thức

mt ht, vn tc ca ngững tử ữổc xĂc nh bng

~v = i~
2mn

r

~

16

r~

:

(1.26)


Mt

ng lữổng ca ngững tử ữổc xĂc nh bng biu thức
:
~ i~
~
J =
r
~
r
2

Nu chúng ta vit h m sõng

ca ngững tử cõ dng
= 0e i ;

(1.27)

(1.28)

th khi thay (1.28) v o hằ phữỡng trnh (1.23) rỗi tĂch riảng phn
thỹc v phn Êo ta thu ữổc hai phữỡng trnh cho biản v pha

@

0 2

j

j

@t

= mr

v

@ (~r; t) =
@t

2

~

j
1

0j

r ;

E :

(1.29)
(1.30)

~ n (~r)

CĂc phữỡng trnh (1.24), (1.29), (1.30) cho thĐy cõ th nghiản cứu
cĂc hằ BEC trản quan im xem chúng nhữ cĂc chĐt lọng lữổng tò.

Tng kt chữỡng 1
Nhữ vy chữỡng 1 Â t

ữổc nhng kt quÊ chnh sau

Ơy:

Trnh b y tng quan cĂc nghiản cứu v hằ BEC hai th nh phn
phƠn tĂch trong nhng nôm va qua.
Trnh b y lỵ thuyt Gross-Pitaevskii cho hằ BEC mt th nh phn
v hằ BEC hai th nh phn.;
Trnh b y nhng vĐn cỡ bÊn v phữỡng phĂp gn úng parabol
kp v phữỡng phĂp gn úng hydrodynamic.

17